Mở rộng luật yếu số lớn kolmogorov feller

ệ ệ tự số trữ ởt số tử ổ ởt ởt số t số ợ ởt số t tự ỡ rở t số ợ r r t số ợ r r rở t số ợ rr t t é t số ợ õ ởt trỏ rt q trồ tr ỵ tt st t số ợ tr số tử t st t số ợ tr số tử t số ợ t ữủ ổ ố s t q ữủ Pss s r rở t số ợ ợ ữủ r t t q ữủ r t t số ợ rr ữ r tỹ t số ợ trữớ ủ ũ ố ổ ỏ ọ ý tỗ t r ỡ s t t t ú tổ ự t rr rở t số ợ ỗ ữỡ ữỡ tự r ữỡ ú tổ ữ r số trữ ởt số tử t ổ ởt t số ợ ỗ tớ ú tổ tr ởt số t tự ử ự ỵ tr ữỡ ữỡ rở t số ợ rr ỗ tt t ú tổ tr tt ỵ t số ợ r r ỵ tr t ú tổ tr ỵ ỵ t q rở t số ợ r r ữủ tỹ t trữớ ữợ sỹ ữợ t t P t tọ ỡ s s t tợ P ữớ t t t ữợ t tr sốt q tr t t ỷ ỡ tợ P P ự r ỏ P r ỗ tớ t t ỡ t ổ tr t t ố ũ t ỡ trữớ P ý ỗ t tr ợ st tố t t ú ù t tr sốt tớ t t ũ õ ố ữ ổ t tr ọ ỳ t sõt rt ữủ ỳ qỵ t ổ t ì r t t ổ sỷ ( , F, P ) ổ st ố sỷ G số số F õ X : R ữủ G ữủ õ G/B(R) ữủ tự ợ B B(R)) t X (B) G X ỳ tr t õ ữủ ỡ sỷ A F t IA () = A A õ IA ỡ số trữ sỷ X : (, F, P) (R, B(R)) õ t s X t P tỗ t ữủ X EX EX = XdP t EX = xi pi X rớ r tr x1 , x2 , ợ P(X = xi ) = pi i + xp(x)dx X tử õ t qt f : R R ữủ Y = f (X) t i f (x)i pi X rớ r tr x1 , x2 , ợ P(X = xi ) = pi EY = + f (x)p(x)dx X tử õ t sỷ X õ số DX := E(X EX)2 tỗ t ữủ ữỡ s X t ứ tr t t s r r ữỡ s DX X õ t tỗ t ổ tỗ t tỗ t t õ t ữủ t t ổ tự DX = (xi EX)2 pi X rớ r ợ P(X = xi ) = pi + (x EX)2 p(x)dx X tử õ t ởt số tử sỷ {Xn , n 1} ũ tr ổ st (, F, P ) {Xn, n 1} ữủ tử t st X n ợ > t õ lim P (|Xn X| > ) = n P ỵ Xn X {Xn, n 1} ữủ tử X n P : lim Xn () = X() n = h.c.c ỵ Xn X lim Xn = X h.c.c n õ {Xn, n } tử t tr p (p > 0) X n ) lim E|Xn X|p = n ỵ Lp Xn X (n ) ỵ {Xn, n 1} tử X ợ > t ý lim P n sup |Xk X| > = kn ự ợ ộ > ộ n = 1, 2, t Dn () = sup |Xm X| > = mn n t \ Dn () = Dn () = |Xm X| > õ Dn () m=n |Xm X| m=n õ lim |Xn X| = n lim |Xn () X()| = n > 0, n : |Xm () X()| , m n k > 0, n : |Xm () X()| 1/k, m n k > 0, n : Dn (1/k) Dn (1/k) k=1 n=1 r lim |Xn X| = = n Dn (1/k) k=1 n=1 Xn Xh.c.c P Dn (1/k)) = k=1 n=1 Dn (1/k)) = k = 1, P n=1 P Dn (1/k) = k = 1, n=1 lim P Dn (1/k) = k = 1, n lim P Dn () = 0, ( Dn () ) n ỵ ữủ ự ổ ởt sỷ X õ F(X) = {X (B) : B B(R)} ữủ số s X ỳ {Fi , i n} số F ữủ n P n Ai i=1 = P (Ai ), i=1 ố ợ Ai Fi (1 i n) t ý ổ {Fi , i I} số F ữủ ồ ỳ õ {Xi , i I} ữủ số s ú {F(Xi ), i I} ố {Ai , i I} ữủ {IAi , i I} {Xi, i I} ữủ ổ ởt Xi Xj ợ i = j, i, j I ởt số t số ợ sỷ {Xn , n 1} ũ tr ổ st ( , F, P ) t Sn = X1 + X2 + ã ã ã + Xn {Xn, n 1} ữủ t t t số ợ Sn ESn P n {Xn , n 1} ữủ t t t số ợ tờ qt tỗ t số an , n 1, bn , n 1, < bn s Sn an P bn {Xn, n 1} ữủ t t t số ợ Sn ESn h.c.c n {Xn , n 1} ữủ t t t số ợ tờ qt tỗ t số (an ), (bn ), < bn s Sn an h.c.c bn ởt số t tự ỡ t tự r sỷ ổ õ tỗ t EX t ợ > 0, t õ P(X ) EX ự õ XdP XdP + XdP = EX = (X) (0X t õ P(|X EX| ) DX ự t tự r Y = |X EX|2 t ữủ P(|X EX| ) = P(Y ) EY DX = t tự r sỷ X1, X2, , Xn EXi = 0, DXi = i2 (i = 1, 2, , n) t k Sk = X1 + X2 + ã ã ã + Xk = Xi i=1 õ ợ > 0, t õ P( max |Sk | ) 1kn n i=1 i2 (1 k n) P( max |Xk | c) = t 1kn P( max |Sk | ) ( + c)2 1kn n i2 i=1 ự t A1 = (|S1 | ) A2 = (|S1 | < ; |S2 | ) Ak = ( max |Si | < ; |Sk | ) 1ik1 An = ( max |Si | < ; |Sn | ) 1in1 A = ( max |Sk | ) 1kn t n A= AiAj = (i = j) Ak ; k=1 õ n i2 = DSn = ESn2 i=1 n ESn2 IA n ESn2 IAk = k=1 n k=1 n ESk2 IAk = n E(Sn Sk ) IAk + + k=1 n k=1 n ESk2 IAk + = k=1 n k=1 ESk (Sn Sk )IAk k=1 n E(Sn Sk )2 IAk k=1 ESk2 IAk k=1 n EIAk = E[Sk + (Sn Sk )]2 IAk = P(Ak ) = P(A) k=1 õ n P(Sn = Sn ) = P( n Xk = k=1 Yk,n ) k=1 n P(Xk = Yk,n ) i=1 n P(|Xk | > n) = k=1 = nP(|X1 | > n) t ủ t õ ỵ t số ợ r r sỷ {Xn , n 1} ũ ố t Sn = X1 + X2 + ã ã ã + Xn , Yk,n = Xk I{|Xk | n}, k = 1, 2, , n = EXk I(|Xk | n) = EYk,n , õ ợ > 0, t õ Sn > n P n tP(|Xk | > t) t ự ỷ t õ P Sn > E(Y1,n )2 + nP(|X1 | > n) n n n 1 E(Y1,n )2 = n n x2 dF (x) n n = n x2 dF (x) n = n2 (1 F (n)) + n x(1 F (x)dx n = 2(nP(X > n)) + n xP(X > x)dx õ tP(|X| > t) t(P(X > t)) s r t(P(X > t)) t õ n E(Y1,n ) P Sn n > n ữ ú tổ ợ t Xk0 t ữủ trỹ t ố ự õ tứ Xk ú Sn0 õ t ữủ ố ự õ tứ Sn nà sỷ a ởt Xk ỷ t tự ú t õ 2P(|Sn nà| > n) P(|Sn0 | > 2nà) [1 e(nP(|X1 |>2n)) ] 1 [1 e nP(|X1 |>2n+|a|) ] ứ tt P t õ Sn > n n nP(|X1 | > 2n + |a|) n tP(|Xk | > t) t ữủ ự ỵ sỷ {Xn, n 1} ũ ố {bn , n 1} số tỹ ữỡ t + ợ k = 1, 2, , n, n t Sn = X1 + X2 + ã ã ã + Xn , Yk,n = Xk I{|Xk | bn }, n n Yk,n , Sn = àn = k=1 EYk,n k=n n P(|Xk | > bn ) n , k=1 b2n t n t n , k=1 Sn àn p bn r D(Yk,n ) àn bn n n , Sn p bn n ự õ P bn n n (Yk,n EYk,n ) > = P k=1 (Yk,n EYk,n ) > bn k=1 n n Yk,n E( =P k=1 = D( b2n b2n Yk,n ) > bn k=1 n Yk,n ) t tự s k=1 n DYk,n n k=1 r Sn àn p n bn t ự Sn àn p n bn t t õ P( S àn Sn àn = n ) = P(Sn = Sn ) bn bn n n Xk = = P( k=1 n P( Yk,n ) k=1 (Xk = Yk,n )) k=1 n P(Xk = Yk,n ) k=1 n P(|Xk | > bn ) n ( ) k=1 r Sn àn S àn = n )=0 n bn bn Sn àn p Sn àn p bn bn lim P( t q lim P(Xn = Yn ) = n0 t p p Xn Yn r àn tứ bn Sn àn p s r bn Sn p bn ữủ ự sỷ {Xn, n 1} ũ õ t f (x) = c x2 ln|x| |x| > |x| tr õ c ởt số õ + EX1 = xf (x)dx = |x|>2 lim 2c(ln(lnx)) n+ n c dx xln|x| + = 2c dx xlnx n = lim 2c n+ dx xlnx = = ữ ổ tỗ t t tr ừ nP(|X1 | > n) = n[P(X1 > n) + P(X1 < n)] n = n[1 P(X1 n) + n n = n[1 f (x)dx + + = n[ f (x)dx] f (x)dx] n f (x)dx + f (x)dx] n + f (x)dx ( f (x) ) = 2n n + dx ( x n lnx lnn) x2 2c n lnn n 2c n lnn {Xn , n 1} t t t số ợ = rr sỷ {Xn, n 1} ũ õ t f (x) = 2x2 |x| > |x| õ + EX1 = xf (x) = + dx + 2x dx 2x + 1 dx + 2x = + + dx 2x + dx 2x = 1 dx 2x tr ổ tỗ t xn = ean yn = ean +1 (an +) õ an an +1 dx 2x lim ( n+ 1 dx) = 2x an +1 an 1 dx) = 2x dx 2x lim ( n+ 1 ữ ổ tỗ t ừ + dx = x2 nP(|X1 | > n) = n n ổ tọ t tr n P(|Xk | > bn ) = nP(|X1 |) > bn ) = nP(|X1 | > nlnn)(bn = nlnn, n = 1, ) k=1 + 1 dx = n( ) x2 x =n + = nlnn n lnn nlnn bn n DYk,n k=1 = bn b2n n E(Yk,n EYk,n )2 ( bn = nlnn, n = 1, ) k=1 n EYk,n k=1 = bn n E(Xk2 I(|Xk | bn )) k=1 n E(X I(|X1 | bn )) bn k=1 n = E(X I(|X1 | bn ) bn = bn = n b2n =2 = x2 f (x)dx bn bn n b2n n b2n x2 dx 2x2 bn dx = n = n bn lnn t õ Sn p n nlnn õ t ú ợ {bn = nlnn, n 1} ữ q tr t t r {Xn , n 1} ũ ố ổ tọ tP(|Xk | > t) t t õ t t số ợ ú ủ ỵ ú t tt t số ợ tờ qt ỡ t số ợ r r rở t số ợ rr r ự ú tổ õ sỷ ởt số t t ú tổ ữ r sỷ ự sỷ a > ởt ữỡ ữủ u tr [a, ) ổ ũ ợ số ụ , < < , u RV(), u(tx) x t ợ x > u(t) = t u ữỡ ổ ũ u SV s ổ ũ x , x lnx, x lnlnx, x ú t õ t tự lnx lnlnx ex + x + x2 ợ |x| 1, x < ln(1 x) < x ợ < x < < 1 sỷ an < < 1, n t õ (1 an )n n nan n ỡ ỳ (0; 1), nan < (1 ) < ợ n ợ t (1 )nan (1 an )n nan (1 ) ự sỷ (1 an )n n ứ ú t õ n , n nln(1an ) (1 an ) = e enan , nan e (1) , õ r r (1 an )n n = nan n n ợ s nan < (1 ) < sỷ t õ (1 an )n enan nan + (nan )2 nan (1 ) nan (1 an )n e (1) õ t õ ữủ ự nan (1 ) sỷ X1, X2, , Xn ũ ố EXn = số A > s sup |Xn | A õ n t õ n DXk x2 + (x + A)2 P( max |Sk | > x) k=1 1kn P( max |Sk | x) 1kn P( max |Sk | > x) < , (0, 1), t 1kn n DXk x2 + (x + A)2 k=1 ỵ sỷ {Xn, n 1} ũ ố t Yn = max |Xk | {bn , n 1} số tỹ ữỡ 1kn t + ợ > t õ Yn p nP(|X1 | > bn ) n bn ự P(Yn > bn ) = (P(|X1 | bn ))n = (1 P(|X1 | > bn ))n , ợ = t õ nP(|X1 | > bn ) P(Yn > bn ) 2nP(|X1 | > bn ), n t õ ự ỵ sỷ {Xn, n 1} ũ ố Sn = X1 + X2 + ã ã ã + Xn , n ợ x > 0, b RV( ) ợ ộ (0, 1] sỷ b(x) = x l(x) tr õ l SV t bn = b(n), n õ Sn nEXI{|X1 | bn } p n bn nP(|X1 | > bn ) n ự tr tt t õ t tr nEX12 I{|X1 | bn } bn n = bn = n b2n n b2n n EX12 I{bk1 < |X1 | bk } k=1 n b2k P(bk1 < |X1 | bk ) k=1 n k (l(k))2 P(bk1 < |X1 | bk ) k=1 n n C bn =C =C C n b2n n b2n n b2n k j ( )1 (l(j))2 P(bk1 < |X1 | bk ) j=1 k=1 n j ( )1 (l(j))2 j=1 n k=j j ( )1 (l(j))2 P(bj1 < |X1 | bn ) j=1 n j ( )1 (l(j))2 P(|X1 | > bj1 ) j=1 n1 C nP(bk1 < |X1 | bk ) ( )1 n (l(n))2 j ( )2 (l(j))2 j P(|X1 | > bj ) n j=0 n j ( )2 (l(j))2 ( j=1 n( ) 1(l(n))2 n ) sỷ õ tứ t tự ố ự ú t t r Sns p n bn s s |Xns | = |Sns Sn1 | |Sns | + |Sn1 |, t ủ t tự t õ P( max |Xk |s > bn ) 2P( max |Sks | > 1kn 1kn bn bn ) 4P(|Sns | > ), 2 t õ ú t õ t max |Xks | 1kn bn p n , ự tọ t r r tọ tr trữớ ủ ố ự tr tr trữớ ủ ố ự ú tổ ố ự tọ n s Yk,n D bn k=1 n rữợ t õ n n s Yk,n P n Xks = k=1 P(|Xks | > bn ) 2nP(|X| > k=1 k=1 bn ) n , ợ tờ trữợ t sỷ n0 số tọ n P s Yk,n bn k=1 sỷ n > n0 ữ ỵ r ợ n > n0 > k=1 n Ys k,n k=1 bn > > > , ú ỵ r t ụ ú t ửt n lim sup n D k=1 s Yk,n bn P ỏ ổ ố ự t tự ố ự t õ n P(|Xk med(Xk )| > bn ) n , k=1 Xn p Xs p = n bn bn Xn Xn p = med( ) bn bn Xn = med( ) n , bn õ r r ụ tọ tr trữớ ủ tờ qt P ổ ố ự t ửt ỡ n k=1 Yk,n D = bn n D k=1 s Yk,n bn ữủ ự ợ < sỷ {Xn, n 1} ũ õ t f (x) = 2|x|1+ |x| > |x| tr t õ dx |x|1+ nP(|X1 | > bn ) = n bn 1 RV( )) dx, ( ợ b = (nlnn) n |x|1+ =n (nlnn) = n , lnn õ t t õ Sn (nlnn) p n t q t ữủ t ự rở t t số ợ r r t rở ữủ t rở t số ợ r r t q t ữủ ỵ ỵ ữợ t tr t t t t tỹ t tử ự tt ỵ t số ợ số ợ st ố ụ t ỵ tt st s r r t r rst Prss r r trt t Prt r ts t r r r r s ttr r rB t r r r rt r r rB t Prt tr r str Prt t r r ts tr ts t rrr r t ts r r rr r t t t t Ptrsr r rt Prt [...]... t ú ợ {bn = nlnn, n 1} ữ q ử tr t t r {Xn , n 1} ở ũ ố ổ tọ tP(|Xk | > t) 0 t t õ t t số ợ ú ủ ỵ ú t tt t số ợ tờ qt ỡ t số ợ r r rở t số ợ rr r ự ú tổ õ sỷ ử ởt số t t ừ ờ ú tổ ữ r sỷ ử ự sỷ a > 0 ởt ữỡ ữủ u tr [a, ) ồ ờ ổ ũ ợ số ụ , < < , u RV(), u(tx) x t ợ ồ x > 0 u(t) = 0 t u ữỡ ồ ờ ổ ũ u SV s ờ ổ ũ... 1 1 RV( )) dx, ( ợ b = (nlnn) n |x|1+ =n 1 (nlnn) = 1 0 n , lnn õ t t õ Sn (nlnn) p 1 0 n  t q t ữủ t ự rở t t số ợ r r t rở ữủ t rở t số ợ r r t q t ữủ ỵ ỵ ữợ t tr ử t t t ử t tỹ t tử ự tt ỵ t số ợ số ợ st ồ ố ở ụ t ỵ tt st ử s r r t r rst Prss r r trt t Prt r ts t r r r ... e (1) 1 õ t õ ờ ữủ ự nan (1 ) ờ sỷ X1, X2, , Xn ở ũ ố EXn = 0 số A > 0 s sup |Xn | A õ n t õ n DXk x2 + (x + A)2 P( max |Sk | > x) k=1 1kn P( max |Sk | x) 1kn P( max |Sk | > x) < , (0, 1), t 1kn n DXk x2 + (x + A)2 k=1 1 ỵ sỷ {Xn, n 1} ở ũ ố t Yn = max |Xk | {bn , n 1} số tỹ ữỡ 1kn t + ợ ồ > 0 t õ Yn p 0 nP(|X1 | > bn ) 0 n bn ự P(Yn > bn )... ự tọ n s Yk,n D bn k=1 0 n rữợ t õ n n s Yk,n P n Xks = k=1 P(|Xks | > bn ) 2nP(|X| > k=1 k=1 bn ) 0 n , 2 ợ tờ trữợ t sỷ n0 số tọ n P s Yk,n bn k=1 sỷ n > n0 ữ ỵ r 1 ợ n > n0 2 > 2 lim 2c(ln(lnx)) n+ n 2 c dx xln|x| + = 2c 2 dx xlnx n = lim 2c n+ 2 dx xlnx = = ữ ồ ổ tỗ t ớ t tr ừ ừ nP(|X1 | > n) = n[P(X1 > n) + P(X1 < n)] n = n[1 P(X1 n) + n n = n[1 f (x)dx + + = n[ f (x)dx] f (x)dx] n f (x)dx + f (x)dx] n + f (x)dx ( f (x) ) = 2n n + 1 dx ( x n lnx lnn) x2 2c n lnn n 2c 0 n lnn {Xn , n 1} t t t số ợ =... e(nP(|X1 |>2n)) ] 2 1 1 [1 e 2 nP(|X1 |>2n+|a|) ] 2 ứ tt ừ P t õ Sn à > 0 n n 1 nP(|X1 | > 2n + |a|) 0 n 2 tP(|Xk | > t) 0 t ữủ ự ỵ sỷ {Xn, n 1} ở ũ ố {bn , n 1} số tỹ ữỡ t + ợ k = 1, 2, , n, n 1 t Sn = X1 + X2 + ã ã ã + Xn , Yk,n = Xk I{|Xk | bn }, n n Yk,n , Sn = àn = k=1 EYk,n k=n n P(|Xk | > bn ) 0 n , k=1 1 b2n t n t n , k=1 Sn àn p 0 bn r ... max |Sm Sn | > ) nmk õ (Bk , k > n) t ố Bk = ( sup |Sm Sn | > ) k=n+1 mn õ P( sup |Sm Sn | > ) = P( mn Bk ) k=n+1 = lim P(Bk ) k 1 2 lim k 1 = 2 k DXm m=n+1 DXm m=n+1 ì é t số ợ r r ố ự õ X õ ố F ú tổ ố ừ X F tử ừ F ú t õ F (x) = 1 F (x) F ữ t t ố F ữủ ồ ố ự F = F t ở f tỗ t t ụ õ f (x) = f (x) sỷ X1 X2 ở ũ õ ố F õ X1 X2 õ ố ố... n)2 2 nx 1 E(Y1,n )2 2 nx = t n ( n Yk,n ) Xk = k=1 n k=1 (Xk = Yk,n ) k=1 2 õ n P(Sn = Sn ) = P( n Xk = k=1 Yk,n ) k=1 n P(Xk = Yk,n ) i=1 n P(|Xk | > n) = k=1 = nP(|X1 | > n) t ủ t õ ỵ t số ợ r r sỷ {Xn , n 1} ở ũ ố t Sn = X1 + X2 + ã ã ã + Xn , Yk,n = Xk I{|Xk | n}, k = 1, 2, , n à = EXk I(|Xk | n) = EYk,n , õ ợ ồ > 0, t õ Sn à > 0 n P n tP(|Xk | > t) 0 t ... t số ợ õ ởt trỏ rt q trồ tr ỵ tt st t số ợ tr số tử t st t số ợ tr số tử t số ợ t ữủ ổ ố s t q ữủ Pss s r rở t số ợ ợ ữủ r t t q ữủ r t t số. .. t số ợ trữớ ủ ũ ố ổ ỏ ọ ý tỗ t r ỡ s t t t ú tổ ự t rr rở t số ợ ỗ ữỡ ữỡ tự r ữỡ ú tổ ữ r số trữ ởt số tử t ổ ởt t số ợ ỗ tớ ú tổ tr ởt số t... t t õ t t số ợ ú ủ ỵ ú t tt t số ợ tờ qt ỡ t số ợ r r rở t số ợ rr r ự ú tổ õ sỷ ởt số t t ú tổ ữ r sỷ ự sỷ a > ởt ữỡ ữủ u tr [a, ) ổ ũ ợ số ụ , <