Đại số đa thức và các phương án cài đặt

Đại số đa thức là một lĩnh vực quan trọng của đại số. Nó là công cụ để nghiên cứu các phương trình đại số trong toán học và nhiều lý thuyết của Toán học hiện đại.

Khóa luận Tốt nghiệp Đại số đa thức và các phương án cài đặt LỜI MỞ ĐẦU Đại số đa thức là một lĩnh vực quan trọng của đại số. Nó là công cụ để nghiên cứu các phương trình đại số trong toán học và nhiều lý thuyết của Toán học hiện đại. Chúng ta đã tiếp xúc với các phép toán về đa thức ngay từ học trung học phổ thông. Với học sinh phổ thông việc thực hiện các phép toán đa thức là rất cần thiết mặc dầu mất khá nhiều thời gian. Ngày nay tin học đã thâm nhập vào tất cả mọi hoạt động của xã hội loài người và máy tính điện tử trở thành công cụ đắc lực không chỉ giảm nhẹ lao động (kể cả lao động có trí tuệ) mà còn giúp thêm cho con người những năng lực mới mà trước đây chúng ta khó hình dung được. Việc xây dựng một chương trình có thể thực hiện được các phép tính đa thức nhằm hiểu sâu hơn các vấn đề về cài đặt dữ liệu và các giải thuật thích hợp với các dữ liệu ấy. Nó sẽ là một công việc có ích cho bản thân đồng thời có thể giúp các học sinh trung học tự kiểm tra các kết quả tính toán khi làm toán với các đa thức. Với ý nghĩa đó đề tài đã tiến hành nghiên cứu các vấn đề về đại số đa thức và các phương án cài đặt đa thức. Nội dung của đề tài được trình bày trong năm chương, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Kết quả chính thu được của đề tài: Chương 1: Đa thức và phép tính đa thức Trong chương này trình bày đa thức như là một tổng đại số của các đơn thức một biến và các phép toán cơ bản trên tập hợp các Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  1  Khóa luận Tốt nghiệp Đại số đa thức và các phương án cài đặt đa thức một biến (cộng, trừ, nhân, chia, giá trị của đa thức tại một điểm và khái niệm về ước chung lớn nhất của hai đa thức). Chương 2: Cài đặt đa thức bằng mảng Dựa vào định nghĩa cũng như các phép toán về đa thức đưa ra được cách lưu trữ đa thức trong mảng là mảng một chiều gồm -1 -> n phần tử (n là một số cố định cho trước), trong đó phần tử đầu tiên lưu giá trị bậc của đa thức. Từ đó cài đặt các phép toán: cộng, trừ, nhân, tính giá trị của đa thức và tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức trên mảng. Tuy nhiên với cách lưu trữ này cũng có một số thuận lợi và khó khăn khi cài đặt chương trình. Chương 3: Cài đặt đa thức bẳng mảng con trỏ Đa thức được lưu trữ bởi một bản ghi gồm hai trường, một trường để lưu bậc của đa thức trường còn lại là mảng con trỏ. Trong quá trình cài đặt các phép tóan, khi cần thiết để lưu các hệ số của đa thức tương ứng với lũy thừa ta mới cấp phát biến động tương ứng với chỉ số của mảng con trỏ. Dựa trên lưu trữ đa thức bằng mảng con trỏ để thực hiện các phép toán đối với đa thức, cài đặt thuật toán cũng giống như đối với mảng. Chương 4: Cài đặt đa thức bảng danh sách liên kết Các phương pháp lưu trữ đã trình bày ở trên dễ dàng cài đặt nhưng rất tốn bộ nhớ. Để khắc phục bằng cách lưu trữ đa thức dưới dạng là một danh sách liên kết bao gồm các nút được liên kết với nhau. Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  2  Khóa luận Tốt nghiệp Đại số đa thức và các phương án cài đặt Mỗi nút là gồm ba trường: hệ số, lũy thừa và một con trỏ để lưu địa chỉ của nút tiếp theo trong danh sách, ngoài ra còn có một nút để chứa bậc của đa thức, nút này là nút đầu trong danh sách. Lưu trữ bằng danh sách liên kết phức tạp hơn đối với mảng và mảng con trỏ, vì vậy việc thực hiện cài đặt các phép toán khó khăn hơn. Bằng cách lưu trữ này cũng đã thực hiện thành công việc cài đặt các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, tính giá trị và tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức. Chương 5: Thiết kế đồ họa Để giao diện thân thiện hơn với người sử dụng, đề tài còn nghiên cứu về kỹ thuật đồ họa trong Pascal trong việc tạo menu, dùng tiếng việt trong Pascal và có sử dụng ngắt 33h và các hàm của BIOS để điều khiển chuột. Đề tài được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Tiến sỹ Nguyễn Trung Hòa. Nhân dịp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn vì sự giúp đỡ và chỉ dẫn hết sức nhiệt tình, chu đáo. Em xin gửi lời cảm ơn tới Nhà trường, khoa Công nghệ Thông tin đã tạo điều kiện cho chúng em được học tập và rèn luyện trong suốt bốn năm học vừa qua. Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo, bạn bè trong khoa đã giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu. Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  3  Khóa luận Tốt nghiệp Đại số đa thức và các phương án cài đặt Đề tài không tránh khỏi nhiều thiếu sót. Em kính mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và sự góp ý của các bạn trong khoa. Sinh viên Trần Thị Lê Na CHƯƠNG 1: ĐA THỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN ĐA THỨC 1. Định nghĩa đa thức Biểu thức hình thức: (1) f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + . + a 1 x + a 0 - Trong đó a n , a n- 1 , ., a 1 , a 0 Є K (K là một trường tuỳ ý) với a n ≠ 0, được gọi là đa thức bậc n. Ta viết degf = n có nghĩa là bậc của f bằng n. - Các phần tử a n , a n-1 , ., a 1 , a 0 Є K được gọi là các hệ tử, x là ẩn - a i x i , i = n,0 là các hạng tử của đa thức f(x) - a n x n là hạng tử cao nhất của đa thức f(x). - a 0 là hạng tử tự do của đa thức f(X). - Đa thức f(x) = a n x n , a ≠ 0 còn được gọi là đơn thức bậc n. - Trong trường hợp a 0 ≠ 0, n = 0 thì f(x) có bậc bằng 0. - Đa thức f(x) được gọi là đa thức không nếu và chỉ nếu tất cả các hệ số của nó bằng 0. Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  4  Khóa luận Tốt nghiệp Đại số đa thức và các phương án cài đặt - Nhấn mạnh ở đây rằng ta luôn đồng nhất biểu thức (1) với các biểu thức dẫn dắt từ (1), tức là tổng theo thứ tự tuỳ ý các đơn thức tham gia trong (1). Như vậy biểu thức viết theo thứ tự ngược lại với (1). (2) a 0 + a 1 x + . + a n-1 x n-1 + a n x n cùng là một đa thức g(x) đồng nhất với f(x). - Khi K là một trường số thực hoặc phức thay cho thuật ngữ hệ tử và hạng tử ta sẽ dùng thuật ngữ hệ số và số hạng. 2. Định nghĩa các phép toán trên đa thức 2.1) Phép cộng hai đa thức Cho f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + . + a 1 x + a 0 và g(x) = b n x n + b n-1 x n-1 + . + b 1 x + b 0 , là các đa thức với hệ số trong K. Khi đó đa thức: f(x) + g(x) = (a n + b n ) x n + (a n-1 + b n-1 ) x n-1 + . + (a 1 + b 1 )x + (a 0 + b 0 ) được gọi là tổng của hai đa thức f(x) và g(x). Ở đây nếu bậc của hai đa thức không bằng nhau ta viết thêm các số hạng với hệ số bằng không. 2.2) Trừ hai đa thức Phép trừ hai đa thức cũng tương tự như phép cộng hai đa thức: Cho f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + . + a 1 x + a 0 và g(x) = b n x n + b n-1 x n-1 + . + b 1 x + b 0 , là các đa thức với hệ số trong K. Khi đó đa thức: Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  5  Khóa luận Tốt nghiệp Đại số đa thức và các phương án cài đặt f(x) - g(x) = (a n - b n ) x n + (a n-1 - b n-1 ) x n-1 + . + (a 1 - b 1 )x + (a 0 - b 0 ) được gọi là hiệu của hai đa thức f(x) và g(x). Ở đây nếu bậc của hai đa thức không bằng nhau ta viết thêm các số hạng với hệ số bằng không. 2.3) Phép nhân hai đa thức Cho hai đa thức: f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + . + a 1 x + a 0 , a n ≠ 0 g(x) = b m x m + b m-1 x m-1 + . + b 1 x + b 0 , b m ≠ 0 thì f(x)g(x) = d n+m x n+m + d n+m-1 x n+m-1 + . + d 1 x+ d 0 trong đó d i = ∑ =+ ijk a k b j , i = 0, 1, ., n +m. Hiển nhiên degf(X)g(X) = degf(X) + degg(X) f(X)g(X) = g(X)f(X) và f(X)(r(X) + s(X)) = f(X)r(X) + f(X)s(X) 2.4) Phép chia hai đa thức Giả sử f, g Є K[x] và g ≠ 0 khi đó f có thể viết duy nhất dưới dạng: (1) f = gq + r Với q, r Є K[x] và degr < degq Biểu thức (1) được gọi là phép chia có dư đa thức f(x) cho đa thức g(x) ≠ 0. Đa thức f(x) được gọi là đa thức bị chia, đa thức g(x) là đa thức chia, đa thức q(x) là thương còn đa thức r(x) là phần dư của phép chia. Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  6  Khóa luận Tốt nghiệp Đại số đa thức và các phương án cài đặt Nếu r(x) = 0 ta nói f(x) chia hết cho g(x), khi đó ta cũng nói g(x) là một ước của f(x). 2.5) Tính giá trị của đa thức. Cho đa thức f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + . + a 0 . Với các hệ số của đa thức a 0 , a 1 , . , a n-1 , a n và x cho trước. Để tính giá trị của đa thức ta dùng thuật toán Horner P = ( . ((a n x + a n-1 )x + a n-2 )x + . + a 1 )x + a 0 , trong đó quá trình truy hồi được tiến hành như sau: P n = a n P n-1 = P n x + a n-1 . P = P 0 = P 1 x + a 0 <=> P := Px + a k Với k = 1,1 − n 2.6) Ước chung lớn nhất của hai đa thức. Nhắc lại rằng g Є K[x], g ≠ 0 được gọi là ước chung của f Є K[x] nếu f chia hết cho g và ta viết f | g. Cho f, g, h Є K[x]. Ta nói + h là ước chung của f và g nếu h | f và h | g. + h là ước chung lớn nhất (UCLN) của f và g, nếu nó là ước chung của f và g và chia hết cho mọi ước chung khác. Áp dụng thuật chia ECLIDE ta có thể tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức f và g không đồng thời bằng không. Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  7  Khóa luận Tốt nghiệp Đại số đa thức và các phương án cài đặt Thật vậy ta coi g ≠ 0. Chia f cho g ta được phần dư r 1 . Nếu r 1 ≠ 0, ta chia g cho r 1 , được phần dư r 2 . Cứ tiếp tục vì bậc của các phần dư giảm dần nên tồn tại k ≥ 1 sao cho r k-1 | r k . Ta sẽ kiêm lại khi đó rằng. r k = (f, g) Thật vậy xuất phát từ đẳng thức r k-1 = r k h k+1 Suy ra r k | r k-2 và cũng vậy r k |r k-3 . Cứ như vậy ta nhận được r k |g và r k |f Bây giờ nếu φ là một ước chung tuỳ ý của f và g thì φ | r 1 và cũng vậy φ | r 2 . Cứ như thế ta lại nhận được φ | r k CHƯƠNG 2: CÀI ĐẶT ĐA THỨC BẰNG MẢNG 1. Lý do cài đặt bằng mảng Cấu trúc mảng là cấu trúc rất quen thuộc ở mọi ngôn ngữ lập trình. Đặc biệt trong ngôn ngữ lập trình Pascal. Nếu như chúng ta biết cách khai thác và sử dụng sẽ giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán. 1.1) Ưu điểm: Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  8  Khóa luận Tốt nghiệp Đại số đa thức và các phương án cài đặt - Dùng mảng có lợi điểm là có thể đọc ngược, đọc xuôi một cách dễ dàng và truy xuất đến một phần tử mảng cũng hết sức nhanh chóng. - Mảng được lưu trữ kế tiếp nên việc truy nhập vào phần tử của mảng được thực hiện trực tiếp dựa vào địa chỉ tính được, nên tốc độ nhanh và đồng đều đối với mọi phần tử. 2.2) Nhược điểm: Mặc dầu có rất nhiều ứng dụng ở đó mảng có thể được sử dụng để thể hiện mối quan hệ về cấu trúc giữa các phần tử dữ liệu. Tuy nhiên cũng lộ rõ một số nhược điểm như: - Không có phép bổ sung phần tử hoặc loại bỏ phần tử được thực hiện đối với mảng. - Không tận dụng được các vùng nhớ có kích thước nhớ nhỏ vì các thành phần của mảng cần được lưu trữ một cách kế tiếp. - Khi dùng mảng đều phải khai báo trước kích thước của mảng. Trong khi đó chúng ta lại không thể dự đoán trước kích thước của dữ liệu vì thế thường xảy ra tình trạng: khai báo kích thước gây lãng phí bộ nhớ hoặc ngược lại khai báo thiếu thì máy bị treo không chạy nổi chương trình. Ví dụ cộng (3x^2 – x + 3) Với (2x^2 + x - 3) Để có kết quả là (5x^2) Có thể dùng mảng một chiều để biểu diễn: hệ số của số hạng x i sẽ được lưu trữ ở phần tử thứ i của mảng một chiều, ta quy ước Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  9  Khóa luận Tốt nghiệp Đại số đa thức và các phương án cài đặt bậc của đa thức được lưu trữ ở phần tử -1. Như vậy phép cộng hai đa thức chính là phép cộng hai mảng. Cách biểu diễn đã đưa tới phép xử lý đơn giản. Tuy nhiên ta cũng thấy một số nhược điểm: Đa thức: 3x^2 – x + 3 được lưu trữ Chỉ số mảng -1 0 1 2 2 3 -1 3 Các hệ số tương ứng các lũy thừa Đa thức: 2x^2 + x – 3 được lưu trữ -1 0 1 2 Kết quả khi cộng hai đa thức trên: -1 0 1 2 2 5 0 0 Ta thấy kết quả là một mảng mới biểu diễn nhiều phần tử bằng 0, nó vẫn chiếm ô nhớ trong bộ nhớ, trong khi đó các giá trị đó không sử dụng tới khuynh hướng này tạo ra sự lãng phí bộ nhớ rất rõ. 2. Định nghĩa kiểu mảng. Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  10  2 2 1 -3 Hệ số [...]... tin - Đại học Vinh  17  Khóa luận Tốt nghiệp cài đặt Đại số đa thức và các phương án Begin ChiaDT(a,b,q,r); a:=b; b:=r; End; c:=a; If c[-1]=0 then c[0]:=1; End; Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  18  Khóa luận Tốt nghiệp cài đặt Đại số đa thức và các phương án CHƯƠNG 3: CÀI ĐẶT ĐA THỨC BẰNG MẢNG ĐỘNG 1 Lý do cài đặt bằng mảng động Bài toán mà chúng ta đã cài đặt. .. - Đại học Vinh  20  Khóa luận Tốt nghiệp cài đặt Đại số đa thức và các phương án dt = Record m: mang; bac: shortint; End; Var a: ^dt; Trong đó: maxbac: một số cố định cho trước a.bac: bậc của đa thức a.m[0]^ a.m[a.bac]^: hệ số tương ứng với luỹ thừa Dựa vào cách lưu trữ đó, ta cài đặt các phép toán của đa thức hoàn toàn giống như cách cài đặt đa thức bằng mảng * Ví dụ minh họa thực hiện nhân hai đa. .. - Đại học Vinh  28  Khóa luận Tốt nghiệp cài đặt Đại số đa thức và các phương án CHƯƠNG 4: CÀI ĐẶT ĐA THỨC BẰNG DANH SÁCH LIÊN KẾT 1 Lý do cài đặt bằng danh sách liên kết Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  29  Khóa luận Tốt nghiệp cài đặt Đại số đa thức và các phương án Điểm mạnh của mảng là tốc độ truy nhập Do tất cả các phần tử của mảng được bố trí cạnh nhau... ‘x+3x^5+3*x+x+4-7x^7-3’ Yêu cầu đặt ra: Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  32  Khóa luận Tốt nghiệp cài đặt Đại số đa thức và các phương án - Loại bỏ dấu cách và dấu ‘*’ trong xâu - Ta phải thực hiện được tách từng đơn thức (mỗi đơn thức được phân cách bởi các toán tử) lưu hệ số và lũy thừa vào nút của danh sách liên kết - Chuẩn hóa lại đa thức - In đa thức dưới dạng : -7x^7+3x^5+5x+1... Array[ ] of ; VAR :; 3.2) Khai báo trực tiếp VAR = Array[ ] of ; 4 Ý tưởng giải thuật Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  11  Khóa luận Tốt nghiệp cài đặt Đại số đa thức và các phương án Bài toán đặt ra phải xử lý được các phép toán trên đa thức cài đặt bằng mảng Đặc trưng của đa thức là một bộ hệ số, mỗi hệ số. .. nghiệp cài đặt Đại số đa thức và các phương án Cho hai đa thức f(x) và g(x) như sau: f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a0, an ≠ 0 g(x) = bmxm + bm-1xm-1 + + b0, bm ≠ 0 Dựa vào định nghĩa phép chia hai đa thức đã trình bày ở chương 1 để thực hiện phép chia đa thức a cho đa thức b 4.5) Tính giá trị của đa thức Áp dụng thuật toán Horner để tính giá trị của đa thức 4.6) Tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức Áp dụng... cài đặt Đại số đa thức và các phương án  Ghép hai danh sách trên 3 0 bậ c 2 2 -7 7 7 7 3 5 1 0 5 1 NIL  Sau khi chuẩn hóa lại 5 3 5 2 2 5 1 4 0 NIL * Trừ hai đa thức Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  34  Khóa luận Tốt nghiệp cài đặt Đại số đa thức và các phương án Khi trừ đa thức a cho đa thức b cách thực hiện cũng giống như đối với cộng hai đa thức nhưng khác ở... với số luỹ thừa và bậc cuả đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a0, an ≠ 0 Biểu diễn bộ hệ số, và bậc của đa thức trên cùng mảng một chiều Các chỉ số Hệ số -1 n 0 a0 1 a1 n-2 an-2 n-1 n an-1 an Các hệ số tương ứng các lũy thừa Khai báo đa thức a: Var a:array[-1 maxbac] of real; Trong đó: maxbac là một số cố định cho trước a[-1] = n là bậc của đa thức 4.1) Cộng hai đa thức Cho hai đa thức f(x) và g(x)... lượt các hệ số cùng luỹ thừa lại với nhau Ở đây nếu luỹ thừa của hai đa thức không bằng nhau ta viết thêm các số hạng với hệ số bằng không Khi cộng hai đa thức với nhau ta sẽ được một đa thức mới, đa thức c với: c[i] = a[i] + b[i] (i: 0->max(n,m)) 4.2) Trừ hai đa thức Thực hiện phép trừ đa thức a cho đa thức b Tương tự như phép tính cộng hai đa thức, ta chỉ thay dấu cộng bởi dấu trừ 4.3) Nhân hai đa thức. .. khỏi danh sách - Thực hiện phép chuẩn hoá cho một đa thức + Sắp xếp lại đa thức nhập vào theo số mũ giảm dần + Gộp những số mũ giống nhau + Loại bỏ những hệ số không có nghĩa 3 Cách lưu trữ đa thức Type Kieudl=record Trần Thị Lê Na – Lớp 43B1 - khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Vinh  31  Khóa luận Tốt nghiệp cài đặt Đại số đa thức và các phương án hso:real; lth:byte; End; Trosh=^Kieush; kieush=record . h c ph th ng. V i h c sinh ph th ng vi c th c hi n c c ph p to n a th c là r t c n thi t m c dầu m t khá nhiều th i gian. Ng y nay tin h c đã th m nhập. trình c i đ t c c ph p t an, khi c n thi t để lưu c c hệ s c a a th c t ng ng v i lũy th a ta m i c p ph t bi n đ ng t ng ng v i chỉ s c a m ng con