CHUYÊN đề NGHIỆM của đa THỨC

TRNG THPT CHUYấN Lấ KHIT TNH QUNG NGI T TON CHUYấN NGHIM PHC CA A THC Giỏo viờn: Phm Ngc Chõu Qung Ngói, Thỏng nm 2015 NGHIM PHC CA A THC a thc cỏc thi hc sinh gii thng l khỏ phc i vi thớ sinh, dựng s phc gii toỏn khụng l s la chn ca nhiu hc sinh cỏc em khụng cú nhiu iu kin tip xỳc Bi vit ny c gng lm nh i s phc v lm tng iu kin tip xỳc cho cỏc em qua vic xột nghim phc ca a thc Bi vit ny s dng cỏc kin thc quen thuc : nh lý Bezout, nh lý Viette, cỏc kin thc v s phc sỏch giỏo khoa mụn Toỏn lp 12 nõng cao,, ch cn lu ý thờm vi ý sau a thc bc n cú khụng quỏ n nghim thc a thc bc l luụn cú nghim thc Khi s phc z = a + bi cú phn o b = thỡ moun ca z chớnh l giỏ tr tuyt i ca phn thc a Cho hai a thc f(x) v g(x) (g(x) khụng l a thc 0) bt k ca  ( x) (tng ng l Ô ( x) , Ă ( x) , Ê ( x) )thỡ bao gi cng cú hai a thc nht q(x) v r(x) thuc  ( x) (tng ng l Ô ( x) , Ă ( x) , Ê ( x) ) cho f(x) = g(x)q(x) + r(x) vi deg r(x) < deg g(x) Nu r(x) = 0, ta núi f(x) chia ht cho g(x) Nu z l nghim phc ca a thc h s thc f(x) thỡ z cng l nghim phc ca a thc f(x) Tớch ca hai s phc liờn hp l mt s thc khụng õm Bi toỏn m u l mt bi khỏ quen thi quc gia ca Rumani ó khỏ lõu Bi toỏn Chng minh rng vi n Ơ * , Ă m sin thỡ a thc P ( x ) = x n sin x sin n + sin( n 1) chia ht cho a thc Q( x) = x x cos + Ta cú cỏch gii quen thuc l chng minh quy np theo n Ơ * Xột cỏch gii dựng s phc sau Gii Cú Q(x)= (x x1)(x x2) vi x1 = cos + i sin , x2 = cos i sin nờn ta chng minh x1, x2 l hai nghim ca P(x) Ta cú P(x1) = (x1)n sin x1sinn + sin(n 1) = (cosn + i sinn )sin (cos + i sin )sinn + sinn cos cosn sin = .Vỡ x2 = x1 nờn P(x2) = Vy P(x) M Q(x): iu phi chng minh Phc hn mt chỳt, ta cú bi toỏn sau Bi toỏn Chng minh nu n Ơ * , n khụng chia ht cho v thỡ a thc P(x) = Cn1 x n - + C2n x n - + + Cnn - chia ht cho a thc Q(x) = x3 + 2x2 + 2x + Gii a thc Q(x) = (x + 1)(x2 + x + 1) cú cỏc nghim x1 = 1, x2 = x3 = i nờn ta chng minh P(xi) = 0, i = 1,3 Cú xP(x) = Cn1 x n - + Cn2 x n - + + C nn - x xP(x) + xn + = (1 + x)n ú xP(x) = (1 + x)n xn v t n l, ta cú + x1P(x1) = (1) n = (1) = P(x1) = n n + x2P(x2) = + i ữữ + i ữữ 2 2 n nờn n 2 = cos + i sin ữ cos + i sin ữ 3 3 n n 2n 2n = cos + i sin + i sin ữ cos ữ 3 3 n 2n n 2n = cos cos 1ữ+ i sin sin ữ 3 3 Vỡ n khụng chia ht cho 2, cho nờn n = 6k 1, k N* Do ú + cosn = cos( ) = , 3 2 = cos( )=- , + cosn 3 n2 + sinn = sin( ) = sin( ) = sin 3 3 1 x2P(x2) = + + = 2 + Li cú x2 nờn P(x2) = Vỡ x3 = x nờn P(x3) = Vy P(x) M Q(x): iu phi chng minh M rng mt chỳt bi toỏn ny, ta cú bi toỏn Bi toỏn Tỡm s nguyờn dng n a thc + i , P(x) = - C1n x n - + C2n x n - - C3n x n - + + (-1) n - Cnn - chia ht cho a thc Q(x) = x3 2x2 + 2x Gii a thc Q(x) = (x 1)(x2 x + 1) cú cỏc nghim x1 = 1, x2 = 1+2 , x3 = i nờn ta tỡm n Ơ * P(xi) = 0, i = 1,3 Cú xP(x) = Cn1 x n + Cn2 x n Cn3 x n + + (1)n Cn1 xP(x) + xn +(- 1)n = Cn0 x n Cn1 x n + Cn2 x n Cn3 x n3 + + (1) n1 Cn1 + (1) n Cnn xP(x) = (x 1)n xn (1)n Ta cú + x1P(x1) = (1) n P(x1) = (1) n (do x1 = 1) Do ú P(x1) = (1) n = n l Lỳc ú xP(x) = (x 1)n xn + n n n n 3 + x2P(x2) = + i 1ữữ + i ữữ + 2 2 = + i ữữ + i ữữ + 2 2 2n 2n n n = cos + i sin + i sin ữ cos ữ+ 3 3 2n n 2n n = cos cos + ữ+ i sin sin ữ 3 3 2n n cos cos + = Do ú P(x2) = sin 2n sin n = 3 n n cos cos 1ữ = sin n 2cos n = ữ n cos = n = + k 3 n = 6k 1, k  + Vỡ x3 = x2 nờn P( x3 ) = n = 6k Vy s n cn tỡm l s nguyờn dng chia cho d hoc d Kt hp vi dóy s, ta cú bi th (bi u ca ngy th hai) VMO 2015 Bi toỏn Cho dóy a thc (fn(x) )c xỏc nh bi f0(x) = 2, f1(x) = 3x, fn(x) = 3xfn-1(x) + (1 x 2x2) fn-2(x) vi mi n Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n a thc f n(x) chia ht cho a thc x3 x2 + x Bi ny ngoi cỏch gii t dóy hm ph v ng d, cũn cú cỏch gii khỏc, cú th nh hn, l cỏch dựng dóy s v s phc Gii u0 = 2, u1 = 3x, vi x l tham s thc un = xun + (1 x x )un , n Ơ , n Xột dóy s Ta cú phng trỡnh c trng u2 3xu + (2x2 + x 1) = cú hai nghim u1 = x + 1, u2 = 2x nờn un = ( x + 1) n + (2 x 1) n , n Ơ u0 = = + = nờn f n ( x) = ( x + 1) n + (2 x 1) n , n Ơ = u1 = x = ( x + 1) + (2 x 1) Cú t g(x) = x3 x2 + x thỡ g(x) = x(x2 x + 1) cú ba nghim x1 = 0, x2 = 1+ i i , x3 = nờn ta tỡm n Ơ fn(x1) = 0, fn(x2) = ( lỳc ú fn(x3) = 2 x3 = x2 ) Ta cú + fn(x1) = 1n + (1) n = n l n 3 + fn(x2) = + i ữữ + 2 ( 3i ) n n n n = + iữ + + i ( ) ữ 2 n n n = cos + i sin ữ + cos + i sin ữ 6 2 n n n n n = cos + i sin + i sin ữ + cos 6 2 n ữ n n n n n = cos + cos + sin ữ+ i sin ữ n n n n n = cos cos cos ữ+ i sin ữ n n n n = cos + i sin cos ữ 3 n n = + k n = 6k + 3, k Ơ Do ú f n ( x2 ) = cos = 6 n = k + 3, k Ơ + Kt hp vi n l, chn Vy tt c cỏc giỏ tr cn tỡm l n = 6k + 3, k Ơ Ta xột mt vi dng toỏn khỏc ca a thc s dng n s phc v nghim phc Bi toỏn Gi x1, x2, , xn l n nghim ca a thc vi h s thc P(x) = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an Chng minh rng n (x i =1 i + 1) = (1 a2 + a4 a6 + ) + (a1 a3 + a5 a7 + ) a thc x2 + cú hai nghim l i v i nờn x2 + = (x i)(x + i) = (i x)(-i x) Do ú cn vit li P(x) di dng tớch v thay x bi i v i xut hin nhõn t xi + Gii n Theo ga thit, P(x) = ( x xi ) nờn i =1 n P(i).P(-i) = (i xi )( i xi ) i =1 n n i =1 i =1 = ( i xi ) = ( xi + 1) (1) Li cú P(i).P(-i) =( in + a1in-1 + a2in-2 + + an-1i + an)((- i)n + a1(-i)n-1 + a2 (-i)n-2 + + an-1 (-i) + an) v = -i2 = -(-i)2 = i4 = (-i)4 = -i6 = -(-i)6 = nờn a1i n = i a1i n = a1i n +1 , a1 (i ) n = ( i ) a1 (i ) n1 = a1 (i ) n +1 , a2 i n = i a2 i n = a2 i n , a2 (i ) n = (i ) a2 (i ) n = a2 (i ) n , a3i n = i a3 i n = a3i n+1 , a3 (i ) n = ( i ) a3 (i ) n3 = a3 ( i ) n+1 , a4 i n = i a4 i n = a4 i n , a4 (i ) n = (i ) a4 (i ) n = a4 (i ) n , a5 i n = i a5 i n = a5 i n +1 , a5 (i ) n5 = (i )6 a5 (i ) n = a5 (i ) n+1 , a6 i n = i a6 i n = a6 i n , a6 (i ) n = (i )6 a6 (i ) n = a6 (i ) n , Do ú P(i).P(-i) = (i n)(-i)n(1 a1i a2 + a3i + a4 a5i a6 + )(1 a1(-i) a2 + a3(-i) + a4 a5(-i) a6 + ) = [(1 a + a4 a6 + ) i(a1 a3 + a5 )][(1 a2 + a4 a6 + ) (-i)(a1 a3 + a5 )] = (1 a2 + a4 a6 + )2 [ i(a1 a3 + a5 )]2 = (1 a2 + a4 a6 + )2 (a1 a3 + a5 )2 (2) T (1) v (2) ta cú iu phi chng minh Bi toỏn tip theo s dng s phc khớa cnh khỏc : mụt a thc h s thc nu cú nghim phc (tht s) z thỡ s cú nghim z , ú nú cú mt s chn nghim phc v tớch hai nghim liờn hp ny l mt s thc dng Bi toỏn ( IMO ln th 34, nm 1993) Cho f(x) = x n + 5xn-1 + 3, n nguyờn, n > Chng minh rng f(x) khụng th biu din thnh tớch hai a thc ( khỏc hng s) vi h s nguyờn Gii Khi n = thỡ f(x) = x2 + 5x + l bt kh quy trờn  (x) Khi n 3, gi s f(x) = g(x).h(x) vi g(x), h(x) thuc  (x) v cú bc Vỡ deg g + deg h = n nờn hai s deg g, deg h cú mt s ln hn Li cú f(0) = l s nguyờn t nờn g (0) = hoc h(0) = Gi s g(x) = xk + a1xk-1 + a2xk-2 + + ak (k > 1) v g (0) = Gi x1, x2, ,xk l cỏc nghim ( núi chung Ê ) ca g(x) thỡ k g(x) = ( x xi ) i =1 Vỡ g (0) = nờn x1 x2 xk = (*) Cú g(xi) = nờn f(xi) = 0, i = 1, k Do ú xi n ( xi + 5) = 3, i = 1, k Nhõn k ng thc ny v dựng (*), ta c ( x1 + 5)( x2 + 5) ( xk + 5) = 3k nờn ( **) Li cú g (5) = ( x1 + 5)( x2 + 5) ( xk + 5) v = f(-5) = g(-5)h(-5) ( x1 + 5)( x2 + 5) ( xk + 5) = hoc ( x1 + 5)( x2 + 5) ( xk + 5) = (***) Vỡ k > nờn 3k > t ( **) v (***) ta cú mõu thun Vy ta cú iu phi chng minh Kt hp vi cỏc k thut thng dựng bi toỏn xỏc nh a thc nh xột nghim v s nghim, ng nht hai v, , ta cú bi toỏn tng i phc sau Bi toỏn Tỡm tt c cỏc a thc P(x) h s thc tha iu kin P ( x ).P ( x + 1) = P ( x + x + 1), x (1) Gii a = Th li, chn a = Nu P(x) a (a l hng s) thỡ t (1) ta cú a = a hai a thc P(x) 0, P(x) Xột P(x) khụng l a thc hng + Nu x l nghim thc ca P(x) thỡ P( x0 + x0 + 1) = P ( x0 ).P( x0 + 1) = nờn x1 = x0 + x0 + l nghim ca P(x) Tng t, x2 = x12 + x1 + thỡ P( x2 ) = P( x12 + x1 + 1) = P( x1 ).P( x1 + 1) = nờn x2 l nghim ca P(x) C th ta cú xk +1 = xk + xk + 1, k Ơ l nghim ca P(x) v xk +1 xk = = xk + > nờn P(x) cú vụ s nghim ( l iu vụ lý) Do ú P(x) khụng cú nghim thc + Ta c P( x) = a2 n x n + a2 n1 x n1 + + a0 (a2 n , a0 0, n 1) Thay vo (1), c (a2 n x n + a2 n x n + + a0 ) a2 n ( x + 1) n + a2 n ( x + 1) n + + a0 = = a2 n ( x + x + 1) n + a2 n ( x + x + 1) n + + a0 a2 n = a2 n = a2 n ng nht h s ca x v h s t do, ta cú a0 = a0 a0 = (1) n a0 =1 Gi x1, x2, ,x2n l 2n nghim phc ca P(x) thỡ x1 x2 x2 n = a2 n 4n ú x1 x2 x2 n = x1 x2 x2 n = Vỡ xk l nghim ca P(x) thỡ xk + xk + cng l nghim ca P(x) nờn t xk + xk + > xk ta cú - Nu xk > thỡ xk + xk + > xk > , suy P(x) cú vụ s nghim : loi - Nu xk < thỡ s phc ui tha uk + uk + = xk cng l nghim ca P(x) v ta cú uk < uk + uk + = xk , suy P(x) cú vụ s nghim : loi Nh vy phi cú xk = 1, k = 1, 2n hay xk = cos k + i sin k , k = 1, 2n Vỡ xk + xk + = nờn (2 cos k + 1)(cos k + i sin k ) = (2 cos k + 1) (cos k + sin k ) = cos k = cos k = xk = i xk = i n Li cú x k =1 k = a2 n = nờn P ( x ) = ( x + 1) n , n ( tha (1)) a2 n Vy tt c cỏc a thc cn tỡm l P( x) 0, P( x) 1, P( x) = ( x + 1) n , n rốn luyn, cỏc em hc sinh cú th gii cỏc bi toỏn sau Chng minh rng a thc P(x) = (x + 1) 4n+2 + (x 1)4n+2 chia ht cho a thc Q(x) = x2 + vi mi s t nhiờn n Tỡm s nguyờn dng n cho a thc P(x) = x 2n + xn + chia ht cho a thc Q(x) = x2 + x + ( Kt qu l n l s nguyờn dng khụng chia ht cho 3) Cú tn ti hay khụng s nguyờn dng n cho a thc P(x) = (x + 1) 2n + (x 1)2n (2x)2n chia ht cho a thc Q(x) = x4 ( Kt qu l khụng tn ti s nguyờn dng n) Cho dóy a thc (fn(x) )c xỏc nh bi 3x f ( x) = 2, f1 ( x ) = f ( x) = 3x f ( x) ( x + x 2) f ( x), n n n2 n 2 Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n a thc f n(x) chia ht cho a thc x3 2x2 + 4x ( Kt qu l n l s nguyờn dng chia d 3) Cho cỏc a thc h s phc P(x) = x n + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an cú n nghim x1, x2, ,xn , Q(x) = xn + b1xn-1 + b2xn-2 + + bn-1x + bn cú n nghim x12, x22, ,xn2 Chng minh rng nu cỏc tng a1 + a3 + a5 + v a2 + a4 + a6 + l cỏc s thc thỡ tng b1 + b2 + b3 + +bn cng l s thc (Hng dn: Xột tớch P(1).P(-1) v xột Q(1)) n +1 Cho a thc P( x) = ( x + x + 1) = 2n 2n k =0 k =0 12 n + ax k =0 k k , n Ơ Chng minh rng a6k = a6k + (Hng dn: Xột tng P( )+P(- )vi = + i) Mong l bi vit ny giỳp cỏc thy cụ cú thờm ti liu cho cỏc em c v lm bi Nhng ý kin trao i xin gi v: Phm Ngc Chõu, giỏo viờn Toỏn trng THPT chuyờn Lờ Khit, thnh ph Qung Ngói, tnh Qung Ngói 10 11 ... bậc n có không n nghiệm thực Đa thức bậc lẻ có nghiệm thực Khi số phức z = a + bi có phần ảo b = mođun z giá trị tuyệt đối phần thực a Cho hai đa thức f(x) g(x) (g(x) không đa thức 0) ¢ ( x)... xét nghiệm phức đa thức Bài viết sử dụng kiến thức quen thuộc : định lý Bezout, định lý Viette, kiến thức số phức sách giáo khoa môn Toán lớp 12 nâng cao,…, cần lưu ý thêm vài ý sau Đa thức. ..NGHIỆM PHỨC CỦA ĐA THỨC Đa thức đề thi học sinh giỏi thường phức tạp thí sinh, dùng số phức để giải toán không lựa