CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC GV: Nguyễn Phỉ Đức Trung Các hệ thức Hai cung đối ( ) 2/ cos( - a ) = cosa 3/ tan ( - a ) = - tan a 4/ cot ( - a ) = - cot a sin a cosa 4/ 1+ tan2 a = 5/ cos2 a 1/ sin - a = - sin a 1/ sin2 a + cos2 a = 2/ tan a = cosa sin a 6/ tan a.cot a = 1+ cot2 a = sin2 a 3/ cot a = Hai cung phụ æ ö p è2 ø æ ö p ÷ = sin a 2/ cosç ç - a÷ ÷ ÷ ç è2 ø æ ö p ÷ ÷ a = cot a 3/ tan ç ç ÷ ÷ ç è2 ø ÷ - a÷ = cosa 1/ sin ç ç ÷ ç ÷ æ p è2 ö ÷ - a÷ = t ana 4/ cot ç ç ÷ ç ÷ ø Hơn p /2 æ p ö ÷ + a÷ = cosa 1/ sin ç ç ÷ ç ÷ è2 ø æ ö p è2 ø æ ö p ÷ ÷ + a = - cot a 3/ tan ç ç ÷ ÷ ç è2 ø ÷ = - sin a 2/ cosç ç + a÷ ÷ ÷ ç æ p è2 3/ tan ( p - a ) = - tan a 4/ cot ( p - a ) = - cot a Hơn p ( ) 2/ cos( p + a ) = - cosa 3/ tan ( p +a ) = tan a 4/ cot ( p + a ) = cot a 1/ sin p + a = - sin a sin ( a + k2p) = sin a cos( a + k2p) = cosa tan ( a + kp) = tan a cot ( a + kp) = cot a ö ø 1/ sin ( a ± b) = sina.cosb ± cosa.sin b 2/ cos( a ± b) = cosa.cosb msina.sinb tana ± tan b 1mtana.tan b Công thức nhân đôi 1/ sin2a = 2sina.cosa 2/ cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - Công thức biến đổi tích thành tổng cos( a - b) + cos( a + b) ù 1/ cosa.cosb = é ê ú ë û cos a - b) - cos( a + b) ù 2/ sina.sinb = é ú ë ( û 2ê = 1- 2sin2 a 2tana 3/ tan2a = 1- tan2 a cot2 a - 4/ cot2a = 2cot a x Với t = tan ù 3/ sina.cosb = é êsin ( a - b) + sin ( a + b) û ú ë 1/ sin x = 2/ cos( p - a ) = - cosa ÷ + a÷ = - t ana 4/ cot ç ç ÷ ç ÷ Công thức cộng - trừ 3/ tan ( a ± b) = Hai cung bù 1/ sin ( p - a ) = sin a 2t 1+ t2 1- t2 2/ cosx = 1+ t2 Công thức nhân ba 1/ sin3a = 3sina - 4sin3 a 3sin a − sin 3a ⇒ sin a = 2/ cos3a = 4cos3 a - 3cosa ⇒ cos3 a = cos3a + 3cos a Công thức hạ bậc 1- cos2a 1+ cos2a 2/ cos2a = 1- cos2a 3/ tan2 a = 1+ cos2a 1/ sin2 a = a sin u + b cos u = a + b sin ( u + ϕ ) = a + b cos ( u − ϕ ) π π π π + sin u + cos u = sin u + ÷ = cos u − ÷ ; sin u − cos u = sin u − ÷ = cos u + ÷ 4 4 4 4 0 0 cos3a = 4cos a.cos ( 60 − a ) cos ( 60 + a ) + sin 3a = 4sin a.sin ( 60 − a ) sin ( 60 + a ) ; Lưu ý: Công thức biến đổi tổng thành tích 1/ cosa + cosb = 2cos a + b cos a - b 2/ cosa - cosb = - 2sin a + b sin a - b 2 3/ sina + sinb = 2sin a + b cos a - b 2 sin ( a ± b) 5/ tana ± tanb = cosa.cosb 2 4/ sina - sinb = 2cos a + b sin a - b 2 - sin ( a ± b) 6/ cot a ± cot b = sina.sin b PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π + kπ , cot u = ⇔ u = + kπ , sin u = ⇔ u = kπ , tan u = ⇔ u = kπ 2 π π sin u = ⇔ u = + k 2π , sin u = −1 ⇔ u = − + k 2π , cos u = ⇔ u = k 2π , cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π Đặc biệt: cos u = ⇔ u = tan u = ±1 ⇔ u = ± π + kπ cot u = ±1 ⇔ u = ± Phương trình lượng giác Pt bậc 2,3 hàm số lg cos u = cos v ⇔ u = ± v + k 2π Đặt t = sinx ,cos x, tan x, cot x u = v + k 2π sin u = sin v ⇔ u = π − v + k 2π Đưa phương trình cho phương trình đại số theo t ***Chú ý: với t = sinx ,cos x tan u = tan v ⇔ u = v + kπ điều kiện −1 ≤ t ≤ co t u = co t v ⇔ u = v + k π π + kπ Phương trình bậc I sin cos Dạng pt: a.sin x + b.cos x = c (1) Điều kiện có nghiệm: a + b ≥ c Chia vế pt (1) cho a + b đưa dạng sin ( x + ϕ ) = c a + b2 Phương trình Phương trình đối xứng , phản xứng sin cos asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = (2) a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = (4) 2 asin x + bsinx.cosx + c.cos x = d (3) π Kiểm tra x = + kπ có phải nghiệm phương trình ? + Giả sử cosx ≠ Chia hai vế phương trình cho cos2x đưa PT theo tanx π + x = + kπ nghiệm (3) a = d + Có thể giải (2),(3) cách dùng công thức hạ bậc đưa phương trình bậc sin cos Phương trình đối lập Chặn chặn hai vế A ≥ M A = M B ≤ M ⇔ B = M A=B Gv: Nguyễn Phỉ Đức Trung π Đặt t = sinx + cosx = 2sin x + ÷; t ≤ 4 t −1 thay vào (4) tìm t , so sánh điều kiện t từ tìm nghiệm x + a( sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = (5) π Đặt t = sinx - cosx = 2sin x − ÷; t ≤ 2 Suy sinx.cosx = 4 1− t thay vào (5) tìm t , so sánh điều kiện t từ tìm nghiệm x Phương trình dạng tích Phương trình tổng bình phương h1 ( x) = A = A2 + B = ⇔ h ( x) = B = h ( x).h ( x) h ( x) = ⇔ 2 n Suy sinx.cosx = hn ( x) = Trường THPT Thu Xà .. .Công thức biến đổi tổng thành tích 1/ cosa + cosb = 2cos a + b cos a - b 2/ cosa - cosb = - 2sin a... sina - sinb = 2cos a + b sin a - b 2 - sin ( a ± b) 6/ cot a ± cot b = sina.sin b PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π + kπ , cot u = ⇔ u = + kπ , sin u = ⇔ u = kπ , tan u = ⇔ u = kπ 2 π π sin u = ⇔ u =... = π + k 2π Đặc biệt: cos u = ⇔ u = tan u = ±1 ⇔ u = ± π + kπ cot u = ±1 ⇔ u = ± Phương trình lượng giác Pt bậc 2,3 hàm số lg cos u = cos v ⇔ u = ± v + k 2π Đặt t = sinx ,cos x, tan x, cot x