ĐỀ tài DAO ĐỘNG uốn của tấm MỎNG HÌNH CHỮ NHẬT với điều KIỆN BIÊN KHÔNG đối XỨNG

Trang 1

LOINOLDAU

Trong các nghành công nghiệp hiện nay, đặc biệt là nghành chế tạo máy, xây dựng, giao thông, máy bay, tàu thuỷ, các kết cấu dạng tấm và vỏ được sử dụng rộng rãi với nhiều loại vật liệu khác nhau vì chúng có những ưu điểm như nhẹ, bền, tiết kiệm vật liệu và đảm bảo được yêu cầu đa dạng của

cơ học và tạo dáng công nghiệp

Tuy nhiên, việc sử dụng các kết cau tam và vỏ đặt ra yêu cầu cao về công nghệ chế tạo, thi công cũng như tính toán thiết kế Riêng về mặt tính toán kết cấu tấm và vỏ đã có rất nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến việc xây dựng các lý thuyết khác nhau cũng như các phương pháp tính toán các loại kết cấu cụ thể, nhằm giải quyết các yêu cầu về độ bền và độ ổn định của kết cấu.Trong các phương pháp tính toán kết cấu hiện nay người ta thường dùng các phương pháp tính gần đúng, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn được thừa nhận là một phương pháp có hiệu quả nhất để tính toán các trạng thái ứng suất, chuyển vị trong kết cấu Hơn nữa, nó lại có thể tính toán các kết cấu có hình dáng bất kỳ và sử dụng tính một cách thuận tiện nhất Vì vậy, trong thời gian gần đây phương pháp phần tử hữu hạn được ứng dụng ngày càng phổ biến hơn

Trong đồ án tốt nghiệp này, với đề tài được giao: “Dao động uốn của tấm

mỏng hình chữ nhật với điều kiện biên không đối xứng” em đã tiến hành

nghiên cứu và triển khai trên máy tính bằng Maple và Matlab Kết quả tính toán đã được so sánh với kết quả của chương trình ứng dụng Sap 2000 và còn được thể hiện bằng đồ hoạ ra màn hình

Trang 2

CHUONG 1 TONG QUAN VE LY THUYET UON TAM MONG

1.1 KHAI NIEM

Tấm là phần tử kết cấu có dạng phẳng mà bê dày của nó nhỏ so với các kích thước khác

Tấm mỏng là một vật thể hình trụ có chiều cao h nhỏ so với kích thước của hai mặt đáy Chiều cao h gọi là bể đày của tấm Mặt trung gian là mặt chia đôi bề dày của tấm ( hình 1.1 ) Mặt đàn hồi là mặt trung gian bị uốn cong đưới tác dụng của ngoại lực Tuỳ theo những hình dạng của tấm ta có những

tên gọi thích hợp như : tấm tròn, elíp, vuông, chữ nhật, hình bình hành, tam gIác Oo x h Tnặt trung SS binh y z P mát trung bình m m hop Fi’ J1 x n nợ z mat dan héi Hinh 1.1

Khi nghiên cứu ta chọn mặt toạ độ xOy trùng với mặt trung gian Trục z hướng xuống dưới Khi đó chuyển vị w theo phương trục z sẽ là độ võng của tấm Khi nghiên cứu tấm mỏng chịu uến ta dựa trên một số giả thiết sau:

Trang 3

> Phân tử thẳng mn ( hình I.1) ở trong tấm thẳng góc với mặt trung gian thì sau khi uốn vẫn thẳng góc với mặt trung gian ( mật đàn hồi ) đã bị uốn, chiều dài doạn đó không đổi Người ta thường gọi đó là giả thiết về các phần tử phẳng của Kirchoff Theo giả thiết về phần tử phẳng, nếu chọn mặt trung gian là Oxy thì góc vuông giữa pháp tuyến

với các trục x và y sau khi uốn vẫn vuông tức là không có biến dạng

trượt :

Tạ =7„ = SUY TA r„ =7„ =0 (a)

Còn chiều đài đoạn thắng mn không đổi, suy ra z,= 0 (b) >» Bo qua a, gay ra do cdc lép nam ngang cia tdm ép lén nhau Theo

giả thiết này ta có :

1 1 1

Be = (9, HOy)S Fy = Gy“ HODS Ty = Ty () > Trên mặt trung gian các điểm chỉ có dịch chuyển theo phương z

nghĩa là xem :

u()=0Ú ; v(0)=0 ; w(0)=0

1.2 TƯỜNG QUAN GIỮA CHUYỂN VỊ - BIẾN DẠNG - ỨNG SUẤT

1.2.1 Hệ thức Côsi giữa biến dạng và chuyển vị

Trang 5

Biến dạng góc tương đối: ôi \ v+—d—v ut dy—u » oy ) _Ôu bu ⁄y=sT7#=8+t7= 7 2 a + dy = t+ & % # =o OU ” ax by Tương tự ta có : 7, - 2+ (1.2) “ by ô = 0 , ou Ya ae Công thức trên có thể viết đưới dang : 2, = i{ —+ eu, A, ex, la z, là thành phần của tenxơ biến dạng: 1 1 aria Ẩn êm cụ

T=] 70 & y7, HOẶC |sy ene (1.3)

11 gis ate ; & fy Ei Ey

Trong đó : u, ( i=1, 2, 3 ) là các thành phần của véctơ chuyển vị PP

Nếu gọi véctơ chỉ phương của đoạn AB ở trạng thái trước khi biến dạng là v; véctơ chỉ phương của BC là " thì sự thay đổi góc giữa hai vécơ đó sau

khi biến dạng được xác định theo công thức :

z~2£yv,,, (1, j = 1, 2, 3 lấy tổng theo ¡, j ) 1.2.2 Định luật Hooke tổng quát

Trong vật rắn biến dạng đàn hồi, quan hệ biến đạng — ứng suất tuân theo

định luật Hookc :

o, ~ Cty Cis i, k, 1 = 1: 3, tổng theo k,1) (1.4)

Trang 6

Trong đó Œ„„ là tenxơ các hãng số đàn hồi va là tenxơ hạng bốn Fy Cy Co Cy; Cy Gs C6 £u on Cx Cy Cy Cu Cos Cr, en nay: |“ |_[On Cx Co Ge Os Cre fen as) On Cu Cy Ca Cu Cys Crs Ein ox Cs Co Cs Cu Cos Coe Ey ou] [a fa Ss Co Cs Colles

Nếu vật liệu đẳng hướng, tenxơ các hằng số đàn hồi chỉ có hai hằng số độc lập ^ và ự, gọi là hằng số Lame, khi đó :

Trang 7

1.2.3 Quan hệ giữa chuyển vị — biến dạng — ứng suất

Xét mặt tấm chịu tải trọng vuông, nóc với mật trung gian

Từ giả thiết I: Biến dạng đài ¢, - ns ~0, ta thấy chuyển vị w chỉ là ham

ct

của hai biến x, y không phụ thuộc vào z Do đó w = w(x,y) (d)

Mọi điểm nằm trên đường vuông góc với mặt trung gian đều có chuyển vị w như nhau Các chuyến vị u, v được tính theo chuyển vị w như sau : Cv ew Ôm Cu Từ điều kiện (4) la có:7„= +, =0: HT + =Ũ "` & ay "` ây @& (c) FAY) Cx vez ee AQ) ce

Trong dé f,, £18 cac ham cia hai bién (x,y)

Để xác dịnh f,(x,y), Í›(x,y), tại z = 0 ta có : u(0) = [(x„y), v(0) = f;(x,y)

Theo gia thiết 3 ta có : u(Q) = f,(x.y) = 0, v(0) = f;(x,y) = 0 NUY Tả: —— (1.9) Thay (1.9) vào các công thitc Cési (1.1) ta tim được các biến dạng theo chuyển vị w ou cv Ow é- TT t,= 0 2-2, (1.10) ầy Ox cy or

Khi dã biết chuyển vị theo (1.10), dựa vào định luậi Iloocke (1.8) ta nhận

được các biểu thức ứng suất theo chuyển vị w :

Trang 8

E Ez (@w ow ——:Œ,+ pe (é, + He) =- PP l +H | — (1D 111 E #z ñ'w TẾ 2+ g7” 1+ ôêy

1.2.4 Quan hệ giữa ứng suất và nội lực

Xét một phân tố được tách ra từ hai mặt phẳng vuông góc với mặt trung gian cách nhau một đoạn đx và hai mặt phẳng vuông góc với mặt trung gian cách nhau một đoạn dy, Chiều cao của phân tố bằng bẻ dày của tấm ( hình 4) hò hà | z

Tại một điểm có toạ độ z trên mặt vuông góc với trục x có các ứng suất Ø,,

1y, t„ tác dụng, trên mặt vuông góc với trục y có các ứng suất Ø, + t„„ tac

dung Con cdc thành phần t,„= t„„= 0 (theo giả thiết L) Trong thực tế các ứng suất này là khác không, vì nếu không có nó thì sẽ không thoả mãn điều kiện cân bằng của phân tố được tách ra để khảo sát Nhưng các ứng suất này là

Trang 9

nhỏ so với các ứng suất ơ, , o, , t,, nén ta dua vao giả thiết 1 để bỏ qua cho bài toán được đơn giản

Đại lượng WV, = Jơ.ar gọi là lực pháp trên một đơn vị đài theo phương x F Trong đó : dF = I.dz; h là bể dày của tấm * Suy ra N,= joa ? ? A Tương tự : Ny= joa: là lực pháp theo phương y ›

7 = |r„áz là lực tiếp trên một đơn vị dài oe

Thứ nguyên của N,, N,, T là [ lực/ chiều dài ].Thay trị số ứng suất theo

(1.11) vào các biểu thức lực pháp và tiếp, thực hiện phép lấy tích phân, ta

thấy các lực này trong tấm mỏng bằng không: N,=N,=T =0 (1.12)

ˆ *

Các đại lượng 4, = [ø,za; M, = fo, za (1.13)

4 ›

được gọi là mômen uốn trên một đơn vị dài

Dai luong M,, = (r, zœ là mômen xoắn trên một đơn vị dài (1.14

hi

Các mômen này có thứ nguyên là [Qực x chiều đài)/ chiều dài ], ví du Nm/m, kNm/m

Trang 10

"

Đại lượng Ø,—Ír,.; Ø,~ r„/= là lực cất trên một đơn vị dài, có +

thứ nguyên là [ lực/ chiều đài ], vi du N/m, kN/m

Sau khi lấy tích phân với các giá trị ứng suất theo (1.12), các giá trị mômen uốn và xoắn được tính theo độ võng là : M, = tay) (1.15) ` ex" M,= (1.16) ) M,, = [rsd DO= 40 a (17 * F (ahe 0° QS= [Ăn vụ % Vex! exey? (1.18) Q,= (1.19) < Em r Tà CA caế ae Trong đó: D= 124 z2) gọi là độ cứng trụ của tấm “

Quy ước chiều trên ( hình 1.5 ) biểu diễn các nội lực dương

So sánh (1.11) và (1.15) + (1.19) ta nhận được biểu thức quan hệ giữa ứng

suất và nội lực

Trang 12

1.2.5 Các phương trình cân bằng fĩnh học 1.2.5.1 Phương trình cơ bản của uốn thuần tý M ý Zz

Hình 1.6 — Uốn thuần tuý tấm mỏng hình chữ nhật

Tấm mỏng hình chữ nhật ở hình 1.6, đưới tác đụng của mômen uốn thuần tuý có cường độ M, và M, phân bố đều trên một đơn vị chiều dài doc theo các cạnh Dưới tác dụng của mômen uốn làm bề mặt trên của tấm bị nén lại và kéo căng trên bề mặt dưới

Xét một phân tố của tấm có bê rộng là ö, , ö, và chiều day bang chiéu day h của tấm

Giả thiết rằng bán kính cong của mặt trung hoà là p, và p, trong mặt phẳng xz và yz tách biệt nhau Mặt lồi của tấm tương ứng với mômen uốn dương tạo ra chuyển vị theo hướng dương của trục z hay trục hướng xuống đưới Mà theo lý thuyết đầm đơn, biến dạng chính e,, s, tương đương với ứng suất ơ,, ø, của phân tử có chiều đày ồ, ở phía đưới mặt trung hoà một khoảng z, cho bởi công thức :

" (1.21)

Trang 13

5x dy ; Nis Nis a) b)

Hinh 1.7 —a) Ứng suất pháp, b) Bán kính cong của tấm Định luật Hoocke tổng quát : 1 2, ==(Ø, —#Ø) 2 (1.22) L 6, = 5 - Ho) Thế cu, #y từ (1.21) vào (1.22), sau đó biến đổi ta được : o,= Bet [t+] 1T (Ø 2, Ø,= Ea Tok 1U Øy A Từ giả thiết rằng các phân tố cùng nằm trên một mặt phẳng có ứng suất (1.23)

pháp chỉ thay đổi theo chiều dày của tấm, độ lớn của chúng phụ thuộc vào độ cong ( tức là mômen uốn) của tấm Ta có phương trình cân bằng mômecn của phân tố đang xét là:

Trang 14

A a 3 3 Muỗ,= |z.:2+ M,= Je zdz 4 3 ; > (1.24) M,6é, = Jo, 28,de M,= fo,=a “A 4 Thé o, , s, từ (1.23) vào (1.24), ta có : 4 + Ez flow lo 4“ 3 M, = [—)/—+4 |le-p +4 WAH NP Py Ø Ø7 : ` (1.25) 2 M,=] -=-.ˆ.=.- MT (y Pp, 2 Py Ps

với D=—E“—_ soi là độ cứng khi uốn của tấm 12— ˆ) (1.26)

Liên hệ giữa chuyển vị và bán kính cong : te 1_ êm pax?! Pp, ay” Thay vào (1.25), ta có : 2 2 M,= KH: ;] x 2 ° ; (1.27) ô aly atw M, -(8 + ue *) ôy Biểu thức (1.27) cho ta biết độ biến đổi hình dáng của tấm nếu đã M, và M, đã biết 3 _— 8 ?w

Nếu M, =0 thì ` 2= “2y; > hoặc M, =0 thì 2 = g2 „ do đồ p, và

p; trái dấu nhau, ta gọi đó là uốn lệch pha ( anticlastic)

Trang 15

Neu M, = M, = Mini + = sự uốn theo mặt cầu gợi là uốn đồng, Py P,P M „ 1 A ha (syclastic) vit — - pha (sy ø_ Đ(+¿)

Hinh 1.8 Uốn lệch pha

1.2.5.2 Tấm chịu nến và xoắn động thời,

a) Mémen chinh và độ cong chính

Thông thường, mômecn uốn tác dụng lên tấm sẽ không năm trong mặt phẳng vuông góc với các cạnh Vì thế, mômen uốn có thể tách thành các

thành phần đơn giản gồm thành phần tiếp tuyến và thành phần pháp tuyến Thành phần pháp tuyến M, và M, đã đề cập ở phần trên, còn các thành phần tiếp tuyến M,, và M,, ( cũng là mômen đơn vị ) gây ra sự xoắn của tấm đối với các trục song song với trục x và y, Chỉ số thứ nhất của mômen xoắn chỉ phương pháp tuyến của mặt đang xét, chỉ số thứ hai của mômen xoắn chỉ độ đài cạnh song song trục nào

Quy ước dấu : M_, M, > 0 nếu làm căng thớ ở z >0; M nyt M,, > 0 néu

quay ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn dọc trục của nó theo hướng song song với hướng dương của trục tương ứng x hoặc y Trong hình vẽ tất cá các

cường độ mômen đều dương

Trang 17

Vi M,, va M,, sinh ra ứng suất tiếp t,„ = - t,, nén M,, = - M,, Tren mat phẳng chéo FD có các mômen tác dụng là mômen tiếp M, và mêmen pháp M, Chúng ta có thể biểu điễn các mômen này qua các M,, M,, M., nhờ vào các phương trình cân bằng phân tố tam giác ABC ( hình 1.10 )

Trong mặt phẩng vuông góc với AC có :

M,AC= M,ABcosa - M,BCsnơø M, ABsna M,,BCcosa

=M,=M, eos°œ + M,sing - M,,sin2a (1.28)

Tương tự cho cân bằng trong mặt phẳng song song với AC, cũng có :

M,AC=M,ABsna@ M,RCcosa tM, ABcosa M, BCsindø M M,= —7— sn 2a+M,, cos 2ø (1.29) Từ (1.28) và (1.29) ta nhận thấy có hai giá trị của œ, chênh nhau 90” thoả mãn và : aa os (1.30) 1g2œ — 2 M.-M, Thay (1.30) vào (1.28), M, có hai giá trị max và min, ta cú : M,Âmax, min) ơ 2 +MỆ (31

Cac momen chính gây ra các độ cong chính tương ứng Trong trường hop tấm chịu uốn và xoắn thuần tuý trong dé M,, M, va M,, khong đổi trong suốt chiều dài các cạnh của tấm thì các momen chính là đại lượng lớn nhất và nhỏ nhất trong tấm và được tính theo công thức (1.31) Từ đó ta thấy không có

ứng suất cắt trên mặt phẳng đó và các ứng suất pháp tương ứng ( phụ thuộc

vao zva M,, M, M,,) 14 dmg suất lớn nhất và nhỏ nhất trong tấm

b) Liên hệ giữa mômen xoắn và chuyển vị w,

Trở lại tấm chịu tải như hình 1.10 a), chúng ta đã thành lập được mối liên

hệ giữa cường độ mômecn uốn M, và M_ với chuyển vị w của tấm cho bởi các

Trang 18

công thức (1.27) Tiếp theo chúng ta sẽ tìm mối liên hệ giữa mémen xoắn M,, va chuyén vị w Từ định lý siêu định vị chúng ta có thể xét riêng M,, tác dụng bỏ qua M, và M, Như ta đã biết M,„ bị chống lại bởi hệ các cặp ứng suất bù nhau trong mặt phẳng thẳng đứng của phân tố được lấy ra suốt chiều dày của tấm và song song với các trục x và y

Trang 19

Trong đó :

G: mô đun đần hồi

Yay: dQ dan dai géc

Chúng ta có mối quan hệ giữa biến dạng góc y„„ và các chuyển vị cho bởi công thức : y ov + Ou vex by Ta cần biểu dién y,, qua chuyển vị w của tấm Lấy một phân tố có chiều ow dày của tấm sẽ bị quay một góc bằng oe va ® trong các mặt phẳng xz và Ox C

yz Xét sự quay của một phân tố trong mặt phẳng xz của một điểm ở phía dưới mặt trung hoà một khoảng z là : ổw u=-—z ox Tương tự, chuyển vị theo phương y là : ow y=——Z ay 0 x Hình 1.12 Góc xoay của phân tố

Thay u, v vào biểu thức T„y la CÓ :

Trang 20

=-2 1.33 Vy ® exdy (1.33) Từ (1.32): # 3 2 M,= G [227 owe » Oxdy 3 a2 Mụn Chê ”ˆ 6 ôrêy Thay G= cho ta: 20+) - M.= Eh aw Y 12+ yz) xây Nhân cả tử và mẫu của biểu thức với (1- ) thì : ew M,, = D(l- „=Dq=#) andy (1.34) 1.34

Biểu thức (1.27) và (1.34) cho ta mối quan hệ giữa mômen uốn và xoắn với chuyển vị của tấm và chúng cũng tương đương với mối quan hệ giữa mômen uốn và độ cong trong dầm đơn

1.2.5.3 Tấm chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt lấm

Zz

Hình 1.13 — Tấm chịu tải trọng phân bố vuông góc

Trang 21

Mối quan hệ giữa mơmen uốn và xốn với chuyển vị của tấm sẽ được sử đụng trong việc thiết lập phương trình ví phân tổng quát cho bài toán tấm hình chữ nhật mỏng chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt tấm (hình 1.13) Trong trường hợp tổng quát tải trọng phân bố có thể thay đổi theo một hàm phụ thuộc vào x và y Chúng ta vẫn giả thiết mặt trung gian trùng với mặt trung hoà, mặt cắt ngang vẫn phẳng trong suốt quá trình biến dang Giả thiết sau chỉ rõ sự mâu thuẫn trong lý thuyết, đó là nếu mặt cắt ngang vẫn phẳng trong quá trình biến dang thì các biến dạng góc y,, va y„ phải bằng 0, trong khi tải trọng phân bố gây các lực cắt vuông góc mật tấm vẫn tồn tại ( và là ứng suất đã biết ) Vì thế chúng ta giả thiết rằng mặc dù Vo = $ VÀ 7„= = là không đáng kể nhưng các lực cất tương ứng lại giống

với độ lớn của tải trọng phân bố q và các momen M, , M, va M,, Gia thiét này tương tự trong lý thuyết đầm đơn mà trong đó biến dạng góc được bỏ qua

Xét một phân tố của tấm như hình 1.14, chịu mômen uốn và xoắn như mô tả lần trước, và các lực Q, và Q, tác dụng lên một đơn vị chiều dài trong từng mặt phẳng vuông góc với trục x và y Thay đổi của ứng suất cắt t,„ và +„ theo các cạnh nhỏ ö, và ö, của phân tố là không đáng kể và hợp lực của lực cắt Q,By và Q,ôx đặt ở trọng tâm các mặt phẳng của phân tố

Ta có :

Trang 22

(1.35)

< đi ® 1

pistes

¬ = Ss 1 ants a &

Phương trình cân bằng lực của phân tố thco trục Oz và giả thiết là trong lượng riêng của tấm được kể trong q, có dạng : ôi 6Q (ø +8 a)j-0,45|6, + °2, ayo OQ, bx ~ ydrdy = 0 av [ee ay , =, 22 _ 2, Ox oy Lay momen véi trục x : +ạ=0 (1.36) ðM „ ô M.S -| My +—— & |S - M,de+| M, - 0Q, Ox éy - l9 + oat +Q Don giản phương trên và bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bac cao, ta được: y MM, ar ay 29 oe Tương tự lấy mômen đối với trục y, ta có : Ms 49 <0 (1.38) ox 1.2.5.4 Tấm chịu uốn đông thời với lực tác dụng trong mặt phẳng trung gian của tấm

Trong các trường hợp đã xét chúng ta giả thiết rằng các mặt trung hoà của tấm không có ứng suất Nếu trong mặt phẳng của tấm thêm vào tải trọng kéo, nến hoặc tiếp thì sẽ gây ra ứng suất trong mặt trung gian và nếu như nó đủ lớn sẽ ảnh hưởng đến sự uốn của tấm

Xét một phân tố nhỏ Šxõy thuộc mặt phẳng trung gian của tấm mỏng, vị trí chuyển vị của nó như hình 1.15 Chiều và độ lớn của lực trên một đơn vị

Trang 23

đài được tạo béi tai trong trong mat phang tdm 1a N,, N,, va N,, và quy ước dau cia nó như đối với ứng suất pháp và ứng suất tiếp Ngoại lực theo

phương vuông góc với tấm không tham gia vào phương trình cân bằng chiếu theo phương x và y, do đó : Hình 1.14 — Trạng thái chịn lực của phần tử tấm Theo phương x : ! ?ụ an

[v + ON ax bog ony ẽ * ox -N Seo ©) N,, + & |dx— Nok = 0

Trang 24

aN, Ox ô ; ee ow ox Ox\ ax ox N+ aN, oN, N.+——~# N.+—>*& oy ˆ Hình 1.15 — Lực tác dụng trong mặt phẳng tấm Tuong tự theo phương y : aN, ÔN, ——+ oy ax =0 (1.40)

Những phương trình này hoàn toàn độc lập với ba phương trình cân bằng

Trang 25

Tương tự ta có thành phân hình chiếu lên trục z do N,, 1a *ụ OO y,, 2 OMe Ig, * Bedy 8y ax, Thành phần hình chiếu lên trục z do N, là : [w+ )àn [Z-2x)- Xa ) ô ax? dx ox ô x(x, +a |o( S42" '}- ng a & Gx? ox -(¢ w ON, Oe — xdy ar ax ex Tương tự do N, là : aw ÔN, ð lx; V+ oe & he Do đó tổng hợp lực doN,, » Ny,CNÑ y =N,, ) chiếu lên phương Z là : _ ow 4 OMe ow a’w ÔN, ow aw N Oe ae ae — — Oy a 0y Yôxôp oat ON h 8? ON ụ _ 1y ôn +N, e „ + owe dcp ox Ấy " Oxéy Gy Ox Sử dụng (1.39) và (1.40) ta có: aw aw ow

F, -[», oon, Saw my mở ân

Trang 26

CHUONG 2 DAO DONG UON CUA TAM MONG

2.1 THIẾT LẬP PHUONG TRINH UON CUA TAM MONG

Xét dao động uốn của tấm mỏng đồng chất bẻ dày h, mật độ khối p không đổi Để thiết lập các phương trình dao động của tấm, ta thừa nhận các giả thiết của lý thuyết tấm mông cổ điển như sau :

> Biến dạng uốn của tấm khi dao động là những biến dạng nhỏ tuân theo

định luật Ilooke

> Trong tấm luôn tồn tại một lớp trung hoà mà khoảng cách giữa các

điểm của nó không thay đổi Khi tấm đồng chất bị uốn ít, lớp trung hoà trùng với mặt cong trung binh chia đôi bể dày của tấm Ta gợi mặt này là mặt trung hoà

v Các phần tử của tấm nằm trên đường thẳng vng góc với mặt trung hồ, khi tấm bị uốn vẫn nằm trên đường thẳng đó và đường thẳng đó

vẫn vuông góc với mặt trung hồ

> Khơng xét đến các ứng suất vuông góc với mặt trung hoà > Bỏ qua ảnh hướng của biến đạng trượt và quán tính quay

Ta chọn mặt phẳng trùng với mặt trung hòa trạng thái chưa biến đạng làm

mặt phẳng toa độ xy, trục z được chọn vuông gócvới mặt phẳng xy và hướng về phía dưới Ta ký hiệu u, v, w là các thành phần dịch chuyển của điểm M(x,y,z) của tấm tương ứng theo các trục x, y và z Ký hiệu uạ,vạ,wạ là các thành phần dịch chuyển tương ứng của điểm AÁ thuộc mặt trung hồ mà MA vng góc với mặt trung hoà Từ các giả thiết trên ta có:

uợ= vạ=Ũ, wụ= Ww(x,y,U)

u=-2—, VE-Z— QA)

Với các lực và mômen đã vẽ như trên, áp dụng nguyên lý d’Alembert ta

nhận được các phương trình sau:

Trang 27

ôi 2 ơM, ƠM =—+ 2.3 `“ œ (2.3) OM 6M =—>+—— (2.4) % Ox oy

Thế các biểu thức (2.3) và (2.4) vào phương trình (2.2) ta được :

aM, OM, ot wy, + axdy ph an x 2 aM yp ZW aw pG,y»,Ð (2.5) 2.5

Trong các phương trình trên ta sử dụng các ký hiệu:

Trang 28

M, , M, : Momen uốn trên một đơn vị chiều dài, vuông góc với mặt cắt X = const, y = const, (M,, = M,,)

p(x,y,Ð : Tải trọng ngoài trên một dơn vị diện tích, vng góc với mặt trung hồ

Trang 29

Thế các biểu thức (2.8) vào phương trình (2.5) ta nhận được phương trình đao động uốn của tấm mỏng theo lý thuyết Kirchhoff ary Ow Ofw 61w of 2 ' 2a vay 1 ay t ph an = pay (2.10) Phương trình (2.10) là phương trình dao động uốn của tấm mỏng Nếu ta sử dụng toán tử » oF & ot A'=—+2_——— 2.11 éx* * ax* dy? * &* ( ) Thì phương trình (2.10) có dạng : 2, DA'G.»,)+ pre x=p(x.y,) (2.12) ot Nếu chỉ xét dao động uốn tự do của tấm, ta lấy p(x,y,t) = 0, từ phương trình (2.12) ta suy ra : w =0 (2.13) DA}#Œ, v0) + ph e a

2.2 CAC DIEU KIEN BIEN

Trang 30

Vậy điều kiện biên là : ow wl,-9=9, ee | x0 2.2.2 Tấm bi ngam Độ võng và góc xoay bằng 0 VD:x=0 có wÌ, „=0, onl =0 ox l= 2.2.3 Biên tự do Lực cắt, mômen uốn và momen xoắn đều bắng 0 VD:x=0có 0| „=0, M.| „=0, M,„| =0 a0 7 es

Trang 31

(A- BY(A+ BW (x y)=0 (2.17)

Trong đó toán tử A có dạng

a a

Ox* r oy?

Nghiệm của phương trình (2.17) có thé tìm dưới dạng

WŒ@,y) = W¡(%,y) + W;(x,y)

Trong đó W;, W; tương ứng là nghiệm của các phương trình AW, + BW, =0 (2.18a) AW, + BW, =0 (2.18b) Nếu xét bài toán dao động tự do của tấm trên nền đàn hồi, thì phương trình đao động tự do của tấm có đạng : 2 é Wo ar DA w+ cw+ ph Phương trình này có thể đưa về dạng (2.15), nếu ta ký hiệu : a _@ hoe #= D Phương trình vi phân đối với các dạng dao động riêng của tấm: AW - Ø*W =0 (2.19) Trong hệ toạ độ Đề các vuông góc, phương trình (2.19) có dạng: a a ot atta ta | - BW =0 2.20 E * Ox? ay? * =} B ( ›

Ta có nghiệm phương trình trên đưới dạng W = W;, + W; Trong đó W,, W; là nghiệm của phương trình :

[Sep +/8°w,=0 (2.21)

[: x l ye 83, =0 X' By (2.22)

Trang 32

Nghiệm của phương trình (2.21) có dạng

W2 (x, y) — A, sin exsin yy = A, sin axcosy + A, cosaxsin yy + A, cosaxcosyy (2.23) e+ a PK Nghiệm của phương trình (2.22) có đạng : W(X y) = X(x).¥(y) (2.224) Thế biểu thức (2.24) vào phương trình (2.22) ta có : PX ay 1a@’xX_1ad’¥ aa re +e -8'XY= 8 1Y 0 I al rat t8 2 (2.25) 2 Từ đó suy ra : aX Fyeo a (2.26) r0 (227) any =f (2.28) Nghiệm của (2.26),(2.27) có dạng :

X(z) =C ¡sinh ax+C, coshax (2.29a)

¥(y) = C, sinh yy + C, coshyy (2.29b)

Nghiệm của phương trình (2.19) bây giờ có dạng :

W(x,y)= 4 sin axsin 7 + Á; sin đx cOS/ + 4; Cosdxsin 7ÿ + Á, COSØ% C057 + + A, sinh axsinh yy + A, sinh axcosh yy + A, cosh axsinh yy + A, cosh a@xcosh yy

Trong d6 Crp sa ty =P

Các giá trị ø,y,ơ,y và do đó j và œ được xác định từ điều kiện biên

2.3.2 Dao động cưỡng bức

Dao động uốn cưỡng bức không cản của tấm hình chữ nhật được biểu diễn bởi phương trình vi phân :

Trang 33

2

Dat w(x yt) 2h = play) (2.30)

Để tìm nghiệm riêng của phương trình (2.30) ta có nhiều phương pháp khác nhau Nếu đã biết được các hàm riêng của bài toán dao động tự do

W„„„(X,y), ta CÓ thể tìm một nghiệm riêng của phương trình (2.30) dưới dạng:

WI = YH PVG eld) mat nat (2.31)

Trong dé q,,,,(t) 14 céc hàm cần tìm Dựa trên tính chất trực giao của các hàm riêng, ta có thể tìm phương trình vi phân đối với hàm q„„(Ð tương tự như trong tính toán dao động uón của dầm

Thế biểu thức (2.31) vào phương trình (2.30) ta được :

ŠŸ | Meg 28/2, t62)4,,(0)= nã) 232)

Do W„„(x,y) là các hàm riêng nên theo phương trình (2.15) ta có :

DA Wy = On PRE ay (2.33)

Thế biểu thức (2.33) vào phương trình (2.32) ta suy ra :

YS ond Or Oa Aaa Wag) = POL yt) Tạ (2.34)

Trang 34

Nếu không biết trước các hàm riéng W,,,(x,y) ta 4p dụng phương pháp Rit Galerkin tim nghiém dưới dạng :

nữ 10 ~ 6,004, (9 il Jal 2.37)

trong đó @,,tx, y) được chọn sao cho thoả mãn điều kiện biên

2.4 MỘT SỐ BÀI TỐN VÍ DỤ 2.4.1 Bài toán 1

Trang 35

Ta tìm nghiệm của (1) dưới dạng : w=w,t+w, (2) Trong do :

a efi me 1 may may may

wes 7 4 „thơ „ch YAY oy MOY AnD m cha, a a a + KT “ni sha, 4 a a @) to tha, +2 ,2a,y % - 42 ———- On DY oy (4) + Đ„‹-sa.m 2chư, 4 2cha,, b Với „.- mab ” 2a

wị : là nghiệm của bài toán chịu mômen phân bố đều trên một đơn vị dài của

cạnh y “` ( trơng đương với cạnh y =! chịu ngàm )

w; : là nghiệm của bài toán tấm có 4 cạnh tựa tự do

Trang 37

4g? Bol, "¬ ' ẽ ẽ ` tha, +2, 2a„y ẽ 2 #” m1, a 2cha.,, b chư, b a, 2y ,2ø„w -q- eS gt (4) 14 Mômen uốn M, được tính như sau :

Trang 38

2.4.2 Bài toán 2

Xét dao động của tấm móng hình chữ nhật chịu liên kết như hình vẽ, chịu tác dụng của lực phân bố đều trên toàn mặt tấm Giải

Có thể coi tấm chữ nhật ABCD có hai cạnh kê nhau, x = Ö, y = 0 tua ty do, hai cạnh kia bị ngàm như một phần của tấm bị ngàm tại toàn bộ chu vi x=ta, y=th

Tải trọng phân bố đều trên diện tích của tấm cho trước Lúc này, việc chia

Trang 39

Điều kiện biên của bài toán : 2 x=0 : w=0, ow ig ox y=0: , x=a ow 9 ax x=b: , ow ox

Ta tìm nghiệm bài toán đưới dạng: w= w, + w; (1) Trong đó : w;— nghiệm của bài toán tấm có 4 cạnh tựa tự do

ml

eye tha, +2 ,

Mỹ = ‘ae ¢ yy cos te jan Bn + oh Ot 4 1 may may 2] (2) #ÌD „na, a 2cha,, a 2chư„ a

w¡ — nghiệm của bài tốn tấm chịu mơmen phân bố đều trên một

đơn vị đài

— ( yp? 2 THIX[ HƠI , maY may

Trang 40

“2 tha,, -—>* 4ga? ” cha, 9 = 6) E,, = z a tha, +—" ” chay Thay (6) vào (3) ta được : cos mg sh _ a, tha,ch z2) ở a a a 8 8 M,, = -| Tản =) a Đạo ham (3) hai lần theo x va hai lần theo y, sau đó thay vào (7) ta được : ml 2 « ys ề SA cos E2 she? _ a ha ch} ) (8) ox 2D pags | Cha, a a a a EY OY op ED _ ar thetych mar) a a a a 9) a, thar, (u—Nch 2 | (10) a

Với E„ được tính trong công thức (6)