SKKN một số KINH NGHIệM dạy “THể TíCH khối đa DIệN“

S GIO DC V O TO LO CAI TRNG THPT S VN BN a b A B O P b' I H Sáng kiến kinh nghiệm Tên đề tài : MộT Số KINH NGHIệM DạY THể TíCH KhốI ĐA DIệN TRUNG HọC PHổ THÔNG môn: toán tên tác giả: nguyễn mạnh hà giáo viên môn: toán chức vụ: phó tổ TRƯởNG chuyên môn Năm học: 2013 2014 PHN I: NHNG VN CHUNG Lý chn ti - Nhu cu v ho nhp vi xu th mi ca giỏo dc: Ly ngi hc lm trung tõm, ngi hc gi vai trũ ch ng, tớch cc quỏ trỡnh hc - Nhng thay i ca i tng c giỏo dc: + Nh vo quỏ trỡnh i mi giỏo dc THCS nờn hc sinh ó cú kin thc nht nh + a s hc sinh cũn yu vic xỏc nh quy trỡnh gii toỏn, h thng hoỏ v nh cỏc cụng thc a s hc sinh gp khú khn vic lnh hi cỏc kin thc v hỡnh hc khụng gian + Vic s dng mỏy tớnh cm tay vo gii toỏn a s hc sinh cũn yu Quan im ch o - Giỏo dc THPT phi cng c, phỏt trin nhng ni dung ó hc THCS, hon thnh ni dung giỏo dc ph thụng - Phng phỏp giỏo dc ph thụng phi phỏt huy tớnh tớch cc, t giỏc, ch ng, sỏng to ca hc sinh, phự hp vi c im tng lp hc, mụn hc bi dng phng phỏp t hc, rốn luyn k nng dng kin thc vo thc tin, tỏc ng n tỡnh cm, em li nim vui, hng thỳ hc cho hc sinh Mc tiờu ca ti a Mc tiờu tng quỏt - Cng c v phỏt trin nhng kt qu m hc sinh ó cú THCS, nõng cao cht lng mụn Toỏn trng THPT s Vn Bn b Mc tiờu c th - a mt s kinh nghim truyn t cỏc kin thc cho hc sinh vi yờu cu c bn l: ch yu trung vo vic thc hnh gii toỏn v ý vic dựng mỏy tớnh cm tay - Gúp phn nõng cao cht lng ging dy v hc mụn Toỏn ca cỏc lp m bn thõn tụi ph trỏch ging dy i tng nghiờn cu - Ti liu chun kin thc k nng B Giỏo dc v o to phỏt hnh - Thc t cỏc gi dy ca bn thõn, d gi thm lp cỏc ng nghip Phm vi nghiờn cu: Trong trng THPT s Vn Bn v trao i vi cỏc giỏo viờn trng bn Phng phỏp nghiờn cu - Tng hp, phõn tớch, ỏnh giỏ, d oỏn - Thng kờ, h thng húa PHN II: NI DUNG Thc trng dy hc mụn Toỏn trng THPT s Vn Bn a C s lý thuyt * V phng phỏp dy hc - Thy l ngi t chc, kớch thớch, hng dn, ging gii, giỳp - Trũ ch ng, hng phn, t giỏc suy ngh, lao ng nhiu hn, thc hnh nhiu hn T ú cú nhu cu hc mnh m, nng ng, sỏng to * V cỏch th hin cỏc kin thc phn Th tớch a din ca sỏch giỏo khoa: - Gim ti a tớnh hn lõm vic trỡnh by cỏc kin thc - Trong chng mc cho phộp, gim nh yờu cu i vi tớnh cht ch, chớnh xỏc toỏn hc - Trỏnh ỏp t kin thc cho hc sinh - Trỏnh cho hc sinh cú cm giỏc nng n, nhm chỏn cỏc tit hc - Giỳp hc sinh nm bt, hiu, cng c cỏc kin thc thụng qua vic tỡm hiu cỏc ng dng ca nhng kin thc ú khoa hc, cng nh thc tin cuc sng - Thụng qua vic tip thu kin thc, giỳp hc sinh phỏt trin t duy, hỡnh thnh thm m toỏn hc - H tr tớch cc cho giỏo viờn vic i mi phng phỏp ging dy b C s thc tin - Thun li: + Bn thõn c trang b y kin thc v b mụn, c s quan tõm, giỳp ca ng nghip + Hc sinh: a s hc sinh n lc quỏ trỡnh hc tp; tip nhn nhanh phng phỏp ging dy mi - Khú khn: + Giỏo viờn: Cũn lỳng tỳng cỏch truyn t kin thc cho hc sinh yu + Hc sinh: Mt phn nh cha cú ý thc chun b bi nh; Cũn lm dng sỏch tham kho hay s dng sỏch tham kho cha ỳng cỏch Mt vi kinh nghim dy "Th tớch a din" Trung hc ph thụng 2.1 Kin thc hc sinh cn nh hc "Th tớch a din" 2.1.1 H thc lng tam giỏc vuụng: A Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, ta cú: 2 a) nh lớ Pytago: BC = AB + AC b c b) BA2 = BH BC , c) AB AC = BC AH a b A B O b' I P H 1 = + 2 AH AB AC b c b c e) sin B = ;cos B = ; tan B = ;cot B = a a c b c b c b sin C = ;cos C = ; tan B = ;cot B = a a b c d) B H 2.1.2 H thc lng tam giỏc thng: a) nh lớ Cosin: a = b + c 2bc.cos A b = c + a 2ca.cos B b) nh lớ Sin: c = a + b 2ab.cos C a b c = = = 2R sin A sin B sin C (R l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC) 2.1.3 Cỏc cụng thc tớnh din tớch a) Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc: 1 2 = ab.sin C = abc = = p.r = 4R S = a.ha = b.hb = c.hc 1 bc.sin A = ac.sin B 2 a+b+c p ( p a) ( p b) ( p c) p = ữ - c bit: + Tam giỏc ABC vuụng ti A: S = AB AC a2 + Tam giỏc ABC u cnh a: S = b) Din tớch hỡnh vuụng: S = cnh x cnh c) Din tớch hỡnh ch nht: S = di x rng d) Din tớch hỡnh thoi: S = chộo di x chộo ngn a C e) Din tớch hỡnh thang: S = (ỏy ln + ỏy nh) x chiu cao g) Din tớch hỡnh bỡnh hnh: S = ỏy x chiu cao h) Din tớch t giỏc cú hai ng chộo x, y vuụng gúc: S = x y h) Din tớch hỡnh trũn: S = R 2.1.4 Tỡm giao tuyn ca hai mt phng Ta tỡm hai im chung ca hai mt phng Khi ú ng thng ni hai im chung l giao tuyn ca hai mt phng Ta thng tỡm hai ng thng a, b ng phng ln lt nm hai mt phng v giao im M (nu cú) ca hai ng thng ny chớnh l mt im chung ca hai mt phng 2.1.5 Tỡm giao im ca ng thng v mt phng Mun tỡm giao im A ca ng thng d v mt phng (P), ta cn khộo lộo chn mt mt phng (Q) cha d cho giao tuyn a ca (P) v (Q) d xỏc nh Trong mt phng (Q), ng thng d ct a ti A (nu cú) ú chớnh l giao im cn tỡm 2.1.6 Chng minh ba im thng hng, chng minh ba ng thng ng quy - Mun chng minh ba im A, B, C thng hng ta chng minh A, B, C l ba im chung ca hai mt phng phõn bit (P) v (Q) Khi ú A, B, C nm trờn giao tuyn ca chỳng - Mun chng minh ba ng thng a, b, c ng quy ta chng minh hai ba ng thng ú ct v giao im ca chỳng nm trờn ng thng cũn li (thụng thng li a v bi toỏn chng minh ba im thng hng) 2.1.7 Tỡm thit din ca hỡnh chúp vi mt phng (P) B1: Tỡm hai im chung ca mt phng (P) vi tng mt ca hỡnh chúp ta c cỏc on giao tuyn B2: Ni cỏc on giao tuyn ta c mt ng gp khỳc khộp kớn l a giỏc cn tỡm 2.1.8 Chng minh ng thng a song song vi ng thng b C1: Chng minh a, b ng phng ri ỏp dng cỏc phng phỏp chng minh hỡnh hc phng C2: Chng minh a, b cựng song song vi mt ng thng th C3: p dng nh lớ v giao tuyn: Nu hai mt phng phõn bit ln lt cha hai ng thng song song thỡ giao tuyn (Nu cú) ca chỳng song song vi hai ng thng y 2.1.9 Tỡm giao tuyn ca hai mt phng (S/d quan h song song) - Tỡm mt im chung ca hai mt phng - Tỡm phng ca giao tuyn (Bit giao tuyn song song vi mt ng thng ó cho) Khi ú giao tuyn l ng thng i qua im chung v song song vi ng thng ó cho 2.1.10.Chng minh ng thng d song song vi mt phng (P) Chng minh d khụng nm (P) v song song vi ng thng a nm (P) (Quay v bi toỏn chng minh ng thng song song) 2.1.11 Chng minh hai mt phng song song Chng minh mt phng ny cha hai ng thng ct ln lt song song vi mt phng 2.1.12 Chng minh ng thng vuụng gúc vi mt phng Mun chng minh ng thng d vuụng gúc vi mt phng (P) ta thng dựng mt hai cỏch sau: C1: Chng minh d vuụng gúc vi hai ng thng ct nm (P) C2: Chng minh d song song vi ng thng a v a vuụng gúc vi mp(P) 2.1.13 Chng minh hai ng thng vuụng gúc vi Mun chng minh ng thng a vuụng gúc vi ng thng b ta thng dựng cỏc cỏch sau: C1: Chng minh ng thng ny vuụng gúc vi mt phng cha ng thng C2: Nu hai ng thng ú ct thỡ ta cú th ỏp dng cỏc phng phỏp chng minh vuụng gúc i vi hai ng thng ó c hc hỡnh hc phng C3: Dựng nh lớ ba ng vuụng gúc (Nu vuụng gúc vi hỡnh chiu thỡ muụng gúc vi ng xiờn v ngc li) 2.1.14 Chng minh hai mt phng vuụng gúc C1: Chng minh mt phng ny cha mt ng thng vuụng gúc vi mt phng C2: Chng minh gúc gia hai mt phng bng 900 hay gúc phng nh din hai mt phng ú to nờn bng 900 2.1.15 Xỏc nh on vuụng gúc chung ca hai ng thng chộo b C1: Nu a v b vuụng gúc vi thỡ: - Dng mt phng (P) cha a v vuụng gúc vi b ti B - Dng BA a ti A on AB l on vuụng gúc chung a B A P C2: Cho a v b chộo - Dng mp(P) cha a, song song vi b - Chn M trờn b dng MM ' ( P) ti M' - T M' dng b'//b ct a ti A B M b A P M' a - T A dng AB//M'M ct b ti B on AB l on vuụng gúc chung C3: Cho a v b chộo - Dng mt phng ( P) a ti O, (P) ct b ti I - Dng hỡnh chiu vuụng gúc b' ca b trờn (P) - Dng (P) ng OH b ' - T H, dng ng thng song song vi a ct b ti B - T B dng ng thng song song vi OH, ct a ti A on AB l on vuụng gúc chung ca a v b a b A B O P b' I H 2.1.16 Gúc gia hai ng thng a v b: l gúc gia hai ng thng a v b cựng i qua mt im v ln lt cựng phng vi a v b 2.1.17 Gúc gia ng thng a khụng vuụng gúc vi mt phng (P): l gúc gia a v hỡnh chiu a ca nú trờn (P) 2.1.18 Gúc gia hai mt phng (P) v (Q): l gúc gia hai ng thng ln lt vuụng gúc vi hai mt phng ú, Hoc l gúc gia hai ng thng ln lt nm hai mt phng cựng vuụng gúc vi giao tuyn ca chỳng ti mt im 2.1.19 Th tớch chúp: V = B.h (B l din tớch ỏy, h l chiu cao) 2.1.20 T s th tớch t din: Cho t din SABC A, B, C l cỏc im tựy ý ln lt thuc SA, SB, SC Ta cú: S C' VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC A' B' C A B 2.1.21 Th tớch lng tr: V = B.h (B l din tớch ỏy, h l chiu cao) -c bit: + Th tớch hp ch nht: V =a.b.c (a, b, c l ba kớch thc) + Th tớch lp phng: V = a (a l di cnh) 2.2 Kinh nghim dy bi Th tớch a din 2.2.1.Phng phỏp a) Cỏch xỏc nh ng cao ca a din - ng thng qua nh v vuụng gúc vi mt ỏy - Giao tuyn ca hai mt phng phõn bit cựng cha nh v vuụng gúc vi ỏy - Nu mt phng (P) i qua nh, vuụng gúc vi ỏy theo giao tuyn thỡ mt phng (P), k ng thng qua nh v vuụng gúc vi s c ng cao ca chúp - Cho hỡnh chiu vuụng gúc ca nh lờn mt ỏy thỡ on ni nh v hỡnh chiu ca nú l ng cao - Khi chúp cú cỏc cnh bờn bng hoc to vi ỏy nhng gúc bng (ớt nht cnh bờn) thỡ chõn ng cao l tõm ng trũn ngoi tip ca a giỏc ỏy - Khi chúp cú cỏc mt bờn (ớt nht mt bờn) cựng to vi ỏy gúc bng thỡ chõn ng cao l tõm ng trũn ni tip a giỏc ỏy - Khi chúp cú hai mt bờn k v cựng to vi ỏy nhng gúc bng thỡ chõn ng cao nm trờn ng phõn giỏc gúc ca nh chung, nm mt phng ỏy - Vi lng tr ta ly mt nh kt hp vi ỏy i din ta cng c mt chúp sau ú vic xỏc nh chõn ng cao cng da theo cỏc hng trờn - Cho im A v mt phng (P) ng thng d cha A v d / /( P) thỡ khong cỏch t A n (P) bng khong cỏch t im M bt k trờn d n (P) - Nu cú mt phng (Q) cha A v song song vi (P) thỡ khong cỏch t A n (P) bng khong cỏch t im M bt k trờn (Q) n (P) b) Tớnh th tớch bng cỏch s dng cụng thc t s th tớch: - Tớnh th mt a din, ta khụng tớnh trc tip nú m thụng qua mt trung gian Sau ú tỡm t s th tớch gia a din cn tớnh v a din trung gian T th tớch trung gian ta suy th tớch ca a din cn tớnh - Nu hai chúp cú cựng din tớch ỏy th t s th tớch bng t s hai ng cao tng ng - Nu hai chúp cú cựng di ng cao thỡ t s th tớch bng t s hai din tớch ỏy - Cho t din SABC A, B, C l cỏc im tựy ý ln lt thuc SA, SB, SC Ta cú: VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC c) Tớnh th tớch bng phng phỏp ta : Hỡnh lp phng hoc hỡnh hp ch nht ABCD A' B' C ' D' Vi hỡnh lp phng, Chn h trc ta cho : D' A' B' A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; a;0) ; D(0;a;0) C' A '(0;0; a ) ; B '(a;0; a) ; C '(a; a; a) ; D'(0;a;a) Vi hỡnh hp ch nht, Chn h trc ta cho : D A A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; b;0) ; D(0;b;0) B C A '(0; 0; c ) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c) Hỡnh hp ỏy l hỡnh thoi ABCD A' B' C ' D' Chn h trc ta cho : A' - Gc ta trựng vi giao im O ca hai ng chộo ca hỡnh thoi ABCD z D' B' C' - Trc Oz i qua tõm ca ỏy D A y B Hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD z Chn h trc ta nh hỡnh v S Gi s cnh hỡnh vuụng bng a v ng cao SO = h Chn O(0;0;0) l tõm ca hỡnh vuụng A a a A ; ; ; C ; ; Khi ú : O a a B B 0; ;0 ữ; D 0; ;0 ữ; S (0;0; h) ữ ữ Hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC C x D C x y z Chn h trc ta nh hỡnh v Gi s cnh tam giỏc u bng a v ng cao bng h Gi I l trung im ca BC Chn h trc ta nh hỡnh v cho I(0;0;0) S y a a A ;0;0 ữ; B ;0;0 ữ Khi ú : a a C 0; ;0 ữ ữ; S 0; ; h ữ ữ C A I H B x Hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD l hỡnh ch nht v SA (ABCD) z ABCD l hỡnh ch nht AB = a; AD = b S chiu cao bng h Chn h trc ta nh hỡnh v cho A(0;0;0) A Khi ú : B ( a;0;0 ) ; C ( a; b;0 ) D ( 0; b;0 ) ; S (0;0; h) D y D y O B C x Hỡnh chúp S.ABC cú ABCD l hỡnh thoi v SA (ABCD) z S ABCD l hỡnh thoi cnh a chiu cao bng h Chn h trc ta nh hỡnh v cho O(0;0;0) A B O C Hỡnh chúp S.ABC cú SA (ABC) v ABC vuụng ti A z Tam giỏc ABC vuụng ti A cú x S Gii * Tớnh th tớch chúp S.BCG Vỡ mp(SBC) to vi mp(ABC) mt gúc ã 450 SBA = 450 SA = AB = a H J C A G I B 1 1 a a VS BCG = SA.SGBC = SA. S ABC ữ = a. ữ = 3 18 * Tớnh khong cỏch t im G n mp(SBC) a3 3VG SBC 3VS GBC 18 = a d (G,( SBC )) = = = 1 S SBC SB.BC a 2.a 2 Vớ d 3: Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh bng a Bit cỏc mt bờn (SAB) v (SAD) vuụng gúc vi mp(ABCD); SA = a O l tõm hỡnh vuụng ABCD.Gi G1 , G2 ln lt l trng tõm ca SAC v SDC Tớnh th tớch chúp G1 ABCD v tớnh khong cỏch t im G2 n mp(SBC) theo a S J G1 H G2 A D I O B C Gii * Tớnh th tớch chúp G1 ABCD : 1 VG1 ABCD = d ( G1 , ( ABCD ) ) S ABCD = d ( S , ( ABCD ) ) S ABCD 3 3 1 a = SA.S ABCD = a 3.a = 9 * Tớnh khong cỏch t im G2 n mp(SBC) 21 d (G2 ,( SBC )) = d ( J ,( SBC )) = d ( D,( SBC )) = d ( A,( SBC )) 32 K AH SB suy AH (SBC) Khi ú d(A, (SBC)) = AH Xột SAD vuụng ti A Theo h thc lng tam giỏc vuụng ta cú: 1 1 a = + = + Suy AH = 2 2 2 AH SA AB 3a a Vy d (G2 , ( SBC )) = a Dng 2: Khi chúp cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy Vớ d 1: S Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v D; AB = AD = 2a; CD = a Mt phng (SBC) to vi mp(ABCD) mt gúc 600 Mt bờn I (SAD) vuụng gúc vi ỏy Cỏc mt bờn (SAB) v (SDC) cựng to vi mt ỏy mt gúc bng A Gi H l trung im AD Tớnh th M H tớch chúp S.ABCD theo a v tớnh khong cỏch t im C n K D C mp(SHB) Gii Vỡ cỏc mt bờn (SAB) v (SDC) cựng to vi mt ỏy mt gúc bng ã ã nờn SAD Suy tam giỏc SAD cõn ti S Khi ú SH ( ABCD ) = SDA Dng SK BC ti K ã Vỡ (SBC) to vi mp(ABCD) mt gúc 600 nờn SKH = 600 * Tớnh th tớch chúp S.ABCD theo a: Ta cú: 2a.a 2a + a ) 2a ( a.a a 2 = a ; SCDH = = 3a ; S ABH = = BC = a ; S ABCD = 2 2 2 a 3a S HBC = S ABCD S ABH SCDH = 3a a = 2 B 3a 2 2S 3a ; SH = HK tan 600 = 3a 15 HK = HBC = = BC a 1 3a 15 3a 15 Vy VS ABCD = SH S ABCD = (vtt) 3a = 3 5 * Tớnh khong cỏch t im C n mp(SHB): Dng CM HB ti M CM ( SHB ) d ( C , ( SHB ) ) = CM S HBC 2S 3a 3a 3a ; BH = a ; CM = HBC = Vy d ( C , ( SHB ) ) = = BH 5 Dng 3: Khi chúp u Vớ d 1: Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD cú cnh bờn bng S a ; mt bờn to vi ỏy mt gúc 600 Tớnh th tớch chúp S.ABCD v tớnh khong cỏch gia hai ng thng AB v SD H D C O A a I B Gii * Tớnh th tớch chúp S.ABCD - Hỡnh chúp t giỏc u SABCD cú: + ABCD l hỡnh vuụng cnh a; + SO (ABCD); + SA = SB = SC = SD t AB = x Gi I l trung im BC Vỡ mt bờn to vi ỏy mt gúc 600 ã nờn SIO = 600 x x x Ta cú OI = BI = ; SO = ; SI = 2 2 a x x 2 2 SB = SI + IB ữ = ữ + ữ x=a 1 a a3 Vy VS ABCD = SO.S ABCD = a = 3 * Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AB v SD Vỡ AD // BC nờn d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)) Ta cú AO (SBC) C v c ú d(A, (SBC)) = 2.d(O, (SBC)) ; SO (ABCD) nờn SO BC K SJ BC thỡ J l trung im ca BC Suy BC (SOJ) (SBC) (SOJ) (SBC) (SOJ) SJ, k OH SJ (H SJ) Khi ú d(O, (SBC)) = OH Xột tam giỏc SOJ vuụng ti O, theo h thc lng tam giỏc vuụng ta cú 1 1 = + OJ = a , SO = SC CO 2 2 m OH OJ OS 3 Suy OH = a a Vy d ( AD, SC ) = Vớ d 2: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cnh ỏy bng a Cnh bờn bng 2a Gi E l im i xng ca D qua trung im ca SA Gi M , N ln lt l trung im ca AE v BC Tớnh th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch gia hai ng thng MN, AC theo a E S M A P O D B H N C Gii Gi P l trung im ca AB Khi ú MP // AB (1) Ta cú SE // DA v SE = DA SE // BC Cú SE = BC SEBC l hỡnh bỡnh hnh EB // SC (2) Vy t (1) , (2) MP // SC Li cú PN // AC nờn (MNP) // (SAC) d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH = BD = a 4 (vi H, O ln lt l giao im ca BD vi NP v AC) Loi II: Th tớch lng tr Dng 1: Khi lng tr ng Vớ d 1: Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh a.Gi G l trng tõm ABA Tớnh th tớch chúp G.BDDB theo a D C O A M B G D' C' A' B' Gii BG = (do G l trng tõm ABA) Khi ú BM 2 21 21 a d (G, ( BDD ' B ')) = d ( M , ( BDD ' B ')) = AO = AC = a = 3 32 32 a Hay d (G , ( BDD'B'))= 1a 2 2a VG BDD'B' = d (G , ( BDD'B')).SBDD'B' = a 2= 3 Vớ d 2: Cho lng tr ng tam giỏc A' C' ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc B' vuụng cú BA = BC = a, cnh bờn AA = a Gi M l trung im ca BC Tớnh khong cỏch gia hai ng thng E AM v BC C A Ta cú M B Gii Gi E l trung im BB Ta cú EM // BC suy BC / / (AEM) Suy d(BC,AM)= d(BC,(AEM))= d(C,(AEM)) = d(B,(AEM)) (vỡ MB = MC) Do tam giỏc ABC vuụng ti B nờn t din BAEM cú BA, BE, BM ụi mt vuụng gúc vi Nu gi BH l chiu cao k t B ca t din ABCD ( H ( AEM ) ) thỡ 1 1 1 a = + + = + + = BH = 2 2 a a BH BA BE BM a a a d ( AM , B ' C ) = Vớ d 3: Cho lng tr ng ABC.A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh bng a Gi M l trung im ca cnh AC Gúc to bi ng thng B'M v mt phng (ABC) bng 450 a) Tớnh din tớch tam giỏc ABC b) Tớnh chiu cao ca lng tr trờn c) Tớnh th tớch ca lng tr trờn B' C' A' B 45 C M A Gii * Din tớch tam giỏc ABC l: * ( B ' M , ( ABC ) ) a2 S ABC = AB AC.sin 600 = = B ' MB = 45 * Xột tam giỏc B'BM vuụng ti B cú: BB ' = BM tan 450 = Vy chiu cao ca lng tr bng BB'= a a * Th tớch ca lng tr l VABC A ' B 'C ' = S ABC BB ' = a a 3a = Dng 2: Khi lng tr xiờn Vớ d 1: Cho hỡnh hp ABCD.ABCD cú ỏy l hỡnh ch nht vi AB = AD = Hai mt bờn (ABBA) v (ADDA) ln lt to vi ỏy nhng gúc 450 v 600 Tớnh th tớch hp nu bit cnh bờn bng D' C' A' B' D C N A H M B Gii K AH ( ABCD ) ,HM AB, HN AD A' M AB, A' N AD ẳ ẳ A 'MH = 45o ,A'NH = 60o t AH = x Khi ú 2x AN = x : sin 600 = 3 4x AN = AA' A' N = = HM M HM = x.cot 450 = x 4x -> x = x= Kt lun: VABCD.ABCD = AB.AD.x = =3 Vớ d 2: Cho lng tr tam giỏc ABC.A 1B1C1 cú tt c cỏc cnh bng a, gúc to bi cnh bờn v mt phng ỏy bng 300 Hỡnh chiu H ca im A trờn mt phng (A1B1C1) thuc ng thng B1C1 Tớnh th tớch lng tr v khong cỏch gia hai ng thng AA1 v B1C1 theo a A B C K A1 C H B1 Gii Do AH ( A1 B1C1 ) nờn gúc AA1 H l gúc gia AA1 v (A1B1C1) Theo gi thit thỡ gúc AA1 H bng 300 a Xột tam giỏc vuụng AHA1 cú AA1 = a, gúc AA1 H =300 A1 H = a AH B C B C ( AA H ) nờn A1H vuụng gúc vi B1C1 Mt khỏc 1 nờn 1 Do tam giỏc A1B1C1 l tam giỏc u cnh a, H thuc B1C1 v A1 H = K ng cao HK ca tam giỏc AA1H thỡ HK chớnh l khong cỏch gia AA1 v B1C1 Ta cú AA1.HK = A1H.AH HK = A1 H AH a = AA1 Loi III: S dng phng phỏp ta tỡm th tớch a din Vớ d 1: Trong khụng gian vi h to Oxyz cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi AC ct BD ti gc to O Bit A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 ) Gi M l trung im ca SC Tớnh gúc v khong cỏch gia hai ng thng SA v BM Gi s mt phng (ABM) ct ng thng SD ti N Tớnh th tớch chúp S.ABMN S M N A D C O Gii Chn h trc to cac vuụng gúc Oxyz nh sau : O(0;0;0) ; A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 ) Ta cú : ( C (2;0;0) ; D(0;1;0) ; M (1;0; ) ) ( SA = 2;0;2 ; BM = 1;1; ) Gi l gúc gia SA v BM S dng cụng thc tớnh gúc gia hai ng thng Ta cú : ( ) cos = cos SA, BM = SA.BM SA BM = = 30o * [ SA, BM ] = (2 ;0;2) ; AB = (2;1;0) [SA, BM ] AB = d ( SA, BM ) = [ SA, BM ] AB [ SA, AB] = 2 = 8+4 MN // AB // CD N l trung im ca SD To trung im N 0; ; SA = (2;0;2 ) ; SM (1;0; ) SB = (0;1;2 ) ; SM (1;0; ) [ SA, SM ] = (0;4 ;0) 2 [ SA, SM ].SB = = 6 2 VS AMN = [ SA, SM ].SN = = 6 Vy VS ABMN = VS ABM + VS AMN = (vtt) VS ABM = Vớ d 2: z Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a ; SA = a ; SB = a v mt phng (SAB) vuụng gúc vi mt phng ỏy Gi M, N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, BC Tớnh theo a th tớch chúp S.BMDN v tớnh cosin ca gúc gia hai ng thng SM, DN x S A B M Gii D y K H N C Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca S trờn AB SH (ABCD) Ta cú : SA2 + SB = a + 3a = AB SAB vuụng ti S SM = a a Do ú : SAM u SH = a ữ; Chn h trc to ờcac vuụng gúc Oxyz nh sau : H (0;0;0) ; S 0;0; ữ A ;0;0 ữ ; B ;0;0 ữ ; a 3a D ; 2a;0 ữ ; M ;0;0 ữ ; 2 a a uuur a a uuur 3a a SM = ;0; SN = ; a ; ữ ữ; ; 2 ữ ữ uuur a a uuur SD = ; 2a; ữ; DN = ( 2a; a;0 ) ữ uur 3a a SB = ;0; ữ; ữ 3a ; a;0 ữ N + Th tớch chúp S.BMDN VS BMDN = VSMNB + VSMND 2 uuur uuur SM , SN = a ; a ; a ữ 2 ữ 3 uuur uuur uur uuur uuur uuur SM , SN SB = a ; SM , SN SD = 3a 2 uuur uuur uur a uuur uuur uuur a 3 VSMNB = SM , SN SB = VSMND = SM , SN SD = ; 12 VS BMDN = VSMNB + VSMND = a3 a3 a3 + = 12 + Tớnh cosin ca gúc gia SM, DN cos ( SM , DN ) = a2 a 3a + 4a + a 4 = Vớ d 3: Cho lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng, AB = BC = a , cnh bờn AA ' = a Gi M l trung im ca BC Tớnh theo a th tớch ca lng tr ABC.ABC v khong cỏch gia hai ng thng AM, BC Gii Chn h trc to ờcac vuụng gúc Oxyz nh sau : B' B (0;0;0) ; A ( 0; a;0 ) ; C ( a;0;0 ) ; a B 0;0; a ; M ;0;0 ữ uuuur a uuuur AM = ; a;0 ữ ; B ' C = a;0; a ; uuuur AB ' = 0; a; a ( z A' C' ) ( ( ) A B ) y M C x uuuur uuuur a2 AM , B ' C = a 2; ;a ữ Chng minh AM v BC chộo nhau: + Th tớch ca lng tr ABC.ABC VABC A ' B 'C ' = AA '.S ABC = a 2 (vtt) + Khong cỏch gia AM v BC uuuur uuuur uuuur a Vỡ : AM , B ' C AB ' = AM v BC chộo uuuur uuuur uuuur AM , B ' C AB ' d ( AM , B ' C ) = uuuur uuuur AM , B ' C a a = = 2a + a + a PHN III: KT LUN Bi hc kinh nghim * T nhng kinh nghim trờn kt qu bi kim tra kho sỏt ca 01 lp m tụi tham gia ging dy nh sau: im yu kộm 15,2 % im trung bỡnh 47,4 % im khỏ gii 37,4 % Tng s t yờu cu 84,8 % * Tụi nhn thy dy tt "Th tớch a din" trng THPT, ngi dy cn phi lm c ti thiu cỏc cụng vic sau: - Gõy hng thỳ hc cho hc sinh - Phi cú kin thc sõu sc - Chun b tt kin thc cho hc sinh (chỳ trng phn phng phỏp) - Son ging theo chuyờn to iu kin cho hc sinh d tip thu, t ú to nim say mờ, yờu thớch, khỏm phỏ mụn Toỏn cho cỏc em hc sinh - Coi trng vic khai thỏc cỏc kin thc cú sỏch giỏo khoa THPT lm nn tng ging dy iu ú s giỳp ớch rt tt cho s phỏt trin trớ tu ca hc sinh - Cn khai thỏc tt cỏc phn mm Toỏn hc nh: mapple, Cabri, Sketpad, quỏ trỡnh truyn t kin thc cho hc sinh - Cn cú s quan tõm sỏt ỏng i vi hc sinh yu Cỏc phn kin thc cn c nhc i, nhc li nhiu ln kin thc cú th thm dn vo hc sinh - Chỳ ý i mi kim tra, ỏnh giỏ Kim tra kin thc hc sinh c quỏ trỡnh hc tõp (trc, v sau hc) * cú th hc tt, ngi trũ phi tớch cc, t giỏc vic chun b bi, rốn luyn k nng gii bi xut, kin ngh - Ni dung dy mt bi luyn cn c quan tõm nhiu hn cỏc dp bi dng (cn cú nhng gi ging mu ca cỏc giỏo viờn ct cỏn, m qua ú cỏc giỏo viờn d cú th ỳc rỳt u, nhc im hon thin mỡnh) - Trong cỏc dp bi dng cn dnh thi gian ỏng k trao i v cỏc chuyờn ụn thi hc sinh gii (cú s chn lc giỏo viờn tham gia) iu ú s lm rỳt ngn khong cỏch gia giỏo viờn cỏc trng v giỏo viờn trng THPT Chuyờn Lo Cai, ng thi gúp phn nõng cao cht lng mụn Toỏn núi chung ca ton tnh Lo Cai - Trong i mi phng phỏp, mỏy chiu v cỏc phn mm Toỏn hc gi vai trũ quan trng nhng i mi t ca ngi thy l quan trng hn c Kt lun Trc nhng yờu cu v i mi, ci tin phng phỏp ging dy, bn thõn tụi ó cú nhiu c gng nhm nõng cao cht lng b mụn Tụi ó tng cng cụng tỏc t bi dng, thng xuyờn trao i chuyờn mụn, d gi thm lp cỏc ng nghip ỳc rỳt kinh nghim Tụi nhn thy bn thõn mỡnh phi c gng khụng ngng lờn ging dy mi ỏp ng c yờu cu i mi ca giỏo dc hin Ti liu tham kho Hỡnh hc 11, 12 Hỡnh hc 11, 12 nõng cao Bi Hỡnh hc 11, 12 Bi Hỡnh hc 11, 12 nõng cao Sỏch giỏo viờn Hỡnh hc 11, 12 Sỏch giỏo viờn Hỡnh hc 11, 12 nõng cao B thi tuyn sinh i hc, cao ng MC LC PHN I: NHNG VN CHUNG Trang Lý chn ti Quan im ch o Mc tiờu ti i tng nghiờn cu Phm vi nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu PHN II: NI DUNG Thc trng dy hc mụn Toỏn trng THPT s Vn Bn Mt vi kinh nghim dy "Th tớch a din" Trung hc ph thụng 2.1 Kin thc hc sinh cn nh hc "Th tớch a din" 2.2 Kinh nghim dy bi Th tớch a din 2.1.1.Phng phỏp Loi I: Th tớch chúp Loi II: Th tớch lng tr 13 18 Loi III: S dng phng phỏp ta tỡm th a din PHN III: KT LUN 21 25 TI LIU THAM KHO 27 [...]... DUNG 3 1 Thực trạng dạy học môn Toán ở trường THPT số 1 Văn Bàn 2 Một vài kinh nghiệm dạy "Thể tích khối đa diện" ở Trung học phổ thông 2.1 Kiến thức học sinh cần nhớ khi học "Thể tích khối đa diện" 2.2 Kinh nghiệm dạy bài tập ”Thể tích khối đa diện” 2.1.1.Phương pháp 8 Loại I: Thể tích khối chóp Loại II: Thể tích khối lăng trụ 13 18 Loại III: Sử dụng phương pháp tọa độ để tìm thể khối đa diện PHẦN III:... Diện tích tam giác ABC: S =  AB, AC  2 Thể tích tứ diện ABCD: V = 1  uuur uuur uuur AB, AC  AD 6 uuur uuur uuur   V = Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:  AB, AD  AA ' 2.2.2 Các dạng toán Loại I: Thể tích khối chóp Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy y x Ví dụ 1: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), ngoài ra AD = AC = 4a; AB = 3a; BC = 5a Tính thể tích. .. của khối lăng trụ trên c) Tính thể tích của khối lăng trụ trên B' C' A' B 45° C M A Giải * Diện tích tam giác ABC là: * ( B ' M , ( ABC ) ) 1 a2 3 S ABC = AB AC.sin 600 = 2 4 0 = ∠B ' MB = 45 * Xét tam giác B'BM vuông tại B có: BB ' = BM tan 450 = Vậy chiều cao của khối lăng trụ bằng BB'= a 3 2 a 3 2 * Thể tích của khối lăng trụ là VABC A ' B 'C ' = S ABC BB ' = a 2 3 a 3 3a 3 = 4 2 8 Dạng 2: Khối. .. 1 Bài học kinh nghiệm * Từ những kinh nghiệm trên kết quả bài kiểm tra khảo sát của 01 lớp mà tôi tham gia giảng dạy như sau: Điểm yếu kém 15,2 % Điểm trung bình 47,4 % Điểm khá giỏi 37,4 % Tổng số đạt yêu cầu 84,8 % * Tôi nhận thấy để dạy tốt "Thể tích khối đa diện" ở trường THPT, người dạy cần phải làm được tối thiểu các công việc sau: - Gây hứng thú học tập cho học sinh - Phải có kiến thức sâu sắc... S.ABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc 450 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S.BCG và tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) theo a S Giải * Tính thể tích khối chóp S.BCG Vì mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc · 450 ⇒ SBA = 450 ⇒ SA = AB = a H J C A G I B 2 3 1 1 1  1 1 a  a VS BCG = SA.SGBC = SA. S ABC...  2   + Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ VABC A ' B 'C ' = AA '.S ∆ABC = 1 3 a 2 2 (đvtt) + Khoảng cách giữa AM và B’C uuuur uuuur uuuur a 3  Vì :  AM , B ' C  AB ' = 2 ⇒ AM và B’C chéo nhau uuuur uuuur uuuur  AM , B ' C  AB '   d ( AM , B ' C ) = uuuur uuuur  AM , B ' C    3 a a 7 2 = = 7 1 2a 4 + a 4 + a 4 2 PHẦN III: KẾT LUẬN 1 Bài học kinh nghiệm * Từ những kinh nghiệm trên kết... Vậy d (G2 , ( SBC )) = a 3 6 Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy Ví dụ 1: S Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a Mặt phẳng (SBC) tạo với mp(ABCD) một góc 600 Mặt bên I (SAD) vuông góc với đáy Các mặt bên (SAB) và (SDC) cùng tạo với mặt đáy một góc bằng nhau A Gọi H là trung điểm AD Tính thể M H tích khối chóp S.ABCD theo a và tính khoảng... 3a 5 3a 5 3a 2 ; BH = a 5 ; CM = HBC = Vậy d ( C , ( SHB ) ) = = 2 BH 5 5 Dạng 3: Khối chóp đều Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng S a 5 ; 4 mặt bên tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD H D C O A a I B Giải * Tính thể tích khối chóp S.ABCD - Hình chóp tứ giác đều SABCD có: + ABCD là hình vuông cạnh a; + SO... Sử dụng phương pháp tọa độ để tìm thể tích khối đa diện Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi AC cắt BD tại gốc toạ độ O Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 2 ) Gọi M là trung điểm của SC 1 Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM 2 Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN S M N A D C O Giải Chọn... (SAC) ⇒ d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH = 1 BD = a 2 4 4 (với H, O lần lượt là giao điểm của BD với NP và AC) Loại II: Thể tích khối lăng trụ Dạng 1: Khối lăng trụ đứng Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi G là trọng tâm ∆ABA’ Tính thể tích khối chóp G.BDD’B’ theo a D C O A M B G D' C' A' B' Giải BG 2 = (do G là trọng tâm ∆ABA’) Khi đó BM 3 2 2 21 21 a 2 d (G, ( BDD ' B ... trạng dạy học môn Toán trường THPT số Văn Bàn Một vài kinh nghiệm dạy "Thể tích khối đa diện" Trung học phổ thông 2.1 Kiến thức học sinh cần nhớ học "Thể tích khối đa diện" 2.2 Kinh nghiệm dạy. .. thể tích khối trung gian ta suy thể tích khối đa diện cần tính - Nếu hai khối chóp có diện tích đáy thỡ tỉ số thể tích tỉ số hai đường cao tương ứng - Nếu hai khối chóp có độ dài đường cao tỉ số. .. Tính thể tích cách sử dụng công thức tỉ số thể tích: - Tính thể khối đa diện, ta không tính trực tiếp mà thông qua khối trung gian Sau tìm tỉ số thể tích khối đa diện cần tính khối đa diện trung