NGHIỆM PHỨC CỦA ĐA THỨC Đa thức trong các đề thi học sinh giỏi thường là khá phức tạp đối với thí sinh, dùng số phức để giải toán không là sự lựa chọn của nhiều học sinh do các em không
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT TỈNH QUẢNG NGÃI
TỔ TOÁN
CHUYÊN ĐỀ
NGHIỆM PHỨC CỦA ĐA THỨC
Giáo viên: Phạm Ngọc Châu
Quảng Ngãi, Tháng 8 năm 2015
Trang 2NGHIỆM PHỨC CỦA ĐA THỨC
Đa thức trong các đề thi học sinh giỏi thường là khá phức tạp đối với thí
sinh, dùng số phức để giải toán không là sự lựa chọn của nhiều học sinh do các em không có nhiều điều kiện tiếp xúc Bài viết này cố gắng làm nhẹ đi sự phức tạp và làm tăng điều kiện tiếp xúc cho các em qua việc xét nghiệm phức của đa thức
Bài viết này sử dụng các kiến thức quen thuộc : định lý Bezout, định lý Viette, các kiến thức về số phức trong sách giáo khoa môn Toán lớp 12 nâng cao,…, chỉ cần lưu ý thêm vài ý sau
Đa thức bậc n có không quá n nghiệm thực.
Đa thức bậc lẻ luôn có nghiệm thực.
Khi số phức z = a + bi có phần ảo b = 0 thì mođun của z chính là giá trị
tuyệt đối của phần thực a
Cho hai đa thức f(x) và g(x) (g(x) không là đa thức 0) bất kỳ của ( )x
(tương ứng là ( )x , ( )x , ( )x )thì bao giờ cũng có hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) thuộc ( )x (tương ứng là ( )x , ( )x , ( )x ) sao cho
f(x) = g(x)q(x) + r(x) với deg r(x) < deg g(x)
Nếu r(x) = 0, ta nói f(x) chia hết cho g(x)
Nếu z là nghiệm phức của đa thức hệ số thực f(x) thì z cũng là nghiệm phức của đa thức f(x)
Tích của hai số phức liên hợp là một số thực không âm.
Bài toán mở đầu là một bài khá quen trong đề thi quốc gia của Rumani đã
khá lâu.
Bài toán 1 Chứng minh rằng với n * , mà sin 0thì đa thức
( ) nsin sin sin( 1)
P x x x n n chia hết cho đa thức Q x( ) x2 2 cosx 1.
Ta có cách giải quen thuộc là chứng minh quy nạp theo n *
Xét cách giải dùng số phức sau.
Giải
Có Q(x)= (x – x1)(x – x2) với x1 = cos + i sin , x2 = cos – i sin nên ta chứng minh x1, x2 là hai nghiệm của P(x) Ta có
P(x1) = (x1)n sin – x1sinn + sin(n – 1)
= (cosn + i sinn)sin – (cos + i sin )sinn + sinncos
– cosnsin = 0
Vì x2 = x 1 nên P(x2) = 0
Trang 3Vậy P(x) Q(x): điều phải chứng minh.
Phức tạp hơn một chút, ta có bài toán sau.
Bài toán 2 Chứng minh nếu n *, n không chia hết cho 2 và 3 thì đa thức P(x) = 1 n - 2 2 n - 3 n - 1
n x + C x n + + C n
C chia hết cho đa thức Q(x) = x3 + 2x2 + 2x + 1
Giải
Đa thức Q(x) = (x + 1)(x2 + x + 1) có các nghiệm x1 = – 1, x2 = 1 + i 3
2
x3 = 1 3
2
i
nên ta chứng minh P(xi) = 0, i = 1,3.
Có xP(x) = 1 n - 1 2 n - 2 n - 1
n x + C x n + + C n x
C
xP(x) + xn + 1 = (1 + x)n
do đó xP(x) = (1 + x)n – xn – 1 và từ n lẻ, ta có
+ x1P(x1) = 0 ( 1)n 1 ( 1) 1 = 0
P(x1) = 0
+ x2P(x2) = 1 3 1 3 1
= cos sin cos2 sin2 1
= cos sin cos2 sin2 1
= cos cos2 1 sin sin2 .
i
Vì n không chia hết cho 2, cho 3 nên n = 6k 1, kN* Do đó
+ cosn = cos(π π) = 1
+ cosn2π = cos( 2π) = -1
+ sinn = sin(± ) = sin(±π π 2π) = sin n2π
nên x2P(x2) = 1 1 1 0 0.
22
+ Lại có x 2 0 nên P(x2) = 0
Vì x3 = x 2 nên P(x3) = 0
Vậy P(x) Q(x): điều phải chứng minh
Mở rộng một chút bài toán này, ta có bài toán 3.
Trang 4Bài toán 3 Tìm số nguyên dương n để đa thức
P(x) = 1 n - 2 2 n - 3 3 n - 4 - 1 n - 1
- C x + C x - C x + + (-1)n C
chia hết cho đa thức Q(x) = x3 – 2x2 + 2x – 1
Giải
Đa thức Q(x) = (x – 1)(x2 – x + 1) có các nghiệm x1 = 1, x2 = 1 + 2 3
2 , x3 =
2
i
nên ta tìm n * để P(xi) = 0, i = 1,3.
Có xP(x) = 1 n 1 2 n 2 3 n 3 ( 1)n 1 1
xP(x) + xn +(- 1)n = 0 n 1 n 1 2 n 2 3 n 3 ( 1)n1 1 ( 1)n n
n n n n n n
xP(x) = (x – 1)n – xn – (–1)n
Ta có
+ x1P(x1) = 0 1 ( 1)n
P(x1) = 1 ( 1)n
(do x1 = 1)
Do đó P(x1) = 0 ( 1)n 1
n lẻ
Lúc đó xP(x) = (x – 1)n – xn + 1
+ x2P(x2) = 1 3 1 1 3 1
n n
= 1 3 1 3 1
n n
= cos2 sin2 cos sin 1
= cos2 cos 1 sin2 sin
i
Do đó P(x2) = 0
2
2
cos
2cos 1 0
3
n
3 3 2
6 1, .
n
k
Trang 5+ Vì x3 x2 nên P x( ) 0 3 n 6k 1.
Vậy số n cần tìm là số nguyên dương chia cho 6 dư 1 hoặc dư 5
Kết hợp với dãy số, ta có bài thứ 5 (bài đầu của ngày thứ hai) VMO 2015
Bài toán 4 Cho dãy đa thức (fn(x) )được xác định bởi
f0(x) = 2, f1(x) = 3x, fn(x) = 3xfn-1(x) + (1 – x – 2x2) fn-2(x) với mọi n 2.
Tìm tất cả các số nguyên dương n để đa thức fn(x) chia hết cho đa thức x3 –
x2 + x
Bài này ngoài cách giải đặt dãy hàm phụ và đồng dư, còn có cách giải
khác, có thể nhẹ hơn, là cách dùng dãy số và số phức.
Giải
Xét dãy số 0 1 2
2, 3 ,
n n n
Ta có phương trình đặc trưng u2 – 3xu + (2x2 + x – 1) = 0 có hai nghiệm
u1 = x + 1, u2 = 2x – 1 nên
( 1)n (2 1) ,n .
n
u x x n
Có 0
1
1
u
n
f x x x n
Đặt g(x) = x3 – x2 + x thì g(x) = x(x2 – x + 1) có ba nghiệm x1 = 0, x2 =
2
i
, x3 =1 3
2
i
nên ta tìm n để fn(x1) = 0, fn(x2) = 0 ( lúc đó fn(x3) = 0 do
3 2
x x ) Ta có
+ fn(x1) = 0 1n ( 1)n 0
n lẻ
+ fn(x2) = 3 3 3
n
n
3 3 1 3 0
n
3 cos6 sin6 cos2 sin2
n
3n cosn6 isinn6cosn2 isinn2
3ncosn6 cosn2isinn6 sinn2
Trang 6
n
n
i
i
Do đó ( ) 0 2 cos 0 6 3,
n
f x k n k k
+ Kết hợp với n lẻ, chọn n 6k 3,k
Vậy tất cả các giá trị cần tìm là n 6k 3,k
Ta xét một vài dạng toán khác của đa thức sử dụng đến số phức và nghiệm phức.
Bài toán 5 Gọi x1, x2, , xn là n nghiệm của đa thức với hệ số thực
P(x) = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an
Chứng minh rằng
2 4 6 1 3 5 7 1
( 1) (1 ) ( )
n i i
Đa thức x 2 + 1 có hai nghiệm là i và –i nên
x 2 + 1 = (x – i)(x + i) = (i – x)(-i – x).
Do đó cần viết lại P(x) dưới dạng tích và thay x bởi i và –i để xuất hiện nhân tử x i2 1.
Giải
Theo gỉa thiết,
1
P(x) = ( )
n
i i
x x
1
P(i).P(-i) = ( )( )
n
i i i
2 2 2
i i
Lại có
P(i).P(-i) =( in + a1in-1 + a2in-2 + + an-1i + an)((- i)n + a1(-i)n-1 +
a2 (-i)n-2 + + an-1 (-i) + an)
và
1 = -i2 = -(-i)2 = i4 = (-i)4 = -i6 = -(-i)6 =
nên
1 n 1 n 1 n , ( ) 1 n ( ) 1 ( )n 1 ( ) ,n
2 n 2 n 2 n, ( ) 2 n ( ) 2 ( )n 2 ( ) ,n
3 n 3 n 3 n , ( ) 3 n ( ) 3 ( )n 3 ( ) ,n
a i i a i a i a i i a i a i
4 n 4 n 4 n, ( ) 4 n ( ) 4 ( )n 4 ( ) ,n
Trang 75 6 5 1 5 6 5 1
5 n 5 n 5 n , ( ) 5 n ( ) 5 ( )n 5 ( ) ,n
6 n 6 n 6 n, ( ) 6 n ( ) 6 ( )n 6 ( ) , n
Do đó
P(i).P(-i)
= (in)(-i)n(1 – a1i – a2 + a3i + a4 – a5i – a6 + )(1 – a1(-i) – a2 + a3(-i) + a4 –
a5(-i) – a6 + )
= [(1 – a2 + a4 – a6 + ) – i(a1 –a3 + a5 – )][(1 – a2 + a4 – a6 + ) – (-i)(a1 –
a3 + a5 – )]
= (1 – a2 + a4 – a6 + )2 – [ i(a1 –a3 + a5 – )]2
= (1 – a2 + a4 – a6 + )2 – (a1 –a3 + a5 – )2 (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Bài toán tiếp theo sử dụng số phức ở khía cạnh khác : môt đa thức hệ số thực nếu có nghiệm phức (thật sự) z thì sẽ có nghiệm z , do đó nó có một số chẵn nghiệm phức và tích hai nghiệm liên hợp này là một số thực dương.
Bài toán 6 ( IMO lần thứ 34, năm 1993)
Cho f(x) = xn + 5xn-1 + 3, n nguyên, n > 1 Chứng minh rằng f(x) không thể biểu diễn thành tích hai đa thức ( khác hằng số) với hệ số nguyên
Giải
Khi n = 2 thì f(x) = x2 + 5x + 3 là bất khả quy trên (x)
Khi n 3, giả sử f(x) = g(x).h(x) với g(x), h(x) thuộc (x) và có bậc 1
Vì deg g + deg h = n 3 nên trong hai số deg g, deg h có một số lớn hơn
1 Lại có f(0) = 3 là số nguyên tố nên g(0) 1hoặc h(0) 1.
Giả sử g(x) = xk + a1xk-1 + a2xk-2 + … + ak (k > 1) và g(0) 1
Gọi x1, x2, …,xk là các nghiệm ( nói chung ) của g(x) thì
1
g(x) = k ( i)
i
x x
Vì g(0) 1nên x x1 2 x k 1 (*)
Có g(xi) = 0 nên f(xi) = 0, i = 1, k Do đó n 1 ( 5) 3, 1,
i i
Nhân k đẳng thức này và dùng (*), ta được
( 1 5)( 2 5) ( 5) 3 k
k
x x x ( **) Lại có g( 5) (x1 5)(x2 5) (x k 5) và 3 = f(-5) = g(-5)h(-5)
nên (x1 5)(x2 5) (x k 5) 3 hoặc (x1 5)(x2 5) (x k 5) 1. (***)
Trang 8Vì k > 1 nên 3k > 3 từ ( **) và (***) ta có ngay mâu thuẫn.
Vậy ta có điều phải chứng minh
Kết hợp với các kỹ thuật thường dùng trong bài toán xác định đa thức
như xét nghiệm và số nghiệm, đồng nhất hai vế, , ta có bài toán tương đối phức tạp sau
Bài toán 7 Tìm tất cả các đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn điều kiện
P x P x( ) ( 1) P x( 2 x 1), x (1) Giải
Nếu P(x) a (a là hằng số) thì từ (1) ta có 2 0
1
a
a
Thử lại, chọn hai đa thức P(x) 0, P(x) 1
Xét P(x) không là đa thức hằng.
+ Nếu x0 là nghiệm thực của P(x) thì 2
P x x P x P x nên 2
1 0 0 1
x x x là nghiệm của P(x)
Tương tự, 2
2 1 1 1
x x x thì 2
P x P x x P x P x nên
x2 là nghiệm của P(x)
Cứ thế ta có 2
1 1,
k k k
x x x k là nghiệm của P(x) và x k1 x k
2
1 0
k
x
nên P(x) có vô số nghiệm ( là điều vô lý)
Do đó P(x) không có nghiệm thực
+ Ta được 2 2 1
Thay vào (1), được
2 2 2 2 1
2 ( 1) n 2 1 ( 1) n 0
Đồng nhất hệ số của x4n và hệ số tự do, ta có
2
2
0
0 0
1 1
n n n
a
Gọi x1, x2, ,x2n là 2n nghiệm phức của P(x) thì
2 0
1 2 2
2
( 1)
n n
n
a
x x x
a
do đó x x1 2 x2n x x1 2 x2n 1.
Vì x k là nghiệm của P(x) thì x k2 x k 1cũng là nghiệm của P(x) nên
từ x k2 x k 1 x k ta có
- Nếu x k 1 thì x k2 x k 1 x k 1, suy ra P(x) có vô số nghiệm : loại
- Nếu x k 1 thì số phức u i thỏa 2
1
k k k
u u x cũng là nghiệm của P(x) và ta cóu k u k2 u k 1 x k , suy ra P(x) có vô số nghiệm : loại
Trang 9Như vậy phải có x k 1,k 1, 2n hay x k cos k isin k,k 1, 2 n
Vì 2
1 1
k k
x x nên
(2cos 1)(cos sin ) 1 (2cos 1) (cos sin ) 1
.
k k k
k k k k
k k k
i
Lại có 2 1
0
n
n k
k n
a x a
nên P x( ) ( x2 1) ,n n 1 ( thỏa (1))
Vậy tất cả các đa thức cần tìm là 2
( ) 0, ( ) 1, ( ) ( 1) ,n 1.
P x P x P x x n
Để rèn luyện, các em học sinh có thể giải các bài toán sau
1 Chứng minh rằng đa thức P(x) = (x + 1)4n+2 + (x – 1)4n+2 chia hết cho đa thức Q(x) = x2 + 1 với mọi số tự nhiên n
2 Tìm số nguyên dương n sao cho đa thức P(x) = x2n + xn + 1 chia hết cho đa thức Q(x) = x2 + x + 1
( Kết quả là n là số nguyên dương không chia hết cho 3)
3 Có tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho đa thức P(x) = (x + 1)2n + (x – 1)2n – (2x)2n chia hết cho đa thức Q(x) = x4 – 1
( Kết quả là không tồn tại số nguyên dương n)
4 Cho dãy đa thức (fn(x) )được xác định bởi
0 1
2
3 ( ) 2, ( )
x
x
Tìm tất cả các số nguyên dương n để đa thức fn(x) chia hết cho đa thức x3
– 2x2 + 4x
( Kết quả là n là số nguyên dương chia 6 dư 3)
5 Cho các đa thức hệ số phức P(x) = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an có n nghiệm x1, x2, ,xn , Q(x) = xn + b1xn-1 + b2xn-2 + + bn-1x + bn có n nghiệm x12,
x22, ,xn2 Chứng minh rằng nếu các tổng a1 + a3 + a5 + và a2 + a4 + a6 + là các số thực thì tổng b1 + b2 + b3 + +bn cũng là số thực
Trang 10(Hướng dẫn: Xét tích P(1).P(-1) và xét Q(1))
6 Cho đa thức
12 2
2 6 1
0
n
n k
k k
6 6 2
.
n n
k k
k k
(Hướng dẫn: Xét tổng P()+P(-)với 1 3
2 2 i
)
Mong là bài viết này giúp các thầy cô có thêm tài liệu cho các em đọc và làm bài tập Những ý kiến trao đổi xin gởi về: Phạm Ngọc Châu, giáo viên Toán trường THPT chuyên Lê Khiết, thành phố Quảng Ngãi, tỉnh Quảng Ngãi