Dao động uốn của tấm mỏng hình chữ nhật với điều kiện biên không đối xứng

Tài liệu tham khảo Dao động uốn của tấm mỏng hình chữ nhật với điều kiện biên không đối xứng

Lời nói đầu Trong nghành công nghiệp nay, đặc biệt nghành chế tạo máy, xây dựng, giao thông, máy bay, tàu thuỷ,các kết cấu dạng vỏ đcác kết cấu dạng vỏ đợc sử dụng rộng rÃi với nhiều loại vật liệu khác chúng có u điểm nh nhẹ, bền, tiết kiệm vật liệu đảm bảo đợc yêu cầu đa dạng học tạo dáng công nghiệp Tuy nhiên, việc sử dụng kết cấu vỏ đặt yêu cầu cao công nghệ chế tạo, thi công nh tính toán thiết kế Riêng mặt tính toán kết cấu vỏ đà có nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến việc xây dựng lý thuyết khác nh phơng pháp tính toán loại kết cấu cụ thể, nhằm giải yêu cầu độ bền độ ổn định kết cấu.Trong phơng pháp tính to¸n kÕt cÊu hiƯn ngêi ta thêng dïng c¸c phơng pháp tính gần đúng, đặc biệt phơng pháp phần tử hữu hạn đợc thừa nhận phơng pháp có hiệu để tính toán trạng thái ứng suất, chuyển vị kết cấu Hơn nữa, lại tính toán kết cấu có hình dáng sử dụng tính cách thuận tiện Vì vậy, thời gian gần phơng pháp phần tử hữu hạn đợc ứng dụng ngày phổ biến Trong đồ án tốt nghiệp này, với đề tài đợc giao: Dao động uốn tấmDao động uốn mỏng hình chữ nhật với điều kiện biên không đối xứng em đà tiến hành nghiên cứu triển khai máy tính Maple Matlab Kết tính toán đà đợc so sánh với kết chơng trình ứng dụng Sap 2000 đợc thể đồ hoạ hình ch¬ng tỉng quan vỊ lý thut n tÊm máng 1.1 Khái niệm Tấm phần tử kết cấu có dạng phẳng mà bề dày nhỏ so với kích thớc khác Tấm mỏng vật thể h×nh trơ cã chiỊu cao h nhá so víi kÝch thớc hai mặt đáy Chiều cao h gọi bề dày Mặt trung gian mặt chia đôi bề dày ( hình 1.1 ) Mặt đàn hồi mặt trung gian bị uốn cong dới tác dụng ngoại lực Tuỳ theo hình dạng ta có tên gọi thích hợp nh : tròn, elíp, vuông, chữ nhật, hình bình hành, tam giáccác kết cấu dạng vỏ đ O x h mặt trung bình y z p m mặt trung bình m h x n n z mặt đàn hồi Hình 1.1 Khi nghiên cứu ta chọn mặt toạ độ xOy trùng với mặt trung gian Trục z hớng xuống dới Khi chuyển vị w theo phơng trục z độ võng Khi nghiên cứu mỏng chịu uốn ta dựa số giả thiết sau: Phần tử thẳng mn ( hình 1.1) thẳng góc với mặt trung gian sau uốn thẳng góc với mặt trung gian ( mặt đàn hồi ) đà bị uốn, chiều dài đoạn không đổi Ngời ta thờng gọi giả thiết phần tử phẳng Kirchoff Theo giả thiết phần tử phẳng, chọn mặt trung gian Oxy góc vuông pháp tuyến với trục x y sau uốn vuông tức biến dạng trợt : yz  zx 0 suy  yz  zx (a) Còn chiều dài đoạn thẳng mn không đổi, suy z = (b)  Bá qua z gây lớp nằm ngang ép lên Theo giả thiết ta có : 1  x  ( x   y ) ;  y  ( y   x ) ;  xy   xy E E G (c) Trên mặt trung gian điểm có dịch chuyển theo phơng z nghĩa xem : u(0) = ; v(0) = ; w(0) = 1.2 tơng quan chuyển vị biến dạng - øng st biÕn d¹ng - øng st 1.2.1 HƯ thức Côsi biến dạng chuyển vị Véc tơ PP '{x '  x; y '  y; z '  z} hay PP '{u , v, w} gäi véctơ chuyển vị điểm P hệ toạ độ Đềcác u, v, w gọi thành phần chuyển vị theo phơng x, y, z tơng ứng ( hình vẽ 1.2) Biến dạng dài tỉ đối theo phơng x, y, z xác định theo hệ thức Côsi ( h×nh vÏ 1.3): u   dx   u u  u x   x   dx x  v   v  dy   v y v   y   dy y (1.1) w   dz   w w w z   z   dz z z P' (x' , y ' , z ' ) P ( x, y , z ) O y x H×nh 1.2 y u u dy y v v dy y  dy v  v  B’ B A’ dx v dx x A u u u dx x O x Hình 1.3 Biến dạng góc tơng đối: xy T¬ng tù  u v    dy  u  dx  v   u  v  y  x     v  u         dx dy x y ta cã    : xy yz xz v u  x y w v  y z w u   x z           (1.2) Công thức viết dới dạng :  ij u j  u   i    x j xi   với ij thành phần tenxơ biÕn d¹ng:   x 1 T    xy 2 1  xz  xy y  yz   xz    11  12  31    yz  hc   21  22      31  32  33  z   Trong ®ã : ui ( i=1, 2, ) thành phần véctơ chuyển vị (1.3) PP ' Nếu gọi véctơ phơng đoạn AB trạng thái trớc biến dạng ; véctơ phơng BC , thay đổi góc hai vécơ sau biến dạng đợc xác định theo công thức : ij v j  i ( i, j = 1, 2, lÊy tổng theo i, j ) 1.2.2 Định luật Hooke tổng quát Trong vật rắn biến dạng đàn hồi, quan hệ biến dạng ứng suất tuân theo định luật Hooke :  ij C ijkl  kl ( i, j, k, l = 1 3, tæng theo k, l ) (1.4) Trong C ijkl tenxơ số đàn hồi tenxơ hạng bốn 11  22    33    12   23     13 hay :            C11 C 21   C 31   C 41  C 51    C 61 C12 C 22 C 32 C13 C 23 C 33 C14 C 24 C 34 C15 C 25 C 35 C 42 C 52 C 62 C 43 C 53 C 63 C 44 C 54 C 64 C 45 C 55 C 65 C16    11  C 26  22   C 36    33   C 46    12 C 56    23   C 66      13           (1.5) NÕu vËt liệu đẳng hớng, tenxơ số đàn hồi có hai số độc lập , gọi số Lamê, : ij ij   ij (i, j 1,3)  ij  11   22   33  ii 1 ij gọi biến dạng thể tÝch tØ ®èi i  j i  j kí hiệu Kronecker hay dới dạng khai triển :       22   33  11       11 22 33    ; ; 12 ; 23 13         12  23 13      (1.6)  E E ;  G  (1   )(1   ) 2(1   ) Trong : E môđun đàn hồi ; - hệ số Poátxông ; G môđun trợt Tõ ( 1.1 ) ta cã thĨ tÝnh c¸c thành phần biến dạng: ij     ij    ij  ; 1    víi  = 11+ 22+ 33 (1.7) hay :    11 22 33 E  E  E   11   22 33     (  (  ( 22 11 11       33 33 22 ) ; ) ; ) ;  2 2 12 23 13 (1.8) 1.2.3 Quan hệ chuyển vị biến dạng ứng suất Xét mặt chịu tải trọng vuông góc víi mỈt trung gian     12  G   G    12 23 23 13 13 G       Từ giả thiết 1: Biến dạng dài  z  w 0 , z ta thÊy chuyÓn vị w hàm hai biến x, y không phụ thuộc vào z Do w = w(x,y) (d) Mọi điểm nằm đờng vuông góc với mặt trung gian có chuyển vị w nh Các chuyển vị u, v đợc tính theo chuyển vị w nh sau : Tõ ®iỊu kiƯn (a) ta cã :  yz  v w w u  0 ;  xz   0 z y x z Rót v w  ; z y u w  z x (e) LÊy tÝch ph©n biĨu thøc (e) theo z ta đợc : w f ( x, y ) x w v  z  f ( x, y ) y u  z Trong ®ã f1, f2 hàm hai biến (x,y) Để xác định f1(x,y), f2(x,y), z = ta có : u(0) = f1(x,y), v(0) = f2(x,y) Theo gi¶ thiÕt ta cã : u(0) = f1(x,y) = 0, v(0) = f2(x,y) = Suy u  z : w ; x v  z w y (1.9) Thay (1.9) vào công thức Côsi (1.1) ta tìm đợc biến dạng theo chuyển vị w x u 2w  z x x , y  v 2 w  z y y ,  xy  u v 2w   z y x xy (1.10) Khi đà biết chuyển vị theo (1.10), dựa vào định luật Hoocke (1.8) ta nhận đợc biểu thøc øng st theo chun vÞ w : E Ez x  ( x   y )  1  1   2 w 2 w      y   x E Ez y  ( y   x )  1  1   xy  yx   2 w 2 w      x   y E Ez  w  xy  2(1   )   xy (1.11) 1.2.4 Quan hÖ ứng suất nội lực Xét phân tố đợc tách từ hai mặt phẳng vuông góc với mặt trung gian cách đoạn dx hai mặt phẳng vuông góc với mặt trung gian cách đoạn dy Chiều cao phân tố bề dày ( hình 4) h x O x  xz h y y  yz  yx xy z Tại điểm có toạ độ z mặt vuông góc với trục x có ứng suất x, xy, xz tác dụng, mặt vuông gãc víi trơc y cã c¸c øng st y, yx , yz tác dụng Còn thành phần xz= yz= (theo giả thiết 1) Trong thực tế ứng suất khác không, không thoả mÃn điều kiện cân phân tố đợc tách để khảo sát Nhng ứng suất nhỏ so với ứng suất x , y , xy nên ta đa vào giả thiết để bỏ qua cho toán đợc đơn giản Đại lợng N x z dF gọi lực pháp đơn vị dài theo phơng x F Trong ®ã : dF = l.dz ; h lµ bỊ dµy cđa tÊm h Suy N x   z dz  h h Tơng tự : N y y dz lực pháp theo phơng y h h T xy dz lực tiếp đơn vị dài h Thứ nguyên Nx , Ny , T lµ  lùc/ chiỊu dµi .Thay trị số ứng suất theo (1.11) vào biểu thức lực pháp tiếp, thực phép lấy tích phân, ta thấy lực mỏng không: Nx= Ny= T = (1.12) h Các đại lợng M x x z.dz ; h  h M y   y z.dz h (1.13) đợc gọi mômen uốn đơn vị dài h Đại lợng M xy xy z.dz mômen xoắn đơn vị dài h (1.14) Các mômen có thứ nguyên (lực x chiều dài)/ chiều dài , ví dụ Nm/m, kNm/m h h Đại lợng Q x   xz dz ; Q y yz dz lực cắt đơn vị dài, có h h thứ nguyên lực/ chiều dài , ví dụ N/m, kN/m Sau lấy tích phân với giá trị ứng suất theo (1.12), giá trị mômen uốn xoắn đợc tính theo độ võng : h Mx =   2 w 2w   2 w 2w  h x zdz - D  x   y  (1.15) h My =  (1.16) h y zdz - D  y   x  h Mxy 2 w (   )  zdz  D  xy =  xy h (1.17) h Qx =  3 w 3 w  h xz dz  D x  xy     (1.18) h Qy =  3 w 3 w   dz   D  h yz  x yx      (1.19) Trong ®ã : D= Eh 12(1   ) gọi độ cứng trụ Quy ớc chiều ( hình 1.5 ) biểu diễn nội lực dơng So sánh (1.11) (1.15) (1.19) ta nhận đợc biểu thức quan hệ ứng suất néi lùc Mxy Mx x My Myx Qx y Qy H×nh 1.5 12M M x  x z  x z J h 12M y My y  z  z J h (1.20) 12M xy M xy  xy  z  z J h Trong : J h3 12 Vậy ứng suất có giá trị lớn nhất, bé mặt h z 1.2.5 Các phơng trình cân tĩnh học 1.2.5.1 Phơng trình uèn thuÇn tuý My Mx x Mx y My z Hình 1.6 Uốn tuý mỏng hình chữ nhật Tấm mỏng hình chữ nhật hình 1.6, dới tác dụng mômen uốn tuý có cờng độ Mx My phân bố đơn vị chiều dài dọc theo cạnh Dới tác dụng mômen uốn làm bề mặt bị nén lại kéo căng bề mặt dới 10 ... trình cân tĩnh học 1.2.5.1 Phơng trình uốn tuý My Mx x Mx y My z Hình 1.6 Uốn tuý mỏng hình chữ nhật Tấm mỏng hình chữ nhật hình 1.6, dới tác dụng mômen uốn tuý có cờng độ Mx My phân bố đơn vị... mèi quan hƯ mômen uốn xoắn với chuyển vị chúng tơng đơng với mối quan hệ mômen uốn độ cong dầm đơn 1.2.5.3 Tấm chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt q 17 y x z Hình 1.13 Tấm chịu tải trọng... góc Mối quan hệ mômen uốn xoắn với chuyển vị đợc sử dụng việc thiết lập phơng trình vi phân tổng quát cho toán hình chữ nhật mỏng chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt (hình 1.13) Trong trờng