Dẫn nhiệt không ổn định là bài toán rất hay gặp trong thực tế khi nhiệt độ của vật thể thay đổi theo thời gian
Trang 1Chuyên đề
phơng pháp số giải bài toán truyền nhiệt
không ổn định
Dẫn nhiệt không ổn định là bài toán rất hay gặp trong thực tế khi nhiệt độ của vật thể thay
đổi theo thời gian Một cách tổng quát, ta có phơng trình vi phân dẫn nhiệt tổng quát, mô tả quan hệ của nhiệt độ tại các thời điểm theo thời gian khi trong vật không có nguồn sinh nhiệt:
t a.
, (1) Trong đó:
+
τ
t
: đạo hàm của nhiệt độ theo thời gian;
+ a =
c.ρ
λ : hệ số khuyếch tán nhiệt độ;
+ 2 t
2 2 2 2 2 2
z
t y
t x
t
, toán tử Laplace
Để giải một bài toán dẫn nhiệt không ổn định theo phơng trình vi phân (1) thì rất phức tạp
và đòi hỏi nhiều điều kiện đơn trị Trên thực tế ngời ta chỉ áp dụng phơng pháp này khi giải bài toán dẫn nhiệt ổn định Đối với bài toán dẫn nhiệt không ổn định ta sử dụng các phơng pháp: quy tụ, phơng pháp sai phân hữu hạn
1 Các bài toán dẫn nhiệt không ổn định
a Bài toán dẫn nhiệt không ổn định dùng phơng pháp quy tụ
Bài toán khảo sát một vật thể tích V, khối lợng M, nhiệt dung riêng c, nhiệt độ ban đầu
đồng nhất bằng t0 Vật thể đợc đặt vào môi trờng có nhiệt độ không đổi tl < t0 Khi hệ số toả nhiệt α tại bề mặt xung quanh vật với môi trờng là rất nhỏ so với hệ số dẫn nhiệt của vật , thì nhiệt độ trong vật sẽ đồng nhất tại mọi điểm và giảm chậm theo thời gian Lợng nhiệt mất đi
do toả nhiệt ra môi trờng qua bề mặt ngoài vật có diện tích F, sau thời gian d bằng độ giảm nội năng của vật :
M.c.dt )dτ
t α.F(t 1 , (2)
Từ đó giải ra nghiệm là nhiệt độ của vật phụ thuộc vào thời gian :
bτ L 0 L
τ t (t t ).e
Biểu thức (3) cho phép xác định nhiệt độ bên trong vật theo thời gian hoặc xác định
thời gian để nhiệt độ của vật đạt đợc giá trị t cho trớc Với điều kiện 0, 1
λ
α.δ
Bi vì khi đó khả năng toả nhiệt tại bề mặt vật nhỏ hơn dẫn nhiệt trong vật rất nhiều, nhiệt độ trên mặt vật giảm rất chậm, phân bố nhiệt độ trong vật gần nh gần nh đờng thẳng nằm ngang và nhiệt độ trong vật đợc coi là đồng nhất
b Bài toán dẫn nhiệt không ổn định một chiều
+ Làm nguội hoặc gia nhiệt tấm phẳng rộng vô hạn
Bài toán khảo sát tấm phẳng rộng vô hạn có bề dày 2δ,λ là hằng số Nhiệt độ lúc đầu
đồng nhất trong toàn bộ vật bằng t0 Vật đợc đặt trong môi trờng có nhiệt độ tL = const Khi đó
Trang 2nhiệt đợc truyền từ vật ra môi trờng với hệ số toả nhiệt α không đổi trên hai mặt vật Nhiệt
độ là hàm của thời gian và chỉ thay đổi theo bề dày tấm, nên đợc biểu thị bằng phơng trình vi phân một chiều:
2 2
x
t a.
τ
t
, (4) Bằng cách đa về nhiệt độ d θ t t1và dùng phơng pháp tách biến:
) ( ).
(
)
,
(x x
Nhận đợc nghiệm :
C sin(k.x) C cos(k.x)
τ)
ak exp(
C τ)
Từ các điều kiện đơn trị, sau các biến đổi nhận đợc nghiệm cuối cùng có dạng chuỗi vô hạn:
2
2 n n
1
n 0
δ
aτ μ exp δ
x μ cos cosμ sinμ μ
sinμ 2θ τ)
Trong đó :
+μn k.δ; k =1,2,3…μn là nghiệm của phơng trình đặc trng:
Bi
μ Cotgμ với
λ
α.δ
Bi
+ Dẫn nhiệt vật thể có 1 phía dày vô hạn
Bài toán dẫn nhiệt không ổn định của vật thể có một phía dày vô hạn cũng đợc mô tả bởi phơng trình vi phân dẫn nhiệt không ổn định một chiều:
2
2
x
t a
τ
t
Bằng cách đổi biến kép η x.(4a ) 1/2
, để chuyển phơng trình vi phân đạo hàm riêng (5) thành phơng trình vi phân thờng:
dt d
t d
2 2
2
Từ đó giải ra nghiệm :
0
2
( 2 )
Tích phân (7) gọi là tích phân sai số Gauss, η là biến số giả.
Nhận xét
Các bài toán trên đều đợc mô tả bởi phơng trình vi phân dẫn nhiệt Phơng pháp giải tích chỉ có thể giải các bài toán khi các điều kiện biên là không đổi:
+ Bài toán quy tụ, điều kiện là môi trờng có nhiệt độ không đổi, hệ số toả nhiệt tại mặt ngoài lớn hơn rất nhiều hệ số dẫn nhiệt trong vật
+ Bài toán gia nhiệt tấm phẳng rộng vô hạn, có điều kiện biên loại 3 là nhiệt độ môi tr ờng không đổi
Trang 3+ Bài toán dẫn nhiệt vật thể có 1 phía dày vô hạn, có các điều kiện biên loại 1, loại 2, loại
3 đều là không đổi
Các kết quả trên không thể áp dụng cho bài toán định khảo sát là sự thay đổi nhiệt độ trong vật thể có kích thớc hữu hạn Vì vậy, đối với các bài toán dẫn nhiệt không ổn định 1 chiều: xác định nhiệt độ của tuờng phòng lạnh, của lớp áo đờng nhựa, mặt đờng bêtông xi măng dới tác động của bức xạ mặt trời và nhiệt độ không khí thay đổi theo thời gian trong ngày, trong năm hoặc khảo sát sự biến thiên nhiệt độ của sản phẩm đông lạnh, sản phẩm nung (gốm, gạch) Để giải các bài toán này ta sử dụng phơng pháp sai phân hữu hạn
2 Phơng pháp sai phân hữu hạn
Bản chất của phơng pháp sai phân hữu hạn (SPHH) là thay phơng trình vi phân dẫn nhiệt bằng phơng trình sai phân Phơng pháp SPHH là cơ sở để xây dựng chơng trình tính toán trên máy Khi dùng phơng pháp SPHH thì phơng trình vi phân dẫn nhiệt là không ổn định, một chiều và không có nguồn nhiệt bên trong
2.1 Phơng pháp cân bằng năng lợng phân tử
Xét tấm phẳng rất rộng có bề dày δ, hệ số dẫn nhiệt λ và nhiệt dung riêng c không thay
đổi Biết phân bố nhiệt độ ban đầu của tấm thay đổi theo hớng bề dày tấm, gọi là hớng x Mặt trên của tấm tiếp xúc với không khí có nhng nhiệt độ thay đổi theo thời gian tK = g(τ), mặt phía dới tiếp xúc với vật liệu có hệ số dẫn nhiệt và nhiệt độ không đổi là λN, tN Do dòng nhiệt truyền chủ yếu theo chiều sâu nên nhiệt độ chỉ thay đổi theo hớng x
Lợng nhiệt phần tử nhận đợc sau một khoảng thời gian bằng biến thiên năng lợng của phần
tử trong thời gian đó Chia bề dày tấm thành n khoảng đều nhau, mỗi khoảng dày x =
n δ
bởi các mặt giới hạn ký hiệu i = 1, 2, 3,…, n Chúng ta cần phải xác định nhiệt độ tại các mặt này, ký hiệu: t1, t2, t3,…, tn Các phần tử đợc chọn để tính toán các nhiệt độ trên là tấm phẳng rộng có diện tích bề mặt 1 m x 1 m, bề dày x/2 tại các mặt trên cùng và dới cùng, bề dày
x tại các lớp bên trong của tấm Thứ tự phần tử là i = 1, 2, 3,…, n Bớc thời gian chọn là
Δτ với chỉ số chạy m = 1, 2, 3…
Trang 4k m+1
t
2 m+1
Phần tử 1 Phần tử 2
Hình 1 Chia khoảng và chọn phần tử tính toán trong tấm phẳng Phơng trình cân bằng nhiệt của các phần tử:
Xét các phần tử tại thời điểm (m+1):
Phần tử 1: dày x/2, lợng nhiệt nhận đợc sau thời gian Δτ do toả nhiệt với không khí q0:
q0 = ( tK m+1 - t1 m+1) Δτ, (8)
Hình 2 Cân bằng năng lợng tại phần tử 1
Mặt dới nhận dòng nhiệt q2 từ phần tử 2: q2 =
Δx
λ
.( t2m+1 - t1m+1 ) Δτ, (9)
Lợng nhiệt nhận đợc làm tăng nội năng của phần tử:
2
Δx ρ
c1 1 (t1m+1 - t1 m) , (10) Theo định luật bảo toàn năng lợng ta có:
( tK m+1 - t1 m+1) Δτ +
Δx
λ
.( t2m+1 - t1m+1 ) Δτ =
2 ρ
c x (t1m+1 - t1 m), (11)
Phần tử 2: mặt trên nhận nhiệt q1 do dẫn nhiệt từ phần tử 1, mặt dới nhận nhiệt q3 do phần
tử 3 truyền lên
x
phần tử 1
phần tử 2
phần tử 3
phần tử n - 1
phần tử na
phần tử nb
phần tử 4
đến (n –
2)
mặt 1, t
1
mặt 2, t
2
mặt 3, t
3
mặt 4 đến (n – 2)
mặt n, t
n
mặt n – 1, t
n-1
Vật liệu 1
Vật liệu 2
tN = const
Trang 5phần tử 1
phần tử 3 phần tử 2
t
1 m+1
t
2 m+1
t
3 m+1
q
1 = (t
1
m+1 – t
2 m+1)
q
3 = (t
1
m+1 – t
2 m+1)
Hình 3 Cân bằng năng lợng tại phần tử 2
Tơng tự ta có:
Δx
λ
( t1m+1 – t2 m+1) Δτ +
Δx
λ
.( t3m+1 – t2m+1 ) Δτ = c x.(t2m+1 – t2 m), (12) Tơng tự nh trên, từ phần tử 3 đến phần tử (n – 1) ta có:
Δx
λ
( ti - 1m+1 – ti m+1) Δτ +
Δx
λ
.( ti + 1m+1 – t2m+1 ) Δτ = c x.(tim+1 – ti m), (13) Phần tử n gồm 2 phần tử có bề dày x/2 làm bằng vật liệu khác nhau, mỗi phần tử tơng tự
nh phần tử 1 Phơng trình cân bằng nhiệt viết chung cho 2 phần tử này:
Δx
λ
( tn - 1m+1 – tn m+1) Δτ +
Δx
λN ( tNm+1 – tnm+1 ) Δτ = (
2
Δx ).
.ρ c c.ρ N N (tnm+1 – tn m), (14)
Đặt: Fo = a. / (x)2 ; Bi = x/ Sau khi biến đổi (11), (12), (13), (14) sẽ đợc :
( 1 + 2.Fo + 2Fo.Bi ) t1m +1 - 2.Fo t2m +1 = t1m + 2Fo.Bi.tK , (15)
- Fo.ti-1m +1 + ( 1+ 2Fo).tim +1 - Fo.ti +1m +1 = t1m, (16)
- 2 Fo tn – 1 m+1 + [ 2 Fo ( 1 +
λ
λN ) + 1 ] tnm +1 = tnm + 2 Fo
λ
λL
tN , (17)
Hệ phơng trình (15), (16), (17) gồm n phần tử bậc nhất, trong đó vế trái chứa các nhiệt độ
phải tìm ở thời điểm m +1 tại n vị trí, vế phải có nhiệt độ ở thời điểm m tại n vị trí, đại lợng
không khí và đại lợng khác đều đã biết
2.2 Phơng pháp ma trận nghịch đảo
Hệ phơng trình trên viết ở dạng chung nh sau:
a11t1m+1 + a12t2m+1 + a13t3m+1 + + a1ntnm+1 = C1m +1
a21t1m+1 + a22t2m+1 + a23t3m+1 + + a2ntnm+1 = C2m +1
Trang 6(18)
an1t1m+1 + an2 t2m+1 + an3t3m+1 + + anntnm+1 = Cnm +1
Trong đó :
+ aij : các hệ số nhiệt độ đợc xác định theo Fo , Bi , N , đã biết;
+ Cjm +1: hệ số tự do của mỗi phơng trình đợc xác định theo nhiệt độ tại thời điểm trớc; + tjm+1: các nhiệt độ phải tìm ở thời điểm sau (m+1)
Hệ (17) khi viết ở dạng véc tơ sẽ là:
[aij] [tjm+1] = [Cjm +1], (19)
Từ đó sẽ rút ra đợc :
[tjm+1] = [Cjm +1]* [aij] – 1, (20) Trong đó [aij] - 1: ma trận nghịch đảo của [aii]
3 Khảo sát sự thay đổi nhiệt độ của tấm bêtông bằng phơng pháp SPHH
3.1 Thông số ban đầu
a Khảo sát tấm bêtông mặt đờng
= 30 cm, L = 7,5m; = 1,265 W/m.độ; = 2200 kg/m3;
c = 1215 J/kg.độ; a = 4,73.10 -7 m2/s
Tấm bêtông đợc chia làm 12 lớp, mỗi lớp dày x = / 2 = 0,3/ 12 = 0,025m Chỉ số biểu thị mặt các lớp: 1, 2, 3, 4,… 12, 13 Với i =1 là mặt trên cùng, i = 13 là mặt dới cùng
b Thông số trạng thái của không khí
Nhiệt độ trung bình ngày đêm: tKTB = t d/ 24 = 28,8 0C; = 16.10 -6 m2/s; = 2,67 10- 2
W/m.độ, Pr = 0,7; Tốc độ gió trung bình mùa hè ω = 2,4 m/s
Phơng trình tiêu chuẩn toả nhiệt :
Nu = 0,032 Re0,8 hệ số toả nhiệt: = Nu /L = 7,89 W/m2.độ
c Nền đờng
Các tính chất nhiệt tơng tự nền đất phía dới: N = 0,52 W/m.độ; = 2050 kg/m3; c = 1840 J/kg.độ; a = 1,38.10 -7 m2/s
Nhiệt độ trong nền đất ở độ sâu có dao động tắt hẳn đợc xác định theo công thức: x = 1,6 (
.a,To )0,5 , với To chu kỳ dao động
Vậy độ sâu nền đất có nhiệt độ 28,8 0C là: x = 1,6 ( 0,138 10-6 24.360 )0,5 = 0,3095m Chọn độ sâu nền đất x0 = 0,325 m , có nhiệt độ nền đất : t N = 28,8 0C = const
d Điều kiện ban đầu
Do đặc điểm của (20) là có tính liên hoàn và điều kiện biên lập lại theo chu kỳ nên có thể chọn nhiệt độ ban đầu một giá trị tuỳ ý Chọn nhiệt độ ban đầu (m = 0) của toàn bộ tấm bêtông là 28,80C: tim = 0 = t1 = t2 = t3 = = t120 = t130 = 28,8 0C
Chọn bớc thời gian khảo sát = 1h = 3600s Thay các giá trị trên vào các đại lợng trong
hệ số của nhiệt độ sẽ đợc :
+ Bi = .x/ = 7,890,025/1,265 = 0,15
+ Fo = a /(x)2 = 4,73.10-7.3600/(0,025)2 = 2,725
+ N/ = 0,041; tN = 28,8 0C
3.2 Thành lập phơng trình nhiệt độ
a Phơng trình nhiệt độ tại mặt trên
Thay giá trị từ b, d (3.1) từ trên vào (15) ta có :
Trang 78,085 t1m +1 - 5,45 t2m +1 = t1m + 1,635 tKm +1, (21)
b.Phơng trình nhiệt độ tại các điểm trong tấm bêtông
Thay các giá trị từ d (3.1) vào (16) ta có:
- 2,725 ti-1m +1 + 6,45 tim +1 - 2,725.tm +1 = tim +1 , (22)
c Phơng trình nhiệt độ tại mặt dới
Thay giá trị các đại lợng từ c, d (3.1) vào (17) ta có:
- 5,45 t12m +1 + 8,69 t13m +1 = t13m + 64,51, (23)
3 3 Hệ phơng trình nhiệt độ , các ma trận tại mỗi thời điểm :
Thành phần 1,635 tKm +1 của ma trận cột hệ số ở các thời điểm trong ngàythể hiện bảng1 Chọn thời điểm m = 0 là lúc nhiệt độ không khí bằng nhiệt độ trung bình ngày 28,80C vào
20 h Khi đó : ti1 =28,80C ( i = 1, 2, 3 ,13) Ma trận cột hệ số Ci1 có giá trị thể hiện bảng 2 [tj1] = I * [Cj1], (24)
Từ các giá trị [tj1] đã nhận đợc , tính ra [Cj2] :
t1 + 46,43
t2
[Cj2] = t3
t131+ 64,51
Từ đó sẽ tính [tj2] :
[tj2] = I *[Cj2], (25) Nhiệt độ tại các thời điểm sau tiếp tục đợc xác định bởi :
[tjm +1] = I * [Cjm +1], (26) Quá trình tính toán đợc tiến hành cho tới khi nào các giá trị của [tim] trong vòng một chu
kỳ (tức m thay đổi 24 bớc) lại lập lại giá trị cũ thì sẽ dừng
Bảng 1
ngày tKK I I. / tK
m +1 1,635 tKm +1
Trang 816 40 64 88 12 30,70 930,4 76,65 107,35 175,52
Bảng 2
C1 C1 = t1 + 1,635 tK1 = 28,8 + 46,43
C2 C2 = t2 = 28,8
Ci1 = C3 = C3 = t3 = 28,8
C131 C131= t130 + 64 51 = 28,8 + 64 51
Từ (21): 8,085.t1 - 5,45 t2 + 0.t3 + = 28,8 + 46,43
Từ (22): - 2,725.t1 1 + 6,45 t2 - 2,725.t3 = 28,8
0.t1 - 2,725.t2 1 + 6,44 t3 - 2,725.t4 + 0.t5 + = 28,8
0.t1 + 0 t21 - 2,725.t3 1 + 6,45 t4 - 2,725.t5 = 28,8
0.t1 + 0.t2 + - 2,725.t11 1 + 6,45 t121 - 2,725.t131 = 28,8
Từ (23): 0.t1 + 0.t2 + - 5,45 t12m +1 + 8,69 t13m +1 = 28,8 + 64,51
Các hệ số của nhiệt độ đợc xếp thành một ma trận vuông [aij] thể hiện bảng 3
Từ đó tính đợc nhiệt độ tại thời điểm 1 với m = 0 :
Bảng 3
3.5 Phân tích kết quả tính toán :
Kết quả tính toán nhiệt độ tấm bêtông tại 106 thời điểm thể hiện qua bảng phần phụ lục Qua đó ta thấy nhiệt độ tại các điểm trong bêtông dần hội tụ tới giá trị cố định
a Thay đổi nhiệt độ tại mặt trên tấm bê tông
Giá trị nhiệt độ tại bề mặt trên ( i = 1) theo 105 thời điểm ( từ m = 0 đến m = 104) biểu thị trên đồ thị sẽ đợc quy luật thay đổi nhiệt độ tại bề mặt tấm bêtông nh hình 4
Trang 9
Hình 4.Thay đổi nhiệt độ tại mặt trên tấm bêtông sau 105 thời điểm
Từ đồ thị hình 4 rút ra nhận xét sau :
+ Thay đổi nhiệt độ tại mặt trên cùng của tấm bê tông là hàm chu kỳ, nh ng rõ ràng không phải là hàm tuần hoàn, nghĩa là không thể biểu thị bởi hàm số sin của thời gian ;
+ Nhiệt độ tại mỗi điểm ở cùng thời điểm tơng ứng trong chu kỳ tăng dần tới giá trị ổn
định;
+ Dạng dao động của nhiệt độ nh nhau trong mỗi chu kỳ
+ Chu kỳ cuối tức sau bốn ngày giá trị nhiệt độ sẽ đợc lập lại theo cùng một quy luật
b Thay đổi nhiệt độ tại mặt trên trong hai chu kỳ cuối
Biểu thị các giá trị nhiệt độ tại hai chu kỳ có cùng thời điểm tơng ứng trong chu kỳ, thấy rằng chúng trùng nhau (hình 5)
Từ đồ thị hình 5 rút ra nhận xét:
+ Từ chu kỳ thứ 3 trở đi, thay đổi nhiệt độ trong tấm bêtông tuân theo một quy luật nhất
định Tuy nhiên để bảo đảm chắc chắn chúng tôi chọn chu kỳ thứ t là chu kỳ điển hình đặc
tr-ng cho thay nhiệt độ trotr-ng tr-ngày của tấm bêtôtr-ng;
+ Thay đổi nhiệt độ theo thời gian trong ngày tại mặt trên cùng là hàm tuần hoàn không phải
là hàm điều hoà nghĩa là không thể biểu diễn bởi hàm sin đơn thuần
Hình 5 Thay đổi nhiệt độ tại mặt trên tấm bêtông 2 chu kỳ cuối.
c Thay đổi nhiệt độ tại mặt dới cùng
Lấy giá trị nhiệt độ tại mặt dới cùng ( i = 13) biểu thị trên đồ thị hình 6 sẽ đợc dạng dao
động nhiệt độ nh hình 6
Từ hình đồ thị 6 rút ra nhận xét:
+ Nhiệt độ mặt dới cùng lúc đầu tăng nhanh sau chậm lại tới giá trị ổn định ở cùng thời gian tơng ứng trong một chu kỳ cố định;
Trang 10+ Dạng dao động nhiệt độ sau hai chu kỳ đầu tiến dần tới dạng dao động điều hoà;
+ ở các chu kỳ sau nhiệt độ thay đổi theo dạng dao động điều hoà;
+ Chu kỳ thứ 4 trở đi, nhiệt độ thay đổi theo cùng một quy luật
Từ nhận xét a và b thấy chu kỳ thay đổi nhiệt thứ 4 đại diện cho quy luật thay đổi nhiệt độ của tấm bêtông trong ngày Bởi vậy cần khảo sát kỹ ở chu kỳ này
Hình 6 Thay đổi nhiệt độ tại mặt dới cùng sau 105 thời điểm
d Thay đổi nhiệt độ tại các lớp trong một chu kỳ điển hình:
Biểu thị các trị số nhiệt độ trong tấm bêtông tại 5 mặt có thứ tự i = 1; i = 4; i = 7; i = 10; i
=13 cùng thời điểm tơng ứng trong một chu kỳ ngày đêm từ thời điểm m = 80 đến m =104 trên đồ thị nh sau, hình 7
Từ đồ thị hình 7 rút ra nhận xét:
+ Biên độ dao động nhiệt độ của các lớp trong tấm bêtông giảm dần từ mặt trên cùng đến mặt dới cùng;
+ Thời điểm đạt trị số nhiệt độ cực đại chậm dần từ mặt trên cùng qua các lớp giữa, đến mặt dới cùng nhiệt độ đạt cực đại muộn nhất;
+ Dạng dao động của nhiệt độ tại mặt trên không phải hình sin, nhng càng vào sâu trong tấm bêtông, dạng dao động nhiệt độ càng tiến tới hình sin
