Ebook bài tập giải sẵn giải tích II III phần 2 trần bình

Bai toan Cauchy Bài toán Cauchy đổi với phương trình ví phản cấp một: Nghiệm của bài toán Cauchy Cl, 2 gọi là nyhiém 2120 của phương trình vĩ phần 1}... 4d, 1 Tìm một đường cone có đoạ

BÀI TẬP GIẢI TÍCH HI CHUNG 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHẦN

§1 PHUGNG TRINH VI PHAN CAP MOT

1.1 Bai toan Cauchy

Bài toán Cauchy đổi với phương trình ví phản cấp một:

Nghiệm của bài toán Cauchy (Cl), (2) gọi là nyhiém 2120 của phương trình vĩ phần ( 1}

Nghiệm tổng quát (hay tích phân tổng quát) của (1) là hầm y = y(x, €), (p(x, y,C) = 0), C = const:

[ Moo) dx + [No ydy =€

, uxtbyte,

ye AEE TU : ax tby te

Có thé dua vé (1) bang cach datx = 2+h,y =n +k

Phương Liình thuần nhất tương te:

Đưa về phương Trình tuyển tính bằng cách đặt: y

1.ó Phương trình vi phân loờn phần

CQ CP hoac: Any = EX by _ ey -

3.7 Phương trình Clairaut va Lagrange

Phương trình ClairaHl

V=xy+0(Vv) Nghiệm tổng quát:

V=Cx+ø(C)

Nghiệm bất thường có được bàng cách khử € từ hệ:

w=Cx + ø(C)

x+n,.(C)=0O Phương trình lagranee

y= apes) + PCy) Cách giản:

Hat v= p(x)

1.8 Bài toán quỹ đạo góc œ

- Tìm họ đường cong Ì cát mọi đường của họ C: M(x, y, C) = 0 (1) dudi mat góc œ = consf (œ = 1/2), L gọi là quỹ đạo góc œ (Irực giao) của

ade o (true gino) cha ho C

Trường hợp họ C cho theo phuong trình độc cực Mir, p, C) = 0 th

Bai giai

—=€ ——= =-]- ——+- Ì C l 2x ` 2 2x" 2

Vậy y= ——— là nghiệm của phương trình đã cho (x # 0)

2) [ey = Tax + Iny, coi v = y(x) đạo hàm theo x phương trình này

|

La được \'= —4= hay xvy’=y + xy’

x o¥

Lai dao ham theo x phương trình này ta được:

XYY” Foxy’ toyy = yop xy ty!

hay: (Xy - x)y" 4 xy t yy - QV = 0

Vậy x= Inày là tích phân của phương trinh da cho (x, y > 0)

2 Giai các nhương Trình biển số phân ly:

1) (g°xsin’vdx + cos*xcotg-ydy = 0

392

1) tg \strydx + cos acote*vdy = 0 (2)

toxdx + ————— =0 (cosx.xIuvz 0) cotgvdy ¬¬

3) y’sinx = viny, v > 0, Yo 0 =}

Phan ly biến số ta được:

ty ly = Ix > Indny) = tn{ te} +ImC|.C #0 cỒ :

393

` và Tan `

= Ìnv = Cla 3 „ theo điều kién ban dau:

1 In| = Clgt > C=0 > lny=U

Vậy v= T là nghiệm riêng cua phương trình với điều kien bạn đâu dit cho

u = 2te(1Xx + C) S7 &x + 2v 4 l= 2(6lx + CÔ: là tích phân tổng

quát của phương trình dã cho,

Š) (2x + 3v - l)đx +(44 + 6y -5)dy =0 C1)

du — 2dx HWalu= 2x +3y > du = 2dx + 3dy, dv = —_{ " thay vaio (1)

Tích phân ta được;

2u + 9In fu -7| =xX+3C

Tro lat bien ct:

dx+Ôv-x+ 9In|u 7l 4C hay x + 2v + 3 20 + 3y -7| =C litich phan tổng quất của phương trình đã cho

l—costep phan tổng quát của phương trình đã cho

4 Các phương trình sáu đây có nghiệm bát thường không?

H1 V

I) vss

l+x"

395

Ss — là Hiên tục Vox v) © R`, trừ edie diém (x, v): Q(A,v)= 0 có thê ‘ )

là điềm bat thường của phương trình,

Vi 2) 3), 4+) đếu có dạng vÔ= ———— nên các phương trình nav

Q(x,v) không có nghiệm bất thường

4d, 1) Tìm một đường cone có đoạn tiếp tuyến cốm s1ữa tiếp điểm và trục hoành bàne khoảng cách từ tiếp điểm đến sộc toa độ,

2) Eheo định Tuật Newlon- tốc độ giim nhiệt của một vật tỉ lệ với

độ chênh lệch nhiệt độ của vật và không khí

Tim quy luật giảm nhiệt của vật, biết rang sau 230 phút nhiệt độ của vật giảm tir 100°C xudng GO'C và nhiệt độ của Không khí là 20°€, Sau

bao Tau nhiệt độ của vật giám xudng 20°C?

lW phương trình của các họ đường cong phải tim

2) Theo ý nghĩa cơ học của đao hầm và theo đầu bài, giả sự P= LOO)

là nhiệc độ cua vật tại thời điểm Lthì tì có phường Đình:

hia =2 ” va ¢= 60,

h

3 Giải các phương trình vị phân đẳng cấp:

EI) (x - woydx - x7dy = 0

hay ly + In|s| =€ là tích phân tông quát của phương trình đã cho v

RG rang X =O,v = 0O cũng là các nghiệm của phương trình (nghiệm rene)

faced nehicm riêng: V= XA iL-—x

+) (x - y)dx + (2y - x 4+ Ddy =0

Dat vi/xX, =u, ta được:

Lay tich phân ta được:

trung bình cộng các toạ độ của tiếp điểm

2) Tìm dạng của một gương biết rằng mọi chùm tỉa tới song song

chiếu vào gương thì các tia phản chiếu hội tụ tại một điểm

401

Đó là phương trình của một họ dường parabolcs trong mạt phẳng

(AC - Bˆ= O: tiêu chuẩn phân loại)

2) Theo giả thiết và chọn hệ toa độ như hình 3 ta có:

SMI =ØMI, ỐTM = SÑT'

IsÓTM =y' (1), mat khic teOTM = - OTM || |2|

NES X

hay: vì= ›cÍs +-

N

Vay dang cua guong JA mut parboloide tron xouy

7 Giai cic phurong tinh tuyén tinh cap mat va Bernoullt: Py) W`- vãäIinx Z xinNecosx

y'- ysinx = 0 => Vv = sinadx

Cor C = C(x) thi y = Code“ thay vao (1):

CMe + Coinxe = Ce SIMX = STNACOSS

> CC =sinxcosxe

404

=> €C(x) =- Jcoss Ăe4(cosx) =- [ue"du (ủ = cosX); C(x) = - ue Fe t+ C

là nghiêm tổng quát của (1)

Coi C6 C(X): V =C(X)Cl + x) thay vào CÚ):

=> siny =C.e* +(x - 1) 14 tich phân tổng quát của (1)

By (CL + y dx = (4! +y> siny - xyjdy (1)

Coix = xy), C1) viel dure:

Giải phương trình thuần nhất:

C'(y) = siny = Cy) =- cosy + C

CoiC = Cw) ix = thay vao (2)

Theo (2): O= Cụ Vậy y=- x

COSX là nghiệm riêng phải tìm

Ở đây: œ = 3, đạt = y?) =y”,

xX x

] Theo (2) thì: 4 = n =]

Do dé: 1=O+1h+C hayC=o

Vhay z= —, tacé nghiém ctta bài toán (1), (2):

V

l y= ——

Giải phương trình này và thay z = xỶ ta được tích phân tống quát của

(1) là:

x? = Ce” — 2a(sin + 1)

8 1) Tìm một đường cong biết

ring diện tích tam giác giới hạn bởi y

trục Ôx, tiếp tuyến và bán kính vecteur M

tại tiếp điểm bằng một hằng số a A

— ,

2) Tim cung AM biét rang hoanh °

độ trọng tâm của hình OPMA (hình 4) ö P > bằng 3/4 hoành độ của điểm M

5) Nghiệm tổng quát của một phương trình tuyến tính cấp một có

dang y = A(x)C + B(x) (1) (C= const) Chứng minh điều ngược lại: Nếu một phương trình vi phân cấp một có nghiệm tổng quát (1) thì phương

trình đó là một phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Bài giải

1) Ta có diện tích tam giác a= CTEM PM = |y| (hinh 5),

Phương trình của tiếp tuyến với đường cong tại M(x, y):

Y-y=y(X~x)

408

làð ràng y = O cũng là nehiệm của phương trình

giải ta có nghiệm lổng quát: x = hay xy = cy’ + a (y # 0)

Vậy đường cong phát tìm là một họ đường hyperboles:

IY

=- G <Q)

2)

¬ eyo XY+a=0 (ÁC- B

va true Ox: y = 0

23 Ta biết nến AM: ¥ = v(x), M@x, v) thì hoành độ trọng tâm của hình QAMP (hình 3) là:

Đạo ham hai vé theo x ta duac:

f ya + ; ydx + —xv + | hay xy =3)ydx y = 3j d 5

ooo] May = Ohas = +y=0 L dt | at

với hệ số hàne số (px) = 1)

"ích phân phương trình này ta được:

V = cơ" =Ce pes tay

5) Từ nehiệm tổng quát của phương trình:

wv#=A(x),C+B(x) (1) Đạo hàm theo x tạ được:

yV.=C.A(x)+(x) (2) Khử €© từ (1), (2):

Đó là một phương trình ví phần tuyến tính cập một VỚI:

NOX) Q(x) = A@)B@)= A'GOB() P(x) = - :

9, Giải vác phương trình vị phần toàn phần hoặc các phương trình đưa được vẻ phương trình vĩ phân toàn phần:

Theo điều kiện ban đầu 0 = C

=C

Vậy tích phân riêng của phương trình là:

In(x+y) ~ y =0

x+y

10 Tìm quỹ đạo trực giao của các họ đường cong:

1) (x-a)* +(y—b)*=R? (a,b= const)

giao phải tìm:

d (x~a)~(y=b)-L =0 hay dx =

ao Theo (1.8), thay 7 trong phuong trinh nay boi - — tá có phương ' ` ` ue [ r z

trình vĩ phân của họ quỹ đạo trực giao cua họ đã cho;

— =rcotgp hay r' = - rlep (1)

(Irone trường hợp quỹ đạo trực siao: 1a biết v, v' là sóc giữa bản kính vecfeur cửa eiáo điểm của hai đường của hai họ và tiếp tuyến với

hai dudoe tai giao didin dé thi tgv = - cotgv’, ta lai bict tev = — (tap 1, r C3, §4)

Do dé rfr’ được thay bởi - r/r hay tr dược thay boi - rự/

Bay siờ giải (1):

rổi tìm quỹ đạo true giao cla ho nay nhu 1) hoa 2)

3) Phương trình của họ các nửa đường thàne qua gốc toạ do O:

v=kx Do đó y` =k, khử k ta được:

417

2)y=xy' + ity? Œ)

Nghiêm tổng quát của (1):

yw=€Cx+ vì +C7 Nghiệm bất thường, khử từ hệ:

y=€x+ VJ+C`

€ Õ=x+—=

x=Ce" +21 -p) (3)

419

420

Từ (2) (3) ta có nghiệm tổng quát của (1) dưới đạng tham số:

{* =C.e +21 -p) y=C(l+pje’-p?+2

12 Giải các phương trình vị phân cấp một các loại:

Tương tự, nghiệm tổng quái của (3) là:

x+\=0

(thử: ý =- x là Í nghiệm cua ch)

Chu y

Nghiệm bất thường cũng nhận dược bằng cách khử p từ hệ:

=> xty=0 lopx+ 2x =0

Nếu 2p- x=0thìp= 3" thay vao (1) ta duge: v = T

Nghiệm này chính là nghiệm bắt thường của (])

2) xIn “dy -ydx =0 (1)

=> x=ye'?”' là tích phản tổng quát cúa (1)

3)y=xv +viny` (]l): phương trình Clairaut với @(Cy = vmVÌ Eheo (1.7) nghiệm tổng quất của (1) là:

422

v=Cx + Cine (2) Nghiệm bất thường có dược bàng cách khử C từ hệ edm (2) và phương trình:

=> vo + tex.y = 2tgx > phuong trinh tuyén tính

Giải phương trình này ức được nghiệm tổng quát của (Ìj:

y=2+€cosx [heo (2): 2=2+C C=0

Vậy nghiệm cua bài toán: y= 2

§2 PHƯƠNG TRÌNH Vì PHÂN CẤP CAO

z.1 Bằi băn Cauchy

Hào toán tran nghiệm của phương trình ví phân cấp ni

thoả mãn các điều kién ban dau (diéu kién Cauchy):

V = Vos vì = ¥ ps wees y" 1ì = rêu lì (2) TIN xã x MINT Yay x

gọi là bài toán Cauchv của phương trình (1)

- Nghiệm của bài toán Cauchy (1) - (2) sọt là nghiệm riêne của phương trình (1)

- Nghiệm tổng quát của (1) là hàm:

¥ = YK, Oy, Os, OY)

thoả mãn (1), VC), Cs, , C, € R và từ (2) xác định được €,, €¿, , C

Dinh lý ton tại duy nhất

Nếu hàm f(x, y, v', , V'"!3 liên tne trong làn cận của điểm Mg(X;, Và, V'ạ„ Vạ 7) 6 R*? thì (D có nghiệm y = y(x) trong Mn can

cha x, thoa man (2)

- Dáng: ý” =f(X,v)) (VU VU V3)=0) (vang v} (2) Cach giai: Paty’ =p, dy = p)

Ta được phương trình cấp một (cấp n - k)

- Đang y" =f(y,v)(E{V, V), , V3) =0) (văng x) (4)

Cách giat: Paty’ = p(y) thì hà được cap cua (3) xuống một đơn vị 2.3 Phương trình tuyến tính cốp cao

I” Nếu ILJy,=0(1= 1,2, ,n) thì:

[|yJ = 1:C,y;(X) +CsVs(X)+ +C¿y,(x)J=0Yx 6X

2° Điều kiện cần và đủ để hệ nehiệm v,(x) V:(x), „ Y„(x) của (1)

là độc lập tuyên tính (hê nghiệm cơ bản) là:

Dinh thde Wronskien cua (1):

4“, Nếu Y là nghiệm tổng quát của (1), y là một nghiệm riêng của

(2)thìv=Y+ y là nghiệm tổng quát của (2)

Ss "Neu Ly} = £00, Lye) = O00 LD ya) = G00 thi:

Liv, tvs t yi laf 0s) + fi t+ 4 600

6°, Cách giải: L|v| =f(x) (2)

Đại v = v,.z với L|v,]= 0 thì (2) sẽ dua về dược một phương trình

tuyến tính cấp n- I với ăn hàm 4

Đặc biệt với phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất:

y”+p(x)y +dq(x)y=O nêu hiết một nghiệm tiếng ý của nó thì có nghiệm riêng thứ hai:

e Y=, {- = dy

(Y„ Vị: độc lập tuyên tinh)

7° Phương pháp biến thiên hang sé Lagrange

Néu v = Cyyi(x) + v2) + + 2y) là nghiệm tổng quát của

426

(1) thì y = C((x)y¡ + C(X)y; + + Cạ(X)y„ là nghiệm tổng quát của (2) với C(x) (= 1,2 ,n) được xác định từ hệ:

Cry, +Cry, + +Cry, =0

Cry, +Cay, + 4+Cly, =0

Cry") + Chyy? + cry?) =0

CiyP Đ+Cÿ;y P7 Đ?+ +Cny PT) =f(x)

Đặc biệt với n= 2 thì C,(x) C;(x) được xác định từ hệ:

= y= J cost — 2) = - Isint- cost - +,

=> dy = y'dx = ¢& Isint - cost - F + C,)(cost - 2)dt

2

2vyy"-3y”=dv` (1) (wang x), vị, #1, KV, =9 (2) `

I theo (3), (2.2) dat y' = piv), y" = Poe

(3) 1a phuong trinh Bernoulli voi uz = -1, dat z = p“t! = p

7 = 2pp’ thay wio (3) ta dược:

f-c-n= tv (3) v

€ 3) là phương Trình tuyến tính đổi với z= Z(V)

Giai (4) ta được:

430

Thay z=p ta được:

Theo (2) (lấy dâu +):

gst f4te,

— (C y-lìp=l! = (Oly - 1) "dy = £ dx

= (Œ -l) ` =+ ; C}x +€; ; là tích phân tổng quất của

yE TT ở CA + €| là nghiệm tổng quát của (1)

14 1) Iìm các dường có bán kính cong (khúc bán kính) không đối,

432

2) Tìm các dường có bán kính cong tại một điểm bằng bai lần đoạn

pháp tuyến tại điểm ấy

3) Xác định tếc độ bé nhất của một vật để ném vật theo hướng thang đứng ra không trung sao cho vật không trở lại trái đất nữa (Bài toán xác định tốc độ vũ trụ cấp hai)

Lrở lại p= y' = — ta được:

dx (y + C dy ~ = dx vVR`-(y+€j)

= - VJR ` -(y+C,Ÿ =x+C€;

=> (x+€Œj))+(y+C)=R' (2)

433

Vậy các đường phải tìm là họ đường tròn (2)

Trường hợp y” < Ó, làm tương tự ra cũng được kết quả trên

2) Theo I), bài 53 tập I: đoạn pháp tuyến tại một điểm M(x,y) trên đường cong y = y(x) là:

lyyi+y”

Vay theo |) va theo giả thiết ta có:

12\3/2 (vy) =2|y(L+y”

Xét yy" > 0 ta được 1 + y' = 2yy° (1) Đây là phương trình vắng x, dac y = pty),

2pdp _ dy

d (1) => L+p?=2yp hay

=> In(1 +p’) = Iny + InC,

> 1l+p=Cy > p= fCyy-1 (lấy dấu +)

d ayes Cyy-1

Vậy các đường phải tìm là một họ đường paraboles

3) Gọi m là khối lượng của vật, M là khối lượng và R là bán kính

Trái Đất (hình 6)

434

Theo định luật hấp dẫn vạn vật của

Newton, ta có phương trình chuyển

Rõ ràng ta phai đưa vào các điều

kiện ban đầu:

Hy = R (2)

dr

TC — Vụ (3)

dt t=0

v„ là tốc độ ban đầu của vật

(1) thuộc loại vãng biến độc lập

d Datr’=v(r), rr =v a“

Vheo giả thiết vật không trở lại trái đất thì 5 >0, mát khác khi r

Khi val ¢ trén mat dat ta có:

eR?

M

k -gs- rỄ hay k=

Thay vaio (4) ta được:

3) lim nghiém riêng của phương trình vĩ phán tuyến tính thuần

nhất thoa mãn điểu kiện ban đầu: vị =O, vị, =-l, y], wil =2, biết

bệ nghiệm cơ bản của phương trinh dé (ey, =x) ya =X, yy =X

Bái giải

1) Ta biết (2.3), phương trình vị phân tuyến tính thuần nhất cấp hai

có đạng:

y"+p(x)y + q(Xx)y=0 (1) (p(x) = a,(X), q(X) = a:(x))

VY, =X, ¥, = 2x, y, =2

` 4“

Y›=XxÌ, Y¿ =3X), Y =Ôx

Thay vào (1) ta được một hệ phương trình để xác định p = p(X),

q = q(x):

ma

6x + 3x Ìp +xÌq=0 Giải hệ này ta được:

4 p(x) =- —, q(x) = — (x #0)