Các phương pháp gần đúng tính cấu trúc vùng năng lượng

Trờng đại học vinh Khoa vật lý khóa luận tốt nghiệp TI CC PHNG PHP GN NG TNH CU TRC VNG NNG LNG Ngành cử nhân khoa học vật lý Chuyên ngành: vật lý chất rắn Giáo viên hớng dẫn: Sinh viên thực hiện: Lớp: Vinh - 2007 Ths Nguyễn Viết Lan Đinh Thị Chuyên 43E - Vật lý Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo hớng dẫn Ths Nguyễn Viết Lan, ngời giao đề tài, tận tình hớng dẫn tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ thời gian nghiên cứu hoàn thành khoá luận Tôi xin chân thành cảm thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lý trờng Đại Học Vinh tận tình giảng dạy, dẫn đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho suốt thời gian học tập trờng Cuối xin cảm ơn bạn bè gia đình giúp đỡ, động viên góp nhiều ý kiến cho trình học tập hoàn thành khoá luận Vinh, tháng năm 2007 Đinh Thị Chuyên Mục lục Trang Mở đầu Chơng 1: Các trạng thái điện tử vật rắn 1.1 Gần điện tử .3 1.1.1 Gần Hartree - Fox 1.1.2 Nhận xét 1.2 Hàm Bloch định lý Bloch 1.3 Phép gần điện tử liên kết yếu 10 1.3.1 Cấu trúc vùng lợng gần liên kết yếu 10 1.3.2 Nhận xét sơ đồ vùng lợng 17 1.4 Phép gần điện tử liên kết mạnh 19 1.4.1 Cấu trúc vùng lợng gần điện tử liên kết mạnh 19 1.4.2 Một số nhận xét 23 1.4.3 Một số ví dụ minh họa 25 Chơng 2: Các phơng pháp gần tính vùng lợng 28 2.1 Phơng pháp sóng phẳng trực giao hoá .28 2.2 Phơng pháp ô Wiger - Seitz 29 2.3 Phơng pháp sóng phẳng biến dạng (sóng nửa phẳng nửa cầu) 30 Chơng 3: Tính chất điện tử theo lý thuyết vùng 32 3.1 Phơng pháp k p phơng pháp khối lợng hiệu dụng 32 Kết luận .39 Tài liệu tham khảo .40 Mở Đầu Lý chọn đề tài Trong công cách mạng KHCN nay, ngành Vật Lý Chất Rắn đóng vai trò quan trọng Vật lý chất rắn tạo vật liệu cho ngành kỹ thuật mũi nhọn nh điện tử, CMT, du hành vũ trụ,năng lợng nguyên tử Vật lý chất rắn môn học có từ lâu, nhng từ có lý thuyết lợng tử tiến khoa học kỹ thuật có đợc sở vững thu đợc kết quan trọng mặt lý thuyết nh thực nghiệm Việc nghiên cứu tính chất điện tử tinh thể nhiệm vụ quan trọng VLCR Đó điện tử có khối lợng bé, mang điện tích nguyên tố âm hạt linh động tham gia vào nhiều tợng, quy định nhiều tính chất vật chất, vấn đề khó để mô tả xác tính chất điện tử tinh thể cần phải xét hệ nhiều hạt tơng tác với (electron, nguyên tử) số lợng hạt lớn bậc với số Avôgađrô.(tức cỡ 6.1023) tính toán ta phải lập giải hệ phơng trình lớn đến mức máy tính mạnh không giải đợc Vì cần tìm cách đơn giản hoá phép tính toán cách sử dụng phép gần Do tính chất quan trọng phơng pháp gần nghiên cứu tính chất vùng lợng nên chọn đề tài Các phơng pháp gần - Tính cấu trúc vùng lợng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu phơng pháp gần để đơn giản hoá phép tính toán Khi nghiên cứu cấu trúc vùng lợng chất rắn: Sử dụng phơng pháp gần tìm hiểu tính chất điện tử tinh thể từ ta tính đợc vùng lợng cụ thể nhờ phép gần với mục đích cuối tìm hiểu phơng pháp tính cấu trúc vùng lợng vật rắn Đối tợng nghiên cứu đề tài nghiên cứu phơng pháp gần đúng: Phơng pháp gần điện tử, phép gần Hartree-Fox, phép gần liên kết yếu, phép gần liên kết mạnh sử dụng phơng pháp sóng phẳng trực giao, phơng pháp Ôwiger-Setz, phơng pháp sóng biến dạng để tính vùng lợng Nghiên cứu phơng pháp k p phơng pháp khối lợng hiệu dụng, sử dụng để nghiên cứu tính chất điện tử theo lý thuyết vùng Giả thiết khoa học Nếu đề tài nghiên cứu thành công việc nghiên cứu cấu trúc vùng lợng chất rắn đơn giản nhiều Khi dùng đến phơng pháp gần đúng, với phơng pháp đa ta sử dụng phơng pháp cụ thể để nghiên cứu chất rắn khác nh kim loại, điện môi hay bán dẫn Quan trọng nhờ phơng pháp gần mà kết lý thuyết vùng lợng không dừng lại dự đoán giả thiết mà tính toán đợc cụ thể số liệu điện tử tinh thể vật rắn, ta biết đợc tính chất cụ thể vật rắn áp dụng vào đời sống kỹ thuật Phơng pháp nghiên cứu Dùng kiến thức toán học, vật lý đại cơng, học lợng tử, vật lý chất rắn để nghiên cứu phơng pháp gần Từ kết phép gần ta quay trở lại tìm hiểu cấu trúc vùng lợng chất rắn Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn phần mở đầu kết luận nội dung thức đợc trình bầy chơng: Chơng I: Các trạng thái điện tử vật rắn Chơng II: Các phơng pháp gần tính vùng lợng Chơng III: Tính chất điện tử theo lý thuyết vùng chơng 1: trạng thái điện tử vật rắn 1.1 Gần điện tử Trong tinh thể vật rắn, nguyên tử cấu tạo nên tinh thể tơng tác với Electron nguyên tử chịu tác động tơng tác nguyên tử electron lớp chịu ảnh hởng nhiều electron lớp Những electron lớp nguyên tử (tức điện tử hoá trị) liên kết với nguyên tử yếu nên tinh thể tính chất chúng bị biến đổi rõ rệt so với chúng nguyên tử cô lập Vì nghiên cứu VLCR thờng giới hạn việc khảo sát chuyển động điện tử hoá trị theo cách: coi mạng tinh thể đợc cấu tạo từ lõi nguyên tử (gồm hạt nhân nguyên tử electron lớp bên trong, mang điện dơng đặt nút) Đầu tiên ta giả thiết lõi nguyên tử đứng yên, với giả thiết ta xét chuyển động electron trờng lực lõi nguyên tử đứng yên, xếp đặt tuần hoàn mạng tinh thể, sau tiếp tục xét đến ảnh hởng dao động mạng lên tính chất electron Tuy nhiên giả thiết toán phức tạp ta phải xét 10 +23e- tơng tác với Vậy bớc đơn giản hoá sử dụng phép gần electron: theo cách ta giả thiết xét chuyển động electron hoá trị riêng rẽ trờng V( r ) đó, không phụ thuộc vào thân electron mà ta xét Trờng đợc gây tất electron lại với tất nguyên tử tinh thể đặc điểm quan trọng trờng tính tuần hoàn không gian: Nội dung phép gần là: Gần điện tử phơng pháp tác động tất hạt nhân điện tử khác tinh thể lên điện tử xét đợc đặc trng tác động trung bình Vì ta cần xét trạng thái điện tử đủ để đại diện cho cho tất điện tử tinh thể Nói cách khác gần điện tử chia tinh thể thành thành phần để xét nh sau: Tinh thể = điện tử + phần lại Sau phân chia tinh thể nh dựa vào tính chất tuần hoàn tịnh tiến tinh thể ta thấy mô tả tác động trung bình tất hạt nhân điện tử khác lên điện tử xét phải thoả mãn điều kiện tuần hoàn tịnh tiến: (1) V ( r + R) = V ( r ) Theo học lợng tử toán tìm trạng thái điện tử tinh thể lý tởng toán đợc giải cách đơn giản phơng trình Schorđinger tức tìm giá trị riêng lợng hàm sóng riêng ( r ) điện tử thoả mãn phơng trình: H (r) Trong đó: = (K + U ) (r ) = E (r ) [ + V ( r ) ] ( r ) = E V ( r ) 2m (2) V ( r + R ) = V ( r ) : e trờng tuần hoàn ( r ) : hàm sóng e E: lợng Để giải phơng trình (2) tìm giá trị riêng lợng hàm sóng riêng ( r ) ta cần tìm đợc dạng biểu thức V( r ) V( r ) có tính chất tuần hoàn với chu kỳ R Mà để tìm V( r ) ta dùng tới phơng pháp gần Hartree - Fox 1.1.1 Gần Hartree - Fox: Phơng trình Schodinger điện tử: Muốn viết phơng trình Schodinger điện tử ta phải thực chuyển hệ điện tử tơng tác với thành hệ điện tử không tơng tác Chúng ta xét điện tử thứ i nằm trờng tất điện tử khác Giả sử nhờ nguồn bên tạo đợc thời điểm, vị trí diện tử thứ i trờng giống nh trờng tất điện tử khác lại tạo nên Chúng ta ký hiệu điện tử thứ i trờng i Rõ ràng i phụ thuộc vào toạ độ nguyên tử thứ i; i = i (ri ) Trờng đợc tạo nên nh đợc gọi trờng tự hợp, cho phép ta biểu diễn lợng tơng tác cặp tất điện tử dới dạng tổng i (ri ) : (r ) i i i Giả sử ta tìm đợc trờng tự hợp nh ta viết: He = ( i i ) + i (ri ) + ( U i ) = H 2m i i i Trong đó: H i = - 2m i + i (ri ) + U i (ri ) i (r ) : điện tử thứ i trờng điện tử lại i U i (r ) : điện tử thứ i i Với Hamiltonian có dạng tổng ta tìm hàm sóng hệ điện tử dới dạng tích: e ( r , r , ) = ( i ( r i )) i Với Ee = Ei i Trong đó: (2.1) H i i = E i i Để tìm dạng i (ri ) viết phơng trình Schodinger hệ điện tử dới hai dạng: (1) ( ) + U + U ( r = [ i 2m i e i i i ) e ] = Ee e ij e He e i j (2) H e e = [ ( i (2.2) i ) e + i (ri ) e + U i (ri ) e ] = E e e (2.3) 2m i i Từ hai phơng trình ta xác định đợc i (ri ) nhng viết: i (r ) = U ij i i j Bởi i (ri ) phụ thuộc vào toạ độ điện tử thứ i U ij i j phụ thuộc vào toạ độ tất điện tử Để tìm i (ri ) nhân phơng trình (2.2) (2.3) với e * từ bên trái tích phân theo toạ độ tất điện tử trừ phơng trình cho ta có: e * [ U ij ] e d e - e * [ j (ri )] e d e = i j i e * [ j (ri )] e d e = e * [ hay i i U ij ] e d e i j đây: d kí hiệu phần tử tích dxdydz = d thay e (r1 , r2 , ) = i (ri ) : d = d , d , ta có: i (r1 ) [ i (ri )] (r1 ) d 1d = i (ri )[ i (ri )] i (ri )d i * * i i = 1* (ri ) [U ij (ri r j )] (r1 ) d 1d i j i * j (ri ) i (ri )d i = i [ * i * ( r ) U ( r r ) ( r j j ij i j j j ) d j ] j d j i j So sánh vế rút ra: i (r ) = i j (r j ) i j e2 ri r j d j (2.4) Thay (2.4) (2.1) ta đợc phơng trình mang tên Hartree: e d j ( r ) (r ) + U (r , R , R , ) (r ) = E i (ri ) + i j i i i i i i i i i j 2m rij (2.5) Nh muốn tìm i (ri ) ta phải biết tất hàm sóng j (r j ) Nhng để tìm đợc j (r j ) ta lại phải biết tất i (ri ) Để giải toán ta phải tính gần phơng pháp lặp Đầu tiên ta lấy gần hàm bậc (0) (0 ) j (r j ) tính i (ri ) Theo (2.4) thay kết ( 0) i (ri ) vào (2.5) ta tính (1) j (r j ) nhờ kết ta tính (1) i (ri ) Quá trình đợc lặp lại gần thứ (n+1) trùng với gần thứ n giới hạn sai số cho trớc 1.1.2 Nhận xét: Phơng trình Hartree có nhợc điểm lớn không tính đến nguyên lý Pauli, nguyên lí Pauli đòi hỏi hàm sóng điện tử phản đối xứng trình hoán vị tính đến toạ độ hình chiếu Spin điện tử Tính dến nguyên lý Pauli hàm sóng điện tử phải biểu diễn dới dạng định thức Slater: e ( q1 , q , ) = (q1 ) (q ) (q1 ) (q ) N! Trong đó: N: số điện tử qi : ký hiệu bốn biến số xi, yi, zi, sz (sz biến số Spin) Hàm sóng e (q1 , q , ) đáp ứng điều kiện phản đối xứng: e ( qi q k ) = e ( q k qi ) e d qe = * e Phơng trình Hartree-Fox nhận đợc phức tạp Dùng phơng trình hàm sóng dới dạng định thức Staler ta tìm đợc biểu thức lợng E i: i + U i (ri , R1 , R2 , ) ] e ( q1 , q , ) d qe + 2m E i = *e (q1 , q2 , ) [ + * e (q1 , q , ) i j e2 e (q1 , q , )d qe rij (2.6) Trong đó: d : Phần tử thể tích bản, có biến số Spin điện tử qe Theo (2.6) có thêm thành phần lợng trao đổi phơng trình Hartree Phơng trình Hartree-Fox thực tế giải đợc, giải gần theo phơng pháp lặp nói Căn vào cách chọn hàm sóng bậc mà ta có phơng pháp gần khác Nếu hàm sóng bậc trạng thái tự điện tử gần liên kết yếu, thích hợp với toán kim loại Nếu trạng thái bậc hàm sóng điện tử nguyên tử cô lập ta có phơng pháp gần liên kết mạnh: Phơng pháp giải thích đợc nhiều tính chất bán dẫn 1.2 Hàm Bloch định lý Bloch Trong phép gần điện tử V( r ) có tính chất tuần hoàn tịnh tiến với chu kỳ mạng R V ( r + R) = V ( r ) Và ta chứng minh đợc ( r ) có tính chất sau ( r + R )= ik r e ( r ) Từ ta suy rằng: ( r ) = Uk (r ) e 10 ik r (3) E ( k ) = n e i k Rn n Đây công thức khai triển fourier V (r ) khác đảo mạng Nh nói tuần hoàn trờng tinh thể V (r ) không gian mạng thuận làm cho lợng E có tính tuần hoàn không gian mạng đảo Có thể trình bày sơ đồ: V ( r + R) = V ( r ) E( k + G) = E( k ) V ( r ) = V e i G r E ( k ) = n e i k Rn G G n 1.4.3 Một số ví dụ minh họa Nếu n nút mạng lân cận gần n = n 0, quy định gốc tình lợng E cho E - C = 0, đó: E ( k ) = n0 e i k Rn0 n0 Nếu ( r ) hàm sóng điện tử, n phụ thuộc vào khoảng cách từ nút mạng xét đến nút mạng lân cận gần nhất, có nghĩa n0 = cho tất nút mạng E ( k ) = e i k Rn0 n0 a Mạng lập phơng đơn (PC): Mỗi nút mạng có nút lân cần gần nhất, lấy nút mạng làm gốc tọa độ nút mạng lân cận gần có toạ độ a j a k , đó: E ( k ) = e i k Rn0 = (e ik x a + e ik x a + e ik y a n0 = -2(cosakx + cosaky + cosakz) + Khi kx=ky=kz = (tại tâm vùng Brillouin): E(0) = -6 = EMin + Khi kx=ky=kz = (tại biên vùng Brillouin): 26 +e ik y a + e ik x a + e ik zx a ) = E( ) = -6c = EMax Độ rộng vùng lợng đợc phép là: EMax - EMin = 12 + Đối với ki = ki - (i=x,y,z) nhỏ, tức gần biên vùng Brillouin a E = EMax - a2k2 Nh đồ thị E = E( k ) tâm biên vùng Brillouin có dạng đờng cong Parabol, bị lệch khỏi đờng Parabol sâu bên vùng Brillouin b Mạng lập phơng tâm (BBC): Một nút mạng có nút lân cận gần Nếu lấy nút mạng nằm tâm lập phơng làm gốc, nút lân cận gần có tọa độ: a (i j k ) , a i ( kx k y kz ) E (k ) = e i k R = e n0 n0 Trong dấu lấy độc lập + Tại k = EMin = -8 + Tại kx = a , kx=kz = năm điểm tơng đơng khác thì: EMax = +8 Khi độ rộng vùng lợng đợc phép là: EMax - EMin = 16 c Mạng lập phơng tâm diện (FCC) Một nút mạng có 12 nút lân cận gần nhất, với tọa độ a a a (i j ); ( j , k ); ( k ,i ) 2 Trong dấu lấy độc lập, đó: E ( k ) = (cos ak y ak y ak x ak ak ak cos + cos cos z + cos z cos x ) 2 2 2 + Tại k=0 EMin=-12 + Tại kx= , ky=kz=0 EMax= +4 a Khi độ rộng vùng lợng đợc phép là: EMax - EMin = 16 Tiểu kết: 27 Trong chơng ta đa phơng pháp gần nêu để nghiên cứu trạng thái điện tử tinh thể ứng phơng pháp có u nhợc điểm riêng: - Phơng pháp gần Hartree-Fox: áp dụng cho gần điện tử với cách giải đơn giản, nhiên việc giải phơng trình Hartree-Fox lại phức tạp - Phơng pháp gần điện tử gần tự do: áp dụng trờng hợp V ( r ) bé tác động lên chuyển động tự điện tử áp dụng động lớn nhiều so với biến thiên không gian V ( r ) Nó thích hợp với toán kim loại - Phơng pháp gần liên kết mạnh: áp dụng nghiên cứu điện tử nằm lớp điện tử bên tinh thể Chơng 2: Các phơng pháp gần tính vùng lợng 2.1 Phơng pháp sóng phẳng trực giao hóa Phơng pháp gần điện tử gần tự hay đợc gọi phơng pháp sóng phẳng, dùng tổ hợp tuyến tính sóng phẳng làm lời giải Phơng pháp có nhợc điểm hội tụ chậm., lý thực hàm sóng điện tử vùng trực giao với hàm sóng điện tử bên nhng sóng phẳng tính trực giao phải lấy tổng nhiều số hạng để tổng trực giao với hàm sóng bên Cách giải tiến: Thực trực giao hóa sóng phẳng hội tụ nhanh Việc đợc tién hành nh sau: Trớc hết từ hàm sóng điện tử lớp U j (r R) lập tổ hợp thỏa mãn điều kiên Block ik (r ) = n r U j (r R )e ikR R Hàm sóng đợc xây dựng nh đảm bảo tính chất: 28 - Vì đợc viết cho điện tử thuộc lớp nên đảm bảo khác không tong ô Wigner-Seitz - Nhng thỏa mãn định lý Bloch ik (r + R ) = e ikR ik (r ) Sau thiết lập sóng phẳng k trực giao với ik (r ) nhng đảm bảo thỏa mãn định lý Bloch Có thể chọn k dới dạng nh sau: k = ei k r jk jk ( r ) j Chọn k dới dạng hợp lý kết hợp đợc tính chất: Tính phẳng tính nguyên tử Sau đòi hỏi k phải trực giao với ik Tức đòi hỏi rằng: jk (r ) k d r = ikr jk e d r ik = Từ tính àik thay vào biểu thức để có k 2.2 Phơng pháp Ô wigner-Seitz Trong phơng pháp ngời ta chia tinh thể thành Ô wigner-Seitz, biết hàmámóng ô biết tất ô khác Bài toán trở nên đơn giản dùng phép gần nh sau: (1) Nói chung ô Ô wigner-Seitz thờng có hình dạng phức tạp (hình khối 12 mặt, 14 mặt,) gần thứ thay Ô wignerSeitz hình cầu tích tơng đơng (2) Gần thứ coi trờng mà điện tử nằm nguyên tử tự tức coi có đối xứng cầu Nếu ta kết hợp hai phép gần lại với toán tính mức lợng điện tử nguyên tử tự Vậy bầi toán khác với bầi toán nguyên tử tự chỗ khác điều kiện biên độ dùng tính chất hàm sóng tinh thể: - Hàm sóng phải hàm Bloch: (r + R) = e ikR (r ) - Hàm sóng phải có tính chất đối xứng gơng: ( x, y, z ) = ( x, y, z ) (phản xạ gơng) 29 Hai tính chất kết hợp với cho điều kiện biên tinh thể là: r =0 r = rs Trong rs bán kính hình cầu mà ta coi cách gần vùng Brillouin Bây ta chứng minh điều cho trờng hợp: k =o ( r ) = o (r ) Thật Ô winger-Seitz có mặt phẳng song song cách R Và điểm A B đối xứng mặt phẳng ta có: k ( A) = e ikR k ( B ) Nếu xét hàm sóng với k=0 o ( A) = o ( B ) Nếu xét hàm sóng quanh điểm A B, cụ thể điểm cách A B khoảng cách vô bé Theo diều kiện hàm Bloch ta có: o ( A' ) = o (B ' ) Theo điều kiện đối xứng gơng ta có: o ( A ' ) = o ( B" ) Tức hàm mà tiến sang hai bên trái, phải đoạn Vô bé không thay đổi, đạo hàm phải 0: x x= q 2s =0 Đây điều kiện biên mà ta cần tìm y A A' - B" B B' a a x Hình 2: Minh họa cách tìm điều kiện biên để tính vùng lợng phơng pháp Ô winger-Seitz 30 2.3 Phơng pháp sóng phẳng biến dạng (sóng nửa phẳng nửa cầu) Trong phơng pháp ngời ta cho có hình cầu bấn kính r nhỏ Ôwigner-Seitz mà: - Bên có đối xứng cầu (tức điện tử liên kết chặt với nguyên tử) làm cho hàm sóng điện tử đối xứng cầu - bên tức điện tử hoàn toàn tự Nói tóm lại: Hàm sóng điện tử = sóng cầu(trong r0) + sóng phẳng (ngoài r0) Vấn đề chỗ phải kết hợp sóng cầu sóng phẳng cho hàm sóng liên tục biên hình cầu bán kính r để làm đợc điều chọn hàm sóng có dạng nh sau: k (r ) = a o (r r0 )e ikr + alm (r r0 )Ylm ( , ) Rl ( r ) lm Trong đó: r > r0 (r r0 ) = r < r0 Vấn đề lại xác định hệ số a alm cho đảm bảo điều kiện liên tục hàm k (r ) r = r0 Nh phơng pháp kết hợp phép gần điện tử gần tự điện tử liên kết chặt Tiểu kết: Trong chơng "Giới thiệu phơng pháp tính gần vùng lợng" ta đa phơng pháp nêu vận dụng phơng pháp giải tính toán vùng lợng vật rắn Từ ta biết đợc tính chất cấu trúc điện tử vùng lợng 31 Chơng 3: tính chất điện tử theo lý thuyết vùng 3.1 Phơng pháp k p phơng pháp khối lợng hiệu dụng Ta có nhiều phơng pháp tính vùng lợng cho bán dẫn, nhng lý thuyết bán dẫn thờng nhu cầu tính tất vùng lợng phức tạp Thực tế ta cần quan tâm tới trạng thái nằm giới hạn lợng bậc kBT tính từ biên vùng lợng Giá trị kBT cỡ 1/40 eV = 0.025 eV mà độ rộng vùng cầm eV cần tính trạng thái cực trị vùng tính bổ lợng xuất bị lệch khỏi trạng thái này, điều thực phơng pháp k.p phơng pháp khối lợng hiệu dụng Phơng pháp thuận tiện để nghiên cứu cấu trúc vùng lợng, phơng pháp gần kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn gọi phơng pháp k p Phơng pháp cho độ xác cao cho công thức tính khối lợng hiệu dụng m* điện tử tinh thể Phơng k p đợc dẫn từ: Ta giải phơng trình Strodinger: 2 + V ( r ) k = k k 2m (3.1) Sử dụng hàm Bloch biến dạng: (3.2) k = U k e ikr Thay (3.2) vào (3.1) ta nhận đợc: ( p + k ) U k + U (r )U k = k U k (3.3) Xét trạng thái với k=0 thờng điểm cực trị k (3.3) chuyển thành: p2 +U r U k = k U k 2m (3.4) Nghiệm (3.4) trạng thái Bloch với k = ứng với vùng lợng khác mà hàm riêng trị riêng tơng ứng có dạng Uo(1) , Uo(2), o(1) , o(2) , Nh hàm k =0 ( n ) = U ( n ) tạo hệ đầy đủ để phân tích hàm có tính tuần hoàn phép tịnh tiến ô mạng có nghĩa ta sử 32 dụng U0(n) làm hệ sở để phân tích Uk(n) với k thành chuỗi lý thuyết nhiễu loạn Bây ta xét trạng thái với k ta xem số hạng H1 = k p 2m (3.5) (3.3) nh nhiễu loạn bậc k 2 Thành phần nhiễu loạn bậc H = k (3.6) 2m Bây ta sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thờng bổ bậc có dạng: k U (n) p U (n) m (3.7) Nếu tinh thể có tâm nghịch đảo hàm U o(n) đợc phân loại theo tính chẵn lẻ tâm hàm chẵn hay lẻ tích phân có cận cận dới nh mà có giá trị bổ bậc tính theo (3.7) Nếu tinh thể tâm nghịch đảo thí dụ InSb, bổ bậc khác điểm cực trị xê dịch khỏi điểm k = 0, (hình vẽ) Nếu giới hạn trờng hợp điểm cực trị k = 0, nghĩa bổ bậc gần bậc lý thuyết nhiễu loạn lợng ta nhận đợc biểu thức sau: (n) k = (n) 2k + + 2m m K U (n) p U (n) (n) (m) m 33 (3.8) Để tìm lợng cần phải lấy tổng theo tất vùng với k = 0, nhng vùng xa ( n ) ( m ) lớn nên thành phần thứ phơng trình (3.8) nhỏ ta cần lu ý số vùng lân cận Ngoài ra, đối xứng trạng thái ứng với vùng riêng biệt mà thành phần tổng giảm Rõ ràng đóng góp lớn vào lợng vùng liên kết với nhau, vùng có lợng khác không nhiều Ta đa vào khối lợng hiệu dụng mà từ biểu thức (3.8) chuyển thành: m m* (n) ij U ( n ) pi U (l ) U (l ) p j U ( n ) = ij + m l ( n ) (l ) (3.10) biểu thức qui tắc tổng Friedel Nó quan trọng xem xét tính chất quang lực dao động từ chuyển dịch vùng đợc xác định yếu tố ma trận P Nh vậy: Ta thấy hai vùng liên hệ với toán tử xung lợng yếu tố ma trận U ( n ) pi U (l ) có giá trị a Trong đó: a khoảng cách nguyên tử Nh vậy: m* + 22 ma m Trong cỡ 10 eV Nếu cỡ 0.2 eV ta nhận đợc khối lợng ma hiệu dụng cỡ 1% khối lợng điện tử tự không ngạc nhiên thấy bán dẫn điện tử nhiều trờng hợp biểu nh hạt có khối lợng nhỏ khối lợng thực điện tử nhiều Các kết ứng dụng cho kim loại đơn giản Giới hạn xem xét trạng thài gần k = ta tìm đợc phụ thuộc lợng vào k dới dạng (3.9) Ta sử dụng biểu thức để xây dựng Hamitonian hiệu dụng H ( k ) p = k = i nên (3.9) dẫn đến phơng trình tơng tự phơng trình Schodinger m ( * ) ij + = i 2m ij x y m xj t (3.11) phơng trình đợc giải xác cho trị riêng lợng (với k bé) hàm riêng Hàm sóng thực nhận đợc cách nhân với hàm 34 Bloch U k (n ) Nếu chuẩn hóa theo thể tích tinh thể U k (n ) chuẩn hóa theo thể tích ô mạng sở U ( n )* k (n) (3.12) U k d r = Vc Nếu nh có biến đổi chậm nguyên tử động học điện tử đợc mô tả phơng trình: m ( * ) ij + [ + U (r )] = i 2m ij x y m xj t Ngời ta dùng phơng trình (thay i (3.13) t ) để xét trạng thái phụ gia bán dẫn Việc thay phơng trình Schodinger thật phơng trình (3.13) đợc gọi phơng pháp khối lợng hiệu dụng Tiếp theo ta áp dụng phơng pháp khối lợng hiệu dụng vùng cụ thể bán dẫn Để làm điều trớc hết ta xét tốc độ hạt điện tử từ phơng trình Haniton: V =r= H ( p ) i ( k ) = = p p h k (3.14) từ ta tính gia tốc: (k ) (k ) hk (k ) V= = F = t h k h k h k t h k k (3.15) Trong sử dụng định luật Newton F = p Mặt khác so sánh phơng trình Newton thông thờng F = m V với (3.15) ta nhận đợc: 1 (k ) * = m m kk (3.16) Nh khối lợng điện tử tơng đơng với tenxơ nghịch đảo Sự tơng tác trờng điện tử với trờng tinh thể, trờng tuần hoàn, dẫn đến xuất vùng lợng mà hàm v thờng có dạng khác so với biểu thức lợng điện tử tự do: (k ) = 2k 2m (3.17) Ta xét số trờng hợp thờng gặp: a, Vùng dẫn c (k ) với cực tiểu điểm k = chọn lợng cực tiểu c (0) làm gốc tính lợng Quanh điểm cực tiểu với k bé, hàm 35 c (k ) hàm toàn phơng thành phần ki chuẩn xung lợng Dựa theo (3.10,16,17) ta viết lợng dới dạng: c (k ) = c (k ) k i k j ki k j (3.18) c (k ) Theo (3.9) ta có: * = m ij k i k j (3.19) k =0 k =0 Trong đó: * Tenxơ nghịch đảo Tenxơ mij đợc định nghĩa nh m ij sau: * m ij = ik m ij Khi (3.18) có dạng: (3.20) c (k ) = ( ) ij k i k j m* (3.21) Trong trờng hợp đặc biệt mà c (k ) đẳng hớng ta có: m * ij = ij m * (3.22) * = ik * m m ij (3.23) c (k ) = 2k 2m * (3.24) Hằng số m * gọi khối lợng hiệu dụng chuẩn hạt trờng hợp tổng quát c (k ) không đẳng hớng tenxơ m * ij tenxơ khối lợng hiệu dụng Bao chọn đợc ba trục vuông góc để tenxơ có dạng chéo: m * j = m * i ij (3.25) * = * ik m ij mi (3.26) theo hớng ta có khối lợng hiệu dụng m * i (i=1,2,3) Trong trờng hợp đẳng hớng mặt Fécmi mặt cầu không đẳn hớng mặt Fécmi thu đợc từ biến dạng mặt cầu cách thích hợp b, Vùng dẫn có cực tiểu k Do tính đối xứng tinh thể điểm khác đối xứng với k0 cực tiểu vùng dẫn Ta lại chọn gốc 36 tính lợng c (k ) Quanh k0 hàm c (k ) thờng hàm toàn phơng thành phần véctơ k - k0 ta có: c (k ) = c (k ) k i k j ( k k ) i (k k ) j (3.27) k =0 đa vào tenxơ khối lợng hiệu dụng m * ij mà nghịch đảo là: c (k ) = * m ij k i k j (3.28) k =0 Ta lại thu đợc: c (k ) = ( 1* ) ij (k k ) i (k k ) j m (3.29) c, Vùng hóa trị c (k ) với cực trị k = Ta chọn (0) = làm gốc tính lợng Nếu quanh điểm cực đại v (k ) có dạng toàn phơng theo thành phần k ta có công thức tơng tự (3.18) v (k ) = c (k ) k i k j (3.30) ki k j k =0 Tenxơ khối lợng hiệu dụng có dạng: v (k ) * = k i k j m ij Do v (k ) = (3.31) k =0 ( ) ij k i k j m* (3.32) Năng lợng lỗ trống: h (k ) = ( ) ij k i k j m* (3.33) Với m * ij tenxơ khối lợng lỗ trống Các hàm c (k ) h (k ) xác định lợng điện tử lỗ trống vùng lợng tơng ứng Khi nghiên cứu chuyển động lợng tử chuẩn hạt trờng ta tiến hành lợng tử hóa cách thay chuẫn xung lợng p=k toán tử i tác dụng lên hàm sóng chuẩn hạt Khi toán tử c( i ) h( i ) toán tử động giống nh i hạt tự Các phơng trình sóng lợng tử chuẩn 2m hạt vói toán tử động c( i ) h( i ) c(k) h(k) đợc 37 xác định qua tenxơ khối lợng hiệu dụng nh (3.21), (3.29) (3.33) đợc gọi phơng trình phép gần khối lợng hiệu dụng Thí dụ: Phơng trình schodinger điện tử vùng dẫn chuyển động trờng tĩnh điện với U(r) có dạng: [c( i ) + U(r)](r) = (r) (3.34) Nếu vùng dẫn có cực tiểu k = h(k) đợc xác định (3.23), phơng trình schoginger phép gần hiệu dụng là: * i j + U (r ) ( r ) = (r ) m ij (3.35) Trong giá trị mi* thờng khác xa khối lợng điện tử nh nêu Phơng pháp khối lợng hiệu dụng thờng đợc dùng nhiều nghiên cứu vật liệu bán dẫn 38 Kết luận Với mục đích đề tài đặt ra, kiến thức học giảng đờng qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu sách, tài liệu tham khảo với hớng dẫn tận tình thầy giáo Th.S NguyễnViết Lan, khóa luạn hoàn thành đạt số kết nh sau: - Trình bày đợc nội dung phơng pháp gần đúng, ứng với trạng thái điện tử vật rắn, xây dựng hàm Bloch định lý Bloch Nêu đợc u, nhợc điểm phơng pháp ứng dụng phơng pháp trạng thái điện tử cụ thể - Trình bày đợc ba phơng pháp gần tính vùng lợng Vận dụng ba phơng pháp gần giải tính toán cho vùng lợng vật rắn - Trên sở kết thu đợc phép gần đúng, trình bày đợc nhận xét từ tìm hiểu tính cấu trúc vùng lợng vật rắn Do tầm hiểu biết điều kiện để nghiên cứu có hạn không tránh khỏi mặt hạn chế: số lợng phơng pháp đa phơng pháp điển hình nhiều phơng pháp khác cần nghiên cứu khai thác thêm nhằm mục đích nghiên cứu sâu thêm lý thuyết vùng lợng vật rắn Kính mong nhận đợc góp ý chân thành thầy giáo, cô giáo đặc biệt đóng góp to lớn thầy giáo Nguyễn Viết Lan để dề tài khóa luận đợc hoann thiện 39 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thị Bảo Ngọc - Nguyễn Văn Nhã, Giáo trình vật lý chất rắn, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội 1997 [2] Nguyễn Thế Khôi - Nguyễn Hữu Mình, Vật lý chất rắn, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 1997 [3] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [4] Nguyễn Văn Hùng, Lý thuyết chất rắn, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nôi, 2000 [5] Đỗ Ngọc Uẩn, Giáo trình vật lý chất rắn đại cơng, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2003 [6] Nguyễn Văn Hiệu, Vật lý chất rắn đại cơng, Hà Nội,1997 [7] Phùng Hồ, Vật lý bán dẫn [8] Phạm Quý T - Đỗ Đình Thanh, Cơ học lợng tử, Nhà xuất Giáo dục, 1998 [9] Chasler kittel, Sơ yếu vật lý chất rắn, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà nội, Hà Nội 1970 40 [...]... đợc tính chất cấu trúc của các điện tử trong các vùng năng lợng 31 Chơng 3: tính chất của điện tử theo lý thuyết vùng 3.1 Phơng pháp k p và phơng pháp khối lợng hiệu dụng Ta có thể có nhiều phơng pháp tính vùng năng lợng cho bán dẫn, thế nhng trong lý thuyết bán dẫn thờng không có nhu cầu tính tất cả các vùng năng lợng phức tạp Thực tế ta chỉ cần quan tâm tới các trạng thái nằm trong giới hạn của các. .. của các điện tử vì vậy chỉ áp dụng khi động năng lớn hơn rất nhiều so với sự biến thiên trong không gian của thế năng V ( r ) Nó thích hợp với các bài toán kim loại - Phơng pháp gần đúng liên kết mạnh: áp dụng nghiên cứu đối với các điện tử nằm trên các lớp điện tử bên trong tinh thể Chơng 2: Các phơng pháp gần đúng tính vùng năng lợng 2.1 Phơng pháp sóng phẳng đã trực giao hóa Phơng pháp gần đúng. .. hớng k 1 thấp hơn mức năng lợng cao nhất ở vùng trong theo hớng k 2 Nh vậy xét chung cho tinh thể thì giữa vùng đợc phép ở dới và vùng đợc phép ở trên thì không có vùng cấm ngăn cách Bởi vì các vùng đợc phép theo các hớng khác nhau k là phủ lên nhau 1.4 Phép gần đúng điện tử liên kết mạnh 1.4.1 Cấu trúc vùng năng lợng trong gần đúng điện tử liên kết mạnh Trong phép gần đúng điện tử gần tự do, hàm sóng... các năng lợng bậc kBT tính từ biên của các vùng năng lợng Giá trị kBT chỉ cỡ 1/40 eV = 0.025 eV mà độ rộng vùng cầm là 1 eV cho nên chỉ cần tính các trạng thái cực trị của từng vùng và tính các bổ chính của năng lợng xuất hiện khi bị lệch khỏi trạng thái này, điều đó có thể thực hiện bằng phơng pháp k.p và phơng pháp khối lợng hiệu dụng Phơng pháp này rất thuận tiện để nghiên cứu cấu trúc vùng năng. .. là xác định hệ các số a 0 và alm sao cho đảm bảo điều kiện liên tục của hàm k (r ) tại r = r0 Nh vậy phơng pháp này cũng là sự kết hợp của 2 phép gần đúng điện tử gần tự do và điện tử liên kết chặt Tiểu kết: Trong chơng "Giới thiệu các phơng pháp tính gần đúng vùng năng lợng" ta đã đa ra 3 phơng pháp đã nêu ở trên và vận dụng 3 phơng pháp này chúng ta giải quyết về tính toán các vùng năng lợng của... thì độ rộng của vùng năng lợng là khá nhỏ (thí dụ nó bằng khoảng 2.10 -19 eV đối với các điện tử nằm trên lớp k(n=1)của nguyên tố Na) Khi đó gần đúng này có thể áp dụng đợc Giữa các vùng năng lợng đợc phép là các vùng cấm Nh vậy nói chung ta có bức tranh xen kẽ giữa các vùng đợc phép và vùng cấm, năng lợng càng cao (tức là đối với các điện tử càng nằm ở phía ngoài trong nguyên tử) thì vùng đợc phép càng... chơng này ta chỉ đa ra 3 phơng pháp gần đúng đã nêu ở trên để nghiên cứu các trạng thái của điện tử trong tinh thể ứng mỗi phơng pháp thì có u nhợc điểm riêng: - Phơng pháp gần đúng Hartree-Fox: áp dụng cho gần đúng một điện tử với cách giải đơn giản, tuy nhiên việc giải phơng trình Hartree-Fox lại hết sức phức tạp - Phơng pháp gần đúng điện tử gần tự do: áp dụng đối với các trờng hợp V ( r ) bé tác... vậy độ rộng vùng cấm phụ thuộc mạnh vào hớng Theo các hớng khác nhau sẽ có sự chồng lấn lên nhau (sự phủ) của các vùng năng lợng Chẳng hạn: Xét trong sơ đồ vùng năng lợng khai triển thì ở mỗi điểm trên vùng biên vùng Brillouin năng lợng ở vùng ngoài thì luôn lớn hơn năng lợng ở vùng trong Tuy nhiên nếu xét trong trờng hợp hai chiều, ba chiều, có thể xảy ra trên (h.9): năng lợng thấp nhất ở vùng ngoài... tìm năng lợng cần phải lấy tổng theo tất cả các vùng với k = 0, nhng đối với các vùng xa ( n ) 0 ( m ) 0 sẽ lớn nên thành phần thứ 3 của phơng trình (3.8) sẽ nhỏ do đó ta chỉ cần lu ý một số vùng lân cận Ngoài ra, do sự đối xứng của các trạng thái ứng với các vùng riêng biệt mà các thành phần trong tổng cũng giảm đi Rõ ràng đóng góp lớn nhất vào năng lợng là các vùng liên kết với nhau, các vùng. .. tranh E=E( k ) với k nằm trong vùng Brillouin thứ nhất ta đợc sơ đồ rút gọn c Sơ đồ vùng năng lợng tuần hoàn: Một vùng năng lợng nào đó lặp lại tuần hoàn trong tất cả các vùng Brillouin thứ nhất, thứ hai, , nghĩa là trong toàn bộ không gian đảo: Hình 8: Sơ đồ cấu trúc vùng năng lợng 1.3.2.3 Sự phụ thuộc vào hớng của bức tranh vùng năng lợng Nếu xét điện tử chuyển động theo các hớng khác nhau trong tinh ... pháp gần - Tính cấu trúc vùng lợng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu phơng pháp gần để đơn giản hoá phép tính toán Khi nghiên cứu cấu trúc vùng lợng chất rắn: Sử dụng phơng pháp gần tìm hiểu tính. .. từ ta tính đợc vùng lợng cụ thể nhờ phép gần với mục đích cuối tìm hiểu phơng pháp tính cấu trúc vùng lợng vật rắn Đối tợng nghiên cứu đề tài nghiên cứu phơng pháp gần đúng: Phơng pháp gần điện... phơng pháp gần tính vùng lợng Vận dụng ba phơng pháp gần giải tính toán cho vùng lợng vật rắn - Trên sở kết thu đợc phép gần đúng, trình bày đợc nhận xét từ tìm hiểu tính cấu trúc vùng lợng vật