Ebook bài tập điều khiển tự động phần 2 nguyễn công phương, trương ngọc tuấn

Chương CÁC HỆ CĨ CÁC THƠNG s ố BIÊN Đ ổ l 8.1 XÂY D Ự N G C Á C QUÁ TR ÌN H C H U Y ỂN t i ế p 319 Hãy xác định hàm khối lượng hệ mà chuyển động mơ tả phương trình vi phân; a o ^ + ía í + btỊx-rCt) ( 1) a^, = s, aị’ = 0,5 b = 0,2 s '‘, tới đầu vào hàm ỗ nhấtf(t) = ô(t - 9) thời điểm t = ỡ, Đ iều kiện ban đầu X = t = Bài giải, biểu thức (1) ta thay f(t) = ô(t - ỡ) chia dx a " + b (t) dt a(, — H tấtcả số hạng cho a, _ Ơ (t-ơ ) (2) X— a() hay: ^ + P(t)x = Q(t) dt (3) Tiếp theo ta tìm được: S (t)= j p ( , ) < i , = j ỉ Ị - í ^ d t 9 ^0 a() 2a„ Hàm khối lượng: c o (t- = s = e ao -a(i-â)-P(i^-9^) +a(i-9)+P(i^-9‘ )dt ^0 Khi tính tốn khoảng cuối cần sử dụng tích biết hàm ô: ”s ( t - ỡ ) f ( t ) d t = f(ở) o Khi từ cơng thức (4) ta có: 222 c o (t-& ,9 ) = — (5) Thế giá trị số cho: (6 ) 320 Đối với hàm khối lượng trước xây dựng đồ thị: 1) Hàm khối lượng tiêu chuẩn s = s dạng co(t - 9, &) dạng co(T, ô ), T = t - & 2) Hàm khối lượng liên hợp t = s, dạng co(t - , S), có nghĩa phụ thuộc vào độ dịch chuyển ô dạng co(9, t - ), = t - & - dịch chuyển đảo chiểu Đ p số: 1) Hàm khối lượng tiêu chuẩn; co(t ô) = t > &= s Đ thị biểu diễn hình 188a Sự chuyển tới thời gian t = t - & cho; ỎT> Đ thị biểu diễn hình 188b a) b) c) d) H ình 188 C ác đồ thị cho 320 223 2) Hàm khối lư ợ n g liên hợp: C O (t- Ỡ S ) = ^ g O ,5 ( -5 ) + ,1 ^ -2 ) ô o Đ thị biểu diễn hình 188d 321 Bằng phương pháp gần ta xây dựng q trình chuyển tiếp hệ mơ tả phương trình vi phân: d^x ^ ^dx dt^ dl a o - ^ + a i ( t ) ^ + a 2X ^ g ( t ) ( 1) Khi tới đầu vào thời điểm t = & = s hàm tầng g(t) = g()l(t - ô) Cácgiá trị hệ số: ao =1 cúa s^, aj(t) = (0 ,9 + ,1 t) s, a.2 = ,1 go = 1,6 Các điều kiện banđầu Bài giải Ta xác định hệ số thay đổi phương trình vi phân (1) thời điểm t = ỡ = s kết ta có a](S ) = Hị’ + 0,1 = s Phương trình (1) viết dạng: d^x a o ^ + a , ( ô ) ^ + a2X = g ( x ) - ,lT:— d-c dx (2 ) dx Gần đẩu xác định từ phương trình vi phân: a o ^ - ^ + a | ( ỡ ) ^ + a 2X, = g o l(i:) dt^ dx (3) x = t- s Nếu sử dụng biến đổi Laplace, ta tìm biểu thức cùa đại lượng cần tìm: x,(p) = G(p) _ a (,p ^ + a ,(S )p + a2 1,6 1,6 p (p ^ + p + 0,16) _ 10 13,3 p(p + ,8)(p + 0,2 ) ~ pp + 0,2 3.3 p + 0,8 Chuyển vể dạng gốc (xem phụ lục ỉ) cho: Xi(-C) = 10(1 - 1.33e-‘’’^' + 0,33 Hiệu chỉnh X2(t) xác định kết giải phưcmg trình: a o ^ - ^ + a | ( S ) ^ + a2X2 = - , l t - ^ dt dx 224 (4) T h ế giá trị số c ủ a hệ số vào biểu thức (4) tìm theo g ần đún g bậc ta có: +^ dx2 (5) + 0,16X2 =0,027T(e""'*^" dx Biểu diễn hiệu chỉnh tìm được: 0,027 X(p) = p + p + 0,16 (p + ,8)^ ^ 0.027 (p + ,2)2 0,027 ( (p + ,8)-\p + ,2 ) (p + ,2 )'\p + 0,8) 6) Chuyển gốc thực được, sử dụng tích phân cuộn Vì ta viếi gốc biểu thức sau: p + 0,8 ^ • 2T == e p + 0,2 (p + ,8 ) = — (p + ,2 )' Tích phân cuộn: X2(^) = 0,027 ^ f i g - 0,2x, _ 0,027 ^ = 0,027 - ,0 »2 « ^ Tính tốn tích phân cho: X2 ( t ) = 0,075[e-'’’^^(T - 0,3t^) - + 0,3x^)1 Do đó, gần thứ hai cho: X( T) = X i ( T ) + X2 ( t ) = 10(1 - l,33e-"’^" + 0,33e-"'*^') + + 0,075[e-"'^"(t - 0,3i^) - + ,3 t^)] So sánh X2 ( t ) X |(t) tính tốn hiệu chỉnh sâu XpXx) khơng cấn thiết 322 Hàm truyền thông số hệ điều chỉnh kín có dạng: 225 d>(p, t) = -p + a + bt + ct (n Hãy xác định hàm truyển hệ thực tác dụng đầu vào g(t) = g l(t) B ài giải Biểu diễn giá trị đầu vào theo Laplace G(p) = ^ Biểu diễn đại lượng đầu bằng: ago Y(p, t) = (p , t) G(p) = ( 2) p(p + a + bt + ct ) Nếu biểu thức (2) xác định thời gian t = const, sở phụ lục ta tìm gốc ag() y(t) = I-e a + bt + ct^ 323 Bằng phương pháp đồ thị xây dựng trình chuyển tiếp hệ biểu diễn phương trình vi phân: a o (t)^ + a ,x -f i( t ) dt ( 1) Đổ thị thay đổi tác dụng đầu vào f)(t) biểu diễn hình 189a Đổ thị thay đổi hệ số ao(t) cho hình 189b Hệ số a = Giá trị ban đầu X = X = 1,5 t = b) aj H ình 189 Các dồ thị cho bải 323 B ải giải Tất đại lượng phương trình (1) chia cho ai, (2) T(t) — + x = f(t) dl đây: T(t) = a, 226 f(t) = f,(t) Khi giải phương trình (2) phương pháp đổ thị thời gian ‘ 'không đ ổ i” T(t) coi không đổi đoạn t, t + At T l + Ax At At Cơng thức để giải tron&; trường hợp có dạng; At -x (t) At At T t+ — y t+ (3) Quá trình xây dựng đưa vé dạng sau Trên hình 190 ta đạt f(t) T(t) Bước thời gian chọn At = 0,5 s Hình 190 ỵá y dựng Irinli clìuyển liểp cho hùi 323 Từ điểm E đường cong f(t), lấy đoạn thứ At, theo phương nằm ngang ta đặt đoạn EM = T , mà giá trị lấy toạ độ điếm H đường cong T(t), có nghĩa đoạn thứ At Điểm M thu nối đường thảng VỚI điểm đầu cho trình A kết ta thu điểm B đường cong cẩn tìm x(t) Tương tự ta lấy toạ độ điểm I, lấy dạng đoạn FN vạch đường thẳng NB, cho điểm c nghiệm x(t) 8.2 Đ Á N H GIÁ Đ ộ ỔN Đ ỊN H VÀ C H Ấ T LƯỢNG Đ lỂ U C H ỈN H 324 Hệ điều chỉnh mơ tả phương trình vi phân: d^v d^v dy a o ^ + a i ^ + a2( t ) ^ + a3y = bog(t) dt dt ( 1) 227 Các giá trị hệ số: a() = 0,1 s^, ] = 4,2 s^, 82(1) = (72 - ,lt ) s, = 00 b() = 400 Đánh giá gần độ ổn định hệ, thời gian làm việc T = 100 s B ài giải Ta nghiên cứu hệ có hệ số hãm t = t = T = 100 s Trong trường hợp phương trình đặc trưng tương ứng với phương trình vi phân gốc ( 1) là: 0,lp^ + 4,2p^ + 72p + 400 = (2) 0,lp^ + 4,2p^ + 62p + 400 = (3) Đ ối với phương trình (2) ta tìm nghiệm: p = 10 s"’, P2.3 = ( - ± j l2 ) s ‘ Đ ộ ổn định T| =1 Pi I = 10 s’’ Thời gian trình chuyển tiếp t w 3rỊ'' = 0,3 s Đ ối với phương trình (3) nghiệm bẳng p = - s"', P = ( - 8,8 ± j8,7) s"' Độ ôn định ĨI = 8,8 s ' \ Thời gian trình chuyển tiếp < ĩì‘’ = 0,34 s Sau thời gian trình chuyển tiếp hệ số a2(t) thay đổi tới giá trị Aa2 « 0,1.0,34 = 0,034, điểu gần 0,05% Do hệ xem giả ổn định Đánh giá ổn định theo hệ số hãm phương trình đặc trưng Nếu sử dụng tiêu chuẩn Gurvin, ta có; ^1^2( 1) > a()a3 Thế giá trị số cho 4,2 ( - , l t ) > Biểu thức cuối thực thời gian nằm khoảng < t < 100 s Do đó, hệ ổn định 325 Cho hàm khối lượng hệ giả tĩnh; co(t - ,ỡ ) = ỡ() = 20 s; a = s'^; t - thời gian trơi tính từ thời điểm mắc vào hệ; ô - thời điểm xảy bổ sung đầu vào Hãy xác định độ ổn định hê, Đ áp số: Hàm khối lượng tiêu chuẩn dao động tắt dần hệ ốn định giới hạn thời gian < t < &0 = 20 s Khi t > ỡ() nhiễu yếu đầu vào gây tăng vơ giới hạn đại lượng đẩu 326 Hàm truyền tham sơ' hệ kín có dạng: ( p , t ) = -^ p + a + bt + ct (1) a = 10 s ' \ b = 0,1 s'^ c = 0,01 s'^ Hãy xác định hệ sô' sai số C()(t), C|(t) C2 (t) B ài giải Ta tìm hàm truyền hệ kín sai số; ^(p, t) = - C)(p, t) = 228 - -y p + a + bt + ct (2 ) Nếu phân tích biểu thức cuối thành chuỗi theo mức độ tốn tử p, ta có: , ^ bt + ct^ Ox(p, t) - —-— - ap ap' + -— r - y - a + bt + ct (a + bt + ct ) (a + bt + ct )■ Từ xác định hệ số sai số; bt + ct^ _ a + bt + ct^ 10 + 0,lt + ,01t a 10 (a + bt + ct^)^ (10 + ,lt + ,01t^)^ C2( t ) _ 0,lt + 0,01t" a _ 10 ” (a + bt + ct^)-^ ~ ( + ,lt + 0,01t^)^ 327 Đ ối tượng điều chỉnh với cấu thừa hành mơ tả phương trình vi phân: d^y ( 1) dt y - đại lượng điều chỉnh, X = g - y sai số, g - tác dụng đầu vào, b() = 100 s'^ b, = ,1 s ' \ Nếu cho hệ giả ổn định, xác định thiết bị hiệu chỉnh cần thiết, để giới hạn thời gian làm việc hệ < t < 1000 s hệ kín có số dao động khơng vượt giá trị M = 1,5 Bài toán giải phương pháp hãm hệ số B i giải Hàm truyền hệ hở H ình 191 Đ.B.L cho 327 ban đẩu có hệ số hãm bằng: W „ ( P )= ^ = p p (2) Đ B.L đường thẳng có góc nghiêng - dB/dam(hình 191) Tần số sở Đ.B.L C0() = Vk Nếu sử dụng Đ B.L loại - - (xem phụ lục 19), ta thu hàm truyền hệ hở; W y,(p) = K (l + T ,p) P^(1 + T3P) Các số thời gian bằng: 229 „ _ I2 - í M cOo V M - ^ ^ T2(M -I)_ M+1 cOq V M (M -l) M-t-1 Hàm truyền khâu hiệu chỉnh biểu diễn dạng: w ,( p ,= ^ = w„(p) Ị ; i £ + T3 P Thế giá trị gốc cho quy luật yêu cầu thay đổi số thời gian; T = ^ I ^ pOO + OM T = i I ^ ^ V 10 + ,lt t = giá trị số thời gian T2 = 0,173 s T-, = 0,0346 s t = 1000 s, T2 = 0,123 s T , = 0,0 s 328 Hãy xác định hàm truyển đối tượng với cấu thừa hành theo số liêu toán trước phương pháp phản ứng hãm Bài giải 1) Sự hãm hàm khối lượng phương trình ( 1) tốn trước cần thiết đặt x(t) = 5(t - ỡ) Khi đó: — = f(b() (b o ++bb|t|t)5(t ) ( t ỡỡ)dt ) d t == bb() „ +Hb iỡ dt ( 1) y = coo(t - ỡ,&) = |(b(, + b |9 )d t (2 ) = (bo + b , Ô ) ( l - ) = ( b o + b i9)x Nếu biểu thức cuối xác định ô = ỠQ = const, ta tìm (0()(t) = (b{) + b]ơ())x Chuyển tới hàm truyền đối tượng cho: Wo(p) = L[(bo + biQ„)t] = p =4 p Hàm truyền trùng với biểu thức (2) thu 327 (3) Vì sử dụng hàm khối lượng hãm trường hợp cho khơng cho mẻ so với phương pháp hệ sô' hãm Sự hãm cùa hàm chuyển tiếp biểu thức (1) 327 ta đặt x(t) = (t - ỡ) Khi đó, đặt t - & = t , ta có: 230 , T b — = í[b() + b |( S + T)]'l(T)dt = b||T fb|f>T + - ^ dt / (4) T y = h„(t - & , & ) = I bf)T + b|&x + - ỉ ^ - lcÌT ov bf)T^ biƠT^ 2 b|T^ Nếu lấy độ dịch chuyển & = ơo = const, ta có hàm chuyển tiếp hãm h()(x) = ^ 0^ cooCt) = (b() + bj lượng hãm )t + — Hàm truyền đối tượng: Wo(p) = L (b() + b iô ( ) ) t + ( 6) T() = , có giới han từ 1000 s S() = tới 2000 s S q = 1000 s 231 32 M ật độ tiêu chuẩn xác suất có quy luật phân b'0't heo tiêỉu ch u ẩn ■) Các giá trị hàm (0(z) = ' V2 tc Bảng P.14 0,0 0,399 399 399 399 399 398 398 398 398 397 0,2 391 390 389 389 388 387 386 385 384 383 0,4 368 367 365 364 362 360 359 357 356 354 0,6 333 331 329 327 325 323 321 319 317 314 0,8 290 287 285 283 280 278 276 273 271 269 1,0 0,242 240 237 235 232 230 228 225 223 220 1.2 194 192 189 187 185 183 180 178 176 174 1.4 150 148 146 144 142 139 137 135 133 132 1,6 111 109 107 106 104 102 101 099 097 096 1,8 079 078 076 075 073 072 071 069 068 067 2,0 0,054 053 052 051 050 049 048 047 046 045 2,2 036 035 034 033 033 032 031 030 030 029 2,4 022 022 021 021 020 020 019 019 018 018 2,6 014 013 013 013 012 012 012 011 011 011 2,8 008 008 008 007 007 007 007 007 006 006 3,0 004 004 004 004 004 004 004 004 004 003 433 33 Mỏ hình hố phần tử sơ đồ cấu trúc hệ tiêu chuẩn khuếch đại chức Bảng P.15 TT Tên phần tử Hàm truyền phương Mẫu phần tử trình phần tử Bộ tổng ^n+l - ■ ^ o T ^ U , ÍĨR, > R, JL Bộ đảo „U -= -.-R^ oU„ , - - U , R R„ = R Ui Khâu không qn tính R, Khâu khơng k= R chu kỳ bậc W(p) = > Tp + T = RoC Khâu không W(p) = ĩịp^ chu kỳ bậc hai c + T |P + R 4R \i- R,R, ĩ > J_ Ơ7 R4R-)R3C |C-i T ,= ỵ < T, = Rr, R4R2R^C R 5R Ti > 2T2 434 Bảng P.I5 (tiếp theo) 'H ' Tên phần tử Hàm truyền phương Mẫu phần tử trình phần tử K hâu dao S đ t r ù n g v i SLT đ ố c h ọ n k h â u k h ô n g động c h u k ỳ b ậ c t h ứ h a i ( v ị t r í 5), C ũ n g x e m T -p- +2^Tp + hình 344, 345 k = R 4R R ,R , R, R R R 3C R 5R 6C ^ ỉ Bộ tích p h â n W (P) = p ( T p + I) q u n tính k(l + Tp) ■Ih -í”/ O'/ ± 10 > > R k = — — , T = R3C2 C R R ; K hâu quân bàng íT W (p)= - + k | —' > ± ::ị: R ,c T = R2C 435 Bảng P.I5 (tiếp theo) Hàm truyền phương TT Tên phần tử 11 Khâu vi phân k = R2C quán tính T = ( R | + R 2)C Mẫu phần tử trình phần tử k= W(p) = kp Tp+1 R 4R 3C R, T R 4R 2R 3C R 5R Chú thích: Khâu khơng chu kỳ bậc hai thu nhờ hai mơ hình nối tiếp khâu không chu kỳ bậc 436 h ìn h h ố đặc tính tĩnh phi tuyến khuếch dại chức nâng Bả Đặc tính tĩnh Sơ đồ mơ hình hố Phương trình hay biểu diễn đặc tính tĩnh giải tích đặc tính tĩnh Tuyến tính có giới - kU| , < hạn hay bão hồ I ■¥i ỵ u - U Uj > U2 = < k u , , - ^ < u , X" _ k= Ro rpoBp - ĩDnp r.T Ĩ4 « U2 = i R() = 00, TdoBP = Ĩ3 T4 « R| - T R, = Uj, kllĩ u, 50 u u < ữ 00 , R J Tonp' Bảng P.16 ( Phương trình hay biểu diẻn Sơ đồ mơ hình hố Đặc tính tĩnh giải tích đặc tính tĩnh đặc tính tĩnh - k ( U j - Ư )khi Tuyến tính có vùng Uj U2 =