BĂI TẬP GIẢI TÍCH HI CHUNG 1
PHƯƠNG TRÌNH VI PHẦN §1 PHUGNG TRINH VI PHAN CAP MOT
1.1 Bai toan Cauchy
Băi toân Cauchy đổi với phương trình ví phản cấp một:
V =Í(X, V) (1)
lă băi toân tìm nghiệm cua (1): y = vớ) thoả mên điều kiín ban đầu (sơ kiện) hay điều kiện Cauchy:
sO) = yohay yf =a 0)
Dinh ly ton tai va duy nhat nghiĩm
c{(x, v) CY
Nếu ham fox, vy va liín tục tại lần cận điểm (x¿, vụ} thì trong lđn cận đó phương trình (1) tổn tại mội nghiệm duy nhất ý = v(x) thoa mên điển Kiện (2) nehia Ta khi x = x; thì Y(X¿) = Yo
Nghiệm của băi toân Cauchy (Cl), (2) gọi lă nyhiĩm 2120 của phương trình vĩ phần ( 1}
Trang 2- HỘ thoa mên (1) ÝC c l
- cho điểu kiện (2) thì xâc định dược C' duy nhất (để có nghiệm miếng cua (Í))
Nghiệm bất thường của C1) đă nghiệm khong thoa man câc điều kiện của định lý tồn tại vă đủ nhất nghiím trone lần cận cua điểm (1 V‹)
1.2 Phương trinh biến số phín ly Dang:
Mox)dx + N(yjdy = 0 lich phđn tổng quât:
Trang 3Phương Liình thuần nhất tương te: v` + P(X).v =Ó (2) Cấch giun Giải (2) có: “` (3) Cot C = Ccx) vă coi (3) lă nghiệm cua (1) ta e6 cong thite nghiĩm lỏng quât: Tey 4 + PPrx uly pee 7 fQe 6 (4) ((Xe, Ya) 6 miễn liín tục của P, Q) 1.5, Phương trình Bernoulli Dang: y`+P(x)v =Q(X).V , œ #0; 1 "1 Câch giải
Trang 5Nghiệm bất thường có được băng câch khử € từ hệ: w=Cx + ø(C) x+n,.(C)=0O Phương trình lagranee y= apes) + PCy) Câch giản: Hat v= p(x)
1.8 Băi toân quỹ đạo góc œ
- Tìm họ đường cong Ì cât mọi đường của họ C: M(x, y, C) = 0 (1) dudi mat góc œ = consf (œ = 1/2), L gọi lă quỹ đạo góc œ (Irực giao) của ho C - Câch vidi: Khử € từ (1) vă ®*{x) + ®\ v'= 0 ta được phương trình ví phđn của ho C: Kx, yy) =0 ⁄ N ol 5 + - — | tậ có phương trình vị phđn của quý dạo Ehay y' bởi ——— tye) WL La Vigne
ade o (true gino) cha ho C
Trang 6BAT TAP 1 Nehiĩm far rang cac hdm sau day lă nghiệm băy tích phản của câc phương trình tương ứng: CoN € lyve —:(X+v)ìdx+xdvy=0 3x , 4) v = lngxy) : (xy = xoy" + xy t yy 2y = 0 Bai giai ¬ C x , -C I lì Facó v=-——-—,VY =- —_ .(x# 0) 2x 2 2 2 2 ` ` ~ v Mat khac tte phuong trinh da cho: v= - 1- =, (4 #0) x Thay ý, ` văo phương trình năy ta cố: —=€ ——= =-]- ——+- Ì C l 2x ` 2 2x" 2 xẻ TmN Ty ` ~
Vậy y= ——— lă nghiệm của phương trình đê cho (x # 0)
2) [ey = Tax + Iny, coi v = y(x) đạo hăm theo x phương trình năy |
La được \'= —4= hay xvy’=y + xy’
x o¥
Lai dao ham theo x phương trình năy ta được:
XYY” Foxy’ toyy = yop xy ty!
hay: (Xy - x)y" 4 xy t yy - QV = 0
Vậy x= Inăy lă tích phđn của phương trinh da cho (x, y > 0)
2 Giai câc nhương Trình biển số phđn ly:
1) (g°xsin’vdx + cos*xcotg-ydy = 0
Trang 72)xv -y=y) ; 3) y'sinx = yiny, Vị r=il ^ +4)v=(#x+\+I) Ấ)(2x+ 3y - l)dx+(4x+60y-5jdy=0 ( fx + " 60v '=|VyA TY =XỊTC ` JN Bai giat
1) tg \strydx + cos acote*vdy = 0 (2)
toxdx + ————— =0 (cosx.xIuvz 0) cotgvdy ¬¬ COs X sin v => cote@ystex tC 2pxwi- yey a xdy =(vity)dx (1) dy dx dy vdy dx = ———— = = —— (y z Q) => —— -~ ———— x - — yoty ẤN yoy tl ^ => Iny- In ty =Inx - In IC „ Cư Ó Cy Co oe Tủ => ^^“ ——— Ìlì(tícÌhplhđn (ône quất của (1) l+v- Lhứ trực tiếp: v = 0 cũng lă nghiím (nehiĩm riíne) cla (1) 3) y’sinx = viny, v > 0, Yo 0 =}
Phan ly biến số ta được:
ty ly = Ix > Indny) = tn{ te} +ImC|.C #0 cỒ :
siny SINX \ 2) '
Trang 8` vă Tan ` = Ìnv = Cla 3 „ theo điều kiĩn ban dau: 1 In| = Clgt > C=0 > lny=U Vậy v= T lă nghiệm riíng cua phương trình với điều kien bạn đđu dit cho 4yvi=(K&x + 2y 415 Halu=k&x t+ 2v4el DB WSK 20 us „ UN => Vv = —,laco — = 2 , , - du = U =h+ 2u => — =(\N X§+2u~ l u u Š => —arely— =x+ — —=(ifrcls— =+4x+C 5
u = 2te(1Xx + C) S7 &x + 2v 4 l= 2(6lx + CÔ: lă tích phđn tổng
Trang 9Tích phđn ta được; 2u + 9In fu -7| =xX+3C Tro lat bien ct: dx+Ôv-x+ 9In|u 7l 4C hay x + 2v + 3 20 + 3y -7| =C litich phan tổng quất của phương trình đê cho ⁄“ mxX—~ SY 6)y =|Vx +V -X|= (1) 2w Chuyến sang tòi độ độc cực: X = PTCOX(P, V= TNH1Đ ¬ = Yo — PSIHp+r€ose@ - TM c7 ốp TC T— NÓ MCOsep — PSTD hay văo phương trình (1) Ea có: FˆSII(0 3 reosep TTTCOSĐ _ [- coS@ PCOS = F81140 rsing sing hay r(l ~ cosp) = - cing
Phan Ty biến số ta được: dr d(cosup) dos ta sưa > Jnr = - In(1 - cos) + Inc, ¢ 2 ể l =cox( Ộ Œ hay ra — — lrở Tại biến x, ý tì được v`= = 2€x +C` lă tích l—costep
phan tổng quât của phương trình đê cho
4 Câc phương trình sâu đđy có nghiệm bât thường không? H1 V
I) vss
l+x"
Trang 10Băi giai
SHV COSY
No day f(x, v)=-—= fis _¬ liín tục V(x„, vụ) © Ro, do đó
+" ` l+x" ,
theo (1.1) thi cĩ P nghienm duy nhất v = vox) của nhượng trình thoả mên điểu kiện bạn đầu ý ` Xa = Vụ
Vậx phương trình không có nehiệm hết thường oo Poy) Neu f(x,y) = —=—, P,Q UA ede da thite cua cfc bien A, v thì Qi ¥) l phường trình cũng Không có nghiệm bất thường vì khi đó Í(x vì vă CÍ(N, \ x) ` Co vă
Ss — lă Hiín tục Vox v) © R`, trừ edie diĩm (x, v): Q(A,v)= 0 có thí ‘ ) lă điềm bat thường của phương trình,
n TY vu PALSY) 0, ` »
Vi 2) 3), 4+) đếu có dạng vÔ= ———— nín câc phương trình nav Q(x,v)
không có nghiệm bất thường
4d, 1) Tìm một đường cone có đoạn tiếp tuyến cốm s1ữa tiếp điểm vă trục hoănh băne khoảng câch từ tiếp điểm đến sộc toa độ,
2) Eheo định Tuật Newlon- tốc độ giim nhiệt của một vật tỉ lệ với độ chính lệch nhiệt độ của vật vă không khí
Tim quy luật giảm nhiệt của vật, biết rang sau 230 phút nhiệt độ của vật giảm tir 100°C xudng GO'C vă nhiệt độ của Không khí lă 20°€, Sau
Trang 11OF =N=x%- y > (Y =) = 7“ — , oo cet ot ¬ PYo=Ot-Op =- =, MI Ẳ = PM + PY =v +7 - vo SA TT ` vì ¬ Pheo dau bir Mb = OM hay vy + = =x ty? \ ; V - Cc Do do: visto vũ VECX hoatu vẽ — » Ă
lW phương trình của câc họ đường cong phải tim
Trang 12hia =2 ” va ¢= 60, h
3 Giải câc phương trình vị phđn đẳng cấp:
EI) (x - woydx - x7dy = 0 2) ydv + (24fay - xjdv = 0 3J(A - 3v 3dx + 2xvdy=0, vÌ ,=l 3)(AX- V)IX +(2\ -x + dy =0 fo 4 S) ' yisdx tdy=0 VĂ 7 Băi giải 1) (x- y)ydx - x 'dv =ÓO _= 4 ` KY -V ( Zz Vv —= - = = - \ x [tes “| Vv Đại — =u0,v =0 +xu', lă có: X ` dx w+axauisu-u = de du Ă ~” I 1 Inx = +t InfCr Cz 0 H `
Trang 13a fy 2) UxX + (2afaw = Xydy = 0 ` a L(x 20) = — = = - „(ÂN 4 dX 2jxy 1-2 ly Vx Paty = xu ta duve: u 1-2 W dx We XU = —— rẽ = — =— (uz0lhavvz() I— 2u 2u X | ` = - —_—- In ju = ln|x! -¢ vu x VN sự Ak ae ` ~
hay ly + In|s| =€ lă tích phđn tông quât của phương trình đê cho v
Trang 14ỨC cự = V=d+xw€C^~l " x vẻ vẻ iy _ ` _ thưo điều Kiến v ¬ = l tr lđy nghiệm: ý - xvCx+[Í 2 2C +l= 2 ` A Ca 6, N i 3
faced nehicm riíng: V= XA iL-—x
+) (x - y)dx + (2y - x 4+ Ddy =0 dy X-¥ “> = - 7 — dx x-2y-] Hat x =x, +h,vey, +k ta được: dy, x,~h-—Vv,-k X,—w,+h-k N.—ĐN, +h- 2k—I dx | x th- 2v,4k)-1 Chon h=k = -t hi: Vì }- dy, 4 Oy XK, — = ao ST 7X 0) (Ix, kK, 7 2y, pas x,
Dat vi/xX, =u, ta được:
Trang 15Lay tich phđn ta được: xj (2u? ~2u+1) =C hay x” + 2y” - 2xy +2y= C, C=const 2 d 5) [~y? Jon ay =0 hay Vay? -^ X dx X Daty = *, (x#0), y'= — =.ta được: x x x voz ew 2 x x? X x? => xv—-z2=277-2 dz dx > —~— z“+7z-2 X Tích phđn ta được: — -1 2 = Cx (C #0) hay xy =x'C' xy+2 z+2 Giải theo y ta có: C+2x* = | y= — % (e-4) (C-x" )x
6 1) Tìm một đường có độ dăi của hình chiếu của đoạn tiếp tuyến gồm giữa tiếp điểm vă trục hoănh trín trục hoănh (gọi lă tiếp ảnh) bằng
trung bình cộng câc toạ độ của tiếp điểm
2) Tìm dạng của một gương biết rằng mọi chùm tỉa tới song song
chiếu văo gương thì câc tia phản chiếu hội tụ tại một điểm
Trang 16Băi giải 1) theo 1) Băi 4: PT =- © (hinb 2) y Theo giả thiết: V XN Y ^+Yy |= — hay — =# v 2 y 2 , to 2y ` Xĩt đấu + la có v'= ay Hinh 2 Xx\ Phương trình năy lă phương trình đang tổng quât của nó lă: cấp, giải tì dược tích phđn (x - yy =Cy (Cz 0)
Đó lă phương trình của một họ dường parabolcs trong mạt phẳng
(AC - Bˆ= O: tiíu chuẩn phđn loại)
Trang 17SMI =ØMI, ỐTM = SÑT'
=> OFM=OMT => AMOT cđn => OTfE=OM
Trang 18NES X
hay: vì= ›cÍs +-
N
Vay dang cua guong JA mut parboloide tron xouy
7 Giai cic phurong tinh tuyĩn tinh cap mat va Bernoullt: Py) W`- vêôIinx Z xinNecosx 1 (l+ v3)dx = ( y! + we xin - xy)dy \ : 1 4) y'-yigx = , yy COSX " = 0 5S) xy’ +y=yilox, vi =i 2X 6) y =—_——— - _ - Xx cosy +¡tšIn 2v Băi giải 1) y' - ysinx = sinx.cosx (1) Giải phương trình thuần nhất: : dy
y'- ysinx = 0 => Vv = sinadx
Cor C = C(x) thi y = Code“ thay vao (1):
CMe + Coinxe = Ce SIMX = STNACOSS > CC =sinxcosxe
Trang 19=> €C(x) =- Jcoss Ăe4(cosx) =- [ue"du (ủ = cosX); C(x) = - ue Fe t+ C eth -w- © °C L - cosxy + © 1] Vay: via (eC) - cosx) + C)e = Cet + (1 - cosx) lă nghiím tổng quât của (1)
Coi C6 C(X): V =C(X)Cl + x) thay văo CÚ): CoaysloCixysxte 3 y=(l + Xx)(C + x) C=const yy + tgy = (1) — yivosy + siny =x (cosy z 0) CORN Pat siny =u = yicosy = u' > wtu=x wUH=Ce s+ (x- 1)
=> siny =C.e* +(x - 1) 14 tich phđn tổng quât của (1)
By (CL + y dx = (4! +y> siny - xyjdy (1) Coix = xy), C1) viel dure:
dx + y_, siny (2)
dy l+y) vIryÌ
Trang 20đê vdy Cc — =- —— — — — xt * viey? vI+y” Cy) v1I+v
C'(y) = siny = Cy) =- cosy + C
CoiC = Cw) ix = thay vao (2) —cosy +C > x= —: =——— hay XxVlt+y', tcosy=€ — — Ite lă tích phan tổng quât của (1) ‹ ] 4) y'- ytex = (1) vị =0 (2) COSX +o Tă ` dv SUX Gna: yo-vigx =O => — = tgexdx = dx V COSA Iny =- Ircosx + InC, C # 0 ` ` C(x V=—-,voiC=C(Xx):v= ) COSX COSX Thay vao <i), C(x) = 1S C(x) = x + Cc x+Œ ae fy Vay y = lă nghiệm tong quat cua“ COSX
Theo (2): O= Cụ Vậy y=- x
Trang 22Giải phương trình năy vă thay z = xỶ ta được tích phđn tống quât của
(1) lă:
x? = Ce” — 2a(sin + 1)
8 1) Tìm một đường cong biết
ring diện tích tam giâc giới hạn bởi y
trục Ôx, tiếp tuyến vă bân kính vecteur M
tại tiếp điểm bằng một hằng số a A
— ,
2) Tim cung AM biĩt rang hoanh °
độ trọng tđm của hình OPMA (hình 4) ö P > bằng 3/4 hoănh độ của điểm M
3) Tìm y từ phương trình: Hình 4
x xX
x fydx =(x+1) [xydx
0 0
4) Đổi biến t= w(x) để đưa phuong trinh y’ = p(x).y = 0 vĩ phương trình với hệ số hăng số rồi giải phương trình năy
5) Nghiệm tổng quât của một phương trình tuyến tính cấp một có
dang y = A(x)C + B(x) (1) (C= const) Chứng minh điều ngược lại: Nếu một phương trình vi phđn cấp một có nghiệm tổng quât (1) thì phương
trình đó lă một phương trình vi phđn tuyến tính cấp một
Băi giải
1) Ta có diện tích tam giâc a= CTEM PM = |y| (hinh 5),
Phương trình của tiếp tuyến với đường cong tại M(x, y):
Y-y=y(X~x)
Trang 23Do dĩ: xv y Ol = |x| = - = y Vậyv ta có phuong M trình: \ 1 t xv-y i ———~ = 2a v oO P T hay: V(XV - vì => 2ay' ; ¿ , Hình 5 Xĩt dấu + ta có: Coi X= x(y) ta được: dx x 2a dy yy? Đó Lă một phương trình tuyến tính cấp một với ẩn hăm x = x(v), a+ev` y
lăð răng y = O cũng lă nehiệm của phương trình
giải ta có nghiệm lổng quât: x = hay xy = cy’ + a (y # 0)
Trang 24` | xydx Đ Xê; [vax 0 Theo gia thiĩe: —.«~ sa xydx = ;dX.X coe + | w
Đạo ham hai vĩ theo x ta duac:
Trang 25+)y '+p(x)y=0 ¬ „ — (W dv, ` Hdi bien f= U(x) y= x = a Ao thay vao phuong tinh: dx dl ‡v SY + p(x) y =O đt
Chọn f = p(x).- hay t(Xx) = [ poxdetx thi ta được nhương trình:
ooo] May = Ohas = +y=0 L dt | at
với hệ số hăne số (px) = 1)
"ích phđn phương trình năy ta được:
V = cơ" =Ce pes tay
5) Từ nehiệm tổng quât của phương trình: wv#=A(x),C+B(x) (1) Đạo hăm theo x tạ được: yV.=C.A(x)+(x) (2) Khử €© từ (1), (2): y= y-BG@) A'(X) + BCX) A(x) © ATR) ACQB OX) — A OOBOX) hay vie y= A(x) A(X)
Đó lă một phương trình ví phần tuyến tính cập một VỚI: NOX) Q(x) = A@)B@)= A'GOB() P(x) = - :
Trang 28(x+2y)dx + ydy 4) (X+y) =0 y[ ¡=0 Pe (X+2y) _ ] „_— (x+y)? X+Y (x+y)? oP | ] + X-y _ 2y ÍY (@x+y)?” (x+y)? (x+y) y @_ 2y (x+y)? (xay) cy Ox Trong miền liín tục của P, Q ta có tích phđn tổng quât của phương trình lă: x — c3 dx fe o(X+ y)? (X;= Ô va = 1 trong miền liín tục của P, Q) y X+y Theo điều kiện ban đầu 0 = C =C hay: ln(x+y) — Vậy tích phđn riíng của phương trình lă: In(x+y) ~ y =0 x+y 5) (x+ y?)dx - 2xydy =0 (1) ap öQ P=x+*+y* —=2y: Vy y: QE -2xy; 2y —==-2 y 6P 2Q ` ^ đă : : By ex phương trình (1) không lă phương trình vi phđn toăn phần 2 í
Theo chú ý ở (1.6) ta sẽ tìm thừa số II để nhđn với hai vế của (1), phuong trình sẽ thănh phương trình vi phđn toăn phần, ở đđy:
Trang 31ao Theo (1.8), thay 7 trong phuong trinh nay boi - — tâ có phương ' ` ` ue [ r z
trình vĩ phđn của họ quỹ đạo trực giao cua họ đê cho;
r \
— =rcotgp hay r' = - rlep (1)
(Irone trường hợp quỹ đạo trực siao: 1a biết v, v' lă sóc giữa bản kính vecfeur cửa eiâo điểm của hai đường của hai họ vă tiếp tuyến với
2 ` ~ 4 2 - ` ¬ Ư -
hai dudoe tai giao didin dĩ thi tgv = - cotgv’, ta lai bict tev = — (tap 1, r C3, §4)
Do dĩ rfr’ được thay bởi - r/r hay tr dược thay boi - rự/ Bay siờ giải (1):
dr
— =- tepdep T
=> r= 2Ccosp
Vay quy dao true giao cua ho dudng tron r= Zasing (qua de O vA Lam tren Ov) cling li mot ho dudng tròn (cũng qua gốc Ở những tđm tren Ox) Chu ý Ta có thể dưa phương trình r = 2asine về phương trinh Descartes: : : y ` : vx +? =2a : hay x° + y~ = 2ay
rổi tìm quỹ đạo true giao cla ho nay nhu 1) hoa 2)
3) Phương trình của họ câc nửa đường thăne qua gốc toạ do O:
v=kx Do đó y` =k, khử k ta được:
Trang 32< Wl 4 |<< vă, VỆ 1 ` Theo (8.1) thay v bởi ———, (te¿ = tẻ— = T), ta được phương trình v+l 1 - A as ` X ˆ ` ` ' _ vị phđn của họ phải tìm lă: y` = „ đđy lă phương trình đang cấp, đạt Xx—V y =ux vă giải ta được hợ quỹ đạo phải tìm lă: ExX 1A arte vx xy =Œc ` Đổi sang toa độ độc cực ta dược cr = C.e”, đó lă họ đường xoân ốc logarithmes LI, Giai câc phương trình Clairaut vă Lagranee: l} y=xy+y 2) v=xy+ Ñ +y” 3) y=(I+y)x+y" Băi giải
1) Theo (1.7), phương trình v = xy! + y (1) lă phương trình Clairaut Nghiệm tổng quât lă:
Trang 36(thử: ý =- x lă Í nghiệm cua ch) Chu y Nghiệm bất thường cũng nhận dược bằng câch khử p từ hệ: => xty=0 lopx+ 2x =0 ¿ ` X ` X
Nếu 2p- x=0thìp= 3" thay vao (1) ta duge: v = T Nghiệm năy chính lă nghiệm bắt thường của (])
2) xIn “dy -ydx =0 (1) V 7 dx x, Xx ‹ , oe => — = —In— (2): phương trình đang cấp với ấn hầm x = x(y) dy oy oy x dx cit Đạt — =ULlI— — =UuI*+VY Ÿ dự dy sa du dy ] w (2) => —————— -= ——- t(lnu — l) V = In| ua | =ln cy C20 x ` => lnu=Cy+l = —=vẺ y
=> x=ye'?”' lă tích phản tổng quât cúa (1)
3)y=xv +viny` (]l): phương trình Clairaut với @(Cy = vmVÌ Eheo (1.7) nghiệm tổng quất của (1) lă:
Trang 37v=Cx + Cine (2) Nghiệm bất thường có dược băng câch khử C từ hệ edm (2) vă phương trình: O=x¢FinC+ 1 ta duve: veal @®) (Dĩ dang thử lại (3) lă nehiem cia (1)) V V ` ; - 4)y=T— tạ — (1): phuong trinh dang cap x X Vou ' du dx ` Hatu= — thiu+ xu =tgu tu hay =— > sinv=Cx x {gu x > we=arcsinCx => y = xaresinCx JA nghiĩm tổng quất của (1) S) yeotex ty = 2 (1), Vi, y 72)
=> vo + tex.y = 2tgx > phuong trinh tuyĩn tính Giải phương trình năy ức được nghiệm tổng quât của (Ìj:
y=2+€cosx [heo (2): 2=2+C C=0 Vậy nghiệm cua băi toân: y= 2
§2 PHƯƠNG TRÌNH Vì PHĐN CẤP CAO
z.1 Bằi băn Cauchy
Trang 38thoả mên câc điều kiĩn ban dau (diĩu kiĩn Cauchy):
V = Vos vì = ¥ ps wees y" 1ì = ríu lì (2) TIN xê x MINT Yay x
gọi lă băi toân Cauchv của phương trình (1)
- Nghiệm của băi toân Cauchy (1) - (2) sọt lă nghiệm riíne của phương trình (1)
- Nghiệm tổng quât của (1) lă hăm: ¥ = YK, Oy, Os, OY)
thoả mên (1), VC), Cs, , C, € R vă từ (2) xâc định được €,, €¿, , C
duy nhất u
Dinh lý ton tại duy nhất
Nếu hăm f(x, y, v', , V'"!3 liín tne trong lăn cận của điểm Mg(X;, Vă, V'ạ„ Vạ 7) 6 R*? thì (D có nghiệm y = y(x) trong Mn can
cha x, thoa man (2)
Le of - ¬ Lee ` `
Níu —— ——, , ——— cũng liỉn tục tại điểm Mẹ thì y = y(x) 1a ẹ ~ fu lì nghiệm duy nhat
Trang 39- Dâng: ý” =f(X,v)) (VU VU V3)=0) (vang v} (2) Cach giai: Paty’ =p, dy = p)
Ta được phương trình cấp một (cấp n - k)
- Đang y" =f(y,v)(E{V, V), , V3) =0) (văng x) (4)
Câch giat: Paty’ = p(y) thì hă được cap cua (3) xuống một đơn vị 2.3 Phương trình tuyến tính cốp cao Dane: oy + a,Qgy +2 ba Gy = f(x) Dat Liypa vi" + ay(xyy + bay Phương trình thuần nhất: Liy]=0 — @) Phương trình khơng thuần nhất: LIy|=Í(x) (2) Định nghĩa: He ham y;(X), v‹(X) , Vu(X), (VUX) # 0,15 L1 2, ,n) Vxe X gor lă độc lập tuyến tính nếu:
CY (OX) F Oy X) + # Cay OX) = 6 chi khi VO, =0 (= 1, 2 ny
Ngược lại thì hệ hầm đó sọi lă phụ thuộc tuyến tính ¬ `_ VIÂX
Dac bict n = 2: = 7 ' # const (= const) thi v (x), vita) TA doe lấp Y.(x (phụ thuộc) tuyển tinh
Định lý
I” Nếu ILJy,=0(1= 1,2, ,n) thì:
Trang 402° Điều kiện cần vă đủ để hệ nehiệm v,(x) V:(x), „ Y„(x) của (1) lă độc lập tuyín tính (hí nghiệm cơ bản) lă:
Dinh thde Wronskien cua (1): YO) V2) cv, | Wx) = | 1 GO 2 #+0,Vx € X r lye "¢x) vẻ (x) ¬ về Nex) 3° Nếu v,(%x), V›s(x), V„(x), Vx e X lă độc lập tuyến tính (hệ nghiệm co ban của (C1)) thì ý = C,y¿@Œ) + CyY.(X) + + CV, lă nghiệm (ổne quât cưa (1)
4“, Nếu Y lă nghiệm tổng quât của (1), y lă một nghiệm riíng của
(2)thìv=Y+ y lă nghiệm tổng quât của (2)
Ss "Neu Ly} = £00, Lye) = O00 LD ya) = G00 thi: Liv, tvs t yi laf 0s) + fi t+ 4 600
6°, Câch giải: L|v| =f(x) (2)
Đại v = v,.z với L|v,]= 0 thì (2) sẽ dua về dược một phương trình
tuyến tính cấp n- I với ăn hăm 4
Đặc biệt với phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất: y”+p(x)y +dq(x)y=O níu hiết một nghiệm tiếng ý của nó thì có nghiệm riíng thứ hai: e Y=, {- = dy
(Y„ Vị: độc lập tuyín tinh)
7° Phương phâp biến thiín hang sĩ Lagrange
Nĩu v = Cyyi(x) + v2) + + 2y) lă nghiệm tổng quât của