Khái niệm và các định nghĩa về xác suất
2.1 A, B xung khắc ta có P(A + B) =P (A)+P(B)
2.2 A1,A2, . . . ,An xung khắc từng đôi một(Ai.Aj = Ø,∀i6=j)
P n n X i=1 Ai ! = n X i=1 P(Ai)
Ví dụ
Qua điều tra trong sinh viên, ta biết40%học thêm ngoại ngữ,
55%học thêm tin học và30%học thêm cả hai môn này. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất gặp được
1. Sinh viên học thêm (ngoại ngữ hay tin học).
2. Sinh viên không học thêm môn nào cả.
Bài giải
A="gặp được sinh viên học thêm ngoại ngữ",
B="gặp được sinh viên học thêm tin học".
Khi đóA∩B="gặp được sinh viên học thêm cả hai môn ngoại ngữ và tin học", và
Bài giải (tt)
1. Xác suất gặp được sinh viên học thêm ( ngoại ngữ hay tin học) là
P(A∪B) =P(A)+P(B)−P(A∩B) =0.4+0.55−0.3=0.65.
2. Xác suất gặp được sinh viên không học thêm môn nào cả là
Xác suất có điều kiện
Cho hai biến cốA vàB vớiP(B)>0. Xác suất của biến cốAvới điều kiện biến cốB đã xảy ra là
P(A|B) = P(AB)
P(B) ; P(B)>0 (1)
Tính chất xác suất có điều kiện • 0≤P(A|B)≤1
• P(B|B) =1
• Nếu AC = Ø thì P[(A+C)|B] =P(A|B) +P(C|B) • P(¯A|B) =1−P(A|B)
Công thức nhân xác suất
Với các biến cố tùy ýA vàB ta có
P(AB) =P(A|B)P(B) =P(B|A)P(A)
Công thức nhân xác suất (tổng quát)
ChoAi,(i =1, ...,n) là họn biến cố khi đó
Hai biến cố độc lập
Hai biến cốAvà B được gọi là độc lập với nhau nếu
P(AB) =P(A)P(B)
n biến cố độc lập
Các biến cốA1,A2, ...,An được gọi là độc lập với nhau nếu chúng thỏa
P(AiAj) =P(Ai)P(Aj)
P(AiAjAk) =P(Ai)P(Aj)P(Ak)
P(A1A2...An) =P(A1)P(A2)...P(An)
Công thức xác suất đầy đủ
ChoAi,(i =1, ...,n) là hệ đầy đủ các biến cố,B là một biến cố nào đó thì P(B) =P(A1)P(B|A1) +P(A2)P(B|A2) +...+P(B|An) = n X i=1 P(Ai)P(B|Ai)
Công thức xác suất Bayes
ChoAi,(i =1, ...,n) là hệ đầy đủ các biến cố,B là một biến cố nào đó sao choP(B)>0.Khi đó với mọi i (i = 1, ...,n)
P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)
P(B) =
P(Ai)P(B|Ai)
Pn
Ví dụ
Một công ty sản xuất bóng đèn có hai nhà máy sản xuất I và II. Biết rằng nhà máy II sản xuất gấp 4 lần nhà máy I. Biết số phế phẩm tương ứng của hai nhà máy là 10 % và 20 %.
• Hãy tìm xác suất để khi ta mua 1 bóng đèn thì trúng phải bóng đèn hư.
• Biết rằng đã mua phải bóng đèn hư. Hãy tìm xác suất để bóng hư này là do nhà máy I sản xuất