Bài giảng môn học xác suất và thông kê nguyễn văn thìn

Tập hợp - Giải tích tổ hợp Bài Giảng Môn học Xác Suất Thống Kê Nguyễn Văn Thìn Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Ngày tháng năm 2011 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Nội dung Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tập hợp Giải tích tổ hợp Tập hợp - Giải tích tổ hợp Khái niệm tập hợp • Khái niệm tập hợp khái niệm định nghĩa, tương tự khái niệm điểm, đường thẳng hình học • Tập hợp hiểu tổng quát tựu tập số hữu hạn hay vô hạn đối tượng Các đối tượng gọi phần tử tập hợp • Ta thường dùng chữ in hoa A, B, C , để kí hiệu tập hợp Nếu a phần tử thuộc tập A ta kí hiệu a ∈ A Ngược lại, a không thuộc A ta kí hiệu a ∈ /A • Tập hợp phần tử gọi tập rỗng Kí hiệu ∅ Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biểu diễn tập hợp Có hai cách xác định tập hợp: • Liệt kê phần tử Ví dụ Tập hợp số tự nhiên nhỏ A = {0, 1, 2, 3, 4} Tập hợp số tự nhiên chẵn từ đến 100 B = {0, 2, 4, , 98, 100} Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biểu diễn tập hợp • Chỉ tính chất đặc trưng phần tử Không phải tập hợp liệt kê rõ ràng phần tử Tuy nhiên ta dùng tính chất đặc trưng để mô tả nó, từ xác định phần tử có thuộc tập hợp hay không Ví dụ Tập hợp số thực lớn bé C = {x|x ∈ R ≤ x ≤ 1} Tập hợp - Giải tích tổ hợp Quan hệ tập hợp • Tập hợp Cho tập hợp A B Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B, ta nói tập hợp A tập hợp B kí hiệu A ⊂ B B ⊃ A Ta viết A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) • Tập hợp Cho tập hợp A B Nếu phần tử A thuộc B ngược lại, phần tử B thuộc A ta nói hai tập hợp A B kí hiệu A = B Ta viết A = B ⇔ (A ⊂ B B ⊂ A) Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán tập hợp • Giao hai tập hợp Giao hai tập hợp A B cho tập hợp phần tử đồng thời thuộc hai tập hợp này, kí hiệu A ∩ B Ta viết x ∈A∩B ⇔ x ∈A x ∈B Tập hợp - Giải tích tổ hợp • Hợp hai tập hợp Hợp hai tập hợp A B cho tập hợp phần tử thuộc hai tập hợp này, kí hiệu A ∪ B Ta viết x ∈A∪B ⇔ x ∈A x ∈B Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán tập hợp • Hiệu hai tập hợp Hiệu hai tập hợp A B cho tập hợp phần tử thuộc A mà không thuộc B, kí hiệu A \ B Ta viết A \ B = {x|x ∈ A x ∈ / B} Tập hợp - Giải tích tổ hợp Các phép toán tập hợp Tính chất • Tính giao hoán A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A • Tính kết hợp (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Miền bác bỏ, mức ý nghĩa Do quy luật phân phối xác suất Z biết nên với α bé tùy ý ta tìm miền Wα cho P(Z ∈ Wα ) = α Miền Wα gọi miền bác bỏ giả thiết H0 α gọi mức ý nghĩa kiểm định Thực phép thử mẫu ngẫu nhiên (X1 , , Xn ) ta thu mẫu cụ thể (x1 , , xn ) Từ mẫu cụ thể ta tính giá trị Z (ký hiệu z) gọi giá trị thực nghiệm z = f (x1 , , xn , θ0 ) • Nếu z ∈ Wα ta bác bỏ giả thiết H0 , thừa nhận H1 • Nếu z ∈ / Wα ta chấp nhận H0 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Sai lầm loại sai lầm loại Khi kiểm định giả thiết thống kê, mắc phải hai loại sai lầm sau đây: a Sai lầm loại 1: Là sai lầm mắc phải ta bác bỏ giả thiết H0 thực tế giả thiết H0 b Sai lầm loại 2: Là sai lầm mắc phải ta chấp nhận giả thiết H0 thực tế giả thiết H0 sai Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Quy trình kiểm định Quá trình kiểm định giả thiết thống kê tiến hành theo bước sau Phát biểu giả thiết không H0 đối thiết H1 Quyết định liệu cần thu thập thu thập điều kiện Chọn lựa kiểm định thống kê (cùng với mô hình thống kê liên kết với nó) để kiểm định H0 Từ số kiểm định dùng cho mô hình nghiên cứu, chọn kiểm định thích hợp dựa sở điều kiện nghiên cứu giả định sở kiểm định Chọn mức ý nghĩa α kích thước mẫu n Tìm phân phối mẫu kiểm định thống kê điều kiện H0 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Trên sở (2), (3) (4) trình bày trên, xác định miền bác bỏ kiểm định thống kê tương ứng Thu thập liệu Sử dụng liệu thu từ mẫu, tính giá trị kiểm định Nếu giá trị thống kê nằm miền bác bỏ, ta bác giả thiết H0 , giá trị thu nằm miền bác bỏ, kết luận bác bỏ giả thiết H0 mức ý nghĩa chọn Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Quy trình kiểm định làm Từ mẫu cụ thể cho tính giá trị thống kê tương ứng với tiêu chuẩn kiểm định trường hợp tương ứng Với mức ý nghĩa α cho trước, xác định miền bác bỏ Kiểm tra giá trị tiêu chuẩn kiểm định có nằm miền bác bỏ hay không kết luận Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Kiểm định giả thiết trung bình tổng thể Bài toán Cho tổng thể với trung bình µ chưa biết với phương sai biết chưa biết Từ mẫu ngẫu nhiên (X1 , X2 , , Xn ) kiểm định H0 : µ = m0 , H1 : µ = m0 (µ < m0 , µ > m0 ) với mức ý nghĩa α Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Kiểm định giả thiết trung bình tổng thể Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30 (hoặc n < 30 X có phân phối chuẩn), σ biết Chọn thống kê Z= ¯ − m0 X √ = √σ n ¯ − m0 ) n(X σ làm tiêu chuẩn kiểm định Nếu giả thiết H0 Z ∼ N(0, 1) Từ ta suy miền bác bỏ tương ứng với loại đối thiết Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Kiểm định giả thiết trung bình tổng thể Ta có bảng tóm tắt loại giả thiết miền bác bỏ tương ứng Giả thiết H0 : µ = m0 H1 : µ < m0 H0 : µ = m0 H1 : µ > m0 H0 : µ = m0 H1 : µ = m0 Miền bác bỏ Wα = z = x¯−m √0 σ/ n : z < zα Wα = z = x¯−m √0 σ/ n : z > z1−α Wα = z = x¯−m √0 σ/ n : |z| > z1−α/2 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Kiểm định giả thiết trung bình tổng thể Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30, σ chưa biết Ta dùng ước lượng Var (X ) S để thay cho σ Chọn thống kê Z= ¯ − m0 X √ = √S n ¯ − m0 ) n(X S làm tiêu chuẩn kiểm định Nếu giả thiết H0 Z ∼ N(0, 1) Từ ta suy miền bác bỏ tương ứng với loại đối thiết Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Kiểm định giả thiết trung bình tổng thể Ta có bảng tóm tắt loại giả thiết miền bác bỏ tương ứng Giả thiết H0 : µ = m0 H1 : µ < m0 H0 : µ = m0 H1 : µ > m0 H0 : µ = m0 H1 : µ = m0 Miền bác bỏ Wα = z = x¯−m √0 s/ n : z < zα Wα = z = x¯−m √0 s/ n : z > z1−α Wα = z = x¯−m √0 s/ n : |z| > z1−α/2 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Kiểm định giả thiết trung bình tổng thể Trường hợp kích thước mẫu n < 30, σ chưa biết, X tuân theo quy luật phân phối chuẩn Chọn thống kê T = ¯ − m0 X √ = √S n ¯ − m0 ) n(X S làm tiêu chuẩn kiểm định Nếu giả thiết H0 T ∼ T (n − 1) (Phân phối Student với n − bậc tự do) Từ ta suy miền bác bỏ tương ứng với loại đối thiết Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Kiểm định giả thiết trung bình tổng thể Ta có bảng tóm tắt loại giả thiết miền bác bỏ tương ứng Giả thiết H0 : µ = m0 H1 : µ < m0 H0 : µ = m0 H1 : µ > m0 H0 : µ = m0 H1 : µ = m0 Miền bác bỏ Wα = t = x¯−m √0 s/ n : t < tαn−1 Wα = t = x¯−m √0 s/ n n−1 : t > t1−α Wα = t = x¯−m √0 s/ n n−1 : |t| > t1−α/2 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Kiểm định giả thiết tỷ lệ tổng thể Bài toán Cho tổng thể X , tỷ lệ cá thể mang đặc tính A tổng thể p (p chưa biết) Từ mẫu ngẫu nhiên (X1 , X2 , , Xn ) kiểm định H0 : p = p0 , với mức ý nghĩa α H1 : p = p (p < p0 , p > p0 ) Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Kiểm định giả thiết tỷ lệ tổng thể Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30 (hoặc n < 30 X có phân phối chuẩn, σ biết: Quan sát xuất biến cố "Cá thể mang đặc tính A" n phép thử độc lập Nếu có m lần xuất biến cố tần suất f = m n ước lượng điểm xác suất P(A) = p Gọi F tần số xuất A n phép thử F ∼ B(1, p) Gọi (F1 , , Fn ) mẫu ngẫu nhiên F , F¯ = n n Fi = f i=1 Chọn thống kê Z= F¯ − p0 p0 q0 n √ = n(F¯ − p0 ) √ p0 q0 làm tiêu chuẩn kiểm định Nếu giả thiết H0 Z ∼ N(0, 1) Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Một số biến ngẫu Kiểm định giả thiết tỷ lệ tổng thể Ta có bảng tóm tắt loại giả thiết miền bác bỏ tương ứng Giả thiết H0 : p = p H1 : p < p H0 : p = p H1 : p > p H0 : p = p H1 : p = p Miền bác bỏ √ (f −p0 ) Wα = z = √ : z < −zα Wα = z = : z > z1−α Wα = z = n p0 (1−p0 ) √ (f −p0 ) n √ p0 (1−p0 ) √ (f −p0 ) n √ p0 (1−p0 ) : |z| > z1−α/2 [...]... Thống Kê Nguyễn Văn Thìn Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM Ngày 4 tháng 9 năm 2011 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Nội dung Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Quan hệ giữa các biến cố Các phép toán trên các biến cố Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Các công thức tính xác suất cơ bản Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất. .. tự và không lặp Tập hợp - Giải tích tổ hợp Tổ hợp Tổ hợp có các tính chất cơ bản sau: • Quy ước 0! = 1 • Cnk = Cnn−k k−1 k • Cnk = Cn−1 + Cn−1 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Nhị thức Newton Công thức nhị thức Newton n (a + b)n = Cnk an−k bk k=0 Các hệ số trong nhị thức Newton có thể được xác định từ tam giác Pascal Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Bài Giảng Môn học Xác Suất và. .. cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Biến cố tích (intersection) Biến cố tích của A và B, ký hiệu A.B,là biến cố xảy ra nếu A và B cùng đồng thời xảy ra Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Biến cố hiệu Biến cố hiệu của A và B, ký hiệu A \ B, là biến cố xảy ra nếu A xảy ra nhưng B không xảy ra Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất. .. B, A2 ⊂ P2 , P2 ⊂ A2 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Quan hệ giữa các biến cố Sự tương đương A tương đương với B, ký hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại Ví dụ Trong ví dụ (3) A2 = P2 Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Biến cố tổng (Union) Biến cố tổng của A và B, ký hiệu A + B hay A ∪ B là biến cố xảy ra nếu có ít... experiment) là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định ( làm thí nghiệm) và có thể lặp lại nhiều lần Kết quả của phép thử ta không xác định trước được Ví dụ Phép thử ngẫu nhiên Tung đồng tiền Điểm thi kết thúc môn Tuổi thọ của một linh kiện điện tử Kết quả Mặt sấp, mặt ngửa {0, 1, 2, , 10} t > 0 giây Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Biến cố ngẫu nhiên • Tập hợp tất cả... Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Biến cố ngẫu nhiên Ví dụ Gieo một lần con xúc xắc Gọi ωi = "mặt trên của xúc sắc có i chấm"= i Không gian các biến cố sơ cấp Ω = {ω1 , ω2 , , ω6 } = {1, 2 , 6} A = {1, 3, 5} =" chấm lẻ" B = {2, 4, 6} =" chấm chẳn" → Biến cố ngẫu nhiên C = {5, 6} =" chấm > 4" Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Quan hệ giữa các biến cố... phần tử Khi đó, Akn = n.(n − 1) (n − k + 1) = n! (n − k)! Tập hợp - Giải tích tổ hợp Chỉnh hợp Ví dụ Một lớp học tiếng Anh có 12 người tham dự Hỏi có bao nhiêu cách chọn một lớp trưởng và một lớp phó? Bài giải Một cách chọn một lớp trưởng và một lớp phó là một nhóm có hai phần tử có thứ tự và không lặp Nên có A212 = 12.11 = 132 cách chọn thỏa yêu cầu Tập hợp - Giải tích tổ hợp Hoán vị Định nghĩa Hoán... exclusive) A xung khắc với B nếu A và B không đồng thời xảy ra, A.B = Ø Dãy các biến cố A1 , A2 , , An được gọi là xung khắc từng đôi một nếu Ai Aj = Ø, ∀i = j Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Biến cố đối lập ( biến cố bù) (complement) Biến cố đối lập của A, ký hiệu A, là biến cố xảy ra khi A không xảy A+A=Ω hay A = Ω \ A ra và ngược lại, nghĩa là A.A =... (complement) Biến cố đối lập của A, ký hiệu A, là biến cố xảy ra khi A không xảy A+A=Ω hay A = Ω \ A ra và ngược lại, nghĩa là A.A = Ø Tính chất A+B A.B = A.B =A+B Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————– Các phép toán trên biến cố Hệ đầy đủ các biến cố (exhaustive) Hệ đầy đủ các biến cố Dãy n các biến cố A1 , A2 , , An được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếu: Ai Aj = Ø, ∀i = j, i,... Tập hợp - Giải tích tổ hợp Hoán vị Định nghĩa Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự không lặp có đủ n phần tử đã cho Số hoán vị của n phần tử là Pn = n! Quy ước 0! = 1 Ví dụ Mỗi cách xếp 4 học sinh ngồi vào một bàn có 4 chỗ ngồi là một hoán vị của 4 phần tử Do đó số cách xếp sẽ là P4 = 4! = 24 cách Nhận xét Hoán vị là một trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp vì Pn = Ann Tập hợp - Giải tích tổ hợp ... thức Newton xác định từ tam giác Pascal Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất ———————– Bài Giảng Môn học Xác Suất Thống Kê Nguyễn Văn Thìn Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên... thử Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn • Nguyên lý xác suất nhỏ: biến cố có xác suất nhỏ α (gần 0) cho thực tế không xảy phép thử • Nguyên lý xác suất lớn: biến cố có xác suất lớn β (gần... tính xác suất dựa quan sát thực tế ứng dụng rộng rãi Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn • Nguyên lý xác suất nhỏ: biến cố có xác suất nhỏ α (gần 0) cho thực tế không xảy phép thử • Nguyên lý xác