Bài giảng đồ họa máy tính phép chiếu (projection)

Projection Phép chiếu Plane Projection • • Để hiển thị đối tượng 3D thiết bị hiển thị 2D Trong phép chiếu phẳng, điểm đối tượng – object point – chiếu mặt phẳng ảnh – picture plane (view plane), plane), điểm ảnh – picture point point u2 Picture plane r’ picture point r0 u1 u Projection line r object point Mặt phẳng chiếu Mặt phẳng chiếu có gốc r0 vectơ đơn vị u1 u2 Với điểm r’ mặt phẳng chiếu, ta có vectơ (r’ – r0 r0) phân tích theo vectơ đơn vị: r’ – r0 r0 = x’ u1 + y’ u2 Khi (x’, y’) tọa độ r’ mặt phẳng chiếu u2 r0 r’ y’u2 x’u1 u1 Plane Parallel Projection Phép chiếu song song • Các đường thẳng chiếu song song với u2 r’ r0 u u1 u Projection line r Plane Parallel Projection (cont) Mỗi điểm r chiếu song song theo phương u vào mặt phẳng chiếu, ta điểm ảnh r’: ∃ ! z’ : r’ = r – z’u r’ điểm ảnh nằm mặt phẳng chiếu: ∃ ! x’, y’ : r’ = r0 r0 + x’u1 x’u1 + y’u2 y’u2 Do đó: r – z’u = r0 r0 + x’u1 x’u1 + y’u2 y’u2 (1) u2 r z’u r0 r’ y’u2 x’u1 u1 Plane Parallel Projection Xác định z’ Xác định z’ cách nhân vô hướng vế (1) cho u1 u1 x u2 u2: (r – z’u) (u1 (u1 x u2 u2) = (r0 (r0 + x’u1 x’u1 + y’u2 y’u2) (u1 (u1 x u2 u2) z’u (u1 (u1 x u2 u2) = (r – r0 r0) (u1 (u1 x u2 u2) ( r − r0 ) ⋅ ( u1 × u2 ) ⇒ z' = u ⋅ ( u1 × u2 ) u2 r z’u r0 r’ y’u2 x’u1 u1 Vector Product – Tích hữu hướng a x b vectơ vuông góc với vectơ a b: Tính chất: i j k a × b = a1 a2 a3 b1 b2 b3 a × b = a b sin θ b × a = −a × b a × ( b + c) = a × b + a × c Mối liên tích vô hướng hữu hướng: ( λa ) × b = a × ( λ b ) = λ ( a × b ) i × j = k , j × k = i, k × i = j a ⋅ ( b × c) = b ⋅ ( c × a) = c ⋅ ( a × b) = − a ⋅ ( c × b ) = −b ⋅ ( a × c ) = −c ⋅ ( b × a ) a × ( b × c) = ( a ⋅ c)b − ( a ⋅ b) c Plane Parallel Projection Xác định x’, y’ Tương tự, xác xác định x’, y’ cách nhân vô hướng vế (1) cho u2 u2 x u u1x u : (r – z’u) (u2 (u2 x u) = (r0 (r0 + x’u1 x’u1 + y’u2 y’u2) (u2 (u2 x u) (r – z’u) (u1 (u1 x u) = (r0 (r0 + x’u1 x’u1 + y’u2 y’u2) (u1 (u1 x u) ( r − r0 ) ⋅ ( u2 × u ) ⇒ x' = u1 ⋅ ( u2 × u ) ( r − r0 ) ⋅ ( u1 × u ) y' = u ⋅ ( u1 × u ) u2 r z’u r0 r’ y’u2 x’u1 u1 Plane Parallel Projection Phép chiếu vuông góc Trong hầu hết trường hợp, mặt phẳng chiếu chọn vuông góc với đường thẳng chiếu, vậy: u = u1 u1 x u2 u2 Do đó,  ( r − r0 ) ⋅ ( u2 × u ) = ( r − r0 ) u1  x' = ( ) u ⋅ u × u  ( r − r0 ) ⋅ ( u1 × u )  = ( r − r0 ) u2  y' = u2 ⋅ ( u1 × u )   z ' = ( r − r0 ) ⋅ ( u1 × u2 ) = ( r − r ) u  u ⋅ ( u1 × u2 )  Plane Parallel Projection Phép chiếu vuông góc - Dạng ma trận  x' = ( r − r0 ) u1   y ' = ( r − r0 ) u2  z' = ( r − r )u   x'  u1T  y '  T u R' =   =   z'  uT      0 0 1   0  0  1 0 0 − x0   x  − y0   y  = ATR − z0   z     1  10 Plane Perspective Projection Phép chiếu phối cảnh Các đường thẳng chiếu hội tụ điểm chung rv rv, gọi điểm quan sát - eyepoint eyepoint Vật thể xa nhỏ u2 r r’ rv r0 u1 11 Plane Perspective Projection Xác định x’, y’, z’ Điểm ảnh r’ nằm mặt phẳng chiếu: ∃ ! x’, y’ : r’ = r0 r0 + x’ u1 u1 + y’ u2 u2 Điểm ảnh r’ thuộc đường thẳng chiếu nối đối tượng r điểm quan sát rv rv: ’ ∃ ! z’ : r’ = z’ r + (1-z ) rv rv Do đó, ’ r0 + x’ u1 u1 + y’ u2 u2 = z’ r + (1-z ) rv rv r0 – rv rv + x’ u1 u1 + y’ u2 u2 = z’ (r – rv rv) (2) u2 r r’ rv r0 y’u2 x’u1 u1 12 Plane Perspective Projection Xác định x’, y’, z’ Xác định x’, y’, z’ cách nhân vô hướng vế (2) cho u2 x (r-rv (r-rv), u1 x (r-rv (r-rv) u1 x u2 u2: ( rv − r0 ) ⋅ [ u2 × ( r − rv ) ] = ( r − rv ) ⋅ [ u2 × ( r0 − rv ) ] ( r − rv ) ⋅ [ u1 × u2 ] u1 ⋅ [ u2 × ( r − rv ) ] ( rv − r0 ) ⋅ [ u1 × ( r − rv ) ] ( r − rv ) ⋅ [ u1 × ( r0 − rv ) ] y' = = ( r − rv ) ⋅ [ u2 × u1 ] u2 ⋅ [ u1 × ( r − rv ) ] ( r0 − rv ) ⋅ ( u1 × u2 ) z' = ( r − rv ) ⋅ ( u1 × u2 ) x' = u2 r r’ rv r0 y’u2 x’u1 u1 13 Plane Perspective Projection Trường hợp đặc biệt − d ( r − r0 ) ⋅ u1 Khi đường nối điểm quan sát gốc mặt x' = phẳng chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu: ( r − r0 ) ⋅ u − d − d ( r − r0 ) ⋅ u2 y' = ( r − r0 ) ⋅ u − d rv = r0 r0 + d u với u = u1 u1 x u2 u2 −d z' = ( r − r0 ) ⋅ u − d u2 r r’ rv du r0 y’u2 x’u1 u1 14 Plane Perspective Projection Trường hợp đặc biệt (cont) − d ( r − r0 ) ⋅ u1 xd x' = = ( r − r0 ) ⋅ u − d d − z Khi mặt phẳng chiếu Oxy: • • • • r0 = (0,0,0) u1 = (1,0,0) u2 = (0,1,0) u = (0,0,1) y' = − d ( r − r0 ) ⋅ u2 yd = ( r − r0 ) ⋅ u − d d − z z' = −d zd = ( r − r0 ) ⋅ u − d d − z u2 r r’ rv du r0 y’u2 x’u1 u1 15 [...]...Plane Perspective Projection Phép chiếu phối cảnh Các đường thẳng chiếu hội tụ về một điểm chung rv rv, gọi là điểm quan sát - eyepoint eyepoint Vật thể càng xa thì càng nhỏ u2 r r’ rv r0 u1 11 Plane Perspective Projection Xác định x’, y’, z’ Điểm ảnh r’ nằm trên mặt phẳng chiếu: ∃ ! x’, y’ : r’ = r0 r0 + x’ u1 u1 + y’ u2 u2 Điểm ảnh r’ thuộc đường thẳng chiếu nối đối tượng r và điểm quan sát... điểm quan sát và gốc của mặt x' = phẳng chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu: ( r − r0 ) ⋅ u − d − d ( r − r0 ) ⋅ u2 y' = ( r − r0 ) ⋅ u − d rv = r0 r0 + d u với u = u1 u1 x u2 u2 −d z' = ( r − r0 ) ⋅ u − d u2 r r’ rv du r0 y’u2 x’u1 u1 14 Plane Perspective Projection Trường hợp đặc biệt (cont) − d ( r − r0 ) ⋅ u1 xd x' = = ( r − r0 ) ⋅ u − d d − z Khi mặt phẳng chiếu là Oxy: • • • • r0 = (0,0,0) u1 = ... = x’ u1 + y’ u2 Khi (x’, y’) tọa độ r’ mặt phẳng chiếu u2 r0 r’ y’u2 x’u1 u1 Plane Parallel Projection Phép chiếu song song • Các đường thẳng chiếu song song với u2 r’ r0 u u1 u Projection line... z’u r0 r’ y’u2 x’u1 u1 Plane Parallel Projection Phép chiếu vuông góc Trong hầu hết trường hợp, mặt phẳng chiếu chọn vuông góc với đường thẳng chiếu, vậy: u = u1 u1 x u2 u2 Do đó,  ( r − r0 )...Plane Projection • • Để hiển thị đối tượng 3D thiết bị hiển thị 2D Trong phép chiếu phẳng, điểm đối tượng – object point – chiếu mặt phẳng ảnh – picture plane (view plane), plane), điểm ảnh – picture