tìm hiểu lý thuyết mô hình hàng đợi và ví dụ

hàng một nguồn phục vụ với tỉ lệ tới Poisson và phân bố thời gian phục vụ hàm mũ, và với một số công việc không giới hạn trong hệ thống.M / M / 1 ∞Liên quan tới các biến cố ngẫu nhiên, c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Viện kinh tế và quản lý

-o0o -TIỂU LUẬN

ĐỀ TÀI: TÌM HIỂU LÝ THUYẾT

MÔ HÌNH HÀNG ĐỢI VÀ VÍ DỤ

Họ và tên học viên: Cao Đình Khang Lớp : QTKD3

Mã số : CB111106

Người hướng dẫn : T.S Đặng Vũ Tùng

HÀ NỘI - 2012

LÍ THUYẾT HÀNG ĐỢI

(1)Lí thuyết hàng đợi

Khi một khách hàng yêu cầu dịch vụ tới vùng phục vụ, nếu có sẵn nguồn phục vụ, thì khách hàng có thể nhận được dịch vụ ngay lập tức Nếu không, khách hàng phải đợi trong

hàng đợi

cho tới lượt mình để nhận dịch vụ.Việc hình thành hàng người có thể được quan sát rộng rãi trong thế giới thực, như tại máy trả tiền mặt trong ngân hàng, máy bán vé tại ga và hàng người trả tiền để ra khỏi siêu thị.Ví dụ khác là việc chăm nom y tế tại bệnh viện Bệnh nhân

có thể phải đợi trong phòng đợi cho tới khimình đến lượt được vào cho bác sĩ khám Nếu không có bệnh nhân đang chờ đợi nào khác, người đó có thể nhận được sự chăm sóc y tế ngay lập tức Nếu phòng đợi đông quá đầy bệnh nhân, người đó phải đợi một khoảng thời gian nào đó

(2) Kí pháp Kendall

Mô hình xếp hàng được biểu diễn theo qui ước bằng việc dùng kí pháp

Kendall

như sau A/B/C(D)A biểu diễn cho phân bố thời gian giữa những người tới, B là phân bố thời gian phục vụ, còn C là số các nguồn phục vụ song song D biểu diễn cho số công việc

có thể trong hệ thống.Mô hình xếp hàng nền tảng nhất "M/M/1(∞)" chỉ rõ mô hình xếp

hàng một nguồn phục vụ với tỉ lệ tới Poisson và phân bố thời gian phục vụ hàm mũ, và với một số công việc không giới hạn trong hệ thống.M / M / 1 (∞)Liên quan tới các biến cố ngẫu nhiên, các định lí sau đây là khá nổi tiếng.Số lần xuất hiện theo đơn vị thời gian tuân theo phân bố Poisson.Trong phân bố Poisson, trung bình=biến thiênThời gian giữa các lần xuất hiện tuân theo phân bố hàm mũ.Trong phân bố hàm mũ, (biến thiên)=(trung bình)2

Do đó, khi các giao tác tới một cách ngẫu nhiên, Số giao tác tới theo đơn vị thời gian tuân theo phân bố Poisson

Thời gian giữa các lần giao tác tới (thời gian giữa các lần tới) tuân theo phân bố hàm mũ

(3) Tỉ lệ tới trung bình (λ)

Tỉ lệ tới trung bình

chỉ ra "số kì vọng các giao tác tới theo đơn vị thời gian ", được biểu diễn bởi

"λ"(lambda).Thời gian tới trung bình có thể thu được bằng việc dùng biểu thức sau.Thời gian tới trung bình = 1 / Tỉ lệ tới trung bình = 1 /λ

Chẳng hạn, nếu có 4 lần tới được trông đợi trong một phút, Tỉ lệ tới trung bình (λ) = 4 lần giao tác tới trong một phútThời gian tới trung bình = 1/4 phút cho mỗi lần giao tác tới = 15 giây cho mỗi lần giao tác tớiTức là, về trung bình giao tác tới cứ sau mỗi 15 giây

(4) Tỉ lệ phục vụ trung bình (μ)

Tỉ lệ phục vụ trung bình

nghĩa là "số lượng trông đợi các giao tác được hoàn thành phục vụ theo đơn vị thời gian ", được biểu diễn bởi "μ"(mu).Thời gian phục vụ trung bình có thể thu được bằng việc dùng biểu thức sau.Thời gian phục vụ trung bình = 1 / Tỉ lệ phục vụ trung bình = 1 /μ

Chẳng hạn, nếu dịch vụ cho 5 giao tác có thể được hoàn tất trong mỗi phút,Tỉ lệ phục vụ trung bình (λ) = 5 giao tác một phútThời gian phục vụ trung bình = 1/5 phút cho mỗi giao tác = 12 giây cho mỗi giao tácTức là,về trung bình phải mất 12 giây để phục vụ một giao tác Nếu μ>λ

hay 1/μ< 1/λ.là đúng trong hệ thống xếp hàng, thì hệ thống này được gọi là trong "điều kiện trạng thái vững vàng "

(5) Cường độ lưu thông (ρ)

Cường độ lưu thông

biểu diễn cho "phân số trông đợi về thời gian các nguồn phục vụ riêng lẻ bận rộn",được kí hiệu bởi "ρ"(rho) Điều này có thể thu được bằng việc dùng biểu thức sau.Cường độ lưu thông (ρ) = Tỉ lệ tới trung bình / Tỉ lệ phục vụ trung bình =λ/μ= 1/μ/ 1/λ = Thời gian phục

vụ trung bình / Thời gian khoảng tới trung bình < 1Chẳng hạn, nếu có bốn khoảng tới giao tác trông đợi trong mỗi phút, và việc phục vụ cho 5 giao tác có thểđược hoàn thành trong một phút,Cường độ lưu thông (ρ) = 4/5 = 0.8→80%hay 12(sec) / 15(sec) = 0.8→80% Điều này nghĩa là từng nguồn phục vụ đều bận đến 80% thời gian.Cường độ lưu thông nên nhỏ hơn 100% Bởi vì khi nó bằng hay lớn hơn 100%, thì bao giờ cũng có giao tácchờ đợi

trong hàng đợi Do đó, trong trường hợp như vậy, những biện pháp nào đó (như phân bổ thêmnguồn phục vụ phụ) nên được tính tới để làm cho nó nhỏ hơn 100%

(6) Số giao tác trung bình trong hệ thống (L)

Số giao tác trung bình trong hệ thống

là "số trông đợi về các giao tác trong hệ thống xếp hàng, kể cảđang đợi phục vụ và hiện đang được phục vụ ", được kí hiệu là L Chúng ta có thể tính số này từ cường độ lưu thông ρ bằng việc dùng phương trình sau.Số giao tác trung bình trong hệ thống (L) = cường độ lưu thông / (1- cường độ lưu thông)=ρ/ (1-ρ)Chẳng hạn, nếu 4 giao tác xuất hiện trong một phút và 5 giao tác có thể nhận được phục vụ trong một phút,Số trung bình các giao tác trong

hệ thống (L) = 0.8 / (1-0.8) = 4 Điều này chỉ ra rằng về trung bình 4 giao tác đang trong hệ thống xếp hàng, chờ nhận được phục vụ

(7) Thời gian cần dùng trung bình cho giao tác trong hệ thống (W)

Thời gian cần dùng trung bình cho giao tác trong hệ thống

là "thời gian chờ đợi được trông đợi trong hệ thống (kể cả thời gian phục vụ)", được kí hiệu bởi W Số này có thể được tính từ số trung bình các giao táctrong hệ thống (L) và tỉ lệ tới trung bình (λ) (hay thời gian khoảng tới trung bình (1/λ)), bằng việc dùng đẳng thức sau: Thời gian cần dùng trung bình cho giao tác trong hệ thống (W)= số giao tác trung bình trong

hệ thống×(1 / tỉ lệ tới trung bình) = L×1 /λ = số giao tác trung bình trong hệ thống×thời

gian khoảng tới trung bình Chẳng hạn, nếu 4 giao tác xuất hiện trong một phút và 5 giao tác

có thể nhận được phục vụ trong một phút,Thời gian cần dùng trung bình cho giao tác trong

hệ thống (W) = 4×1/4 = 1 phút Điều này nghĩa là thời gian giữa việc giao tác tới và việc hoàn thành dịch vụ là trung bình một phút.Tồn tại đẳng thức khác cho việc tính thời gian cần dùng trung bình cho giao tác trong hệ thống (W) Đẳngthức sau tính W như tổng của thời gian phục vụ trung bình (1/μ) và thời gian trung bình cho giao tác tronghàng đợi (Wq) (T hời gian trung bình cho giao tác trong hàng đợi (Wq) sẽ được giới thiệu muộn hơn.)Thời gian cần dùng trung bình cho giao tác trong hệ thống (W)= thời gian trung bình cho giao tác trong hàng đợi + thời gian phục vụ trung bình = Wq+ 1/μ

(8) Số trung bình các giao tác trong hàng đợi (Lq)

Số trung bình các giao tác trong hàng đợi

là "chiều dài hàng đợi dự kiến (loại ra các giao tác đang được phục vụ)", được kí hiệu bởi Lq.Điều này được tính bằng phương trình sau, dùng số giao tác trung bình trong hệ thống (L) và cường độ lưuthông (ρ)

Số trung bình các giao tác trong hàng đợi (Lq)= số trung bình các giao tác trong hệ thống (L)×cường độ lưu thông (ρ)= (cường độ lưu thông) 2/ (1 - cường độ lưu thông) =ρ2/ (1-ρ)Chẳng hạn, nếu 4 giao tác xuất hiện trong một phút và 5 giao tác có thể nhận được phục

vụ trong một phút,số trung bình các giao tác trong hàng đợi (Lq) = 4×0.8 = 3.2hoặc 0.82/ (1 - 0.8) = 3.2Điều này chỉ ra rằng về trung bình 3.2 giao tác là trong hàng đợi, chờ được phục vụ

(9) Thời gian trung bình của giao tác trong hàng đợi (Wq)

Thời gian trung bình của giao tác trong hàng đợi

là "thời gian đợi dự kiến trong hàng đợi (trừ thời gian phục vụ)", được kí hiệu bởi Wq.Điều này có thể được tính từ số trung bình các giao tác trong hàng đợi (Lq

) và tỉ lệ tới trung bình (λ) (haythời gian khoảng tới trung bình (1/λ)), bằng việc dùng phương trình sau.Thời gian trung bình của giao tác trong hàng đợi (Wq)= số trung bình các giao tác trong hàng đợi×(1 /tỉ lệ tới trung bình) = Lq×1 /λ = số trung bình các giao tác trong hàng đợi×thời gian khoảng tới trung bìnhChẳng hạn, nếu 4 giao tác xuất hiện trong một phút và 5 giao tác có thể nhận được việc phục vụ trong một phút,Thời gian trung bình của giao tác trong hàng đợi (Wq)= 3.2[giao tác]×

(1[phút] / 4[giao tác]) = 0.8[phút] = 48[giây]Điều này chỉ ra rằng trung bình phải mất 48 giây đối với một giao tác tới thì nó mới nhận được việc phụcvụ.Dưới đây là các công thức cho lí thuyết hàng đợi có liên quan lẫn nhau.Tính ρ từ λ và μ

ρ=λ/μ

Tính L từ ρ

L =ρ/ (1-ρ)Tính W từ L W = L×(1/λ)Tính Lq từ L Lq= L×ρ

Tính Wq

từ Lq Wq= Lq×(1/λ)

Mỗi một trong các công thức trên đều có thể được áp dụng hoặc như nó hiện thế, hoặc sau khi biến đổi (?).Bạn hãy chọn lấy một công thức phù hợp nhất cho vấn đề cần được giải quyết

(10) Xác suất có đích xác n giao tác trong hệ thống (Pn)

Xác suất có đích xác n

giao tác trong hệ thống

là xác suất có đích xác n

giao tác trong hệ thống (kể cảcác giao tác giữa các nguồn phục vụ) Số này được kí hiệu bởi Pn.Số này có thể được tính từ cường độ lưu thông (ρ) bằng việc dùng phương trình sau.Xác

suất có đích xác n

giao tác trong hệ thống (Pn)= (tỉ lệ phục vụ trung bình) n ×

(1- tỉ lệ phục vụ trung bình) =ρn(1-ρ)Chẳng hạn, nếu 4 giao tác xuất hiện trong một phút và

5 giao tác có thể nhận được phục vụ trong một phút,thì các khả năng có đúng 0 /1 / 2 giao tác

là 0 giao tác tức là n=0 P0= 0.80(1-0.8) = 0.21 giao tác tức là n=1

P1= 0.81(1-0.8) = 0.162 giao tác tức là n=2

P2= 0.82(1-0.8) = 0.128Kết quả trên chỉ ra rằng:Xác suất không có giao tác nào trong hệ thống = 20%Xác suất có đúng một giao tác trong hệ thống = 16.0%Xác suất có đúng hai giao tác trong hệ thống = 12.8%

VÍ DỤ HÀNG ĐỢI Ở BỆNH VIỆN

Ta hãy xem ví dụ dưới đây Bệnh nhân phải đợi bao lâu để được bác sĩ khám bệnh? Câuhỏi này được giải quyết bằng việc tính tới các nhân tố như mất bao lâu để bác sĩ khám cho một bệnh nhân,có bao nhiêu bệnh nhân đang đợi ở đó trong phòng đợi v.v Trong trường hợp thời gian chờ đợi quá lâu, bệnh viện nên có hành động nào đó như tăng số bác sĩ Tuynhiên, bệnh viện có thể không chắc liệu việc tăng số bác sĩ có là giải pháp hiệu quả nhất không cho vấn đềnày Bởi vì thời gian cần để khám cho một bệnh nhân có thể thay đổi tuỳ theo triệu chứng của bệnh nhân,và sự đông đúc của phòng đợi có thể thay đổi theo thời gian Lí thuyết xếp hàng có thể được dùng để xây dựng mô hình mô tả cho tình huống dòng chờ đợi Nó cungcấp thông tin sống còn cần thiết khi giải quyết vấn đề như "bệnh nhân phải chờ đợi bao lâu trước khi đượckhám ", "hàng đợi dài bao nhiêu?" v.v

Hàng đợi ở bệnh viện

Trong cấu trúc dữ liệu máy tính, dòng người đợi này được gọi là "hàng đợi" Một tính năng chủ chốt củahàng đợi là ở chỗ các khoản mục trong hàng đợi được xử lí cái nọ tiếp cái kia sao cho phần tử được lưu giữ đầu tiên là phần tử được lấy ra đầu tiên Việc xử lí dữ liệu này được gọi là FIFO (First-In First-Out Vàotrước ra trước).Cấu trúc dữ liệu này có thể được biểu diễn theo biểu đồ như trong hình dưới đây

Cấu trúc dữ liệu trong hàng đợi

Các bệnh nhân trong hệ thống đợi Bệnh nhân đang được kiểm tra Bệnh nhân x hàng khám trong phòng đợi Bệnh nhân đã khám xong Bác sĩ

Phục vụ Hàng đợi được mô tả bởi hai điểm Yếu tố cuối cùng trong hàng đợiYếu tố đầu tiên trong hàngCác giao tácđang đợiGiao tácđang đượcphục vụ

Số công việc không giới hạn trong hệ thống

Cho

Điều sau đây chỉ ra cách thao tác các khoản mục trong cấu trúc dữ liệu này.1 Phục vụ giao tác thứ "P1"

2 Khi việc trên được hoàn tất, P1+1→P1

3 Khi giao tác mới tới, P2+1→P2

4 Giao tác mới là ở vị trí thứ "P2"Mô hình hàng đợi bao gồm những điều sau

Số lần tới của giao tác (khách hàng) theo đơn vị thời gian

Thời gian phục vụ theo giao tác

 Số các nguồn phục vụ song song trong hệ thống xếp hàng

 Số các giao tác có thể trong hệ thốngMột cách tự nhiên, chiều dài hàng đợi (tức là số các khách hàng đợi phục vụ) thay đổi tùy theo khoảng thờigian tới của giao tác (hay số giao tác tới theo đơn vị thời gian), thời gian phục vụ và số lượng nguồn phụcvụ.Lưu ý rằng các giả định sau được thực hiện trong hệ thống xếp hàng

 Không giao tác nào trong hàng đợi bị cắt bỏ

 Không giao tác tới nào bị bác bỏ, bất kể tới chiều dài hàng đợiDùng các giả định trên, việc

xử lí trong hệ thống xếp hàng là dựa trên FIFO và 'thời gian không thực " (tứclà một giao tác phải đợi cho tới khi phục vụ sẵn có)