TRẦN BÌNH
> TOM TAT LY THUYET VA CHON LOC
> PHU CHUONG CAC DE THỊ HỌC KỲ II CAC NAM 2004 - 2008
NHA XUAT BAN
Trang 2TRẦN BÌNH
BAI TAP GIAI SAN
GIẢI TÍCH II+II
TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN - PHƯƠNG TRÌNH
VI PHAN - LY THUYET CHUOI
TOM TAT LY THUYET VA CHON LOC
PHU CHUGNG: CÁC ĐỀ THỊ HỌC KỲ II CÁC NĂM 2004 - 2008
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI (In lần thứ năm có sửa chữa và bổ sung)
cà
Trang 3LOI NOI DAU
San khi bộ giáo trình GIẢI TÍCH (2 tập) của tác giả do Nhà xuất
bản Khoa học và Kỹ thuật dn hành (1998 - 2000), nhiều độc giả đã đề nghị tác giả viết đếp bộ Bài tập giải tích giải sẵn có phần tóm tắt lý thuyết như một Sổ tay toán học giải tích cho sinh viên kỹ thuật và kỹ $i, dựa trên bộ giáo Hình GIẢI TÍCH
Để đáp ứng yêu cầu đó nhằm nâng cao chất lượng đào tạo trong hiện tại và rương lai, tác guả đã soạn bộ bài tập này: GIẢI TÍCH ! (H,
II), ứng với các nột dung học ở học kỳ ! (H, TH)
Phân bài táp, tác giả đã chọn lọc các bài từ để, trung bình đến
khó, đại diện cho các loại tương ứng với các phần lý thuyết theo
chương trình toán giải tích hiện tại Những bài khó có đánh dấu *
nhằm bồi dưỡng thêm cho sinh viên (nhất là các sinh viên khá, giỏi) Cuối sách có phần phụ chương: Các đề thi Giải tích học kỳ II các năm 2004 - 2008 của Đại học Bách khoa để sinh viên tham khảo
Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, nhất là
PGS TS Dương Quốc Việt đã đọc rất kỹ bản thảo và cho ý kiến quý báu
Trong lần xuất bản thứ năm này, mặc dù đã cế gắng sửa chữa bổ sung song van không tránh khỏi thiếu sót, rất mong bạn đọc đóng góp $ kiến để những lần tái bản sau cuốn xách được hoàn thiện hơn
Xin chân thành cảm ơn
Trang 4MUC LUC LOI NOI DAU BÀI TẬP GIẢI TÍCH II Chương I ÁP DỤNG PHÉP TÍNH VỊ PHÂN VÀO HÌNH HỌC §1 §2 §3 (HÌNH HỌC VI PHAN) Đường cong phẳng 1.1 Phương trình 1.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến 1.3 Vị phân cung 1.4 Độ cong L.Š Đường tròn mật tiếp - bán kính và tâm cong 1.6 Túc bế và thân khai 1.7 Hình bao BÀI TẬP Đường trong không gian 2.1 Hàm vecteur 2.2 Tiếp muyến và pháp tuyến của đường - Tam điện Prénet 2.3 Độ cong và đệ xoắn BÀI TẬP
Tiếp điện và pháp tuyến của một mặt 3.1 Mật cho theo phương trình không giải
Trang 51.4 Ap dung BAI TAP
§2 Tich phan béi ba 2.1 Dinh nghia
2.2 Cách tính trong toa dé Descartes 2.3, Cach tinh trong toa d6 cong bat kỳ 2.4 Toa d6 tru 2.5 Toạ độ cầu 2.6 Áp dụng hình học 2.7 Ap dụng cơ học BÀI TẬP
Chương 3 TÍCH PHÁN PHỤ THUỘC THAM SỐ
§1 Tich phan thường phụ thuộc tham số 1.1 Định nghĩa 1.2 Dinh ly Leibniz §2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 2.1 Định nghĩa 2.2 Định lý 2.3 Các tích phân quan trọng §3 Ham Gamma va Béta
3.1 Ham Gamma (Tich phan Euler loai hai) 3.2 Ham Béta (Tich phan Euler loai mét)
BAT TAP
Chuong 4 TICH PHAN DUGNG VA MAT
A TICH PHAN DUGNG
Trang 72.2 Thông lượng và divergence 2.3 Lưu số (hoàn lưu) và rotation 2.4 Các toán tử vị phân 2,5 Trường ống và trường thế BÀI TẬP PHU CHƯƠNG Các đẻ thi giải tích học kỳ II (2004 - 2008) Bảng hàm Gamma
BÀI TẬP GIẢI TÍCH III
Chương I PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
§1
§2
§3
Phương trình vi phân cấp một 1.1 Bài toán Cauchy
| 2 Phương trình biến số phân ly
1.3 Phương trình đẳng cấp
1 4 Phương trình tuyến tính
1 5 Phương trình Bernoulli
1.6 Phuong trình vi phân toàn phần
1.7 Phương trình Clairaut va Lagrange
1.8 Bài toán quỹ đạo góc œ
BÀI TẬP
Phương trình vị phân cấp cao
Trang 8§4 Hệ phương trình vi phan
4.1 Bài toán chung
4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính
4.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hàng số BÀI TẬP Chương 2 LÝ THUYẾT VỀ CHUỖI §L, §2 §3 §4 Chuỗi số 1.1 Định nghĩa 1.2 Điều kiện hội tu 1.3 Tính chất 1.4 Chuỗi dương 1.5 Chuỗi có dấu bất kỳ và chuỗi đan đấu 1.6 Phép nhân chuỗi BÀI TẬP Dãy và chuỗi hàm 2.1 Định nghĩa
2:2 Tiêu chuẩn hội tụ đều
2.3 Tính chất của chuỗ: hàm hội tụ đấu
BÀI TẬP
Chuỗi luỹ thừa - Chuối Taylor - Chuỗi Maclaurin 3.1 Chuỗi luỹ thừa
3.2 Chuéi Taylor va Maclaurin BAI TAP Chudi Fourier 4.1 Dinh nghia 4.2 Các hệ số Fourier 4.3, Dinh ly Dirichlet BAI TAP PHU CHUGNG
Các đề thi giải tích học kỳ III (2004 - 2008)
Trang 9BÀI TẬP GIẢI TÍCH II
CHƯNG I
AP DUNG PHEP TINH VI PHAN VÀO HÌNH HỌC (HINH HOC VI PHAN)
§1 DUGNG CONG PHANG 1.1 Phương trình Phương trình Desvate: F(x, v) = 0 hay y =flA),a<x<b (1) Phương trình tham số: fy 1X = X(t} 3 ,a<etef (2) y=yO Phương trình độc cực: r= Í(@),œ <@ <j (3) ` ` “x=x(s) Phương trình tr hầm: < VU Ex@)
§ là độ đài cũng đường cong Tính từ một điểm cốc nào đồ cưa củng 1.2 Tiếp luyến vò pháp tuyến
—3
Vor (iy - V4 = PORE MX - Xa), Ya = oo OX XD)
f(x, )
Trang 1010
a ¥ Với (2):
Trang 111.5 Đường tron mat tiép - Ban kinh va tam cong
Đường tron mat cp
vớt đường cong (C) tại M là đường tròn: - tiếp xúc với (C) tại M - Bể lốm trùng với bẻ lm cua (C)
- Độ cong tại M bang
độ cong của (C) tại M Cc (hình 2) - lâm (Xa, Yvạ) và bán AI
kính R của đường tron
Trang 131.7 Hinh bao
a) ion bát thường
Me (Au Vo) € đường Z: FA, vy) = Ø sọi là diễm bát thường của nếu: 3 F°,¿, F”y liên tục tại M, va:
lf(x, vu) =0
ry (Xa, Yad = 0 Fa =
néu F/%X,, Y.)* Fy (Xo Yo) # 0 thi M,(x,, y,) 1a diém binh thudng cia @
bị Tỉnh báo (cha họ đường công Lộ)
E(x, và C) = 0 là đường
Trang 14Y=a(t —sint y! ) osi<2x LY =a(l—cost) a > 2 Syr=
cos Tim sinV hoặc cosV,
V: góc giữa bán kính vecteur và tiếp tuyến 6) r =acos2p Bài giải D2yy'=2p—v'= ý p` LƑa đs = + —Ax = — yp ty” dx Vy \ OSL —_- y COSa = — — 3 Hav fod +% VP TỲ sinœ = _—E_ Íp`+v
2) Đưa về tham số: x = acost, y = bsint
Trang 161 COS COs : fa bret: ` teV= —=—.- 2 T ‘ 2 t » , tỌ , w C{OS” - asIn NHI - 2 3 2 ‹ (p : ,.(D Do đó: sinV = cos—;cosV ==sm— 4 6) Lire = aeos2p, dao ham 2 vé theo @ ta có: " , =a sin 2 2rr = - 2a‘sin2p, r= —— * r J tet ¬ > 2 la am sine 2¢ il
ds = a> cos 2+ \ t dp = —.de ee
Lương tự 5): sinV = cos2q
Trang 17ở đây: y=’ xin L Ux \ = lx, Vv =~ 6x,k = —= TT ———————- y y R J vVÚ+9x1)Ê 1 a M_, x» | ! X 2)v=ach—.v=sh—,y =-ch-— a a aoa I X X ch ch mm a a _ | a | R + Xo box 2X (ashy t- ch acho it a it x =n 3)w =aln(cos—).v z= f= stg a ul COS a , -] I x! Vos oe whoa ee = Joos : là a ad wCOs a
+) x =acos t, x' = - Bacostsint \" = 0avostsin t+ 2acos't
Vv = asin't, V` = 3nsinflcost, v= GasinteosẺt + 3asint
X + yT = 9n/costsinlt + 9a1sin tvros Ca 9a 2ecos°txin°t,
lượng tự: ¬
| Yar sin feos" I 2 Do dé: K= = R Mar sine Leos ty) 7 - 70 UTZ Ralsin 24] : 1
Sy)x = acht Vo = asht 7 = acht
Trang 18| ihsh”! —i\bch y Dodé: k = — = —~——- =
(u2sh2teb2ch2e) : ash 2reb eh a)
ah
6) xX = acl - sinl), x’ = a(t - cost), x” = asint
y= acl ~ cast), v= asimt, v" = acost
x+y =a(l- cos)” + asim = 4atsin lương lự: x'vx'v| =2asin — 242 sin? t a” sin l 5 ] Dodo: k= — = — -— ———— = -——— R dao sine — | tà da sin ¬ \ 37 | Ty v=a(l + cosg)
Yheo (1.4), ta tinh r= - asimp, r” = - avosy
Trang 19RY 15 = arcos2
Hao ham 2 ve theo mp, ta co:
rr =- 2a sin2 hay rr = - asin2@
Lat dao ham theo
rofrr? = - 2aeos2y = - 2r
Do dé:
wit ir +2 ry! ir b v7 4257 +e] = Ag ert)
Trang 20
Iev | wap
Do do: ra! " _ ly p]
vị p
Li cong thite nay say ia: R,,,, = p khiy = 0
Trang 22Bai giai 1) vy al | *” 1 - i ra | 22 m~
Trang 23= asht.bsht - acht-bchi » ~ It ” cử | =- ab(ch*t - sh*t) = - ab Theo (1.6), ta có phương trình túc bế của hyperbole đã cho dưới dang tham sé: ^ ~ a ^ ¬ + avsh-t+boch-t ai tbh |; xX = acht - ——— -beht = m——ch°t —ab a a`sh tt +b chỶt a th \ Y=ashi4 - ——p washt = ———sh't —il
Khu t ta ed: (aX? - (hV) 2= c!' cc vài khử
3) x = (Reost + tstnt), x = RE sint + sint + teost) = Rtcost x" = Reost - Rtsint ¥ = R(sint - leost), vo = R(cost - cost + tsimtl) = Rtsint v' = Rsint + Ricost ^¬ xe = Roe cos te Ro iM sintt ARV ye xT = ROE | Rite i X = Ricost +1 sin t) —- —— Rt sint Do dé: \ Ret ; Y=R(sint-1essot+ Rot -—-Rt cost Rot "X =Reost ` ` ¬ ` have 3 - var Xo + YOHkR Y= Rsmt
Vậy túc bể của đường đã cho là đường tròn tâm OƠ, bán kính R [heo định nghĩa thì đường đã cho là đường thần khai cưa đường tròn này
Trang 24v= RCL - cost), y' = Rsink v" = Reost
` Ÿˆ ` - xẻ `
MS two =Rocl - costyy + Rosi t = 2B) - cost) = 4Resi
via woo
WV AW = RCD - costy Reost - Rsint Rsint
= R-cost - R(cos*t + Siw = - 2R*sin - Eheo (f.6) phuong trinh tic bé cua ding Cyclotde da cho là: | 4R> ie 5 X = R(t - sint) - —, T Rsint = RQ+sint) ~2Ñ~ sin" 3 at +> sine Y = R(1- cost) + ~ 2 RU cast)=-RUL cast) vf —3R- sin 2 Dalt=t-7 th: X M - -AR + R(T - sint) Y tI =- 2R +R) - cost)
Trang 255) x =avos‘l x = - 3acox tsinE= - 3acsint - sin’
x”= - 3a(CosL- AsinftcosU
y= asin, VW = Basin leost = 2accost - cost) v" = 3a(- sint + 3cos ‘tsinty
XÝ+\ =9 cos tsin ft + 9A ˆsinf1eosfL= 29a cos°tsimÊI KW" A XTN = - Sacos teint 3al- Sil + 3Bcos tsint) - (-3a)(cost - 3sinteost).3asin*teost = 9a 'sin tcosTt - 27a2cosfIsinft + 9a sĩ teos”L « VWF eJnfftz-cse= - „4 `S§IHfCONFT = - )aˆsin tcos”1 Do đó ta có phương trình túc bế của đường asIrordec đã cho: f | x Qaz cox? tsin? wo cos” tsin™ t c3 xX acov t- oo {.COST | Yar xin* tcos* t | y 2 ` v3 „1 a vas” NHA” 2 Y= asin t + ———_ — 97 SIN LE cos* t 2? 2 [an cos* tsint)
Trang 26thi trong hệ mới X,OY,, phương trình của tức bế là: X = Pacos*t Ỳ II 2qsin r Với t=tL- x (hình 6) 4 Vậv tức bê của đường asloirde cũng là một dường astiorde, 6) £ = ad) + cosp) La biết x = reosp, v= rsing Hinh 6 Do đó phương trình tham sở (VOGT Tham SỐ py cata đường cardiotde da cho La:
dX = all + Vosep)cosep = a(cosp + Cas tp) I ¥ =aCl + casp)sing = asin + sippeasp) Lính toan, Ga c6: Xi = - a(siup + 2casip), v TƯ n(COSG@ + cos), wees x” th =2a (1 + eosup)
viv" - "y= Barc) # cos2p)
Trang 27Do đó, tá làn phép Goh tiên hé trục toa độ: X=X,+ Y=Y,
thì phương trình của túc bé này trong hệ toa độ độc cực mdi
Trang 28
Do đó, phương trình tham số của túc bê của đường tractrice da cho là: ⁄ ` } I > z i r a” COLL ¢ j apt
X= a In| tet | ~a€COS@- ————” P acos@ alu} tg P | 22 a" vols có 27 ] > “ N - ar cote7@Í a cos? tp a V* ASIHHIP+—~ TS; ——— |#— l a2 cole 2p Step SU | a cole (Py ) Khử @, ta có: ` ` ‘ { X ( In tg PI~=, tet =e ' 7 ! nv 5 2 Y ZN 7 a a alte? v = - = = 5) Sn P 2tg ‘ 5 2 e và ` a ⁄2 { I-te ` P 3 ( \ `À | x a hay vette" bes 2) \ Hinh 8
Trang 29Ie - 2x - {y= 0
— = 2(v-1)=0 [
hissy) =(y- ly eae 1p = 0
Giái hệ này, 1a có điểm bất thường của đường cong đã cho: x = Iv = 1 (điểm lùi) (hình 9) 2) Thương từ l); EQ=Z2x 4x5 :Ó PE, =2y s0 ` ~ Hinh 9 [E(ŒX,V) MT +A —x =ũ |
Giải hệ nàv La có: vy = OLX = O hove x = +
Điểm l+——.0 không thiộc đường cong,
[oye |
Hicm (0, OF thude dudgng cons, đó là điểm bắt thường cô lâp của đường cong (vì lần cận điểm này Không có điểm nào thuộc đường cong)
1, =-2xv=Ù
Hệ nàx cho nghiệm: x =0 v =0, Vay (0, 0) Tà điểm bật thường cHa đường cong (điểm lùi) (hinh £0)
Hinh 10
4) POSS) eA ye - Bary 0
Trang 30Bx — 34V = 0 hos 3v ` —3av =0 HỆ nay cho nghiệm: x= 0, vy =0 và (0, 0) là điểm hat thường cua đường vong (điểm Kép) (hình 1Í), 6, Jim hình bao của các họ đường cong: lv =(x-e)) H yi six-ey 3)(a + X)(V-c) = = X (x - n) 4 = consL > (1, +) ye NN 2pxtp
Ấ) Họ dường thang lập với cde true toa dd ede tam giác có
Trang 31cong (gui tích các điểm uỏn) (đường cong Không có điểm bát thường: Fy=1z0) 2) lương tự 1): ` 3 J |tú, V,CJ=WX “(X- C)” ì (E (x,v.c)=-—2(x—c)=U)
Hệ cho nghiệm x = c.y = 0 [heo hình 132, duéne cone không có hình bao, y = 0 là quý tích các điểm bắt thường (điểm liu: F =0, FF’, = F’, = 0 tai (c,0)) 3) lke Vie) = at xynncy 0 ^ ` Le » =a Hệ nàv cho nghiệm Nae J*xra wae Theo hình 14; x= a là hình bao, con x = (0 là quỹ lích các điểm kép eta ho Strophorde đã cho flax, Vit) =(at AMVC) = x7 (x a)=0 Hinh 13, (Strophorde) 4) Không có hình bao
5) lhơo giá thiết, phương
trình dường thang qua (a 0), (O, b) lar
X “+? =1 và ab = 28 (hinh IX)
a ob Hinh 14
Trang 32ivi I do dot xitng xét trong sóc phần tự thứ nhất) li có: Hao ham (1) theo a: —N Vv —— (2) a 25 Khu ä từ (1) và (2): Hình 15 38 X28 Y= TR +: d an 4n 25 a >x=- 2 Sais Soa " y= >= -— ave | li hinh bao phat tin ay 2 a 5 §2 ĐƯỜNG TRONG KHƠNG GIAN R° 2 1 Hàm Vecteur
Hầm Veeteur đói vô hướng V = V() là một ánh xa từ tập hợp các đạt lượng vô hướng 1: {tf} vio lap hợp cde veeteur Vir {Vd
Lhường xét:
V =OÁE = i0 =A(DI +90)7 +27(Đk t1)
gol la hàm bán kính vectcur của điểm ME,
Trang 33Hex =x) vey 7 = 20), te {t} sọi là phương trình tham số của dường Lrone không sian: đường cũng có thế cho là giao tuyến của 2 mại an (x,y,⁄) :Ö te \ ( ö gọi là phương trình không giải trone không gian *2(X,V, 7) + của đường; a = limr() œXc>O,35>0,0< lt -tạ) <ð= Jrd)-äl <£ booty tầm £ Z ri gọi là liên túc tại tạ nên hin ray = r(t,)- boty Hao ham cua ham vecteur £ = rủ): lr T Atl—r aye fee yi ADF) a stool At „ at d ( dt r'(t) —— = — |— dt- dt\ dt 4 ru) =a =const, rit) = 0 (+r )'= ry + Ty (ur) H=a'r+ar,a=a(h (mya + (AT)! = PLAR + HAT: (V1, ) =6, RỊ tp Củ F:, R) +, ) b 2=A()Ï + v() 1 +/(0K TP = x()Ï + di) +z(0K
H ro) vi Ir(0 =Cz=const => ret) L ret) r= FOYT i, =const = FO) / Fa)
Trang 342.2 Tiếp tuyến và phớp tuyến của đường - Tam diện Frénet
Cho đường CR`: F(t) = x(t) + y(t) | +/⁄()k
Nếu t = s: độ đài cung của 4 (tính từ | điểm nào đó) thì: T(S) = X(s8) i+ ys) j + z(s)k
gọi là phương trình tự hầm của <“
lam dién lrénet tat M e ⁄ lập nên bởi 3 vecteur: ~ T = —! vecteur tieép tuyến đơn vi dr Le “ ds - v= ĩ r"(s) 1 +L T1: vecteur pháp tuyển chính đơn vị ~ , „ ThS) B >t A v: vcctcur trùne pháp tuyến đơn vỊ và các mại phảng mang 2 trone 3 vecleur đó (hình 16)
Đường thang mang z(V, ) gọi là tiếp tuyến
(pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến) của 4 tại M
Trang 36BAL FAP Ã Xác dụnh tốc đồ (đường cong) cua các hầm veeteur trong mat phang: Wraatie 2)r=a — bí 3) r acosL + bsint +) F = ñchi ~ bahl với a,b,c =const, a Lb Bai giai 1) Gid sda = (ay, a), © = (ee) Chiếu r = aL + € trên bạ (TH tí cÓ: K=mtte, veal+e,
Day là phương Trình than số (0 của một đường thang, Vậy tốc đồ của hầm vecteur đã cho là một dường thang
Trang 37bh? Y°=AX (AS ) a Vậy Tóc đổ cưa (1) là một parabole., _ 1 - 7 Z ˆ a > ` 3) Ft r = acosf + ban, nhàn 2 về lần lượt với a b và chú ý T1 =vcost rh =sin( Do đó ta có phương trình phải tim: (ay + ‘—— = | of a’ b" Đó là phương trình của một e]lipse,
Trang 38Bai giai 1) Ta biet V = fla, b, “| lott hay V=|/2t -1) of =cb+ 17 roe Cd 1 Vi= 4(t + 1) > 0, do dé V Va ham don điệu tang: Van = VI =4 vi OStsl 2) Vacdé x Ul COSCL.COSOL V =xIHŒ.COS@T 7 = sinew Đình phương 2 vế rồi cộng lại La có: x+y +r al
Từ 2 phương trình đầu tạ có: ý = tgu.x
Vậy quỹ đạo của chuyển động là đường tròn (lớn): fx? 4yi 475°] ly = (Qa.x Vận tốc: V tl II 1 v< OCOSH.SINOT) + F.C; ASNEtsING) + k a@cosmt Gia toc:
ñ = T” = Ì ( c0sŒcosa) + + @ sindgcosel) + K ( @ xinat)
| = đe! COST” ŒSHI @IE + 7 NH Mt sing + 7 COST Mt = ||
Trang 397 Tìm các vectcur T,V.B của các đường: L) x = tsint, y = (cost, 4 = te! tai sốc toa độ
2) x = cost, y= xin (22 cos21 tại một điểm tuỳ ý
Hải giai
1) Tạ có: x' = sint + teost, x" = 2cost - tsint y' = cost - tsint, y" = - 2simt - teost
yev+teys" = 2e' + te! x(0)=0,x ”(0)=2,v(0)= 1y (0)=0/7(0)=1,7”(0)=2 Theo (2.2), ta có: _ 01 +1) + Ik jtk TH <2 yor ee v2 ijk O 13 ñ= 2 0 2) — 2i+2j=2k 1+jn-k J2)+21+27 v12 V3 = 5 - 2i-j+k ve fpay=ctoutk V6
2) x' = - 3costsint, y= Asinttcost, 7’ = - 2sin2t
Trang 40+eosti — sin tị — 3k 5 R= sin ti + costj -< ll 8 1) Viết phương trình của tiếp tuyến và pháp diện với các đường: ` - nN ay xX =Reost, y = Rsintcost, z = Rsint tai t = 1 b)zexrty x =y tai (f, 1,2)