Ebook bài tập giải sẵn giải tích II III phần 1 trần bình

TRẦN BÌNH BAI TAP GIAI SAN GIẢI TÍCH II+II TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN - PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN - LY THUYET CHUOI TOM TAT LY THUYET VA CHON LOC PHU CHUGNG: CÁC ĐỀ THỊ HỌC KỲ II CÁC NĂM 20

TRẦN BÌNH

> TOM TAT LY THUYET VA CHON LOC

> PHU CHUONG CAC DE THỊ HỌC KỲ II CAC NAM 2004 - 2008

NHA XUAT BAN

KHOA HOC VA KY THUAT

TRẦN BÌNH

BAI TAP GIAI SAN GIẢI TÍCH II+II

TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN - PHƯƠNG TRÌNH

VI PHAN - LY THUYET CHUOI

TOM TAT LY THUYET VA CHON LOC

PHU CHUGNG: CÁC ĐỀ THỊ HỌC KỲ II CÁC NĂM 2004 - 2008

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI (In lần thứ năm có sửa chữa và bổ sung)

cà

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT

HÀ NỘI

LOI NOI DAU

San khi bộ giáo trình GIẢI TÍCH (2 tập) của tác giả do Nhà xuất

bản Khoa học và Kỹ thuật dn hành (1998 - 2000), nhiều độc giả đã đề nghị tác giả viết đếp bộ Bài tập giải tích giải sẵn có phần tóm tắt lý thuyết như một Sổ tay toán học giải tích cho sinh viên kỹ thuật và kỹ

$i, dựa trên bộ giáo Hình GIẢI TÍCH

Để đáp ứng yêu cầu đó nhằm nâng cao chất lượng đào tạo trong hiện tại và rương lai, tác guả đã soạn bộ bài tập này: GIẢI TÍCH ! (H,

II), ứng với các nột dung học ở học kỳ ! (H, TH)

Phân bài táp, tác giả đã chọn lọc các bài từ để, trung bình đến

khó, đại diện cho các loại tương ứng với các phần lý thuyết theo

chương trình toán giải tích hiện tại Những bài khó có đánh dấu *

nhằm bồi dưỡng thêm cho sinh viên (nhất là các sinh viên khá, giỏi) Cuối sách có phần phụ chương: Các đề thi Giải tích học kỳ II các năm

2004 - 2008 của Đại học Bách khoa để sinh viên tham khảo

Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, nhất là

PGS TS Dương Quốc Việt đã đọc rất kỹ bản thảo và cho ý kiến quý báu

Trong lần xuất bản thứ năm này, mặc dù đã cế gắng sửa chữa bổ sung song van không tránh khỏi thiếu sót, rất mong bạn đọc đóng góp

$ kiến để những lần tái bản sau cuốn xách được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn

TÁC GIÁ

Tiếp điện và pháp tuyến của một mặt

3.1 Mật cho theo phương trình không giải

3.2 Mặt cho theo phương trình tham số

1.4 Ap dung

BAI TAP

§2 Tich phan béi ba

2.1 Dinh nghia

2.2 Cách tính trong toa dé Descartes

2.3, Cach tinh trong toa d6 cong bat kỳ

Chương 3 TÍCH PHÁN PHỤ THUỘC THAM SỐ

§1 Tich phan thường phụ thuộc tham số

§3 Ham Gamma va Béta

3.1 Ham Gamma (Tich phan Euler loai hai)

3.2 Ham Béta (Tich phan Euler loai mét)

BAT TAP

Chuong 4 TICH PHAN DUGNG VA MAT

A TICH PHAN DUGNG

§1 Tích phân đường loại một

2.2 Thông lượng và divergence

2.3 Lưu số (hoàn lưu) và rotation

BÀI TẬP GIẢI TÍCH III

Chương I PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

§1

§2

§3

Phương trình vi phân cấp một

1.1 Bài toán Cauchy

| 2 Phương trình biến số phân ly

1.3 Phương trình đẳng cấp

1 4 Phương trình tuyến tính

1 5 Phương trình Bernoulli

1.6 Phuong trình vi phân toàn phần

1.7 Phương trình Clairaut va Lagrange

1.8 Bài toán quỹ đạo góc œ

BÀI TẬP

Phương trình vị phân cấp cao

2.1 Bài toán Cauchy

§4 Hệ phương trình vi phan

4.1 Bài toán chung

4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính

4.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hàng số

2:2 Tiêu chuẩn hội tụ đều

2.3 Tính chất của chuỗ: hàm hội tụ đấu

BÀI TẬP

Chuỗi luỹ thừa - Chuối Taylor - Chuỗi Maclaurin

3.1 Chuỗi luỹ thừa

3.2 Chuéi Taylor va Maclaurin

Các đề thi giải tích học kỳ III (2004 - 2008)

Tài liệu tham khảo

561 617

BÀI TẬP GIẢI TÍCH II

CHƯNG I

AP DUNG PHEP TINH VI PHAN VÀO HÌNH HỌC

(HINH HOC VI PHAN)

§1 DUGNG CONG PHANG

10

a ¥

Với (2):

Với (Xu, Yạ) c dường x, = x'(ty), Yi = y' (ty)

Cosin chi hướng của tiệp tuyến:

1

|

} =

1.5 Đường tron mat tiép - Ban kinh va tam cong

Đường tron mat cp

vớt đường cong (C) tại M

- Độ cong tại M bang

kính R của đường tron

X VTX vị i (x7 +y"> x’

Ya—YT

1.6 Tac bé và Thân khai

ley Y=vr =

y"

[ gaye v 'X=x _ 4 ` yy | XIyT” xhy l

néu F/%X,, Y.)* Fy (Xo Yo) # 0 thi M,(x,, y,) 1a diém binh thudng cia @

bị Tỉnh báo (cha họ đường công Lộ)

E(x, và C) = 0 là đường

icp xtc với moi đường của

họ (2 và tại mỗi điểm của E,

V: góc giữa bán kính vecteur và tiếp tuyến

2) Đưa về tham số: x = acost, y = bsint

ds dx? ty) dt = Yar sin? (+b cost dt

hay ds =ayl—e> cos” (dt ey = ————

1 COS COs : fa bret: ` teV= —=—.- 2 T ‘ 2

2rr = - 2a‘sin2p, r= —— * r

J tet ¬ > 2

ds = a> cos 2+ \ t dp = —.de ee

Lương tự 5): sinV = cos2q

2 lim do cong k và bán kính cong R tại mọt điển tuỳ ý của các dường cone:

a +) x =acos t, x' = - Bacostsint \" = 0avostsin t+ 2acos't

Vv = asin't, V` = 3nsinflcost, v= GasinteosẺt + 3asint

X + yT = 9n/costsinlt + 9a1sin tvros Ca 9a 2ecos°txin°t,

| Yar sin feos" I 2

Do dé: K= = R Mar sine Leos ty) 7 - 70 UTZ Ralsin 24] : 1

Sy)x = acht Vo = asht 7 = acht

y= hsht v = bet, v" = bsht

| ihsh”! —i\bch y Dodé: k = — = —~——- =

(u2sh2teb2ch2e) : ash 2reb eh a)

ah

6) xX = acl - sinl), x’ = a(t - cost), x” = asint

y= acl ~ cast), v= asimt, v" = acost

x+y =a(l- cos)” + asim = 4atsin lương lự: x'vx'v| =2asin —

242 sin? t a” sin

Yheo (1.4), ta tinh r= - asimp, r” = - avosy

r + 2r”-rr” =a (1 + cosm)? + 2anin7@ + a(Í + cos@)acos@

RY 15 = arcos2

Hao ham 2 ve theo mp, ta co:

rr =- 2a sin2 hay rr = - asin2@

Lat dao ham theo

rofrr? = - 2aeos2y = - 2r

Do dé:

wit ir +2 ry! ir b v7 4257 +e] = Ag ert)

Ylieo 6) bai Ii vireo tro = F nen:

l ar

k=—-=

là a 3.1) Fim bin kinh cong bé ohat (R, ) cba dudng: v" = 2px;

Iev | wap

Do do: ra! " _ ly p]

Li cong thite nay say ia: R,,,, = p khiy = 0

2) ‘Theo 2) bat 2: R = acho —

x, = | - —(-l) =2

2 I+ 1

—il

Khu t ta ed: (aX? - (hV) 2= c!' cc vài khử

3) x = (Reost + tstnt), x = RE sint + sint + teost) = Rtcost

v= RCL - cost), y' = Rsink v" = Reost

` Ÿˆ ` - xẻ `

MS two =Rocl - costyy + Rosi t = 2B) - cost) = 4Resi

via woo

WV AW = RCD - costy Reost - Rsint Rsint

= R-cost - R(cos*t + Siw = - 2R*sin

X = R(t - sint) - —, T Rsint = RQ+sint)

5) x =avos‘l x = - 3acox tsinE= - 3acsint - sin’

x”= - 3a(CosL- AsinftcosU

y= asin, VW = Basin leost = 2accost - cost)

v" = 3a(- sint + 3cos ‘tsinty

XÝ+\ =9 cos tsin ft + 9A ˆsinf1eosfL= 29a cos°tsimÊI

KW" A XTN = - Sacos teint 3al- Sil + 3Bcos tsint)

[x acos’ 1+ 3asin> teost

thi trong hệ mới X,OY,,

sở (VOGT Tham SỐ py cata đường

cardiotde da cho La:

dX = all + Vosep)cosep = a(cosp + Cas tp)

viv" - "y= Barc) # cos2p)

va phuong trinh tic bé cua dudne Cardiofde da cho la:

Do đó, tá làn phép Goh

tiên hé trục toa độ:

X=X,+

Y=Y,

thì phương trình của túc bé này

trong hệ toa độ độc cực mdi

ON, là tý ‘A A - = cos coso} ck {6

cũng là một đường Cardioide

kích thước thu lat bang 1/3

kích thước của Cardioide dã

cho và guay hướng ngược lại

theo hướng cua OX (hình 7)

Hình 7

[sa

A+dnT =k" X5 7)Xx= aln=—VÝ———-a' —NT v

La dựa phương trình này về dạng thám 6 dat ¥ = asing, O< p< thi:

Do đó, phương trình tham số của túc bê của đường tractrice da cho

i r a” COLL ¢ j apt

X= a In| tet | ~a€COS@- ————” P acos@ alu} tg P |

6 là phương trình của đường đây xích (hình &)

5, Vim các điểm bất thường của các đường:

Ie - 2x - {y= 0

— = 2(v-1)=0 [

hissy) =(y- ly eae 1p = 0

Giái hệ này, 1a có điểm bất

thường của đường cong đã cho: x =

Giải hệ nàv La có: vy = OLX = O hove x = +

Điểm l+——.0 không thiộc đường cong,

Vay (0, 0) Tà điểm bật thường

cHa đường cong (điểm lùi) (hinh £0)

Hinh 10

4) POSS) eA ye - Bary 0

29

Ấ) Họ dường thang lập với

cde true toa dd ede tam giác có

diện 1ích không dối bang S

cong (gui tích các điểm uỏn)

(đường cong Không có điểm bát

Hệ cho nghiệm x = c.y = 0

[heo hình 132, duéne cone

không có hình bao, y = 0 là quý

tích các điểm bắt thường (điểm

bao, con x = (0 là quỹ lích các

điểm kép eta ho Strophorde đã

5) lhơo giá thiết, phương

trình dường thang qua (a 0),

(O, b) lar

X “+? =1 và ab = 28 (hinh IX)

Al

ivi I do dot xitng xét trong sóc

gol la hàm bán kính vectcur của điểm ME,

Khi t thấy đói, ME về nen mọt đường gọi là tộc đỏ của hầm veeteur

và clì gọt là phương Grink cecteur cua đường đó,

Hex =x) vey 7 = 20), te {t} sọi là phương trình tham số của dường

Lrone không sian: đường cũng có thế cho là giao tuyến của 2 mại

H ro) vi Ir(0 =Cz=const => ret) L ret)

r= FOYT i, =const = FO) / Fa)

33

2.2 Tiếp tuyến và phớp tuyến của đường - Tam diện Frénet

Cho đường CR`: F(t) = x(t) + y(t) | +/⁄()k

Nếu t = s: độ đài cung của 4 (tính từ | điểm nào đó) thì:

T(S) = X(s8) i+ ys) j + z(s)k

gọi là phương trình tự hầm của <“

lam dién lrénet tat M e ⁄ lập nên bởi 3 vecteur:

Đường thang mang

z(V, ) gọi là tiếp tuyến

(pháp tuyến chính, trùng pháp

tuyến) của 4 tại M

Mat phang mang (T, V)

34

diy dv -tE § dị -¥v

— = — _— = +—- —— = —-

35

a

Hal: Y= + yb,, X = xa, + ya,

thì ta có:

36

Đó là phương trình của một e]lipse,

+) lương tư, phương trình tốc đỏ của t = acht + bsht là dường

hyperbole,

4 4

il b

6 1) Tìm thế tích lớn nhất của hình hộp đựng trên 3 veeteur:

Từ 2 phương trình đầu tạ có: ý = tgu.x

Vậy quỹ đạo của chuyển động là đường tròn (lớn):

fx? 4yi 475°]

ly = (Qa.x Vận tốc:

V tl II 1 v< OCOSH.SINOT) + F.C; ASNEtsING) + k a@cosmt Gia toc:

ñ = T” = Ì ( c0sŒcosa) + + @ sindgcosel) + K ( @ xinat)

| = đe! COST” ŒSHI @IE + 7 NH Mt sing + 7 COST Mt = ||

7 Tìm các vectcur T,V.B của các đường:

L) x = tsint, y = (cost, 4 = te! tai sốc toa độ

2) x = cost, y= xin (22 cos21 tại một điểm tuỳ ý

Hải giai

1) Tạ có: x' = sint + teost, x" = 2cost - tsint

y' = cost - tsint, y" = - 2simt - teost

yev+teys" = 2e' + te!

2) x' = - 3costsint, y= Asinttcost, 7’ = - 2sin2t

- T= — Rcos" tsinti + 3sin7 LcoS 1] — 2sin2tk” _^ -

-Ti¢p tuvén: T= rio et)

Do dé: t= - [vì =- 2 va ta tim được 2 điểm: MỤC 1/4, - 1/3, 1/2)

M, (4, -8/3, 2) dai dé Hep tuvén song song voi mat phane di cho

9, Viết phương trinh mat phane mat Gép, phdp dign vi mat phang trực đac của các đường:

1) x =tcost, y = tsint, 7 = bt (xoan 6c conique) tai gdc O;

2xrev,vsec z= J2 tại một điểm bất ky;

3)x +wˆ+/2n6,x ` -v + =dti M(I, L2);

4) yo =x, x° =z tai mot dicm tuv é,

Bài giải

L) Điểm (0, 0, 0) img vdi t = 0

Taco: x’ = cost - tsint v0 = sint + teos, zZ = b,

x" = - 2sint - teost, y" = - tsint + 2cost, 7" = 0

1+3

la có:

1 | k

B=/2 0 -lI|=(0,4,0) -] 0 -2

và phương trình mật tiếp phải tìm là:

(X - x).— +(Y-VW).-—~ +(⁄2-/).|=0

lượng từ, ta có phương tình của các mài pháng mật tiếp và trực đạc?

6x (X -x)- By Y -v)-(2-⁄)=

(1 - 32v2(X- x)- 2y(2v) + 1)(ÝY -y) + 2v 8y + 3)22-⁄)=0

45

10 Fim dé cong cua các đường:

I) x = leost, y = tsint, 4 = bt tai (0, 0, 0):

2) x = Incost, y = Insint, 7 = t2 LẠI (X, V 2);

3) x* = 2az, vy" = 2b tai (x,y, 4)5

+ bức ;) \ (vì theo trên 1 = 2az})

a

a ‘ b) Vay: k= —_——

Lai Wy dao him 2 vẽ của (2), theo Lia có:

Ix"? — yt $4 tXX” T VU t7 = 0

lay" + 2yv"- x" 7 = 0 Lai (1, 1, E) ta có hệ:

fx" -y"t =o

joy" 2x8 = =0

Lấy 1 nghiệm củn hệ này:

48

] -2 x"=l,v'=_-,/;z"=—

11 1ìm độ xoắn của các đường sau tại một điểm luy y:

I) x =v'cost, y = e'sint, 7 =e!

x' = uel(cost - sint), y’ = e'(cost + sint), 7) =e

x" = - 2¢'sint, y" = 2e'cost, z” =e!

x’ = - 2e'(sint + cost), y'" = 2e'(cost - sinh), 2" =e

e' (cost — sint) el(cost +sint) e

(, ey m3 = —2e! sint 2e' east e!

-2el(sint + cost) 2e'(cost - sint) ¢!

cost — sint cost +sint 1

=e'Y-(cost — sinl) cost — sint 0

“3cost ~ sint cost — Jsint 0 (lấy hang dau trừ các hằng sau)

49

=e'(- cost - NÌHECOSTt + 3SIn(cost + 3sin L+

+ 3COS”t + SiICOSL - 3SÍntcost - sinˆD)

H to © +

Lương tự:

|F Ar’) =Íb '(cost — sin1) el(Cost +sinQ el

—2e' smi 2c' cost e

Ea đưa phương trình cua đường (1l) vé tham

x" = asl, vy" = - acost, 7" = 0

12 Chứng mình rang:

1) Néu độ cong tí mọi điểm của một dường bằng không thì đường

đó là một đường tháng

2) Nếu độ xoán tại mọt điểm của một đường bàng không thì đường

đó là mội đường cong phang

2) Ta biết (2.3) độ xoan T của đường con

= cOnst tại mọi điểm cua Theo gia thiet P= 0, suy ra 1% =0 huy 8 ¬ pe d8

ils

\' luôn luôn nằm trong

đường cong, nại khác B L Vv,ƒ Lz do đó 1,

mót mại phàng, nghĩa là đường cong là đường cone phẩng,

53

Vậy j = const, theo 2) đường cong là đường cong phang

Lấy 3 điểm trên đường cong (không tháng hang):

M,(1, 2 1) véi t = 0; M.(6, 5, Ø0) với (= 1: MỊ(Ó, 9,0) với L= -],

§3 TIEP DIEN VA PHAP TUYEN CUA MOT MAT

3.1 Mặt cho theo phương trình không giỏi

Irone R}, cho mát S, có phương trình khong yiaiz

Nếu E là hầm liên tục trên S tì ŠS sợi là một mặt liên tục,

Nếu tồn tại F°,, F”¿, F”, liên tuc tai (x, y, z) € S va:

7 12

FL X +l) +F, #0

khi đó (x, v, 2) 6 S gọi là một điểm bình thường

¬ ¬ 4

Diém M(x, y, z) € S: BO +00 +0, = 0, hay ít nhất một trong

K JV, F, khong tồn tại sợi là một điểm bất thường của S

X, Y,Z là toa độ của M bất kỳ thuộc tiếp diện và pháp tuyến

N =(E,, ¥) F,) goi la vecteur phap tai M(x, y, 2) cua S Đặc biệt S có phương trình: 2 = f(x, y) thì phương trình của tiếp

điện và pháp tuyến với Š tại M(x, y, 2z) € S là:

{X—X)Ï, +(Y—y)§,T=⁄—z) =0 (2)

3.2 Mặt cho theo phương trỉnh tham số

rong R`, xét mát S cho theo phương trình tham số:

55