Hàm green và ứng dụng

ở phần này chúng tôi đa ra con đờng xây dựng khái niệm hàm Green cho phơng trình Poisson và phơng trình Laplace và một số tính chất của hàm Green.. Phần II : Nghiệm của bài toán Dirichl

Môc lôc Trang

Lêi nãi ®Çu

III Khái niệm hàm Green 5

Phần II Nghiệm của bài toán Dirichlet I Trong không gian ba thứ nguyên 9

II Trờng hợp trong măt phẳng 12

Phần III Một số bài toán I Bài toán Dirichlet đối với quả cầu 13

II Bài toán Dirichlet trong miền tròn 19

III Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng 22

IV Bài toán Dirichlet cho nửa không gian 24

Phần IV Phụ lục 27

Lời nói đầu

nói đầu, phụ lục và kết luận luận văn gồm có ba phần chính sau:

Phần I : Xây dựng hàm Green ở phần này chúng tôi đa ra con

đờng xây dựng khái niệm hàm Green cho phơng trình Poisson và phơng trình Laplace và một số tính chất của hàm Green

Phần II : Nghiệm của bài toán Dirichlet ứng dụng phơng pháp hàm Green để biểu diễn nghiệm của bài toán Dirichlet cho phơng trình Laplace và phơng trình Poisson trong không gian ba thứ nguyên và trong mặt phẳng

Phần III: Một số bài toán ở phần này chúng tôi xây dựng hàm Green trong một số miền cụ thể và giải một số bài toán vật lý cụ thể bằng

ph-ơng pháp hàm Green

Phơng pháp hàm Green có thể ứng dụng để giải quyết các bài toán Dirichlet, bài toán Neumann và bài toán Robin đối với phơng trình Laplace và phơng trình Poisson, tuy nhiên trong phạm vi của đề tài chúng tôi chỉ nghiên cứu và ứng dụng nó vào việc giải bài toán Dirichlet

Trong quá trình làm luận văn tôi đã nhận đợc sự tạo điều kiện thuận lợi của Ban Chủ nhiệm Khoa Vật lý, các thầy cô giáo trong khoa, đặc biệt là sự tận tình chỉ bảo, giúp đỡ của thầy giáo Mạnh Tuấn Hùng đã giúp đỡ tôi trong quá trình tìm hiểu và hoàn thành đề tài

Qua luận văn này cho phép tôi gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Vật lý đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài

Luận văn này chắc chắn vẫn còn thiếu sót, tác giả rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và những ai quan tâm đến đề tài này

Tác giả

Phần I : xây dựng hàm green

I Phơng trình Laplace và phơng trình Poisson.

1 Trờng nhiệt dừng.

Giả sử B là một vật thể trong không gian 0xyz , S là mặt biên của nó,

khi đó nhiệt độ U(x,y,z,t) ở thời điểm t tại điểm (x,y,z) thoả mãn phơng trình:

U a t

2 2

2

z

U y

U x

U U

∂

∂ +

∂

∂ +

g =− với F là mật độ nguồn nhiệt và K là hệ số truyền nhiệt.

Phơng trình (I.1) đợc gọi là phơng trình Laplace

Phơng trình (I.2) đợc gọi là phơng trình Poisson

2 Đối với trờng tĩnh điện:

Thế ϕ của trờng tĩnh điện cũng thoả mãn phơng trình Poisson:

=

∆ ϕ

II.Các bài toán biên:

Giả sử V là miền bị chặn trong không gian giới hạn bởi một mặt cong S.

Để xác định nhiệt độ dừng U(x,y,z) trong vật rắn truyền nhiệt choán thể tích V

ngoài phơng trình (I.1) ta còn cần phải biết quá trình ở biên của vật Tuỳ theocách cho điều kiện biên mà ta có các bài toán biên thờng gặp sau đây:

1.Bài toán Dirichlet :

Tìm hàm U liên tục trong miền V thoả mãn phơng trình:

với điều kiện biên : U S = f (M)

2 Bài toán Neumann :

3 Bài toán Robin:

Với điều kiện biên đợc cho dới dạng tổ hợp :

) ( )

n

U

S = +

∂

Trong phạm vi của đề tài ta chỉ xét đến bài toán biên thứ nhất ( bài toánDirichlet )

III Khái niệm hàm Green

1 Nghiệm cơ bản của phơng trình Laplace

Trong không gian với hệ toạ độ cầu ( r , θ , ϕ ) phơng trình Laplace:

∆U = 0 (III.1)

đợc viết lại dới dạng:

0

sin

1)

.(sin

sin

1)

2

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

θθ

θ

U r

U r

r

U r

r

Ta tìm nghiệm của (III.1) chỉ phụ thuộc vào r :

U = U(r) (III.2)

π

4

1)

gọi là nghiệm cơ bản của phơng trình Laplace trong không gian ba thứnguyên

2 Khái niệm hàm Green.

Giả sử P , P0 là các điểm của miền V với các toạ độ tơng ứng là

,

PP

r P

P H

π

=

1 2 0

2 0

P0 , nh là hàm của điểm P với các giá trị cố định của toạ độ: P0( x0, y0, z0)

Ta có H(P,P0) là nghiệm của phơng trình Laplace (III.1)

Nếu ta coi điểm P0 là nguồn nhiệt thì hàm H(P,P0) mô tả sự phân bốnhiệt sinh ra trong miền V do nguồn điểm tại P0

Xét hình cầu bán kính ε tâm tại điểm P0 Nhiệt đi ra ngoài qua mặt

σ

d P P H n

0

4

14

14

1)

,(

0 0

0

πεπ

π

σ σ

PP

r r

r n

P P

K K

d K

d n

1

πε

πεσ

πε

σ

σ σ

Để đơn giản ta giả thiết đơn vị đo đợc chọn sao cho hệ số truyền nhiệt:

K = 1 Khi đó trong một đơn vị thời gian nguồn nhiệt tại P0 sinh ra đợc một

đơn vị nhiệt lợng đi ra ngoài qua mặt σ Nh vậy P0 là nguồn nhiệt với côngsuất đơn vị

Nếu ta hình dung vật thể V đợc đặt trong môi trờng ổn định nhiệt ( nó

có tác dụng giữ cho chế độ nhiệt trên biên của vật không đổi ) và tại điểm cố

định P0 trong V có một nguồn nhiệt với công suất đơn vị

Nh vậy ta đã thiết lập đợc một chế độ nhiệt độ không đổi và tạo ra đợcmột trờng nhiệt độ không đổi theo thời gian G(P,P0) , nó phụ thuộc vào vị trícủa nguồn nhiệt P0

Hàm G(P,P0) đợc xác định duy nhất bởi ba tính chất sau đây:

Tính chất 1:

Hàm G(P,P0) phải là hàm số điều hoà của điểm P trong toàn miền V,

trừ tại điểm P0, tức là G(P,P0) thoả mãn phơng trình Laplace trong toàn miền

,

r P

3 Tính đối xứng của hàm Green.

Đây là một tính chất rất quan trọng của hàm Green, cụ thể là:

G(P1,P2) =G(P2,P1)

Tính chất này đợc đoán nhận vật lý nh sau :

Giả sử có một vật thể B dẫn nhiệt đợc đặt trong môi trờng ổn định nhiệt, khi

đó nhiệt độ đợc tạo ra tại điểm P bởi nguồn nhiệt có công suất đơn vị đặt tại

điểm P0 chính bằng nhiệt độ tại điểm P0 gây nên bởi nguồn nhiệt đơn vị tại

điểm P.

Để chứng minh tính chất này ta áp dụng công thức Green cho các hàm

số G(P,P1) và G(P,P2) trong miền V' có đợc bằng cách lấy khỏi miền V hai

khối cầu nhỏ có tâm tại P1, P2 và có bán kính ε1 = ε2 = ε

Ta có:

'

' 1 2

2

1) ( , ) ( , ) ( , )]

,(

[

V

dV P P G P P G P

P G P P

G

n

P P G P P G n

P P G P P

G

S

]),(),(),(),(

2

2 1

1

2

1) ( , ) ( , ) ( , )],

(

[

1

σσ

d n

P P G P P G n

P P G P P

2

2

1) ( , ) ( , ) ( , )],

(

[

2

σσ

d n

P P G P P G n

P P G P P

, ( )

,

(P P1 S =G P P2 S =

G

.0)

,(

;0 )

G

'

' 1 2

2

1) ( , ) ( , ) ( , )]

,([

V

dV P P G P P G P P G P P

1

1 2

2 2

2 1

1 2

),(),()

,(),

σ σ

d n

P P G P P G d

n

P P G P P

2 1

1 1

1 2

2 1

),(),()

,(),

P P G P P

P G

P G

1

1 2

1 1

1 1

1

41)]

,(4

1[)

,(

2 2

4

1 )

,

(

σ

ε πε

∂ +

ta có : ∆G(P,P1)=∆G(P,P2)=0 nên tích phân vế trái của (III.3.1) bằng0

từ đó ta có :

1 1

1 2

1 0

2

4

1(lim),(0

1 1

σε

πε

σ

P P G

∂

∂+

−

2 2

2 2

2 0

1

4

1(lim),(

2 2

σε

πε

σ

P P G

∂

∂+

−

bởi vì đạo hàm của g(P,P1) và g(P,P2) là giới nội nên ta có :

0)

,(

1

1 0

1 1

2

2 0

2 2

2 2

1

1 2

1

4),(4

),( - 0

σ

σπε

P P G

d P

P G

2 2

1

4

4),( 4

4 ),( 0

πε

πεπε

P P

Phần II: nghiệm của bàI toán diriChLet

I Trong không gian ba thứ nguyên.

Bài toán :

Trong không gian 0xyz ta xét ta xét miền V nào đó giới hạn bởi mặt S

kín trơn Ta tìm hàm số U trong miền V thoả mãn phơng trình Poisson:

Xuất phát từ công thức Green :

dS n

U V n

V U dV

U V V U

) (

) (

∂

∂

=

∆

−

∆ trong đó U, V là các hàm liên tục cùng với đạo hàm cấp 1 của chúng trong

miền V giới hạn bởi mặt S kín trơn Ta áp dụng công thức Green cho miền

V′ có đợc từ V bằng cách lấy đi một khối cầu bé giới hạn bởi mặt σ bán kính ε bao quanh điểm P0 Để làm các hàm số U, V ta lấy nghiệm cha biết U

của (I.1) và hàm số G(P,P0) Trong miền trên ta có U, G(P,P0) liên tục cùng với đạo hàm cấp 1 của chúng, ta đợc :

'

dV U P P G P P G

U

V

∆

−

∆

∫∫∫

n

U G ds

n

G M

f

S

∂

∂

) (

σ σ

d n

U G d

n

G

′

∂

∂

(I.3)

Hình vẽ Trong hình vẽ này : n′ là hớng của pháp tuyến ngoài của mặt σ đối với

'

V ; n là hớng của pháp tuyến ngoài của mặt S đối với miền V' Thay G S = 0

và ∆U = f (P)vào (I.3), ta đợc:

(I.3) tơng đơng với:

σ π

σ π

σ

σ

d n

U g r

d n

g r U

ds n

G M f dV

P f P P G P P

G

U

∫∫

∫∫

′

∂

∂











−

′

∂











∂ +

∂

∂

=

−

∆

4

1

4 1 ) ( )] ( ) , ( ) , ( [ ' ' 0 0

⇔

'

' 0

0) ( , ) ( )]

, ( [

v

V P f P P G P

P G U

−

′

∂

∂ +

′

∂

∂ +

∂

∂

g U d

n r U dS

n

G M f

S

1

4

1 )

σ σ

U g d

σ

U g n

g U d

n

U r

d n

r U ds

n

G M

f

S

) (

1 1

4

1 ).

r

1 4

1 lim

0

Trên biên σ ta có r ngợc chiều với n′ do đó :

2 2

11

11

εσ σ

r n

r

πε

σπε

11

4

1

0 2

σ

σηπεσ

ηπε

σ

4

1 ) ( 4

1 )

( 4

1

trong đó khi ε →o thì η →o Do đó ta có thể chọn δ ( ε ) sao cho:

) ( ε δ

η < với δ ( ε ) → 0 nếu ε → 0

4

14

2

πεσ

η

Vậy khi : ε → 0 ta có:

)(

14

14

1lim

0

P U ds n

G M f dV

P f P P

S V

ds n

G M f dV

P f P P G P

Bởi vì P0 là điểm quy định bất kỳ trong miền V , do đó công thức (I.4)biểu diễn nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phơng trình Poisson trongkhông gian ba thứ nguyên nếu biết hàm Green Vì vậy để giải bài toánDirichlet trong miền V nào đó , trớc tiên ta phải xây dựng hàm Green chomiền đó Nếu xét bài toán Dirichlet đối với phơng trình Laplace ,khi đó công

S

ds n

G M f P

II Trờng hợp trong mặt phẳng:

Tơng tự nh trong không gian ba thứ nguyên, trong mặt phẳng hàm sốGreen đợc xác định bởi ba điều kiện sau:

1 Hàm số Green G(P,P0) là hàm số điều hoà của điểm P trong miền D, trừ tại

r P

Tiến hành chứng minh một cách hoàn toàn tơng tự nh trong không gian

ba thứ nguyên Nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền D giới hạn bởi đờngcong L đợc cho bởi công thức :

n

G M f P

G M f P

U( 0) ( ) (II.2)

Phần III: Một số bàI toán

I Bài toán Dirichlet đối với quả cầu.

Bài toán :

Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phơng trình Laplace trongmiền V giới hạn bởi quả cầu có bán kính q

1 Hàm số Green đối với quả cầu :

Chọn miền V là quả cầu bán kính q có tâm ở ở gốc toạ độ và P0(x0,y0,z0)

là điểm quy định bất kỳ bên trong đó Ta dựng điểm P1 nằm trên tia đi từ gốc toạ độ qua điểm P0 sao cho :

2

1

r = (III.1) Trong đó: r0 là khoảng cách từ điểm P0 đến điểm 0

r1 là khoảng cách từ điểm P1 đến điểm 0

tọa độ của điểm P1 sẽ là :

2 0 2 0

2

r

q y r

q x r

r < ⇒ = >

0

2 1

Sau đây ta sẽ chứng minh rằng điểm M bất kỳ thuộc mặt cầu S ( giới hạn quả

M P

M P

= 0

xét hai tam giác : ∆0MP0 và ∆ 0P1M có góc 0 chung và :

M

P P

M

0

0 0

M =

const r

q P

M M

Ta chän hµm :

P P

r r

q P

g

1

1

4

1)

(

0

π

−

vµ chøng minh g(P) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh Laplace trong qu¶ cÇu V, trªn biªn:

M P S

r P

g

0

14

1)

2 1 0 2 0

2

r

q z y r

q y x r

r r

q P

g

1

14

)(

1

r y

r x

r r

P P p

p p

p p

∂+

∂

∂+

P P

r

x x z

z y

y x

x

x x x

r

1

1

3 1

2 3 1

2 1

2 1

])(

)(

)[(

)(

−+

P P P

P P

P

r

r x x r

x

r

1

1 1

1

6

2 1 3

2

2

) (

3 1

P P

P P

r

r y y r

y

r

1

1 1

1

6

2 1 3

2

2

) (

P P P

P P

P

r

r z z r

z

r

1

1 1

1

6

2 1 3

2

2

) (

3 1

p

z z y

y x

x r r

1 1

1 1

6

2 2

1

2 1 2

3 1

q r

r

q

1 1

1.4

1 4

P M P

M P M

P M

P

M P

r r

r

r r

r

q r

q P

M r

r

0 0

1 1

0

1

4

14

40

0

0 0

=

P P S

r P

g

0

4

1 )

q r

P G

1 0

1

14

1)(

G M

f P

Để đơn giản hơn trong tính toán, ta chuyển bài toán sang hệ toạ độ cầu:

Giả sử trong toạ độ cầu: P =(r,θ,ϕ);

sin

sin

r r

G n

S S

1

14

0

0 0

1

M P PP

S

PP

r

r q S

r

r r r

2 0 2

0

)cos2

q

r q

−+

0

2 2

0

4 2

0 2

0

0

)cos 2(

cos

1

q q

r

q q r

q r

r r q

S PP

−+

2 0 2

2 0 2

)cos.2(

.4

1

γ

π

qr r

q

r q q

n

G

S

−+

π π

d d f

qr r

q

r q q

P

) cos 2 (

4 ) (

2

3 0

2 0 2

2 0 2

− +

−

Trong đó: cosγ =cosθ.cosθ0 +sinθ.sinθ0.cos(ϕ −ϕ0)

Công thức (III.10) cho ta nghiệm ở điểm P0(r0,θ0,ϕ0)

Do P0 là điểm quy định bất kỳ bên trong vùng V, nên đây là nghiệm của bàitoán Dirichlet đối với phơng trình Laplace trong quả cầu

Ví dụ:

Xét sự phân bố dừng của nhiệt độ trong quả cầu đồng chất bán kính qvới điều kiện là nửa trên đơc giữ ở nhiệt độ 0 ,nửa dới đợc giữ ở nhiệt độ 1

Bµi gi¶i:

Bµi to¸n trªn øng v¬Ý nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Laplace víi

2 : khi 1

2 0

: .khi 0 ) , (

π θ ϕ

ππ

d d f

qr r

q

r q q

P

) cos 2 (

4 ) (

2

3 0

2 0 2

2 0 2

− +

−

=

γπ

ππ

d d qr

r q

r q q

sin.)cos.2(

0)

(4

2 0 2

2 0

2

∫∫

−+

−

γπ

π π π

d d qr

r q

r q q

sin ) cos 2 (

1 ).

( 4

2

0

3 0

2 0 2

2 0

2

∫∫

− +

−

γπ

ππ π

d d qr

r q

r q q

P

)cos.2(

1)

(4

)(

2

0 2

2 3 0

2 0 2

2 0 2

−+

ππ π

d d qr

r q

r q q

P

)cos.2(

)(

4)(

2

0 2

2 3 0

2 0 2

2 0 2

−+

−

=

− +

− +

2 0 2

0

2 0 2

0

2 0 2 0

) cos 2 (

) cos 2 (

4 ) (

qr r

q

qr r

q d r

r q P U

−

=

0 2

0 2 0

2 0 2 0

1 1

2 ) (

r q r q r

r q P

Khi θ =0 π ta cã: cosγ = −cosθ

∫

+ +

3 0

2 0 2

2 0 2

) cos 2 (

) (

2 )

qr r

q

r q q

P U

∫

+ +

+ +

2 0 2

0

2 0 2

0

2 0 2 0

) cos 2 (

) cos 2

( 4

) (

qr r

q

qr r

q d r

r q P U

0

2 0 2 0

1 1

2 ) (

r q r

q r

r q P

−

=

) 1 (

1 1

1 2

).

1 ( ) (

2

2 2 0

k q k q kq

q k P

1 2

1 2

1 2

1 ) (

k k

k k

−

−

=

2 2

0

121

2

12

12

1)

(

k

k k

k k P

1lim2

1)(

lim

k

k k

k k P

U

k k

1 2

0 ) 1 2 (

) 1 1

( lim 1

2

1 1

lim 1

2

1 2

1

lim

' 2

' 2 0

2

2 0

2

+

− +

= +

− +

k

k k

=

2

2 0

1 2

1 2

1 2

1 ) (

k k

k k

(P0 0→0 =U =

U r

+>.Từ các kết quả (2.10) và (2.11) ta có nhận xét:

Nếu gọi U(0) là nhiệt độ tại tâm quả cầu , dU(P 0 ) là độ chênh nhiệt độ tại một

điểm P 0 trên trục 0z cách tâm quả cầu một đoạn r 0 = kq ( k<1 ) Khi đó tại tại

nửa âm của trục 0z ta có : U(P 0 ) = U(0) + dU(P 0 )

tại nửa dơng 0z: U(P 0 ) = U(0) - dU(P 0 )

5 2

3 1 ( 2

1 )

(

2 1 0

)52

31(2

1)

(

2 1 0

0

−+

=

= d ới

r

P U

ΙΙ

II Bài toán Dirichlet đối với miền tròn:

1 Hàm số Green đối với mặt tròn:

Để xây dựng hàm số Green cho bài toán Dirichlet trong mặt tròn D vàthoả mãn điều kiện biên:

L P P

L

r P

g

0

1ln.2

1)

(

π

−

= (II.1)

Ta lấy điểm P0 bất kỳ quy định trong vòng tròn L , trên bán kính đi qua điểm

P0 ta lấy điểm P1 sao cho : 2

1

r

q M P

M P

= ( = const )

Do đó ta chọn hàm :

P

r r

q P

g

1

.ln.2

1)

L

P P

L

r P

g

0

1 ln 2

1 )

1 (ln 2

1 )

G M

f P

γ

cos

2 0

2 2

0

4 2

rq r

q r

L L

r r

q r r

r r

P G n

P G

)

1.ln(

)

1(ln2

1)

()

2 2

1 )

(

0 0

2 0 2

2 0 2

ϕ ϕ

π q r qr

r q q

n

P G

L

Trong toạ độ cực ta có : dl = qdϕ và f(M) = f(ϕ)

Do đó nghiệm của bài toán đợc cho bởi công thức :

ϕϕϕ

ϕπ

π

d f qr

r q

r q P

) cos(

2 2

1 ) (

2

2 0 2

2 0 2

Tích phân này cho ta biết sự phân bố nhiệt độ tại điểm P0(r0,ϕ0) bất kì nằmtrong miền tròn D.

Ví dụ:

Xét sự phân bố dừng của nhiệt độ trong miền tròn đồng chất bán kính

q, với điều kiện là nửa trên của biên đợc giữ ở nhiệt độ 1 , nửa dới đợcgiữ ở nhiệt độ 0

π ϕ ϕ

2

khi 0

0 khi 1

f

Từ công thức nghiệm :

ϕϕϕ

ϕπ

qr r

q

r q r

U P

)cos(

22

1),()(

2

2 0 2

2 0 2 0

qr r

q

r q r

U P

)cos(

22

1),()(

2 0 2

2 0 2 0

1

1)cos(

2 0

2 0 2 0

0

0

2 2

) , (

ϕ

ϕ

πϕ

g

dt r

q r

0 0

0

0 1 ( )

) (

1 ) , (

ϕ

ϕ

πϕ

g

r q

r q

t r q

r q d r

2 cot

2 0

0 0

0

0 0

).(

1),(

ϕ ϕ

π

tg

t r q

r q arctg r

−

+

2.(

)2cot.(

1),

0

0 0

0

0 0

0

ϕ

ϕπ

r q

r q actg g

r q

r q actg r

−

+

2 (

) 2 cot (

1 ) ,

0

0 0

0

0 0

0

ϕ

ϕπ

r q

r q actg g

r q

r q actg r

U

III Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng :

Bài toán:

Tìm hàm U(x,y) thoả mãn phơng trình Laplace :∆U = 0 trong nửa mặtphẳng ( y > 0 ) và thoả mãn điều kiện biên :

)(

0 f x

U y= =

1 Hàm Green cho nửa mặt phẳng:

Nh trên hàm Green đối với nửa mặt phẳng là hàm

) (

1 ln 2

1 ) (

0

P g r

P G

PP

+

=

π

Trong đó P0(x0,y0) là điểm quy định của nửa mặt phẳng y0 > 0

P(x,y) là điểm thay đổi của nửa mặt phẳng y > 0

Còn g(P) thoả mãn phơng trình Laplace trong nửa mặt phẳng và thoả mãn điềukiện biên:

M P

L PP L

r r

P g

0 0

1ln2

11

ln2

1)

( M: là điểm thuộc đờng biên y = 0 )

Ta xây dựng hàm g(P) thoả mãn điều kiện trên bằng cách:

Qua đờng biên L ( y= 0) dựng điểm P 1 đối xứng với P 0 qua đờng:

y = 0 Khi đó P 1 (x o ,-y 0 )

Rõ ràng hàm:

1

1 ln 2

1 )

(

PP r P

P L

r r

P g

0 1

1ln2

11

ln2

1)

1 (ln 2

1 ) (

1

PP r r

2 0

2 0

2 0

2 0

) (

) (

) (

) (

ln 2

1

2

1 ) (

−

+ +

−

=

=

y y x

x

y y x

x r

r Ln P

G

P P

P

ππ

−

++

−

0

2 0

2 0

2 0

)(

)(

)(

)(

ln4

1)(

y y x

x

y y x

x P

G

2 Công thức nghiệm: