Các phương pháp gần đúng tính cấu trúc vùng năng lượng

Mở đầu 1 Chương 1: Các trạng thái của điện tử trong vật rắn 3 1.1. Gần đúng một điện tử 3 1.1.1. Gần đúng Hartree Fox 4 1.1.2. Nhận xét 9 1.2. Hàm Bloch và định lý Bloch 8 1.3. Phép gần đúng điện tử liên kết yếu 10 1.3.1. Cấu trúc vùng năng lượng trong gần đúng liên kết yếu 10 1.3.2. Nhận xét sơ đồ vùng năng lượng 17 1.4. Phép gần đúng điện tử liên kết mạnh. 19 1.4.1. Cấu trúc vùng năng lượng trong gần đúng điện tử liên kết mạnh. 19 1.4.2. Một số nhận xét 23 1.4.3. Một số ví dụ minh họa 25 Chương 2: Một số phương pháp tính vùng năng lượng 28 2.1. Phương pháp sóng phẳng đã trực giao hoá 28 2.2. Phương pháp ô Wiger Seitz 29 2.3. Phương pháp sóng phẳng biến dạng (sóng nửa phẳng nửa cầu) 30 Chương 3: Tính chất của điện tử theo lý thuyết vùng 32 3.1. Phương pháp . và phương pháp khối lượng hiệu dụng 32 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA VẬT LÝ CÁC PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TÍNH CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH CỬ NHÂN KHOA HỌC VẬT LÝ CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ CHẤT RẮN Giáo viên hướng dẫn: THS NGUYỄN VIẾT LAN Sinh viên thực hiện: ĐINH THỊ CHUYÊN Lớp: 43E - Vật lý VINH - 2007 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Ths Nguyễn Viết Lan, người giao đề tài, tận tình hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ thời gian nghiên cứu hồn thành khố luận Tơi xin chân thành cảm thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lý trường Đại Học Vinh tận tình giảng dạy, dẫn đóng góp nhiều ý kiến q báu cho tơi suốt thời gian học tập trường Cuối xin cảm ơn bạn bè gia đình giúp đỡ, động viên góp nhiều ý kiến cho tơi q trình học tập hồn thành khố luận Vinh, tháng năm 2007 Đinh Thị Chuyên MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương 1: Các trạng thái điện tử vật rắn .3 1.1 Gần điện tử 1.1.1 Gần Hartree - Fox 1.1.2 Nhận xét .9 1.2 Hàm Bloch định lý Bloch 1.3 Phép gần điện tử liên kết yếu 10 1.3.1 Cấu trúc vùng lượng gần liên kết yếu .10 1.3.2 Nhận xét sơ đồ vùng lượng .17 1.4 Phép gần điện tử liên kết mạnh 19 1.4.1 Cấu trúc vùng lượng gần điện tử liên kết mạnh.19 1.4.2 Một số nhận xét 23 1.4.3 Một số ví dụ minh họa 25 Chương 2: Một số phương pháp tính vùng lượng 28 2.1 Phương pháp sóng phẳng trực giao hoá 28 2.2 Phương pháp ô Wiger - Seitz 29 2.3 Phương pháp sóng phẳng biến dạng (sóng nửa phẳng nửa cầu) 30 Chương 3: Tính chất điện tử theo lý thuyết vùng 32 → → 3.1 Phương pháp k p phương pháp khối lượng hiệu dụng 32 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong công cách mạng KHCN nay, ngành Vật Lý Chất Rắn đóng vai trò quan trọng Vật lý chất rắn tạo vật liệu cho ngành kỹ thuật mũi nhọn điện tử, CMT, du hành vũ trụ,năng lượng nguyên tử Vật lý chất rắn mơn học có từ lâu, từ có lý thuyết lượng tử tiến khoa học kỹ thuật có sở vững thu kết quan trọng mặt lý thuyết thực nghiệm Việc nghiên cứu tính chất điện tử tinh thể nhiệm vụ quan trọng VLCR Đó điện tử có khối lượng bé, có mạng điện tích (Ngun tố âm) hạt linh động tham gia vào nhiều tượng, quy định nhiều tính chất vật chất, vấn đề khó để mơ tả xác tính chất điện tử tinh thể cần phải xét hệ nhiều hạt tương tác với (electron, nguyên tử) số lượng hạt lớn bậc với số Avôgađrô.(tức cỡ 6.10 23) tính tốn ta phải lập giải hệ phương trình lớn đến mức máy tính mạnh khơng giải Vì cần tìm cách đơn giản hố phép tính toán cách sử dụng phép gần Do tính chất quan trọng phương pháp gần nghiên cứu tính chất vùng lượng nên tơi chọn đề tài “Các phương pháp gần - Tính cấu trúc vùng lượng” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu phương pháp gần để đơn giản hố phép tính tốn Khi nghiên cứu cấu trúc vùng lượng chác rắn: Sử dụng phương pháp gần tìm hiểu tính chất điện tử tinh thể từ ta tính vùng lượng cụ thể nhờ phép gần với mục đích cuối tìm hiểu tính cấu trúc vùng lượng vật rắn Đối tượng nghiên cứu Ở đề tài nghiên cứu phương pháp gần đúng: Phương pháp gần điện tử, phép gần Hartree-Fox, phép gần liên kết yếu, phép gần liên kết mạnh sử dụng phương pháp sóng phẳng trực giao, phương pháp Ơwiger-Setz, phương pháp sóng biến dạng để tính vùng → → lượng Nghiên cứu phương pháp k p phương pháp khối lượng nội dung, sử dụng để nghiên cứu tính chất điện tử theo lý thuyết vùng Giả thiết khoa học Nếu đề tài nghiên cứu thành cơng việc nghiên cứu cấu trúc vùng lượng chất rắn đon giản nhiều Khi dùng đến phương pháp gần đúng, với phương pháp đưa ta sử dụng phương pháp cụ thể để nghiên cứu chất rắn khác kim loại, điện môi hay bán dẫn Quan trọng nhờ phương pháp gần mà kết lý thuyết vùng lượng khơng dừng lại dự đốn giả thiết mà tính tốn cụ thể số liệu đối vớicác điện tử tinh thể vật rắn, ta biết tính chất cụ thể vật rắn áp dụng vào đời sống kỹ thuật Phương pháp nghiên cứu Dùng kiến thức toán học, vật lý đại cương, học lượng tử, vật lý chất rắn để nghiên cứu phương pháp gần Từ kết phép gần ta quay trở lại tìm hiểu cấu trúc vùng lượng chất rắn Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn phần Mở đầu Kết luận nội dung thức trình bầy chương: Chương I: Các trạng thái điện tử vật rắn Chương II: Một số phương pháp tính vùng lượng Chương III: Tính chất điện tử theo lý thuyết vùng CHƯƠNG 1: CÁC TRẠNG THÁI CỦA ĐIỆN TỬ TRONG VẬT RẮN 1.1 Gần điện tử Trong tinh thể vật rắn, nguyên tử cấu tạo nên tinh thể tương tác với Electron nguyên tử chịu tác động tương tác nguyên tử e lớp chịu ảnh hưởng nhiều e lớp Những e lớp lượng các(tức e - hoá trị) liên kết với nguyên tử yếu nên tinh thể tính chất chúng bị biến đổi rõ rệt so với nguyên tử lập nghiên cứu VLCR thường giới hạn việc khảo sát e- hoá trị theo cách coi mạng tinh thể cấu tạo từ lõi nguyên tử (gồm hạt nhân nguyên tử e- lớp bên mạng điện dương đặt nút) Đầu tiên ta giả thiết lõi nguyên tử đứng yên, với giả thiết ta xét chuyển động e - trường lực lõi nguyên tử đứng yên, xếp đặt tuần hoàn mạng tinh thể sau tiếp tục xét đến ảnh hưởng dao động mạng lên tính chất e - Tuy nhiên giả thiết tốn phức tạp ta phải xét 10 +23e- tương tác với bước đơn giản hoá sử dụng phép gần electron: theo cách ta giả thiết xét chuyển động e → hoá trị riêng rẽ Trường V( r ) đó, không phụ thuộc vào thân e- mà ta xét Trường gây tất e - lại với tất nguyên tử tinh thể đặc điểm quan trọng trường tính tuần hồn khơng gian: Nội dung phép gần là: Gần điện tử phương pháp tác động tất hạt nhân điện tử khác tinh thể lên điện tử xét đặc trưng tác động trung bình Vì ta cần xét trạng thái điẹn tử đủ để đại diện cho cho tất điện tử tinh thể Nói cách khác gần điện tử chia tinh thể thành thành phần để xét sau: Tinh thể = điện tử + phần lại Sau phân chia tinh thể dựa vào tính chất tuần hồn tịnh tiến tinh thể ta thấy mơ tả tác động trung bình tất hạt nhân điện tử khác lên điện tử xét phải thoả mãn điều kiện tuần hoàn tịnh tiến: → → → (1) V ( r + R) = V ( r ) Theo học lượng tử tốn tìm trạng thái điện tử tinh thể lý tưởng toán giải cách đơn giản phương trình Schorđinger tức tìm giá trị riêng lượng hàm sóng riêng ψ ( r ) điện tử thoả mãn phương trình: → → → → → → ∧ H ψ ( r ) = ( K + U )ψ ( r ) = E ψ ( r ) ⇔ Trong đó: [ → → → −2 ∇ + V ( r ) ]ψ ( r ) = E V ( r ) 2m → → (2) → V ( r + R ) = V ( r ) : e trường tuần hoàn → ψ ( r ) : hàm sóng e E: lượng Để giải phương trình (2) tìm giá trị riêng lượng hàm → sóng riêng ψ ( r ) ta cần tìm dạng biểu thức V( r ) Ở V( → → → → r ) có tính chất tuần hồn với chu kỳ R Mà để tìm V( r ) ta dùng tới phương pháp gần Hartree - Fox 1.1.1 Gần Hartree - Fox: Phương trình Schodinger điện tử: Muốn viết phương trình Schodinger điện tử ta phải thực chuyển hệ điện tử tương tác với thành hệ điện tử không tương tác Chúng ta xét điện tử thứ i nằm trường tất điện tử khác Giả sử nhờ nguồn bên ngồi tạo thời điểm, vị trí diện tử thứ i trường giống trường tất điện tử khác lại tạo nên Chúng ta ký hiệu điện tử thứ i trường Ω i Rõ ràng Ω i phụ thuộc vào toạ độ nguyên tử thứ → i; Ω i = Ω i (ri ) Trường tạo nên gọi trường tự hợp, cho phép ta biểu diễn lượng tương tác cặp tất điện → tử dạng tổng Ω i (ri ) : 8πε ∑ i≠ j e2 → → → ri − r j → ∑ Ω i (ri ) i Giả sử ta tìm trường tự hợp ta viết: ∧ He = ∑( i → ∧ 2 ∆ i ) + ∑ Ω i (ri ) + ∑ (∑ U iα ) = ∑ H 2m i i α i Trong đó:  H i = - 2m ∆ i + Ω i (ri ) + U i (ri ) ∧ → → → Ω i (r ) : điện tử thứ i trường điện tử i lại → U i (r ) : điện tử thứ i i Với Hamiltonian có dạng tổng ta tìm hàm sóng hệ điện tử dạng tích: → → → ψ e ( r , r , ) = ∏ (ψ i ( r i )) i Ei Với Ee = ∑ i Trong đó: ∧ (2.1) H i ψ i = E iψ i → Để tìm dạng Ω i (ri ) viết phương trình Schodinger hệ điện tử hai dạng: (1) → 2 ( − ∆ ) ψ + U ψ + U ( r H e ψ e = [ ∑ 2m i e ∑ ij e ∑ i i )ψ e ] = E eψ e i i≠ j i (2) H e ψ e = [ ∑ (− ∧ ∧ i (2.2) → → 2 ∆ i )ψ e + ∑ Ω i (ri )ψ e + ∑ U i (ri )ψ e ] = E eψ e (2.3) 2m i i → Từ hai phương trình ta xác định Ω i (ri ) viết: → Ω i (r ) = ∑ U ij i i≠ j → Bởi Ω i (ri ) phụ thuộc vào toạ độ điện tử thứ i ∑U ij i≠ j → phụ thuộc vào toạ độ tất điện tử để tìm Ω i (ri ) Chúng ta nhân phương trình (2.2) (2.3) với ψ e * từ bên trái tích phân theo toạ độ tất điện tử trừ phương trình cho ta có: → * * ψ [ U ] ψ d τ ψ [ Ω ( r e ∑ ij e e - ∫ e ∑ j i )]ψ e dτ e = 2∫ i≠ j i ∑ ∫ψ hay * e i → [Ω j (ri )]ψ e dτ e = ∑ ∫ψ e [ * i ∑U ij ]ψ e dτ e i≠ j Ở đây: dτ kí hiệu phần tử tích dxdydz = dτ → → → thay ψ e (r1 , r2 , ) = ∏ψ i (ri ) : dτ = dτ , dτ …, ta có: i ∑ ∫ψ * i → → * → → i = → → ∑ ∫ψ i≠ j → i → → → → ( ri ) [U ij (ri − r j )]ψ (r1 ) dτ dτ * ∑ ∫ψ 1*Ω j (ri )ψ i (ri )dτ i = ∑ ∫ψ i * [ i → ( r1 ) [Ω i (ri )]ψ (r1 ) dτ dτ = ∑ ∫ψ i (ri )[Ω i (ri )]ψ i (ri )dτ i → → → → * ψ ( r ) U ( r − r ) ψ ( r ∑ j j ij i j j j )dτ j ]ψ j dτ j i≠ j ∫ So sánh vế rút ra: Ω i (r ) = i → → ∑ ∫ ψ j (r j ) i≠ j e2 → → 4πε ri − r j dτ j (2.4) Thay (2.4) (2.1) ta phương trình mang tên Hartree:   → → e dτ → → → → → j  2  ψ (r ) + U (r , R , R , )ψ (r ) = E ψ − ∆ψ i (ri ) +  ∑ ψ i (r j ) → i i i i i i i i i≠ j 2m 4πε rij   (2.5) → → Như muốn tìm Ω i (ri ) ta phải biết tất hàm sóng ψ j (r j ) → → Nhưng để tìm ψ j (r j ) ta lại phải biết tất Ω i (ri ) Để giải tốn ta phải tính gần phương pháp lặp Đầu tiên ta lấy gần → → hàm bậc ψ (0) j (r j ) tính Ω ( 0) i (ri ) → → Theo (2.4) thay kết Ω ( 0) i (ri ) vào (2.5) ta tính ψ (1) j (r j ) nhờ kết → ta tính Ω (1) i (ri ) Q trình lặp lại gần thứ (n+1) trùng với gần thứ n giới hạn sai số cho trước 1.1.2 Nhận xét: Phương trình Hartree có nhược điểm lớn khơng tính đến ngun lý Pauli, ngun lí Pauli đòi hỏi hàm sóng điện tử pảhn đối xứng q trình hốn vị tính đến toạ độ hình chiếu Spincủa điện tử Tính dến ngun lý Pauli hàm sóng điện tử phải biểu diễn dạng địn thức Slater: → → ψ e ( q1 , q , ) = → → → → ψ (q1 ) ψ (q ) ψ (q1 ) ψ (q ) N! Trong đó: N: số điện tử → q i : ký hiệu bốn biến số xi, yi, zi, sz (sz biến số Spin) 10 + Đối với ki = ki - π (i=x,y,z) nhỏ, tức gần biên vùng Brillouin a E = EMax - ồa2k2 → Như đồ thị E = E( k ) tâm biên vùng Brillouin có dạng đường cong Parapol Và bị lệch khỏi đường Parapol sâu bên vung Brillouin b Mạng lập phương tâm (BBC): Một nút mạng có nút lân cận gần Nếu lấy nút mạng nằm tâm lập phương làm gốc, nút lân cận gần có tọa độ: E (k ) = −ε ∑ e → → i k Rn0 = −εe a ( ±i ± j ± k ) , a i (±kx ±k y ±kz ) n0 Trong dấu ± lấy độc lập + Tại k = EMin = -8ồ + Tại kx = a , kx=kz = năm điểm tương đương khác thì: EMax = +8ồ Khi độ rộng vùng lượng phép là: EMax - EMin = 16ồ c Mạng lập phương tâm diện (FCC) Một nút mạng có 12 nút lân cận gần nhất, với tọa độ a a a (±i ± j ); (± j ,± k ); (± k ,±i ) 2 Trong dấu ± lấy độc lập, đó: E ( k ) = 4ε (cos ak y ak y ak x ak ak ak cos + cos cos z + cos z cos x ) 2 2 2 + Tại k=0 EMin=-12ồ + Tại kx= 2π , ky=kz=0 EMax= +4 a Khi độ rộng vùng lượng phép là: EMax - EMin = 16ồ Tiểu kết: 31 Trong chương ta đưa phương pháp gần nêu để nghiên cứu trạng thái điện tử tinh thể Ứng phương pháp có ưu nhược điểm riêng: - Phương pháp gần Hartree-Fox: áp dụng cho gần điện tử với cách giải đơn giản, nhiên việc giải phương trình Hartree-Fox lại phức tạp - Phương pháp gần điện tử gần tự do: áp dụng đối ới trường → hợp V ( r ) bé tác động lên chuyển đọng tự điện tử áp dụng động lớn nhiều so với biến thiên không gian → V ( r ) Nó thích hợp với tốn kim loại - Phương pháp gần liên kết mạnh: áp dụng nghiên cứu điện tử nằm lớp điện tử bên tinh thể CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH VÙNG NĂNG LƯỢNG 2.1 Phương pháp sóng phẳng trực giao hóa Phương pháp gần điện tử gần tự hay gọi phương pháp sóng phẳng, dùng tổ hợp tuyến tính sóng phẳng làm lời giải Phương pháp có nhược điểm hội tụ chậm., lý thực hàm sóng điện tử vùng ngồi trực giao với hàm sóng điện tử bên sóng phẳng khơng có tính trực giao phải lấy tổng nhiều số hạng để tổng trực giao với hàm sóng bên Cách giải tiến: Thực trực giao hóa sóng phẳng hội tụ nhanh Việc tién hành sau: Trước hết từ hàm sóng điện tử lớp U j (r − R) lập tổ hợp thỏa mãn điều kiên Block ϕ ik (r ) = n r ∑ U j (r − R )e ikR R 32 Hàm sóng xây dựng đảm bảo tính chất: - Vì viết cho điện tử thuộc lớp nên đảm bảo khác khơng tong Wigner-Seitz - Nhưng thỏa mãn định lý Bloch ϕ ik (r + R ) = e ikRϕ ik (r ) Sau thiết lập sóng phẳng ψ k trực giao với ϕik (r ) đảm bảo thỏa mãn định lý Bloch Có thể chọn ψ k dạng sau: →→ ψk = ei k r Ω → − ∑ µ jk ϕ jk ( r ) j Chọn ψ k dạng hợp lý kết hợp tính chất: Tính phẳng tính nguyên tử Sau đòi hỏi ψ k phải trực giao với ϕ ik Tức đòi hỏi rằng: ∫ϕ ∗ jk (r )ψ k d r = ∫ϕ Ω ∗ ikr jk e d r − µ ik = Từ tính µik thay vào biểu thức để có ψ k 2.2 Phương pháp Ô wigner-Seitz Trong phương pháp người ta chia tinh thể thành Ơ wignerSeitz, biết hàmámóng biết tất khác Bài tốn trở nên đơn giản dùng phép gần sau: (1) Nói chung Ơ wigner-Seitz thường có hình dạng phức tạp (hình khối 12 mặt, 14 mặt,…) gần thứ thay Ơ wignerSeitz hình cầu tích tương đương (2) Gần thứ coi trường mà điện tử nằm nguyên tử tự tức coi có đối xứng cầu Nếu ta kết hợp hai phép gần lại với tốn tính mức lượng điện tử nguyên tử tự Vậy bầi toán khác với bầi tốn ngun tử tự chỗ khác điều kiện biên độ dùng tính chất hàm sóng tinh thể: 33 - Hàm sóng phải hàm Bloch: ψ (r + R) = e ikRψ (r ) - Hàm sóng phải có tính chất đối xứng gương: ψ (− x, y, z ) = ψ ( x, y, z ) (phản xạ gương) Hai tính chất kết hợp với cho điều kiện biên tinh thể ∂ψ là: ∂r =0 r = rs Trong rs bán kính hình cầu mà ta coi cách gần vùng Brillouin Bây ta chứng minh điều cho trường hợp: ψ k =o ( r ) = ψ o (r ) Thật Ơ winger-Seitz có mặt phẳng song song cách R Và điểm A B đối xứng mặt phẳng ta có: ψ k ( A) = e ikRψ k ( B ) Nếu xét hàm sóng với k=0 ψ o ( A) = ψ o ( B ) Nếu xét hàm sóng quanh điểm A B, cụ thể điểm cách A B khoảng cách vô bé Theo diều kiện hàm Bloch ta có: ψ o ( A' ) = ψ o (B ' ) Theo điều kiện đối xứng gương ta có: ψ o ( A ' ) = ψ o ( B" ) Tức ψ hàm mà tiến sang hai bên trái, phải đoạn Vô ∂ψ bé không thay đổi, đạo hàm phải 0: ∂x Đây điều kiện biên mà tay cần tìm A A' - a B" B B' 34 a x x= q 2s =0 Hình 2: Minh họa cách tìm điều kiện biên để tính vùng lượng phương pháp Ơ winger-Seitz 2.3 Phương pháp sóng phẳng biến dạng (sóng nửa phẳng nửa cầu) Trong phương pháp người ta cho có hình cầu bấn kính r nhỏ Ơwigner-Seitz mà: - Bên có đối xứng cầu (tức điện tử liên kết chặt với nguyên tử) làm cho hàm sóng điện tử đối xứng cầu - Ở bên ngồi tức điện tử hoàn toàn tự Nói tóm lại: Hàm sóng điện tử = sóng cầu(trong r0) + sóng phẳng (ngồi r0) Vấn đề chỗ phải kết hợp sóng cầu sóng phẳng cho hàm sóng liên tục biên hình cầu bán kính r0 để làm điều chọn hàm sóng có dạng sau: φ k (r ) = a oθ (r − r0 )e ikr + ∑ almθ (r − r0 )Ylm (θ , ϕ ) Rl ( r ) lm Trong đó:  r > r0 θ (r − r0 ) =  0 r < r0 Vấn đề lại xác định hệ số a alm cho đảm bảo điều kiện liên tục hàm φ k (r ) r = r0 Như phương pháp kết hợp phép gần điện tử gần tự điện tử liên kết chặt 35 Tiểu kết: Trong chương "Giới thiệu số phương pháp tính vùng lượng" ta đưa phương pháp nêu vận dụng phương pháp giải tính tốn vùng lượng vật rắn Từ ta biết tính chất cấu trúc điện tử vùng lượng 36 CHƯƠNG 3: TÍNH CHẤT CỦA ĐIỆN TỬ THEO LÝ THUYẾT VÙNG 3.1 Phương pháp k p phương pháp khối lượng hiệu dụng Ta có nhiều phương pháp tính vùng lượng cho bán dẫn, lý thuyết bán dẫn thường khơng có nhu cầu tính tát vùng lượng phức tạp Thực tế ta cần quan tâm tới trạng thái nằm giới hạn lượng bậc k BT tính từ biên vùng lượng Giá trị kBT cỡ 1/40 eV = 0.025 eV mà độ rộng vùng cầm eV cần tính trạng thái cực trị vùng tính bổ lượng xuất bị lệch khỏi trạng thái này, điều thực phương pháp k.p phương pháp khối lượng hiệu dụng Ta giải phương trình Strodinger: →   2 ∇ + V ( r )ψ k = ε kψ k −  2m  (3.1) Sử dụng hàm Bloch biến dạng: ψ k = U k e ikr (3.2) Thay (3.2) vào (3.1) ta nhận được: ( p +  k ) U k + U (r )U k = ε k U k (3.3) Xét trạng thái với k=0 thường điểm cực trị ε k (3.3) chuyển thành:  p2  +U r U k = ε k U k   2m  (3.4) Nghiệm (3.4) trạng thái Bloch với k = ứng với vùng lượng khác mà hàm riêng trị riêng tương ứng có dạng Uo(1) , Uo(2),… ồo(1) , ồo(2) ,… Như hàm ψ k =0 (n) = U ( n ) tạo hệ đầy đủ để phân tích hàm có tính tuần hồn phép tịnh tiến mạng có nghĩa ta sử 37 dụng U0(n) làm hệ sở để phân tích U k(n) với k ≠ thành chuỗi lý thuyết nhiễu loạn Bây ta xét trạng thái với k ≠ ta xem số hạng H1 = 2 k p 2m (3.5) (3.3) nhiễu loạn bậc k Thành phần nhiễu loạn bậc H =  2k 2m (3.6) Bây ta sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thơng thường bổ bậc có dạng:  k U (n) p U (n) m (3.7) Nếu tinh thể có tâm nghịch đẩo hàm U o(n) phân loại theo tính chẵn lẻ tâm hàm chẵn hay lẻ tích phân có cận cận mà có giá trị bổ bậc tính theo (3.7) bằn Nếu tinh thể khơng có tâm nghịc đảo thí dụ In8b, bbổ bậc khác điểm cực trị xe dịch khối điểm k = 0, (hình vẽ) Nếu giới hạn trường hợp điểm cực trị k = 0, nghĩa bổ bậc gần bậc lý thuyết nhiễu loạn lượng ta nhận biểu thức sau: ε (n) k = ε (n) + 2  k  + 2m m ∑ K U (n) p U (n) m ε (n) − ε (m) (3.8) Để tìm lượng cần phải lấy tổng theo tất vùng với k = 0, vùng xa ε ( n ) − ε ( m ) lớn nên thành phần thứ phương trình (3.8) nhỏ ta cần lưu ý số vùng lân cận Ngoài ra, đối xứng trạng thái ứng với vùng riêng biệt mà thành phần tổng giảm 38 Rõ ràng đóng góp lớn vào lượng vùng liên kết với nhau, vùng có lượng khác khơng nhiều Ta đưa vào khối lượng hiệu dụng mà từ biểu thức (3.8) chuyển thành: m m* (n) ij U ( n ) pi U (l ) U (l ) p j U ( n ) = δ ij + ∑ m l ε ( n ) − ε (l ) (3.10) biểu thức qui tắc tổng Friedel Nó quan trọng xem xét tính chất quang lực dao động từ chuyển dịch vùng xác định yếu tố ma trận P Như vậy: Ta thấy hai vùng liên hệ với tốn tử xung lượng (n) (l ) yếu tố ma trận U pi U có giá trị  a Trong đó: a khoảng cách nguyên tử Như vậy: Trong m 2 ≈ + m* ma ∆ε 2 cỡ 10 eV Nếu ∆ồ cỡ 0.2 eV ta nhận khối ma lượng hiệu dụng cỡ 1% khối lượng điện tử tự không ngạc nhiên thấy bán dẫn điện tử nhiều trường hợp biểu hạt có khối lượng nhỏ khối lượng thực điện tử nhiều Các kết ứng dụng cho kim loại đơn giản Giới hạn xem xét trạng thài gần k = ta tìm phụ thuộc lượng vào k dạng (3.9) Ta sử dụng biểu thức để xây dựng Hamitonian hiệu dụng H ( k ) p =  k = −i ∇ nên (3.9) dẫn đến phương trình tương tự phương trình Schodinger 2 ∂ m ∂ ∂ϕ − ( * ) ij + ε 0ϕ = i ∑ 2m ij ∂ x y m ∂ xj ∂t (3.11) phương trình giải xác cho trị riêng lượng (với k bé) hàm riêng Hàm sóng thực nhận cách nhân với 39 (n ) (n ) hàm Bloch U k Nếu chuẩn hóa theo thể tích tinh thể U k chuẩn hóa theo thể tích mạng sở ∫U ( n )* k (n) U k d r = Vc (3.12) Nếu có biến đổi chậm nguyên tử động học điện tử mơ tả phương trình: 2 ∂ m ∂ ∂ϕ − ( * ) ij + [ε + U (r )]ϕ = i ∑ 2m ij ∂ x y m ∂ xj ∂t Người ta dùng phương trình (thay i (3.13) ∂ϕ ồ) để xét ∂t trạng thái phụ gia bán dẫn Việc thay phương trình Schodinger thật phương trình (3.13) gọi phương pháp khối lượng hiệu dụng Tiếp theo ta áp dụng phương pháp khối lượng hiệu dụng vùng cụ thể bán dẫn Để làm điều trước hết ta xét tốc độ hạt điện tử từ phương trình Haniton: V =r= ∂H ∂ε ( p) i ∂ε (k ) = = ∂p ∂p  ∂k (3.14) từ ta tính gia tốc: ∂  ∂ε (k )  ∂  ∂ε (k )   ∂k ∂ ε (k ) V=  = F =   ∂t   ∂k   ∂k   ∂k  ∂t  ∂k∂k (3.15) Trong sử dụng định luật Newton F = p Mặt khác so sánh phương trình Newton thơng thường F = mV với (3.15) ta nhận được: 1 ∂ ε (k ) → * = m m  ∂k∂k (3.16) Như khối lượng điện tử tương đương với tenxơ nghịch đảo Sự tương tác trường điện tử với trường tinh thể, trường tuần hoàn, dẫn đến xuất vùng lượng mà hàm v thường có dạng khác so với biểu thức lượng điện tử tự do: ε (k ) =  2k 2m (3.17) Ta xét số trường hợp thường gặp: 40 a, Vùng dẫn ε c (k ) với cực tiểu điểm k = chọn lượng cực tiểu ε c (0) làm gốc tính lượng Quanh điểm cực tiểu với k bé, hàm ε c (k ) hàm toàn phương thành phần k i chuẩn xung lượng Dựa theo (3.10,16,17) ta viết lượng dạng: ε c (k ) = ∂ ε c (k ) ∂k i ∂k j ki k j (3.18) ∂ ε c (k )   Theo (3.9) ta có:  m *  =  ∂k ∂k   ij i j (3.19) k =0 k =0 Trong đó:    *  Tenxơ nghịch đảo Tenxơ mij định nghĩa  m ij sau:   ∗  *  m ij = δ ik  m  ij Khi (3.18) có dạng: (3.20) ε c (k ) = 2 ( ) ij k i k j m* (3.21) Trong trường hợp đặc biệt mà ε c (k ) đẳng hướng ta có: m * ij = δ ij m * (3.22)    *  = δ ik * m  m  ij (3.23) ε c (k ) =  2k 2m * (3.24) Hằng số m * gọi khối lượng hiệu dụng chuẩn hạt trường hợp tổng quát ε c (k ) không đẳng hướng tenxơ m * ij tenxơ khối lượng hiệu dụng Bao chọn ba trục vng góc để tenxơ có dạng chéo: m * j = m * i δ ij (3.25)    *  = * δ ik  m ij mi (3.26) 41 theo hướng ta có khối lượng hiệu dụng m * i (i=1,2,3) Trong trường hợp đẳng hướng mặt Fécmi mặt cầu khơng đẳn hướng mặt Fécmi thu từ biến dạng mặt cầu cách thích hợp b, Vùng dẫn có cực tiểu k0 ≠ Do tính đối xứng tinh thể điểm khác đối xứng với k0 cực tiểu vùng dẫn Ta lại chọn gốc tính lượng ε c (k ) Quanh k0 hàm ε c (k ) thường hàm toàn phương thành phần véctơ k - k0 ta có: ε c (k ) = ∂ ε c (k ) ∂k i ∂k j ( k − k ) i (k − k ) j (3.27) k =0 đưa vào tenxơ khối lượng hiệu dụng m * ij mà nghịch đảo là: ∂ ε c (k )   =  *  m  ij  ∂k i ∂k j Ta lại thu được: ε c (k ) = (3.28) k =0 2 ( ) ij (k − k ) i (k − k ) j m* (3.29) c, Vùng hóa trị ε c (k ) với cực trị k = Ta chọn ε (0) = làm góc tính lượng Nếu quanh điểm cực đại ε v (k ) có dạng tồn phương theo thành phần k ta có cơng thức tương tự (3.18) ε v (k ) = ∂ ε c (k ) ∂k i ∂k j ki k j (3.30) k =0 Tenxơ khối lượng hiệu dụng có dạng: ∂ ε v (k )    * =−  ∂k i ∂k j  m  ij Do ε v (k ) = − (3.31) k =0 2 ( ) ij k i k j m* (3.32) Năng lượng lỗ trống: 2 ε h (k ) = ( ) ij k i k j m* (3.33) Với m * ij tenxơ khối lượng lỗ trống 42 Các hàm ε c (k ) ε h (k ) xác định lượng điện tử lỗ trống vùng lượng tương ứng Khi nghiên cứu chuyển động lượng tử chuẩn hạt trường ta tiến hành lượng tử hóa cách thay chuẫn xung lượng p=ħk toán tử − i ∇ tác dụng lên hàm sóng chuẩn hạt Khi tốn tử ồc( − i ∇ ) ồh( − i ∇ ) toán tử động giống − i ∇ hạt tự Các phương trình sóng lượng tử 2m chuẩn hạt vói tốn tử động c( − i ∇ ) ồh( − i ∇ ) ồc(k) ồh(k) xác định qua tenxơ khối lượng hiệu dụng (3.21), (3.29) (3.33) gọi phương tình phép gần khối lượng hiệu dụng Thí dụ: Phương trình schodinger điện tử vùng dẫn chuyển động trường tĩnh điện với U(r) có dạng: [ồc( − i ∇ ) + U(r)]ỉ(r) =ồ ỉ(r) (3.34) Nếu vùng dẫn có cực tiểu k = h(k) xác định (3.23), phương trình schoginger phép gần hiệu dụng là:  2 −      *  ∇ i ∆ j + U (r )ψ ( r ) = εψ (r )  m  ij  (3.35) Trong giá trị mi* thường khác xa khối lượng điện tử nêu Phương pháp khối lượng hiệu dụng thường dùng nhiều nghiên cứu vật liệu bán dẫn 43 KẾT LUẬN Với mục đích đề tài đặt ra, kiến thức học giảng đường qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu sách, tài liệu tham khảo với hướng dẫn tận tình thầy giáo Th.S NguyễnViết Lan, khóa luạn hồn thành đạt số kết sau: Trình bày nội dung phương pháp gần đúng, xây dựng hàm Bloch định lý Bloch: Nêu ưu, nhược điểm phương pháp để từ vận dụng phương pháp trường hợp cụ thể vật rắn Trên sở kết phép gần trình bày nhạn xét từ tìm hiểu tính cấu trúc vùng lượng vật rắn: Tính chất điện tử tinh thể vật rắn Do tầm hiểu biết điều kiện để nghiên cứu có hạn không tránh khỏi mặt hạn chế: số lượng phương pháp đưa phương pháp điển hình nhiều phương pháp khác cần nghiên cứu khai thác thêm nhằm mục đích nghiên cứu sâu thêm lý thuyết vùng lượng vật rắn Kính mong nhận góp ý chân thành thầy giáo, cô giáo đặc biệt đóng góp to lớn thầy giáo Nguyễn Viết Lan để dề tài khóa luận hoann thiện 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Bảo Ngọc - Nguyễn Văn Nhã, Giáo trình vật lý chất rắn, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội 1997 [2] Nguyễn Thế Khơi - Nguyễn Hữu Mình, Vật lý chất rắn, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 1997 [3] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [4] Nguyễn Văn Hùng, Lý thuyết chất rắn, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nôi, 2000 [5] Đỗ Ngọc Uẩn, Giáo trình vật lý chất rắn đại cương, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2003 [6] Nguyễn Văn Hiệu, Vật lý chất rắn đại cương, Hà Nội,1997 [7] Phùng Hồ, Vật lý bán dẫn [8] Phạm Quý Tư - Đỗ Đình Thanh, Cơ học lượng tử, Nhà xuất Giáo dục, 1998 [9] Chasler kittel, Sơ yếu vật lý chất rắn, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà nội, Hà Nội 1970 45 ... tài Các phương pháp gần - Tính cấu trúc vùng lượng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu phương pháp gần để đơn giản hố phép tính tốn Khi nghiên cứu cấu trúc vùng lượng chác rắn: Sử dụng phương pháp. .. phương pháp gần đúng: Phương pháp gần điện tử, phép gần Hartree-Fox, phép gần liên kết yếu, phép gần liên kết mạnh sử dụng phương pháp sóng phẳng trực giao, phương pháp Ơwiger-Setz, phương pháp sóng... yếu 10 1.3.1 Cấu trúc vùng lượng gần liên kết yếu .10 1.3.2 Nhận xét sơ đồ vùng lượng .17 1.4 Phép gần điện tử liên kết mạnh 19 1.4.1 Cấu trúc vùng lượng gần điện tử liên kết