Phần 2 là vasv bài tập về: Các quá trình ngẫu nhiên trong các hệ tuyến tính, các hệ có các thông số biến đổi, các hệ có trễ và với các thông số phân bố, lập các phương trình của các hệ không tuyến tính, các dao động cưỡng bức trong các hệ phi tuyến,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Chương CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN TRONG CÁC HỆ TUYẾN TÍNH 7.1 TÍNH TỐN CÁC HÀM HIỆU CHỈNH VÀ CÁC MẬT ĐỘ PHỔ 292 Hãy xác định hàm hiệu chỉnh R( t) mật độ phổ S(cú) đại lượng thay đổi theo quy luật dao động điểu hoà X = A sin(Pt + V|/) Hãy kiểm tra tích phân mật độ phổ theo tất tẩn số giá trị R(0) cho bình phương trung bình (ở trường cho phương sai) đại lượng nghiên cứu Biên độ A = 10 tần số góc p = s B ài giải Hàm tưcmg quan: R( t ) = lim fx(t)x(t + T)dt = 2T To = — Ja To sin(Pt + v|;)sin(Pt + PT: + vị/)dt = — cosP t ^ T = — T hế số liộu ban đầu cho R (t) = 50 cos 2x, R(0) = 50 Mật độ phổ tính sở tích phân Pourier: S(co) = j R(T)e~-'“^ = J — 00 -00 ^ cosPxdT 00 Ị c o s c o t c o s P tcìt -0 00 j[cos(cừ - P)t + cos(cừ + p)-c]dt 7tA -0 -[5 (C -P ) + Ô(CÙ+ P)] 5(0) - P) (0) + P) - hàm xung phân bố tần s ố (0 = p co = - p Tích phân mật độ phổ theo lồn tần số cho: 200 https://tieulun.hopto.org I Ạ^ — fS(ciừ)dco = — — 00 f[ô(a)-p ) + 5((ù + p;]doo -0 Các tích phân theo hàm xung đơn vị: J 5(0) - P)dco = -0 ’5(0) + p)d(0 - -ơ :' Vì kết ta thu được: +00 10 ' = 50 2n 293 Đối với q trình ngẫu nhiên tĩnh có phổ khơng đổi dải từ -co tới +0) (hình 176), tính giá trị trung bình (kỳ vọng tốn học), bình phương trung bình (mơmen bậc hai) phương sai, tìm biểu thức giải tích xây dựng đổ thị hàm tương quan B ài giải Giá trị trung bình đại lượng ngẫu nhiên khơng X = 0, mật độ phổ co = không chứa đặc điểm loại hàm xung (đelta - hàm số) Do phương sai bình phương trung bình đại lượng ngẫu nhiên: D = -x ^ = - độ lệch trung bình bình phương Tiếp theo ta tìm được; ĩ x '= D = 2n S(co)dcù = — » I Ndco = NAco -® n Ao) = 2co - dải tần số (iheo rađian giây) Biểu thức cuối viết dạng sau: x ^ - D = NAf Acù A f = — - dải tần số (theo hec) Giá tri ti bình phư:?ng trung bình đại lượng ngẫu -ũln nhiên; X = = V n VÃf úw Hình 176 P h ổ trắng dải H àn tương quan xác định tần s ố giới hạn sở tích phin Pourier: +00 co R(x) = — í S(co)e^“ Mco = — fS(co)coscoTdco 2" i hay: „ “? N R (t) = NcoscũTdcù = — sincOni: 7t TTt 201 https://tieulun.hopto.org Đồ thị hàm tương quan biểu diển hình 177 Giá trị hàm tương quan i: = bằng: N Nco R ( ) = lim — sincOnT = - ^ T-»() TIT 294 _ =D Tt Đ ối với toán trước xác định giá trị tiêu chuẩn mật độ phổ hàm tương quan R ( t) R (tì ĩữữi _ I I -0 ,6 -0 ,4 -0 ,2 H ình 177 Hàm tương quan cho b i 293 i I I _ 0,2 0,4 Q õ ĩ.s H ình 178 Hàm tương quan có dạng s ố mũ Đ áp số: Mật độ phổ tiêu chuẩn -co < co < Cú„ bằng; / , _ S(co) _ n _ ì ơ(co) = =_ =_ D A(ũ Af Hàm tương quan tiêu chuẩn D (x )= ^ Giá trị p ( t:) - sin CúnT CO„T D t = 0: T-»0 CO^T 295 kết xử lý biểu đồ dao động trình ngẫu nhiên tĩnh có kỳ vọng tốn học (giá trị trung bình) khơng ta thu biểu thức hàm tương quan: R ( t) = D = 100 - phương sai = s - thông số lắt dần Hàm tương quan đượcxây dựng hình 178 Hãy xác định mật độ phổ xây dựng đổ thị B i giải Mật độ phổ tìm theo tích phân Pourier +00 +C0 S(0) ) = J R(T)e-j“^dT = — 00 -C O Tích phân cuối để thuận tiện cần phân thành hai; -(^+jco)T S(w) = D -0 di 202 https://tieulun.hopto.org đây: T= - S{ÙJ) = ,2 s 0- Thế giá trị số cho 25- 40 S(co) = - + 0,04co' -â -4 i -2 o i_ w ,-ị Mật độ phổ xây dựng hình Hình 179 Mật độ p h ổ tương ứng 179 296 Hãy giải toán trước, với hàm tương quan hình 178 trình ngẫu nhiên tĩnh xem xét có giá trị trung bình (kỳ vọng tốn học) X = Hãy xây dựng đồ thị hàm tương quan mật độ phổ Đ p số: Bình phương trung bình đại lượng ngẫu nhiên: x ^ = D + x^ = 100 + 5^ = 125 Hàm tương quan: R ( t) = = 100 + 25 Mật độ phổ: -2 _ 2TD S((0) = 271X 5(co) + — + = 157Ơ(co) + 40 + 0,04® “ dây ô(co) - hàm xung Các đồ Hỉnh 180 Hàm tương quan thị xây dựng hình 180, 297 kết xử lý biểu đổ dao mật độ p h ổ cho 296 động q trình tĩnh ngẫu nhiên có kỳ vọng tốn học không ta thu biểu thức cho hàm tương quan: R ( t) = De cospT (1) D = 40 - phương sai; = 0,5 s - thông số dao động tắt dần (hệ số không điều chỉnh); p = s - tần số cộng hưởng Hàm số tương quan biểu diễn hình 181 Hãy tìm biểu thức giải tích xây dựng đồ thị mật độ phổ Đáp số: Mật độ phổ; 203 https://tieulun.hopto.org 1 h + ((3 -c o )2 |a2 + (p + co)2 S(co) = Sau giá trị số: 20 20 S(co) = + - 0,25 + ( - â r 0,25(2 + đ)^ thị mật độ phổ biểu diễn hình 182 Sm H ìn h 181, H àm tương quan có Hình 182 M ật độ p h ổ đ ộ t biến không điều chỉnh đột biến không điều chỉnh 298 Đ ể lấy gần công thức hàm tương quan theo số liệu ban đầu tốn trước ta đưa biểu thức xác hơn: R(x) = cosP t + —sinpi T Hãy tìm mật độ phổ trường hợp này: = 10 299 |3 -co p + cù j i + ( p - 0))2 H ^+(P + co)^_ -c o + cù 0,25 + ( - co)2 0,25 + ( + co)^ Quá trình ngẫu nhiên tĩnh đầu vào hệ theo dõi có dạng biểu diễn hình 183 Giá trị trung bình bình phương đại lượng xét X = Độ chốn trung bình đoạn X = const T = 10 s Hãy xác định hàm hiệu chỉnh mật độ phổ Hình 183 Tín hiệu đẩu vào điển hình theo dõi 204 https://tieulun.hopto.org B ài giải Hàm tương quan tìm theo biểu thức: R ( t ) - X^P| + x ^ ( 1) - bình phương trung bình; X - bình phương giá trị trung bình c ủ a đại lượng ngẫu nhi&n; p - xác suất tìm toạ độ nhân liên tiếp trình ngẫui n hiên khoảng X = const, có nghĩa xác suất khơng có thay đổi tốc độ đoạn thời gian T, p = xác suất lổn thay đổi tốc độ đoạn thời gian Bởi trình xem xét X = 0, p- T = D c n g thức (1) có dạng: R(x) = DP (2) Xác suất xuất thay đổi đại lượng ngẫu nhiên đoạn nhỏ thời gian A t thể lấy tỷlệ với giá trị A t — Xác suấtkhơng nhiên - có thay đổi đại lượng — Xác suất thayđổi giá trị trênkhoảng thời có ngẫu gian T tích xác suất: P’ = At 1- At (3) Y Xác suất cần tìm p tìm giới hạn biểu thức (3) Ax -> 0; p= lim 1- Ax At Aĩ->0 Bởi P( t) = P (-t), kết ta thu hàm tương quan dạng: R (T) = De~T Mật độ phổ: S (® )= jR(T)e‘ j“M x= l +coV ~00 I + lOOco' Hãy giải toán trước, biết đoạn X > X < luân phiên 300 thay đổi giá trị kèm theo thay đổi dấu Ũ Ề , s Hình 184 Đ thị q trình cho 300 ÍL Hỉnh 185 Tuần tự xung 205 https://tieulun.hopto.org Đ thị trình biểu diễn hình 184 Đ áp số: - 2R(x) = D e -0, 2I t I TD 40 + — 00 + 25CO- S(co) = 301 =4e Hãy xác định mật độ phổ xung động dương cách có bé rơng giống biên độ ngẫu nhiên (hình 185), số liệu ban đầu sau: chu kỳ theo dõi xung T = 0,1 s; bề rộng xung yT = 0,01 s, điều tương ứng với độ rỗng Y = 0,1; giá trị trung bình biên độ xung X = 20; giá trị bình phương trung bình biên độ xung v ? = x,k = B i giải Ta biểu diễn hàm x(t) dạng tổng thành phần chu kỳ x(t) cấu lạo từ trình tự xung c ó biên độ khơng đổi X (hình 186a) thành phần ngảu nhiên x (t), cấu tạo từ trình tự xung có biên độ ngẫu nhiên giá trị trung bình khơng (hình 186b) Thành phần chu kỳ phân tích thành chuỗi Pourier: j— ( 1) X i( t) = k = -c o đây, c - sơ' tổ hợp í,s a) C k1h — sinkTty k7i (2 ) [L Khi số liệu ban đầu vào đẳng thức: 6,4 U t,s bì sinO,314k Hình 186 Các trình tự Đ iểu cho giá trị sau biên độ dao xung thiết lập động điểu hoà: Ao = 2, A6=1, A i = 0,31 A i = 1,9, A = 0,73, A i = 0,39 Aịí = 0,46, A , = 0,43 A = 1,7, Ả9 = a Í = 0,42 A = 1,51, Aj() = 0, A = 1,27, A| A2 = ,8 , ,2 , A ,6 = 0,42 =0,17, Mật độ phổ thành phần chu kỳ (1) viết dạng (xem 292): 206 https://tieulun.hopto.org Ạ2 S(m) = n — 2nk ^ co T~ k=-00 (3) phổ vân kẻ Nó biểu diễn Sr/'Cù>J hình 187a, ngồi diện tích hàm xung n — theo quy ước dạng xung cuối theo chiều cao Giá trị biên độ dao động điều hoà a) (2 ) tìm sở biến đổi 11111, 11II*111 II111III■ ■111], _ -5 Ũ Ũ -\- ỉữũ ^ ổ0ữ ~ \- ổữỡ-A cư, -Ị- Pourier từ xung đơn có chiều cao X khoảng thời gian yT Biểu diễn Pourier xung bằng: F(j®) = Jxe^“ ‘dt = X Môđun biểu thức này: H ình 187 Các thành phần m ật độ p h ổ ooyT x s in —^ cho 301 Fi(jco) (4) Biên độ dao động điều hồ thứ K thu từ cơng thức (4) lấn số 0) tcR co = —— chia giá tri thu đươc cho chu kỳ theo dõi T: 2nk T T sinkTty k7i Biểu thức trùng với (2) Mật độ phổ cùa thành phần ngẫu nhiên tìm từ biểu thức tổng quát mật độ phổ đại lượng ngẫu nhiên, mà: S(co) = lim F(jcù) T()-^co 2Tf) Trong trường hợp cho biến thành biểu thức: S(co)= Ậ |F 2(jco)' F2(jco) biểu diễn Pourier cùa xung nhất, mà giá trị bình phương trung bình cùa = 'VX^ - x ^ Tương tự cơng thức (4) viết: 207 https://tieulun.hopto.org coyT — 2a s i n F2 (jOừ) (0 Suy ta tìm mật độ phổ thành phần ngẫu nhiên: , 2 sin —^ S2(co) = Tco (6) Thế giá trị sơ' cho; S2(C0) = 9000 sin ^ 0,005® CO' Phổ liên tục N ó biểu diễn hĩn h 187b Theo dạng tương tự phổ vân kẻ đường bao, giá trị mật độ phổ tỷ lệ bình phương mơdun biểu diẻn xung (4) 302 Mật độ phổ tốc độ tín hiệu đẩu vào hệ theo dõi (hình 183) biểu diễn dạng: 2TDo ( 1) 1+ c o V D q = bình phương trung bình tốc độ Mơmen tải trục thừa hành không đổi theo giá trị (M = Mh = const), cịn dấu thay đổi với thay đổi dấu tốc độ trục thừa hành Nếu cho dấu mômen thay đổi với dấu tốc độ đầu vào xác định hàm tương quan mômen tải S2(co) hàm tương quan tốc độ đầu vào mômen tải Si2(co) 821(0)) Nếu cho tốc độ đầu vào thay đổi theo quy luật phân bố tiêu chuẩn B ài giải Mật độ phổ mơmen tải thu từ mật độ phổ tốc độ tín hiệu đầu vào ( 1), thay bình phương trung bình tốc độ cho bình phương trung bình mơmen = Mh: S2(C0) = 2TMh + co-T^ Mật độ phổ tương hỗ tính theo hàm tương quan với xác định trung bình theo thời gian hay trung bình theo tập hợp: +T R ,2( t ) = lim — fn (t + T)M(t)dt = fì(t + T)M(t) T-»co T _ ị Xác suất tìm Q(t + T) M(t) tích phân (xem 299) bằng: p = eT 208 https://tieulun.hopto.org cịn xác suất tìm khoảng khác nhau: ItI p= -p = - e Khi x c đị nh t ố c đ ộ m ô m e n c c k h o ả n g k há c nhaư t r u ng b ì n h t h e o t íc h chúng Khi tìm Q M khoảng dấu mơmen dấu tốc độ,Tích tốc độ với mơmen ln ln dương Khi đó, vìgiá trị mơmen khơng đổi, mơmen đưa ngồi dấu trung bình: Q(t + x)M(t) = MH Q(t + t) = M h O , đây, - giá trị tốc độ trung bình theo mơmen Đ ối với phân bố tiêu chuẩn: = ^CK ^ = ,8Qck D o đó, có hàm tương quan lẫn nhau: _ỊtỊ ^ỊtỊ R i2(t) = M H n ,e T =0,8M H OcRe (2) Mật độ phổ tìm (như biểu diễn Poưrier) từ biểu thức (2): , T M hO c I.óTM h Q ck l + co T I + CỬ T Tương tự tìm R2i(x) = R i2(i:) S2i(cù) = S i2(w) 7.2 S ự ĐI QUA CỦA TÍN HIỆU NGẨU n h i ê n t ĩ n h q u a h ệ t u y ế n t í n h 303 Hệ theo dõi sau bao gồm tế bào quang điện, khuếch đại khơng qn tính, lọc (khâu không chu kỳ cùa bậc đẩu) cấu thừa hành dạng ẩm nghiệm hay dản động đo tốc độ (khâu tích phẫn lý tưởng) Nhiẽu đầu lế bào điện quaag có Ihể lấy dạng âm tạp trắng có độ phổ S(co) = N Chỉ ràng giá trị trung bình bình phương cứa sai số ngẫu nhiên hệ không phụ thuộc vào số thời gian lọc Bài giải H m truyền c ủ a hệ hở có dạng W(p) = —^ p(l + Tp) K [s''] - hệ sô' chất lượng theo tốc độ, T - số thời gian lọc Hàm truyền hệ kín bằng: + W(p) Tp^+p + K Mậí độ phổ sai số có dạng: S(co)= O(jco) S(co)= T(jco)' + jco + K 209 https://tieulun.hopto.org 32 M ật độ tiêu chuẩn xác suất có quy luật phân b'0't heo tiêỉu ch u ẩn ■) Các giá trị hàm (0(z) = ' V2 tc Bảng P.14 0,0 0,399 399 399 399 399 398 398 398 398 397 0,2 391 390 389 389 388 387 386 385 384 383 0,4 368 367 365 364 362 360 359 357 356 354 0,6 333 331 329 327 325 323 321 319 317 314 0,8 290 287 285 283 280 278 276 273 271 269 1,0 0,242 240 237 235 232 230 228 225 223 220 1.2 194 192 189 187 185 183 180 178 176 174 1.4 150 148 146 144 142 139 137 135 133 132 1,6 111 109 107 106 104 102 101 099 097 096 1,8 079 078 076 075 073 072 071 069 068 067 2,0 0,054 053 052 051 050 049 048 047 046 045 2,2 036 035 034 033 033 032 031 030 030 029 2,4 022 022 021 021 020 020 019 019 018 018 2,6 014 013 013 013 012 012 012 011 011 011 2,8 008 008 008 007 007 007 007 007 006 006 3,0 004 004 004 004 004 004 004 004 004 003 433 https://tieulun.hopto.org 33 Mỏ hình hố phần tử sơ đồ cấu trúc hệ tiêu chuẩn khuếch đại chức Bảng P.15 TT Tên phần tử Hàm truyền phương Mẫu phần tử trình phần tử Bộ tổng ^n+l - ■ ^ o T ^ U , ÍĨR, > R, JL Bộ đảo „U -= -.-R^ oU„ , - - U , R R„ = R Ui Khâu khơng qn tính R, Khâu khơng k= R chu kỳ bậc W(p) = > Tp + T = RoC Khâu không W(p) = ĩịp^ chu kỳ bậc hai c + T |P + R 4R \i- R,R, ĩ > J_ Ơ7 R4R-)R3C |C-i T ,= ỵ < T, = Rr, R4R2R^C R 5R Ti > 2T2 434 https://tieulun.hopto.org Bảng P.I5 (tiếp theo) 'H ' Tên phần tử Hàm truyền phương Mẫu phần tử trình phần tử K hâu dao S đ t r ù n g v i SLT đ ố c h ọ n k h â u k h ô n g động c h u k ỳ b ậ c t h ứ h a i ( v ị t r í 5), C ũ n g x e m T -p- +2^Tp + hình 344, 345 k = R 4R R ,R , R, R R R 3C R 5R 6C ^ ỉ Bộ tích p h â n W (P) = p ( T p + I) q u n tính k(l + Tp) ■Ih -í”/ O'/ ± 10 > > R k = — — , T = R3C2 C R R ; K hâu quân bàng íT W (p)= - + k | —' > ± ::ị: R ,c T = R2C 435 https://tieulun.hopto.org Bảng P.I5 (tiếp theo) Hàm truyền phương TT Tên phần tử 11 Khâu vi phân k = R2C quán tính T = ( R | + R 2)C Mẫu phần tử trình phần tử k= W(p) = kp Tp+1 R 4R 3C R, T R 4R 2R 3C R 5R Chú thích: Khâu khơng chu kỳ bậc hai thu nhờ hai mơ hình nối tiếp khâu khơng chu kỳ bậc 436 https://tieulun.hopto.org h ìn h h oá đặc tính tĩnh phi tuyến khuếch dại chức nâng Bả Đặc tính tĩnh Sơ đồ mơ hình hố Phương trình hay biểu diễn đặc tính tĩnh giải tích đặc tính tĩnh Tuyến tính có giới - kU| , < hạn hay bão hoà I u - U Uj > U2 = < ■¥i ỵ k u , , - ^ < u , X" _ k= Ro rpoBp - ĩDnp r.T Ĩ4 « U2 = i R, = Uj, kllĩ u, 50 u u < R() = 00, TdoBP = Ĩ3 T4 « R| ữ 00 , R J Tonp' - T https://tieulun.hopto.org Bảng P.16 ( Phương trình hay biểu diẻn Sơ đồ mơ hình hố Đặc tính tĩnh giải tích đặc tính tĩnh đặc tính tĩnh - k ( U j - Ư )khi Tuyến tính có vùng Uj S U 4, U2 =