SKKN một số KINH NGHIệM dạy “THể TíCH khối đa DIệN“

Ta thường tìm hai đường thẳng a, b đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và giao điểm M nếu có của hai đường thẳng này chính là một điểm chung của hai mặt phẳng.2.1.5.. Tìm thiết d

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI

- Những thay đổi của đối tượng được giáo dục:

+ Nhờ vào quá trình đổi mới giáo dục ở THCS nên học sinh đã có vốn kiếnthức nhất định

P

a

b'

b A

O

I HB

+ Đa số học sinh còn yếu trong việc xác định quy trình giải toán, hệ thốnghoá và nhớ các công thức Đa số học sinh gặp khó khăn trong việc lĩnh hội các kiếnthức về hình học không gian.

+ Việc sử dụng máy tính cầm tay vào giải toán ở đa số học sinh còn yếu

2 Quan điểm chỉ đạo

- Giáo dục THPT phải củng cố, phát triển những nội dung đã học ở THCS,hoàn thành nội dung giáo dục phổ thông

- Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủđộng, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học bồidưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh

3 Mục tiêu của đề tài

- Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập môn Toán của các lớp

mà bản thân tôi phụ trách giảng dạy

4 Đối tượng nghiên cứu

- Tài liệu chuẩn kiến thức kỹ năng do Bộ Giáo dục và Đào tạo phát hành

- Thực tế các giờ dạy của bản thân, dự giờ thăm lớp các đồng nghiệp

5 Phạm vi nghiên cứu: Trong trường THPT số 1 Văn Bàn và trao đổi với

các giáo viên trường bạn

6 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp, phân tích, đánh giá, dự đoán

- Thống kê, hệ thống hóa

PHẦN II: NỘI DUNG

1 Thực trạng dạy học môn Toán ở trường THPT số 1 Văn Bàn

a Cơ sở lý thuyết

* Về phương pháp dạy học

- Thầy là người tổ chức, kích thích, hướng dẫn, giảng giải, giúp đỡ

- Trò chủ động, hưng phấn, tự giác suy nghĩ, lao động nhiều hơn, thực hànhnhiều hơn Từ đó có nhu cầu học tập mạnh mẽ, năng động, sáng tạo.

* Về cách thể hiện các kiến thức phần “Thể tích khối đa diện” của sách giáo

khoa:

- Giảm tối đa tính hàn lâm trong việc trình bày các kiến thức

- Trong chừng mực cho phép, giảm nhẹ yêu cầu đối với tính chặt chẽ, chínhxác toán học

- Tránh áp đặt kiến thức cho học sinh

- Tránh cho học sinh có cảm giác nặng nề, nhàm chán trong các tiết học

- Giúp học sinh nắm bắt, hiểu, củng cố các kiến thức thông qua việc tìm hiểucác ứng dụng của những kiến thức đó trong khoa học, cũng như trong thực tiễncuộc sống

- Thông qua việc tiếp thu kiến thức, giúp học sinh phát triển tư duy, hìnhthành thẩm mỹ toán học

- Hỗ trợ tích cực cho giáo viên trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy

2 Một vài kinh nghiệm dạy "Thể tích khối đa diện" ở Trung học phổ thông.

2.1 Kiến thức học sinh cần nhớ khi học "Thể tích khối đa diện"

2.1.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

a) Định lí Pytago: BC2 AB2 AC2

a

H B

A

C

Ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng Khi đó đường thẳng nối hai điểm chung là giao tuyến của hai mặt phẳng Ta thường tìm hai đường thẳng a, b đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và giao điểm M (nếu có) của hai đường thẳng này chính là một điểm chung của hai mặt phẳng.

2.1.5 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Muốn tìm giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta cần khéo léo chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao tuyến a của (P) và (Q) dễ xác định Trong mặt phẳng (Q), đường thẳng d cắt a tại A (nếu có) Đó chính là giao điểm cần tìm

2.1.6 Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh ba đường thẳng đồng

quy

- Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh A, B, C là bađiểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) Khi đó A, B, C nằm trên giao tuyến của chúng

- Muốn chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta chứng minh hai trong

ba đường thẳng đó cắt nhau và giao điểm của chúng nằm trên đường thẳng còn lại (thông thường lại đưa về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng)

2.1.7 Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P)

B1: Tìm hai điểm chung của mặt phẳng (P) với từng mặt của hình chóp ta được các đoạn giao tuyến

B2: Nối các đoạn giao tuyến ta được một đường gấp khúc khép kín là đa giáccần tìm

2.1.8 Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b

C1: Chứng minh a, b đồng phẳng rồi áp dụng các phương pháp chứng minh trong hình học phẳng

C2: Chứng minh a, b cùng song song với một đường thẳng thứ 3

C3: Áp dụng định lí về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (Nếu có) của chúng song song với hai đường thẳng ấy

2.1.9 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (S/d quan hệ song song)

- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng

- Tìm phương của giao tuyến (Biết giao tuyến song song với một đường thẳng đã cho)

Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với đườngthẳng đã cho

2.1.10.Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)

Chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a nằm trong (P)

(Quay về bài toán chứng minh 2 đường thẳng song song)

2.1.11 Chứng minh hai mặt phẳng song song

Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với mặt phẳng kia

2.1.12 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường dùng một trong hai cách sau:

C1: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P)C2: Chứng minh d song song với đường thẳng a và a vuông góc với mp(P)

2.1.13 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta thường dùng các cách sau:

C1: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia

C2: Nếu hai đường thẳng đó cắt nhau thì ta có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuông góc đối với hai đường thẳng đã được học trong hình học phẳng

C3: Dùng định lí ba đường vuông góc (Nếu vuông góc với hình chiếu thì muông góc với đường xiên và ngược lại)

2.1.14 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

C1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

C2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 900 hay góc phẳng nhị diện dohai mặt phẳng đó tạo nên bằng 900

2.1.15 Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

C1: Nếu a và b vuông góc với nhau thì:

- Dựng mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b tại B

- Dựng BAa tại A Đoạn AB là đoạn vuông góc chung

C2: Cho a và b chéo nhau

- Dựng mp(P) chứa a, song song với b

- Chọn M trên b dựng MM' ( )  P tại M'

- Từ M' dựng b'//b cắt a tại A

- Từ A dựng AB//M'M cắt b tại B

Đoạn AB là đoạn vuông góc chung

C3: Cho a và b chéo nhau

- Dựng mặt phẳng ( )P a tại O, (P) cắt b tại I

- Dựng hình chiếu vuông góc b' của b trên (P)

- Dựng trong (P) đường OH b'

- Từ H, dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A

P

a b

B A

O

I HB

Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b.

2.1.16 Góc giữa hai đường thẳng a và b: là góc giữa hai đường thẳng a’ và

b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phưng với a và b

2.1.17 Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P): là góc

giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P)

2.1.18 Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q): là góc giữa hai đường thẳng lần

lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó,

Hoặc là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến của chúng tại một điểm

Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’

là các điểm tùy ý lần lượt thuộc

+ Thể tích khối hộp chữ nhật: V a b c . (a, b, c là ba kích thước)

+ Thể tích khối lập phương: V a3 (a là độ dài cạnh)

2.2 Kinh nghiệm dạy bài tập ”Thể tích khối đa diện”

2.2.1.Phương pháp

a) Cách xác định đường cao của khối đa diện

- Đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy

- Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa đỉnh và vuông góc với

- Nếu mặt phẳng (P) đi qua đỉnh, vuông góc với đáy theo giao tuyến  thìtrong mặt phẳng (P), kẻ đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với  sẽ được đườngcao của khối chóp.

- Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và hìnhchiếu của nó là đường cao

- Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy những góc bằngnhau (ít nhất 3 cạnh bên) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp của đagiác đáy

- Khối chóp có các mặt bên (ít nhất 3 mặt bên) cùng tạo với đáy góc bằngnhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

- Khối chóp có hai mặt bên kề nhau và cùng tạo với đáy những góc bằngnhau thì chân đường cao nằm trên đường phân giác góc của đỉnh chung, nằm trongmặt phẳng đáy

- Với khối lăng trụ ta lấy một đỉnh kết hợp với đáy đối diện ta cũng được mộtkhối chóp sau đó việc xác định chân đường cao cũng dựa theo các hướng trên

- Cho điểm A và mặt phẳng (P) Đường thẳng d chứa A và d/ /( )P thì khoảngcách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên d đến (P)

- Nếu có mặt phẳng (Q) chứa A và song song với (P) thì khoảng cách từ Ađến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên (Q) đến (P)

b) Tính thể tích bằng cách sử dụng công thức tỉ số thể tích:

- Tính thể một khối đa diện, ta không tính trực tiếp nó mà thông qua mộtkhối trung gian Sau đó tìm tỉ số thể tích giữa khối đa diện cần tính và khối đa diệntrung gian Từ thể tích khối trung gian ta suy ra thể tích của khối đa diện cần tính

- Nếu hai khối chóp có cùng diện tích đáy thỡ tỉ số thể tích bằng tỉ số haiđường cao tương ứng

- Nếu hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số haidiện tích đáy

- Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,

A' B'

D'

A

Hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A'B'C'D'

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O

của hai đường chéo của hình thoi

; 0

; 2

C a

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và

đường cao bằng h Gọi I là trung

Hình chóp S.ABC có SA (ABC) và  ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có

S

x

y

z

Khi đó : B a ;0;0 ; C 0; ;0  b 

S 0;0;h 

Hình chóp S.ABC có SA (ABC) và  ABC vuông tại B

Tam giác ABC vuông tại B có

Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông tại C

 ABC vuông tại C CA a CB b ; 

chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông tại A

 ABC vuông tại A AB a AC b ; 

H

S

x y

z

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S

và  ABC vuông cân tại C

Tam giác ABC vuông cân tại C có

S

x

y

z

Cho hình tứ diện ABCD có cạnh

AD vuông góc với mặt phẳng (ABC),

ngoài ra AD = AC = 4a; AB = 3a; BC =

5a Tính thể tích khối chóp tứ diện

ABCD theo a và tính khoảng cách từ A

đến (BCD)

A

B

C D

M H

Giải

* Tính thể tích khối chóp tứ diện ABCD theo a

Vì AD = AC = 4a; AB = 3a; BC = 5a

Suy ra ABC là tam giác vuông tại A

a AH

I A

B

C S

Kẻ AH  SB suy ra AH  (SBC) Khi đó d(A, (SBC)) = AH

Xét ∆SAD vuông tại A Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

2 2 2 2 2

1 3

1 1 1 1

a a AB SA

(SAD) vuông góc với đáy Các

mặt bên (SAB) và (SDC) cùng tạo

với mặt đáy một góc bằng nhau

Gọi H là trung điểm AD Tính thể

tích khối chóp S.ABCD theo a và

K M

Vì (SBC) tạo với mp(ABCD) một góc 600 nên SKH 600.

* Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a:

Ta có:

5

BC a ; 2 2 2

32

32

55

* Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.

Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC))

Ta có AO  (SBC)  C và c do đó

d(A, (SBC)) = 2.d(O, (SBC)) ;

SO  (ABCD) nên SO  BC

Kẻ SJ  BC thì J là trung điểm của BC

Suy ra BC  (SOJ)  (SBC)  (SOJ)

(SBC)  (SOJ)  SJ, kẻ OH  SJ (H  SJ) Khi đó d(O, (SBC)) = OH

Xét tam giác SOJ vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

2 2 2

1 1 1

OS OJ

Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD cạnh đáy bằng a Cạnh bên

bằng 2a Gọi E là điểm đối xứng của D

qua trung điểm của SA Gọi M , N lần

lượt là trung điểm của AE và BC Tính

thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng

cách giữa hai đường thẳng MN, AC theo

Lại có PN // AC nên (MNP) // (SAC)

 d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH = 1 2

N M

E

O

B

C D

A

S

Loại II: Thể tích khối lăng trụ Dạng 1: Khối lăng trụ đứng.

Cho lăng trụ đứng tam giác

ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác

vuông có BA = BC = a, cạnh bên AA’

= a 2 Gọi M là trung điểm của BC

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

A'

M E

B

C A

Do tam giác ABC vuông tại B nên tứ diện BAEM có BA, BE, BM đôi mộtvuông góc với nhau.

Nếu gọi BH là chiều cao kẻ từ B của tứ diện ABCD (H (AEM)) thì

a a

BH BA BE BM a   a  

7 ( , ' )

Cho khối lăng trụ đứng

ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác

đều cạnh bằng a Gọi M là trung điểm

của cạnh AC Góc tạo bởi đường thẳng

B'M và mặt phẳng (ABC) bằng 45 0

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính chiều cao của khối lăng trụ trên

c) Tính thể tích của khối lăng trụ trên

45

M

C' B'

A A'

Giải

* Diện tích tam giác ABC là:

2 0

Dạng 2: Khối lăng trụ xiên

(ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt

tạo với đáy những góc 450 và 600

Tính thể tích khối hộp nếu biết

cạnh bên bằng 1

H N

M

D'

C'

B' A'

D

C

B A

'

2 2

Kết luận: VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = 3

Do AH (A1B1C1) nên góc AA1H là góc giữa AA1 và (A1B1C1)

Theo giả thiết thì góc AA1H bằng 300

Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1H =300

2

3

1

a H

nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt khác AH  B1C1 nên B1C1  (AA1H)

Kẻ đường cao HK của tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa

AA1 và B1C1.

Ta có AA1.HK = A1H.AH

4

3

1

AA

AH H A



Loại III: Sử dụng phương pháp tọa độ để tìm thể tích khối đa diện

Ví dụ 1:

Trong không gian với hệ toạ

độ Oxyzcho hình chóp S.ABCD có

đáy ABCD là hình thoi AC cắt BD

tại gốc toạ độ O Biết A( 2 ; 0 ; 0 );

S

O

Chọn hệ trục toạ độ Đê cac vuông góc Oxyz như sau :

) 0

; 0

; 0 (

O ; A( 2 ; 0 ; 0 ); B( 0 ; 1 ; 0 ); S( 0 ; 0 ; 2 2 )

Ta có :

) 0

; 0

; 2 (

BM SA

BM SA BM

, [

].

, [ ) ,

AB BM SA BM

SA d

2 MN//AB//CD N là trung điểm của SD Toạ độ trung điểm N

1

;

0 SA ( 2 ; 0 ;  2 2 ) ; SM(  1 ; 0 ;  2 ) SB  ( 0 ; 1 ;  2 2 ) ;

) 2

; 0

; 1 (  

SM  [SA,SM]  ( 0 ; 4 2 ; 0 )

3

2 2 6

2 4 ].

, [ 6

1  SA SM SB  

V S ABM

3

2 6

2 2 ].

, [ 6

1  SA SM SN  

góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của các cạnh AB,

Do đó : SAMđều 3

2

a SH

A'

C B'

Chứng minh AM và B’C chéo nhau:

7 1

2 2

1 Bài học kinh nghiệm

* Từ những kinh nghiệm trên kết quả bài kiểm tra khảo sát của 01 lớp mà tôitham gia giảng dạy như sau:

Điểm yếu kém Điểm trung bình Điểm khá giỏi Tổng số đạt yêu cầu

* Tôi nhận thấy để dạy tốt " Thể tích khối đa diện" ở trường THPT, người dạy

cần phải làm được tối thiểu các công việc sau:

- Gây hứng thú học tập cho học sinh

- Phải có kiến thức sâu sắc

- Chuẩn bị tốt kiến thức cho học sinh (chú trọng phần phương pháp)

- Soạn giảng theo chuyên đề để tạo điều kiện cho học sinh dễ tiếp thu, từ đótạo niềm say mê, yêu thích, khám phá môn Toán cho các em học sinh

- Coi trọng việc khai thác các kiến thức có trong sách giáo khoa THPT làmnền tảng giảng dạy Điều đó sẽ giúp ích rất tốt cho sự phát triển trí tuệ của học sinh

- Cần khai thác tốt các phần mềm Toán học như: mapple, Cabri, Sketpad, trong quá trình truyền đạt kiến thức cho học sinh

- Cần có sự quan tâm sát đáng đối với học sinh yếu Các phần kiến thức cầnđược nhắc đi, nhắc lại nhiều lần để kiến thức có thể thấm dấn vào học sinh

- Chú ý đổi mới kiểm tra, đánh giá Kiểm tra kiến thức học sinh trong cả quátrình học tâp (trước, trong và sau khi học)

* Để có thể học tốt, người trò phải tích cực, tự giác trong việc chuẩn bị bài,rèn luyện kỹ năng giải bài tập

2 Đề xuất, kiến nghị

- Nội dung dạy một bài luyện tập cần được quan tâm nhiều hơn trong các

dịp bồi dưỡng (cần có những giờ giảng mẫu của các giáo viên cốt cán, mà qua đócác giáo viên dự có thể đúc rút ưu, nhược điểm để hoàn thiện mình)

- Trong các dịp bồi dưỡng cần dành thời gian đáng kể để trao đổi về cácchuyên đề ôn thi học sinh giỏi (có sự chọn lọc giáo viên tham gia) Điều đó sẽ làmrút ngắn khoảng cách giữa giáo viên các trường và giáo viên trường THPT ChuyênLào Cai, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng môn Toán nói chung của toàntỉnh Lào Cai

- Trong đổi mới phương pháp, máy chiếu và các phần mềm Toán học giữ vaitrò quan trọng nhưng đổi mới tư duy của người thầy là quan trọng hơn cả

3 Kết luận