Đồ họa máy tính chương 4 các phép biến hình

Các phép biến hìnhCác phép biến đổi hình học cơ sở bao gồm: - tịnh tiến /dời hình translation - quay rotation - tỷ lệ /vị tự / scaling Ví dụ: - một báo cáo viên muốn thu nhỏ các biểu đồ

Chương IV Các phép biến hình

Các phép biến đổi hình học cơ sở bao gồm:

- tịnh tiến /dời hình (translation)

- quay (rotation)

- tỷ lệ /vị tự / (scaling)

Ví dụ:

- một báo cáo viên muốn thu nhỏ các biểu đồ trong báo cáo

- một kiến trúc sư muốn nhìn tòa nhà ở những góc nhìn khác nhau

- nhà thiết kế muốn quan sát, tách rời và chỉnh sửa từng chi tiết của mẫu thiết kế

-

Có hai quan điểm về phép biến đổi hình học, có liên quan với nhau và đều có những lợi thế riêng:

- Biến đổi đối tượng (object transformation): tọa độ của từng điểm trên đối tượng được biến đổi theo công thức của phép biến hình, tạo ra ảnh của đổi tượng qua phép biến hình đó

- Biến đổi hệ tọa độ (coordinate transformation): tạo ra một hệ tọa độ mới, sau đó tất

cả các điểm của đối tượng sẽ được chuyển về hệ tọa độ đó

Phép biến hình affin

Ánh xạ

T: R2 Æ R2

P(x,y) ÆQ(x*,y*)

trong đó:

⎩

⎨

⎧

=

=

) , (

*

) , (

*

y x g y

y x f x

và f() và g() là hai hàm tuyến tính thì được gọi là phép biến hình Affin (affine) Ta chỉ khảo sát các phép biến hình loại này Phép biến hình affin có những tính chất sau:

- Bảo toàn đường thẳng: ảnh của đường thẳng qua phép biến hình affine là đường thẳng

- Bảo toàn tính song song của các đường thẳng: ảnh của các đường thẳng song song qua phép biến hình affine cũng là các đường thẳng song song

- Bảo toàn tỷ lệ về khoảng cách: giả sử C là điểm chia đoạn AB theo tỷ lệ x và

A’,B’,C’ lần lượt là ảnh của A,B,C qua một phép biến hình affin Khi đó C’ cũng chia đoạn A’B’ theo tỷ lệ x

4.1 Các phép biến hình phẳng

4.1.1 Các phép biến hình trong hệ tọa độ Decac

Phép tịnh tiến

Ảnh của phép tịnh tiến theo vector (a,b) của điểm P(x,y) là điểm Q(x*,y*)

⎩

⎨

⎧

+

=

+

=

b y y

a x x

*

* Vector tịnh tiến (a,b) còn gọi là “vector độ dời” Chúng ta có thể áp dụng quy tắc trên cho mọi điểm của đối tượng để dịch chuyển nó Đơn giản hơn, để tịnh tiến một đa giác chỉ cần

tịnh tiến các đỉnh của nó rồi vẽ lại đa giác mới Tương tự, đối với đường tròn, ellip ta tịnh tiến tâm của chúng tới vị trí mới rồi vẽ lại

Phép tỷ lệ

Làm thay đổi kích thước của đối tượng

⎩

⎨

⎧

=

=

y ty y

x tx x

.

*

.

*

trong đó ty, tx là hệ số co dãn theo trục tung và trục hoành Khi tx,ty nhỏ hơn 1, phép biến đổi sẽ thu nhỏ đối tượng Khi tx,ty lớn hơn 1, phép biến đổi sẽ phóng to đối tượng Khi tx=ty: ta gọi đó là phép đồng dạng (uniform scaling), nó bảo toàn tỷ lệ về kích thước của vật

thể

tx=ty=3

tx=3; ty=1

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

6

Phép tịnh tiến trong mặt phẳng

Phép tỷ lệ

Phép quay

Phép quay làm thay đổi hướng của đối tượng Để xác định phép quay, ta cần biết tâm quay

và góc quay Phép quay điểm P(x,y) quanh gốc tọa độ một góc α tạo thành điểm ảnh

Q(x*,y*) có công thức như sau:

⎩

⎨

⎧

+

=

−

=

α α

α α

cos sin

.

*

sin cos

.

*

y x

y

y x

x

4.1.2 Ma trận của phép biến hình

Nếu ta biểu diễn điểm P,Q dưới dạng vector dòng (x,y) (x*,y*) như trên thì ma trận của các phép biến hình như sau:

Phép tịnh tiến:

(x*,y*) = (x,y) + (a,b)

Q = P + T trong đó T = (a,b)

Phép tỷ lệ:

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

ty

tx y x y

x

0

0 ,

*

*,

Q = P×S trong đó S =⎜⎜⎝⎛tx0 ty0⎟⎟⎠⎞ là ma trận của phép đồng dạng

Phép quay quanh gốc tọa độ:

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

α α

α α

cos sin

sin cos

,

*

*,y x y x

Phép quay quanh một điểm

1800

hay Q=P×R trong đó ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

α α

α α cos sin

sin cos

R là ma trận của phép quay Tuy nhiên, cách biểu diễn trên sẽ gặp khó khăn khi kết hợp các phép biến đổi lại với nhau vì biểu diễn của phép tịnh tiến (cộng ma trận) khác với hai phép biến hình còn lại (nhân ma trận) Chẳng hạn, khi thiết kế một động cơ, ta muốn tháo riêng một chi tiết ra ngoài (tịnh tiến), xoay 1 góc (quay) rồi lắp vào chỗ cũ (tịnh tiến) Khi đó ta phải thực hiện 3 phép tính trên ma trận (+ × + ) Người ta đã tìm ra cách biểu diễn trong hệ tọa độ thuần nhất, nhờ đó rút gọn chuỗi biến đổi trên về chỉ một phép tính

4.1.3 Hệ tọa độ thuần nhất (homogeneous coordinates)

Tọa độ thuần nhất (đôi khi còn gọi là “đồng nhất”) của điểm (x,y) trên mặt phẳng được biểu

diễn bằng bộ ba (xh,yh,h) liên hệ với tọa độ (x,y) bởi công thức

h

y y h

x

x = h , = h

Nếu một điểm có tọa độ thuần nhất là (x,y,z) trong không gian Decac thì nó cũng có tọa độ thuần nhất là (x.h,y.h,z.h) trong đó h là số thực khác không bất kỳ Ngược lại điểm (x,y,z)

trong hệ tọa độ thuần nhất sẽ có tương ứng với điểm (x/z,y/z) trong hệ tọa độ Decac Tọa độ thuần nhất của một điểm trong không gian 3 chiều hay nhiều chiều cũng được xác định theo cách tương tự Để đơn giản hóa, người ta thường chọn h=1, lúc này điểm P(x,y) sẽ được biểu diễn dưới dạng tọa độ thuần nhất là (x,y,1)

4.1.4 Ma trận của các phép biến hình trong hệ tọa độ thuần nhất

Phép tịnh tiến:

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

×

=

1

0 1 0

0 0 1 1 , , 1

*,

*,

b a

y x y

x

Hay Q = P × T trong đó T là ma trận của phép tịnh tiến

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

1

0 1 0

0 0 1

b a T

Phép tỷ lệ:

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

×

=

1 0 0

0 0

0 0 1

, , 1

*,

tx y

x y

x

Hay Q = P × S trong đó S là ma trận của phép tỷ lệ

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

1 0 0

0 0

0 0

ty tx S

( ) ( )

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

×

=

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

1 , , 1

*,

α α

y x y

x

Hay Q = P × R trong đó R là ma trận của phép quay

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

α α

α α

R

4.1.5 Kết hợp các phép biến hình

Bất kỳ phép biến hình nào cũng được kết hợp từ phép tịnh tiến, tỷ lệ và quay

Khi áp dụng liên tiếp các phép biến hình trên đối tượng, ta phải thực hiện nhiều phép nhân với các ma trận tương ứng Thay vào đó, ta sẽ chuẩn bị sẵn ma trận tích và sử dụng như ma trận của phép biến hình tổng thể

Kết hợp các phép tịnh tiến

Ta thực hiện phép tịnh tiến T1 với vector tịnh tiến (a,b) lên điểm P(x,y) và thu được ảnh Q’, sau đó thực hiện tiếp phép tịnh tiến T2(c,d) đối với Q’ và thu được Q(x*,y*)

*)

*, ( )

' ,' ( ' )

,

Kết hợp của 2 hay nhiều phép tịnh tiến cho kết quả là phép tịnh tiến có ma trận là tổng các

ma trận hành phần:

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

+ +

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

×

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

+ +

=

1

0 1 0

0 0 1

1

0 1 0

0 0 1 1

0 1 0

0 0 1

) , ( ) , ( )

,

1

d b c a d

c b

a

d b c a T d c T b a T

Kết hợp các phép tỷ lệ

Tương tự như phép tịnh tiến, kết hợp của nhiều phép tỷ lệ là một phép tỷ lệ Giả sử ta kết hợp hai phép tỷ lệ sau: S = S1 S2 Ma trận kết hợp sẽ là

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

×

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

1 0 0

0 0

0 0 1

0 0

0 0

0 0 1

0 0

0 0

0 0

2 1

2 1 1

2 1

1

ty ty

tx tx ty

tx ty

tx

Kết hợp các phép quay

Tương tự như phép tịnh tiến, kết hợp của nhiều phép quay quanh gốc tọa độ cũng là một phép quay quanh gốc tọa độ Giả sử phép quay R1có góc quay là α1, phép quay R2 có góc quay α2, ma trận kết hợp của hai phép quay R1 R2 là

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

+ +

−

+ +

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

×

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 0

0

0 cos

sin

0 sin

cos 1

0 0

0 cos sin

0 sin cos

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

2 1 2

1

2 1 2

1 2

2

2 2

1 1

1 1

α α α

α

α α α

α α

α

α α

α α

α α

Phép quay với tâm quay bất kỳ

Phép quay quanh tâm quay A(x,y) góc quay α có thể phân tích thành các phép biến hình cơ

sở sau:

- Tịnh tiến theo vector (-x,-y) để đưa tâm quay về gốc tọa độ

- Quay quanh gốc tọa độ một góc α

- Tịnh tiến theo vector (x,y) để đưa đối tượng về chỗ cũ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

− +

− +

−

−

=

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

×

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

×

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

1 cos

1 sin sin

cos

1

0 cos

sin

0 sin

cos

1

0 1 0

0 0 1 1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

1

0 1 0

0 0 1

y x

y x

y x y

x

α α

α α

α α

α α

α α

α α

Phép đối xứng

Phép đối xứng trục có thể xem là phép quay 1800 quanh trục đối xứng Phép đối xứng qua trục hoành và trục tung có ma trận lần lượt là

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛−

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1 ,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Oy

M

Phép biến dạng

Là phép biến hình làm thay đổi tỷ lệ về kích thước, nói cách khác là làm méo mó đối tượng Hai phép biến dạng là:

- Phép biến dạng theo trục hoành làm thay đổi hoành độ còn tung độ giữ nguyên

- Phép biến dạng theo trục tung làm thay đổi tung độ còn hoành độ giữ nguyên

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

1 0 0

0 1 0

0 1

, 1 0 0

0 1

0 0

M t

Phép biến đổi ngược

Một ví dụ cho phép biến đổi ngược chính là thao tác Undo mà các phần mềm vẽ thiết kế

luôn có Giả sử phép biến hình M có ma trận như sau:

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

1 0 0

f e

d c

b a M

giả thiết ad-bc ≠ 0 Khi đó phép biến đổi ngược của M, ký hiệu là M-1, được biểu diễn như sau:

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

=

−

1 0

0 1

1

af be de cf

a c

b d

bc ad M

Gọi S (tx,ty) là phép đồng dạng, S-1 được biểu diễn như sau:

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

−

1 0 0

0

1 0

0 0 1 ,

1

ty

tx ty

tx S

Phép quay quanh gốc tọa độ R(α) có biến đổi ngược như sau:

1 0 0

0 cos

sin

0 sin cos

α

α

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

=

R

4.2 Các phép biến hình trong không gian 3 chiều

Hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng, ta cũng sử dụng các ma trận trong hệ tọa độ thuần nhất để biểu diễn các phép biến hình: tịnh tiến, quay và đồng dạng

Phép tịnh tiến

Ma trận của phép tịnh tiến T(a,b,c) là

(1,3) (3,3)

(3,1)

(10,3) (12,3)

Phép biến dạng theo trục Ox, hệ số biến dạng t =3

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 ) , , (

c b a

c b a T

Phép tỷ lệ

Ma trận của phép tỷ lệ S(a,b,c) là

⎟⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

1 0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0 0 )

, , (

c b

a c b a S

trong đó a,b,c là hệ số tỷ lệ tương ứng theo các trục tọa độ Ox,Oy,Oz

Phép quay

Nếu trong mặt phẳng ta có phép quay quanh một tâm quay thì trong không gian 3 chiều ta

có phép quay quanh một trục Ký hiệu ma trận của các phép quay quanh 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt là R(x,α), R(y,α), R(z,α) với α là góc quay Ta có

z

x

y y

x

z

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

=

⎟⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

1 0 0

0

0 cos sin

0

0 sin cos

0

0 0 0

1 ) , ( 1

0 0 0

0 cos 0 sin

0 0 1 0

0 sin 0

cos )

, (

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 cos sin

0 0 sin cos

) ,

(

α α

α α

α α

α

α α

α

α α

α α

α

x R y

R

z

R

Chú ý: vẫn như trước, góc quay α có giá trị đại số Chiều quay dương được xác định theo

quy tắc như sau:

z

x

y y

x

z

y

Phép quay quanh trục Oy Phép quay quanh trục Ox

Phép quay quanh trục Oz

- Quay quanh trục Ox: chiều quay dương là chiều quay từ trục y đến trục z

- Quay quanh trục Oy: chiều quay dương là chiều quay từ trục z đến trục x

- Quay quanh trục Oz: chiều quay dương là chiều quay từ trục x đến trục y

Nói cách khác, nếu đặt mắt nhìn thẳng vào trục tọa độ đi tới thì chiều quay dương là ngược chiều kim đồng hồ Hoặc có thể dùng quy tắc bàn tay phải: ngón cái chỉ chiều đi tới (vector pháp tuyến), bốn ngón khum lại chỉ chiều quay dương

z

x

y

x

y

z

+ +

Xác định chiều quay dương

&