CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I.[r]
(1)CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I Các hệ thức hệ quả:
1/ sin2a +cos2a =1 2/
sin tg
cos a a =
a
3/
cos cot g
sin a a =
a
4/
2
2
1 tg
cos
+ a =
a
5/
2
2
1 cot g
sin
+ a =
a
6/ tg cot ga a =1 II Công thức cộng - trừ:
1/ sin a b( + ) =sina.cosb sinb.cosa+ 2/ sin a b( - ) =sina.cosb sinb.cosa -3/ cos a b( + ) =cosa.cosb sina.sinb -4/ cos a b( - ) =cosa.cosb sina.sinb+
5/ ( )
tga tgb tg a b
1 tga.tgb +
+ =
- 6/ ( )
tga tgb tg a b
1 tga.tgb
=
+
7/ ( )
cot ga.cot gb cot g a b
cot ga cot gb
-+ =
+
( ) cot gacot gb
8/ cot g a b
cot ga cot gb +
- =
-III Công thức góc nhân đơi:
1/ ( ) ( )
2
sin2a=2sina.cosa= sina cosa+ - 1= - sina cosa
-2/ cos2a=cos a sin a2 - =2cos a 1 2sin a2 - = -
3/
2tga tg2a
1 tg a =
- 4/
2
cot g a cot g2a
2cot ga -=
a {
Cosa
}cot ga
sin cos
tg cotg
(2)IV Cơng thức góc nhân ba:
1/ sin3a=3sina 4sin a- 2/ cos3a=4cos a 3cosa3 -3/
3
3tga tg a tg3a
1 3tg a -=
- 4/
3
cot g a 3cot ga cot g3a
3cot g a
-=
-V Công thức hạ bậc hai: 1/
2
2
1 cos2a tg a
sin a
2 tg a
-= =
+ 2/
2
2
1 cos2a cot g a
cos a
2 cot g a
+
= =
+
3/
2 cos2a
tg a
1 cos2a
-=
+ 4/
1
sinacosa sin2a
2 =
VI Công thức hạ bậc ba:
1/ ( )
3
sin a 3sina sin3a
4
=
-2/ ( )
3
cos a 3cosa cos3a
4
= +
VII Công thức biểu diễn sin x,cosx, tgx qua
tgx t
2 =
:
1/
2t sinx
1 t =
+ 2/
2
1 t cosx
1 t -=
+
3/
2t tgx
1 t =
-2
1 t cot gx
2t -=
VIII Công thức biến đổi tích thành tổng:
1/ ( ) ( )
1
cosa.cosb cos a b cos a b
2é ù
= êë - + + úû
2/ ( ) ( )
1
sina.sinb cos a b cos a b
2é ù
= êë - - + úû
3/ ( ) ( )
1
sina.cosb sin a b sin a b
2é ù
= êë + + - úû
IX Công thức biến đổi tổng thành tích: 1/
a b a b
cosa cosb 2cos cos
2
+
(3)2/
a b a b
cosa cosb 2sin sin
2
+
=
-3/
a b a b
sina sinb 2sin cos
2
+
-+ =
4/
a b a b
sina sinb 2cos sin
2
+
=
5/
( )
sin a b tga tgb
cosa.cosb +
+ =
6/
( )
sin a b tga tgb
cosa.cosb
=
7/
( )
sin a b cot ga cot gb
sina.sinb +
+ =
8/
( )
sin a b cot ga cot gb
sina.sinb
-
=
9/
( )
sin a b tga cot gb
cosa.sinb
-+ =
9/
2 tga cot ga
sin2a
+ =
10/
( )
cos a b cot ga tgb
sina.cosb +
- =
11/ cot ga tga- =2cot g2a X Cơng thức liên hệ góc (cung) liên quan đặc biệt:
1/ Góc đối:
( ) ( ) ( )
( )
sin sin
cos cos
tg tg
cot g cot g
ìï - a = - a
ïï
ïï - a = a
ïí
ï - a = - a
ïï
ï - a = - a
ïïỵ
2/ Góc bù:
( ) ( ) ( )
( )
sin sin
cos cos
tg tg
cot g cot g
ìï p - a = a
ïï
ïï p - a = - a
ïí
ï p - a = - a
ïï
ï p - a = - a
ïïỵ
3/ Góc sai p:
( ) ( ) ( )
( )
sin sin
cos cos
tg tg
cot g cot g
ìï p +a = - a
ïï
ïï p +a = - a
ïí
ï p +a = a
ïï
ï p +a = a
(4)4/ Góc phụ:
sin cos
2
cos sin
2
tg cot g
2
cot g t g
2
ì ỉ
ù p ữ
ù ỗ - a =ữ a
ù ỗỗ ữ
ù ỗố ữứ
ùù
ù ổp ử
ù ỗ ữ
ù ç - a =÷ a
ï çç ÷÷
ù ố ứ
ùớ ổ ử
ù ỗp ữ
ù ỗ - a =ữ a
ù ỗ ữ
ù ỗố ữứ
ùù
ù ổp
ù ỗ ữ
ù ỗ - a =ữ a
ù ỗỗ ữữ
ù ố ø
ïỵ
XI Cơng thức bổ sung:
1/
cos sin 2cos 2sin
4
ổ pửữ ổ pửữ
ỗ ữ ỗ ữ
a + a = ỗỗỗa - ữữ= ỗỗỗa + ữữ
è ø è ø
2/
cos sin 2cos 2sin
4
ỉ pư÷ ỉp ư÷
ỗ ữ ỗ ữ
a - a = ççça + ÷÷= ççç - a÷÷
è ø è ø
3/
sin cos 2sin a 2cos a
4
ổ pửữ ổ pửữ
ỗ ữ ỗ ữ
a - a = ỗỗỗ - ữữ= ỗỗỗ + ữữ
ố ứ ố ứ
4/
( ) ( ) ( )
2 2 2
A sina B cosa+ = A +B sin a+a = A +B cos a- b, A +B >0
5/ ( )
2
1 sin+ a = cosa +sina
XII Bảng giá trị hàm số lượng giác góc cung đặc biệt: Góc
Hàm số
0
0
0
/ p
0
30
/ p
0
45
/ p
0
60
/ p
0
90
sin 1/ 2/ 2 3 / 2
cos 3 / 2 2/ 2 1/ 2
tg 3 / 3 3 ||
cotg || 3 3 / 3
XIII Định lý hàm số cosin:
1/ a2 =b2+ -c2 2bc.cosA 2/ b2 =c2+a2- 2ca.cosB
A
B C a
(5)3/ c2 =a2+b2- 2bc.cosC XIV Định lý hàm số sin:
a b c 2R
sinA = sinB = sinC =
Với R bán kính đường trịn ngoại tiếp VABC
Hay
a 2R sinA
b 2R sinB
c 2R sinB
ìï = ïï ï = íï ï = ïïỵ
XV Cơng thức tính diện tích tma giác:
Gọi hV đường cao thuộc cạnh VABC.
a b c p
2 + + =
phân nửa chu vi VABC S diện tích VABC
R bán kinh đường trịn ngoại tiếp VABC R bán kính đường trịn nội tiếp VABC
1/ a b c
1 1
S a.h b.h c.h
2 2
= = =
2/
1 1
S ab.sinC bc.sinA ca.sinB
2 2
= = =
3/
abc S
4R =
; 4/ S=p.r
5/ S= p p a p b p c( - ) ( - ) ( - ) (Công thức Héron) XVI Công thức nghiệm:
1/
u a 2k
sinu sina ,k Z
u a 2k
é = + p ê
= Û ê = p- + p Ỵ
ê ë
2/
u a 2l
cosu cosa ,l Z
u a 2l
é = + p ê
= Û ê = - + p Ỵ
ê ë
(6)XVII Hàm lượng giác hàm hyperbolic biểu diễn qua hàm mũ theo công thức sau:
1/
iz iz
e e
sinz
2i
-=
2/
iz iz
e e
cosz
2
-+ =
3/
z z
e e
sinhz i siniz
2
-= =
-4/
z z
e e
coshz cosiz
2
-+