Giáo trình và bài tập ví dụ về môn phương pháp tính cùng 1 số cách bấm máy tính fx570 ES 2

Ở khía cạnh khác, các hệ số của f x trong nhiều trường hợp cũng chỉ là các số gần đúng hoặc nghiệm của     f x là một biểu thức rất phức tạp, cho nên vấn đề giải đúng phương trình *

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN -

BÀI GIẢNG

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

GV: HUỲNH HỮU DINH

TP HỒ CHÍ MINH 2/2011

Định nghĩa 0.1.1: Giả sử A là số đúng, a là số gần đúng của A (trong trường hợp A là số

vô tỷ như số e hay số  hoặc số hữu tỷ với phần thập phân vô hạn tuần hoàn như số 1

Rõ ràng ta có:

a   A    hoặc A a    a

Nếu A không phải là số có hữu hạn chữ số thì lẽ đương nhiên ta cần a là số có hữu hạn chữ

số và khi đó  sẽ có cùng dạng với A Chẳng hạn, lấy A ;a  3,14 thì  0, 0015926

Định nghĩa 0.1.2: Sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a là số không nhỏ hơn sai số tuyệt

đối của a

Kí hiệu sai số tuyệt đối giới hạn là  thì: a    a

Theo định nghĩa này thì sai số tuyệt đối giới hạn không là đơn trị

Từ định nghĩa ta suy ra

a  A   a

Trong thực tế, người ta thường chọn sai số tuyệt đối giới hạn  là số nhỏ nhất có thể trong a

các sai số tuyệt đối giới hạn, và qui ước viết:

a

A   a

Định nghĩa 0.1.3: Sai số tương đối giới hạn của số xấp xỉ a , kí hiệu là  , là số không nhỏ a

hơn sai số tương đối giới hạn của a

Nhưng trong thực tế ta không biết được chính xác giá trị A và vì a là số xấp xỉ của A nên

người ta thường dùng công thức:

   nên a có năm chữ số tin cậy với số cuối cùng đã được làm tròn

Với số A và a nói trong mục 0.2, ta sẽ thấy

1

n m

a s

n a

Ta chọn n 4, nghĩa là phải lấy bốn chữ số thập phân, do đó 329  3, 072

Đôi khi người ta nói số a nào đó có q chữ số đáng tin cậy sau dấu phẩy, hàm ý rằng q chữ số

phần thập phân là đáng tin cậy Khi đó đương nhiên tất cả các chữ số phần nguyên của số a cũng là tin cây Giả sử số a cũng có p chữ số phần nguyên Khi đó ta có: m   và n p 1   Khi đó p q

ta được

0, 5.10 q a

Ta có qui tắc cộng các số có sai số tuyệt đối khác nhau như sau:

Giữ nguyên các số hạng có số chữ số sau dấu phẩy là ít nhất;

Các số hạng khác làm tròn đến một hoặc hai số sau dấu phẩy nhiều hơn các số hạng đã chọn ở bước trên

Cộng tất cả các số còn lại với nhau rồi làm tròn tổng, bớt đi một chữ số thập phân

Liên quan đến  , trong trường hợp u x cùng dấu thì có thể thấy: i

 1 2 

max , , , n

x x  Hơn thế nữa, trên các máy tính có độ chính xác không đủ cao, u sẽ được đặt bằng

không Trong trường hợp như thế ta cần tránh phép trừ trực tiếp mà thay nó bằng một phép tính tương đương Chẳng hạn, ta muốn tính hiệu số u 10 99, 99  0, 0005000125 ta phải lấy căn của

99, 99 tới 10 chữ số thập phân

0.4.3 Sai số của phép nhân

Xét tích số u x x1 2 x n với x  Giả sử i 0 x i 0,i1,n Khi đó ta có

 Giả thiết rằng hai số đều dương Khi đó ta có:

lnu  lnx lnx

Lí luận như trên, ta nhận được

  

0.4.5 Sai số trong trường hợp tổng quát

Giả sử ta có mối quan hệ u  f x x 1, ,2 x n, trong đó các sai số tuyệt đối  đã cho Ta cần x i

đánh giá sai số tuyệt đối  qua các u  Coi các x i  là các đại lượng nhỏ, ta có thể dùng công x i

cm V

Lại xét mối quan hệ tổng quát u f x x 1, ,2 x n Giả sử cho trước  Ta cần xác định các u

i

x

 để đảm bảo có được  như đã cho u

Ta có một biểu thức (3) lấy làm phương trình để xác định các  nên lời giải không phải là x iduy nhất Vì vậy chúng ta sẽ xét ba trường hợp cụ thể, có ý nghĩa ứng dụng thực tế:

Trường hợp 1: Giả thiết rằng   x i x i j;  j i j; , 1,n Khi đó từ (3) ta dễ dàng có:

i

u n x

Một hình trụ có bán kính đáy r 2m, chiều cao h  3m Cần xác định sai số của r và

h để sai số tuyệt đối giới hạn của thể tích là 0,1m 3

V

V r



Tương tự, ta tính được  h 0, 0027m;  0, 0028m

Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT

Bài 1 MỞ ĐẦU

Trong mục này, ta tìm hiểu những phương pháp giải một số phương trình đại số dạng:

f x  (*), với f x là một hàm phi tuyến  

Phương trình trên, trừ một vài trường hợp đặc biệt, có công thức giải đúng, còn nói chung không có công thức giải đúng (các công trình của nhà Toán học Abel đã khẳng định điều đó) Ở khía cạnh khác, các hệ số của f x trong nhiều trường hợp cũng chỉ là các số gần đúng hoặc nghiệm của  

 

f x là một biểu thức rất phức tạp, cho nên vấn đề giải đúng phương trình (*) cũng không thật sự

cần thiết Do đó, chúng ta cần quan tâm đến những phương pháp giải gần đúng, nhất là những phương pháp có thể dùng máy tính hỗ trợ

Để giải gần đúng phương trình (*), ta tiến hành các bước sau:

Thứ nhất là tách nghiệm, nghĩa là tìm một khoảng a b đủ nhỏ sao cho phương trình (*) có , nghiệm duy nhất x* a b, 

Thứ hai là chính xác hóa nghiệm gần đúng đến độ chính xác cần thiết

Cơ sở để tách nghiệm là những kết quả sau đây mà bạn có thể bắt gặp ở tất cả các cuốn sách

về Giải tích

Định lí 1.1.1 Giả sử f x liên tục trên   a b và ,  f a f b  Khi đó phương trình     0

f x  tồn tại ít nhất một nghiệm trong khoảng a b , 

Định lí 1.1.2 Nếu f x liên tục trên   a b và ,  f a f b  , hơn nữa, hàm số     0 f x có đạo  

hàm f x  liên tục trên đoạn a b và ,  f x  không đổi dấu trên a b thì nghiệm nói trên là duy , 

nhất

Bước tách (li) nghiệm thường được tiến hành nhờ phương pháp chia đôi hoặc phương pháp đồ thị

Nguyên tắc thực hiện phương pháp chia đôi như sau:

Xác định f a f b  , sau đó chia đôi đoạn     0 a b và gọi ,  a b là một trong hai nữa ở trên 1, 1

sao cho f a f b  Lại chia đôi đoạn    1 1 0 a b và gọi 1, 1 a b là một trong hai đoạn con mà 2, 2

cả phương pháp được nêu chúng ta đều có thể lập trình bằng ngôn ngữ Matlab hoặc Fortran Nhưng trong phạm vi bài giảng này, chúng ta sẽ bỏ qua hai phương pháp Muller và Laguerre Phương pháp Muller cần sử dụng công cụ số phức còn phương pháp Laguerre thì cơ sở toán học chưa thật chặt chẽ Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng nội dung cụ thể

Bài 2 PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

Tiếp theo, ta tìm hiểu một số điều kiện để dãy  x n n 0, hội tụ

Định lí 1.2.1 Giả sử hàm số y  x khả vi liên tục trên a b và với mọi ,  x a b,  thì

 x a b, 

  Khi đó, nếu ta có  x   với mọi L 1 x a b,  thì dãy số  x n n 0, được xây

dựng bởi hệ thức x n1  x n ,  hội tụ đến nghiệm n 0 x của phương trình * f x  và ta có   0

các ước lượng

0

n n

Nhận xét: Phương pháp lặp đơn có tính chất tự điều chỉnh, nghĩa là nếu tại một vài bước tính

toán trung gian ta mắc phải sai số thì dãy  x n n 0, vẫn hội tụ đến x , tất nhiên chỉ một vài bước sai *

và sai số mắc phải không vượt ra ngoài đoạn

Một tính chất đặc biệt của phép lặp này là có thể đánh giá ngay từ đầu số bước lặp mà ta cần phải làm để có được độ chính xác theo yêu cầu Thật vậy, từ biểu thức

*

1

n n

nếu ta muốn có nghiệm gần đúng với sai số  thì ta sẽ dừng lại ở bước lặp thứ n sao cho:

Từ định lí 1.2.1 cho thấy, nếu L càng nhỏ thì tốc độ hội tụ càng nhanh, và tốc độ hội tụ của

phương pháp này rất chậm khi L càng gần 1

Trên đây ta nhắc đến việc chuyển từ (*) sang dạng tương đương (**) sao cho điều kiện

' x L 1, x a b;

     được thỏa mãn Về vấn đề này có mấy nhận xét sau:

Giả sử 0m  f x' M (với trường hợp M f x' m  ta làm tương tự) 0 Ta có thể chuyển từ (*) sang dạng tương đương sau:

   

x  x  f x  x với 1

M

  (***) Rõ ràng ta có:

Do đó phép lặp được xây dựng trên (***) sẽ hội tụ đến nghiệm cần tìm

Ví dụ: Tìm nghiệm lớn nhất của phương trình

, ta có thể coi x* x3

Bài 3 PHƯƠNG PHÁP NEWTON (PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN)

Trong mục này, ta xét lại phương trình f x    0

Giả sử rằng ta đã tìm được một khoảng li nghiệm của phương trình trên là khoảng a b , đồng , thời f x f ,  x liên tục và không đổi dấu trên đoạn a b Khi đó, với ,  x là xấp xỉ ban đầu được 0

chọn, ta xây dựng dãy  x n n 0, theo công thức:

f x f  x liên tục và không đổi đấu trên đoạn a b , với ,  x0 a b,  sao cho f x 0 f x0  0

( x ,được gọi là điểm Fourier, thường được chọn là một trong hai đầu mút a hoặc b) Khi đó dãy 0

 x n n 0, xây dựng như trên hội tụ đến nghiệm x của phương trình * f x  và ta có ước lượng   0

Nhận xét: Nếu như việc tính toán f x  tại mỗi điểm quá phức tạp và ta thấy f x  không

thay đổi lớn thì ta thay dãy xấp xỉ ở trên như dãy dưới đây, thường được gọi là phương pháp Newton cải tiến:

Bài 4 PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG (THAM KHẢO)

Trong mục này, ta phương trình f x    0

Giả sử rằng ta đã tìm được một khoảng li nghiệm của phương trình trên là khoảng a b , đồng , 

thời f x f ,  x liên tục và không đổi dấu trên đoạn a b Không giảm tổng quát, ta giả sử , 

Định lý 1.4.1: Nếu phương trình f x  có   0 a b là khoảng li nghiệm, đồng thời ,  f x  liên

tục và không đổi đấu trên đoạn a b , ,  f x  liên tục và dương trên đoạn a b Khi đó dãy ,   x n n 0,xây dựng như trên hội tụ đến nghiệm x của phương trình * f x  và ta có ước lượng   0

   

0m  f x M x,  a b,

Ví dụ:

Giải phương trình x3 x2    bằng phương pháp dây cung biết khoảng li nghiệm là x 1 0

0,1 với sai số không quá  10 3

Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

 là ma trận hệ số, b   là vector cột hệ số tự do cho trước, m x   là n

vector cột phải tìm, thì hệ trên có thể được viết dưới dạng

Ax  b

Về phương diện lí thuyết, hệ phương trình trên có thể giải bằng công thức Cramer trong

trường hợp m  và detn A  Cụ thể hơn, ta có: 0

detdet

j j

A x

A

Trong đó A là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ j của A bằng ma trận cột hệ số tự do j

b Tuy nhiên, ý nghĩa sử dụng thực tế công thức này chỉ có đối với n đủ nhỏ n 2,n  3, vì khi

n đủ lớn thì chỉ riêng phép tính nhân đã tăng lên mức  n1n1n! (tại sao ?), đến nỗi chỉ cần một hệ phương trình có 30 ẩn đã mất 378.080 tỉ năm để tính nghiệm theo công thức trên bằng máy tính có tốc độ 20 ngàn tỷ/giây Nhưng quan trọng hơn là sau gần 400 ngàn tỷ năm ta nhận được một lời giải không phải là nghiệm của hệ đó nữa, đơn giản là vì phép tính quá lớn nên chỉ riêng sai số làm tròn số đã cho ta một kết quả chẳng liên quan gì đến hệ phương trình đã cho Ví dụ này có lẽ đủ nói lên tầm quan trọng của phương pháp số

Nếu detA  thì ta nói hệ phương trình gần như suy biến Khi đó việc làm tròn số trong quá 0trình tính nghiệm, dù bằng phương pháp tốt nhất hiện có, cũng dễ dẫn đến hệ suy biến và làm ta không thể nhận được lời giải mà đáng lẽ ra chúng phải tồn tại Nói chung, có thể chỉ ra rằng, nếu ta lấy đại lượng:

 

1 0

0

sup inf

x x

làm đặc trưng cho ma trận A thì hệ phương trình với cond A lớn được gọi là hệ có thể trạng yếu sẽ  

rất nhạy cảm với những thay đổi của vế phải, dù là rất nhỏ, nghĩa là thay đổi về nghiệm sẽ rất lớn dù rằng thay đổi vế phải rất nhỏ (như làm tròn số) Ta sẽ làm rõ điều này bằng những phân tích sau đây Giả sử x là nghiệm của hệ phương trình Ax*  , b x** x*   là nghiệm của hệ phương x*

Ước lượng trên chứng tỏ sai số tương đối của nghiệm có thể bằng tích của cond A với sai số  

ở vế phải Từ đó suy ra rằng với ma trận A thể trạng yếu thì nghiệm của nó thay đổi nhiều so với

những thay đổi nhỏ ở hệ số và các hạng số tự do Như vây, giải hệ phương trình tuyến tính thể trạng yếu là bài toán khó của toán học tính toán

Các phương pháp giải hệ có thể phân làm hai nhóm chính: nhóm các phương pháp trực tiếp và nhóm các phương pháp lặp Đối với các phương pháp trực tiếp thì số các phép toán có thể dự đoán trước được, còn đối với phương pháp lặp thì nói chung không thể dự đoán trước được số lần cần lặp

để có được nghiệm xấp xỉ với sai số mong muốn Các phương pháp lặp thường được sử dụng đối với

hệ có số ẩn và số phương trình lớn, hệ gần suy biến hay thể trạng yếu Sau đây, ta sẽ đi vào một số phương pháp thông dụng để giải hệ phương trình

Bài 2 PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS

Tư tưởng của phương pháp Gauss là đưa hệ phương trình Ax  về dạng tam giác hoặc dạng b

hình thang, lúc đó nghiệm tìm được nhờ quá trình thế ngược Cụ thể hơn ta sẽ dùng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình:

Không mất tổng quát, chúng ta luôn giả thuyết a  Để ma trận A có dạng tam giác hoặc 11 0

là hình thang, đầu tiên, chúng ta làm cho các phần tử ở cột thứ nhất, dòng thứ hai trở đi biến thành 0 bằng cách nhân dòng một với 1

11

i

a a

 rồi cộng vào dòng i i 2, 3, m, sau m  phép biến đổi như 1vậy chúng ta thu được hệ phương trình tương đương

Ở đây, ta còn nói “ khử ẩn x ” , tiếp theo bằng cách tương tự chúng ta “khử ẩn 1 x ” từ phương 2

trình thứ ba trở đi đối với hệ (*) Sau đó, ta lại “ khử ẩn x ” từ phương trình thứ tư trở đi (nếu có)… 3

Quá trình khử ẩn ở trên là quá trình lặp, sau hữu hạn bước biến đổi quá trình sẽ dừng lại ở một trong các trường hợp sau:

1 Hệ nhận được có dạng tam giác (hệ có duy nhất nghiệm) hay ma trận A có dạng tam giác

2 Hệ nhận được có dạng bậc thang (hệ có vô số nghiệm) hay ma trận hệ số có dạng bậc thang

3 Trong hệ xuất hiện phương trình có dạng

1 2

0x 0x   0x n  với b b  0Khi đó hệ vô nghiệm

Chú ý:

1 Trong quá trình biến đổi trong hệ xuất hiện phương trình dạng

0x 0x   0x n  0Khi đó, chúng ta có thể loại bỏ phương trình này ra khỏi hệ phương trình

2 Về mặt thực hành, để giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử ẩn liên tiếp, ta làm như sau:

Xác định ma trận hệ số mở rộng AA b| 

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biến đổi sao cho ma trận hệ số A

chuyện thành dạng tam giác hoặc bậc thang

Giải hệ phương trình bằng quá trình ngược

Bài 2 PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ (DECOMPOSITION METHOD)

Xét lại phương trình Ax  với A là ma trận vuông cấp n Giả sử ma trận A có thể biểu b

diễn dưới dạng ALU trong đó

Vấn đề giải hệ phương trình trên rất đơn giản, đầu tiên là giải hệ Ly  để tìm y , sau đó với b

y vừa tìm được, ta giải hệ Ux  y

Trường hợp riêng :

a Giải hệ bằng phương pháp Crout

Với phương pháp Crout thì ta cho u ii 1,i 1,n, từ đó tìm các phần tử còn lại của ma trận

1 1 11

, 1, 2, ,, 2, 3, ,

j j

1 1

Phương pháp Choleski là phương pháp phân rã ma trận đối xứng xác định dương Với một ma trận đối xứng xác định dương bất kì ta luôn có sự phân rã duy nhất

1 1 11 1 2 1 1 1

, 2, 3, ,

, 2, 3, ,1

, 2, 3, , ; 1, 2, ,

j j

i

k i

k ii

với L là ma trận tam giác dưới

Mở rộng: Phương pháp Choleski cũng là một phương pháp hữu hiệu để tìm ma trận nghich

đảo của một ma trận đối xứng A cho trước Thật vậy, nếu AU U T thì

  1   1  

A  U U  U U  U U với U là một ma trận tam giác trên Vì U là một ma

trận tam giác trên nên U1

cũng là một ma trận tam giác Ta giả sử 1  

ij

U   , ta dễ dàng tính được các phần tử của U1

ii ii j

k i ii ij

Bài 3 PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

2.3.1 Phương pháp: Trong  người ta thường xét hai chuẩn quen thuộc sau: n

1

1 1

max i

i n n i i

n ij

i n j n ij

j n i

Với một số điều kiện về ma trận B, dãy  x k sẽ hội tụ đến nghiệm đúng x của hệ (1) *

Phương pháp lặp xác định theo hệ thức (3) để giải hệ phương trình (1) được gọi là phương pháp lặp đơn

Sau đây ta xét một số điều kiện của ma trận B để dãy  x k hội tụ đến nghiệm đúng x của *

(1)

2.3.2 Các định lí cơ bản:

Định lí 2.3.2.1 : Nếu B  (hoặc 1 1 B   ) thì với mọi 1 x  0   , dãy n  x k xác định

bởi (1) hội tụ đến nghiệm duy nhất x của hệ (1), hơn nữa ta có: *

ii)   * 1  1  0

1 1

Định lí 2.3.2.2: Giả sử ma trận A a ij n thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

Khi đó luôn có thể đưa về hệ phương trình (1) về dạng (2) với điều kiện B   (với điều 1

kiện a.) hoặc B  (với điều kiện b.) 1 1

max n ij 1

i n

i j ii j

a B

i j ii j

n nn n nn

j n

j i ii i

a B

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với yêu cầu sai số là 103

Bài 4 PHƯƠNG PHÁP SEIDEL

Trong mục này ta tiếp tục nghiên cứu cách giải gần đúng hệ phương trình Ax  (1) Giả sử b

i n j

luôn có thể đưa được hệ (1) về dạng (2) với điều kiện B  và 1 b ii  0,i1,n

Sau đây ta chỉ ra cách đánh giá sai số của phương pháp Seidel trong việc tìm nghiệm gần đúng

của hệ phương trình (1) với ma trận A thỏa mãn điều kiện trong định lí 2.4.2

Ta viết ma trận B dưới dạng B U  , trong đó L

b L

Khi đó hệ (3) có thể được viết dưới dạng

Chương 3 ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

Bài 1 MỞ ĐẦU

Thông thường, một hàm số có hai cách biểu diễn Dạng thứ nhất bằng biểu thức giải tích với các kết hợp khác nhau của hàm sơ cấp Dạng thứ hai thì hàm số được cho như một bảng số Ta chú ý đến dạng thứ hai Giả sử ta có hàm một biến y  f x  mà f x không thể cho dưới dạng biểu thức  

giải tích, nhưng bằng cách nào khác ta có thể nhận được các giá trị của y tại các giá trị khác nhau của

x (chẳng hạn bằng đo đạc hay quan trắc hoặc ghi chép thống kê) và ta lập được bảng số dạng:

x x 0 x 1  x n

y y 0 y 1  y n

Ta luôn có thể đánh số lại cho thích hợp nên có thể viết: x0 x1  x n Các điểm x x0, , ,1 x n

được gọi là các mốc

Một vấn đề thực tiễn thường nảy sinh là nếu có ta có hàm số ở dạng bảng thì bằng cách nào ta

có thể xác định giá trị của y tại một giá trị x nào đó không trùng với một giá trị nào trong các giá trị

0, , ,1 n

x x x Thuật toán tìm giá trị y như vậy được gọi là phép nội suy (nếu x x x0, n) hoặc ngoại suy (nếu x x x0, n) Vì vậy có thể gọi phép nội suy là phép “chèn” hay phép liên tục hóa các giá trị của hàm số cho dưới dạng bảng tại các giá trị của biến số không trùng với các mốc

Trên đây chúng ta nói về phép nội suy và ngoại suy cho hàm một biến số Một cách hoàn toàn tương tự, ta có thể mở rộng cho hàm số nhiều biến, nghĩa là ta có thể nội suy hoặc ngoại suy đối với bảng nhiều chiều, chẳng hạn với độ nhớt của chất lỏng theo hai biến áp suất và nhiệt độ

Chúng ta không chỉ cần tính giá trị của hàm số y  f x  tại các giá trị trung gian của biến số

mà đôi khi cần phải tính đạo hàm của hàm số f x ở bậc bất kì nào đó hoặc tính tích phân của nó  

trên một khoảng xác định Những phép phân tích như vậy giúp chúng ta phát hiện ra các qui luật tổng quát chi phối mối quan hệ của các yếu tố tham gia xác định một quá trình hay hiện tượng vật lý

Một ứng dụng khác của phép nội suy là xấp xỉ một hàm cho trước bằng một hàm số khác

một thuật toán nào đó ta phải tính nhiều lần giá trị của một hàm số với một biểu thức rất phức tạp ở nhiều giá trị khác nhau của biến số Để tiết kiệm thời gian tính toán nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác

đã đặt ra, ta sẽ chủ động chia miền biến đổi của biến số bằng n  mốc kể cả các điểm biên và tiến 1hành tính các giá trị của hàm số tại các mốc đó để có được một bảng số Khi đó để tính giá trị của hàm đã cho tại các giá trị khác nhau của biến số ta sẽ sử dụng phép nội suy với số phép tính ít hơn nhiều lần so với cách tính trực tiếp mà độ chính xác vẫn đảm bảo

Trên đây chúng ta nói đến hai ứng dụng chủ yếu của phép nội suy và ngoại suy Trong trường hợp thứ nhất thì hàm số được cho ở dạng rời rạc hóa vì không biết biểu thức giải tích của nó, còn trong trường hợp thứ hai thì hàm được cho ở dạng giải tích nhưng rất phức tạp cho việc tính toán nên

ta phải rời rạc hóa nó trước khi dung phép nội suy Sau đây chúng ta sẽ đi vào một số phép nội suy thông dụng

Bài 2 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE

Đa thức là một lớp hàm “đẹp”, có đạo hàm ở mọi bậc, cách tính giá trị của nó cũng như tính đạo hàm, tích phân rất đơn giản Ngoài ra, các công trình của nhà toán học Weirstrass cho thấy, nếu hàm số f x liên tục trên đoạn   a b thì với mọi số  dương tùy ý có thể tìm được một đa thức bậc , 

n (phụ thuộc vào  ) sao cho

f x P x   x a b

Những lí do trên là cơ sở tốt để người ta chọn đa thức làm hàm xấp xỉ của phép nội suy Định

lý Weirstrass cũng cho thấy, bậc đa thức càng cao thì độ chính xác của xấp xỉ càng tăng Tuy nhiên, với ý nghĩa ứng dụng thực tế thì điều đó không phải là như vậy, vì đa thức bậc cao cũng mất rất nhiều thời gian tính toán

3.2.1 Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì

Bài toán: Cho x i a b i, ,  0, ,n x i x j,  và i j y i  f x i ,i 0,n Hãy xây dựng đa

thức nội suy L x thỏa mãn n  degL x n  và n L x n i  f x i y i i, 0,n

Trước tiên ta xét đa thức

Đa thức L x thỏa mãn mọi yêu cầu của bài toán đặt ra Đa thức n  L x được xây dựng như n 

trên được gọi là đa thức nội suy Lagrange

Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng sự tồn tại của đa thức L x là duy nhất n 

Giả sử còn có đa thức Q x thỏa mãn các điều kiện của bài toán Ta đặt n 

   , ta suy ra ngay deg x  và n  x i  0,i 0,n Điều này chứng tỏ

 x

 là một đa thức có bậc nhỏ hơn n nhưng có ít nhất n  nghiệm, do đó 1  x  , ta suy ra 0

L x Q x Vậy tồn tại duy nhất một đa thức thỏa yêu cầu đề bài

3.2.2 Đa thức nội suy với mốc cách đều

Giả sử x i1x i h i, 0, ,n x0 a x, n  Khi đó dùng phép biến đổi b

 là không phụ thuộc vào hàm số f x , mốc  

nội suy, bước h nên có thể tính sẵn và lập bảng để sử dụng trong quá trình tính toán

Nhận xét: Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm là đơn giản, dễ tính toán nhưng có nhược

điểm là nếu thêm mốc nội suy thì phải tính toán lại từ đầu

Nếu f x là một đa thức và   deg f x  thì n L x n  f x 

3.2.3 Công thức đánh giá sai số nội suy

Bây giờ ta cần đánh giá sai số của phép nội suy theo Lagrange ở giá trị x bất kì

x





 (1)

Dễ thấy rằng  x0  x1   x n  Sau nhiều lần áp dụng định lý Roll, ta có ít 0

nhất một điểm  a b,  sao cho n1   Từ đây ta suy ra 0   

Nhận xét: Trong (2) chỉ có đại lượng  x là phụ thuộc vào cách chọn n  mốc nội suy 1

nên có thể đặt ra câu hỏi: tồn tại hay không cách bố trí các mốc nội suy (khi n cố định) để  x nhỏ nhất với mọi x a b, , nói cách khác tồn tại hay không các mốc nội suy tối ưu ở mọi giá trị n (nhận

xét rằng với phép biến đổi 2x a b

3 3

Vậy T x là một đa thức đại số, n  degT x n  và hệ số bậc cao nhất là n 2n1

Đa thức T x được gọi là đa thức Chebysev n 

Một số kết quả về đa thức Chebysev T x : n 

Bài 3 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON

3.3.1 Khái niệm về tỷ sai phân và một vài tính chất

Giả sử hàm số thực y  f x  xác định trên a b và ,  x i a b i, , 0, ;n x i x j,  Khi i j

3.3.2 Đa thức nội suy với mốc bất kì

Giả sử hàm số thực y  f x  xác định trên a b và ,  x i a b i, , 0, ;n x i x j,  Gọi i j