Phương pháp toán tử cho bài toán exciton hai chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ Eo0oD KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giáo viên hướng dẫn: ThS HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM Sinh viên thực hiện: TRƯƠNG MẠNH TUẤN Tp HỐ HỒ CHÍ MINH 05/2010 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Lời cảm ơn Trong trình thực hoàn thành khóa luận này, nỗ lực thân, nhận quan tâm giúp đỡ động viên quý thầy cô khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Tôi xin đựơc bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới ThS Hoàng Đỗ Ngọc Trầm giáo viên hướng dẫn luận văn – cô tận tình hướng dẫn, truyền thụ cho kiến thức bổ ích, kinh nghiệm quý báu để thực khóa luận này, đồng thời truyền cho lòng nhiệt tình nghiên cứu khoa học Tôi xin cảm ơn anh Lê Quý Giang , chị Nguyễn Thị Mận thành viên đề tài Nghiên cứu khoa học hướng dẫn, giúp đỡ việc lập trình với ngôn ngữ lập trình FORTRAN 77 Xin cảm ơn gia đình, người thân hỗ trợ tinh thần hoàn thành khóa luận Một lần xin chân thành cảm ơn Trương Mạnh Tuấn SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Luận văn tốt nghiệp MỞ ĐẦU Ngày với phát triển vũ bão khoa học kỹ thuật, hệ lượng tử xét đến ngày đa dạng, có nhiều toán chưa tìm lời giải, từ phát sinh nhu cầu xây dựng phát triển phương pháp giải toán học lượng tử - cụ thể giải phương trình Schrödinger Một phương pháp mạnh phổ biến kể đến phương pháp lý thuyết nhiễu loạn Ý tưởng lý thuyết nhiễu loạn tách Hamiltonian toán thành hai thành phần: phần xác định nghiệm xác, phần lại “nhiễu loạn” đóng góp vào kết thông qua bổ chính; điều kiện áp dụng thành phần “nhiễu loạn” phải nhỏ so với thành phần Đây hạn chế lớn phương pháp này, thực tế thành phần tách không đủ nhỏ để coi “nhiễu loạn” Như vậy, việc xây dựng phương pháp để giải toán phi nhiễu loạn cần thiết Phương pháp toán tử (Operator Method, viết tắt OM) xây dựng từ thập niên 80 kỉ trước Đây phương pháp mạnh cho dải rộng toán phi nhiễu loạn nêu [7] Ý tưởng OM [7] nằm bốn bước sau: (1) - Biểu diễn toán tử Hamiltonian qua toán tử sinh hủy: H ( x, p) → H (aˆ , aˆ + , ω ) ; (2) - Tách Hamiltonian thành phần trung hòa không trung hòa: H (aˆ , aˆ + , ω ) = H (aˆ + aˆ , ω ) + V (aˆ , aˆ + , ω ) ; (3) Chọn tham số ω cho H (aˆ + aˆ , ω ) thành phần Hamiltonian từ ta có nghiệm riêng H (aˆ + aˆ , ω ) lượng gần bậc không; (4)- Xem V (aˆ , aˆ + , ω ) thành phần nhiễu loạn tính bổ bậc cao theo sơ đồ thích hợp Qua nghiên cứu ứng dụng loạt toán cụ thể lý thuyết trường, chất rắn, vật lý nguyên tử… OM chứng tỏ tính ưu việt hiệu [7] Một số ưu điểm kể như: (1) - Đơn giản hóa việc tính toán yếu tố ma trận phức tạp, đưa phép biến đổi đại số Vì sử dụng chương trình tính toán biểu tượng Matlab, Mathematica để tự động hóa trình tính toán; SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  (2) - Cho phép xét hệ lượng tử với trường có cường độ Từ tìm giá trị lượng hàm sóng hệ toàn miền thay đổi tham số trường Một khó khăn chung áp dụng OM đa phần toán có toán tử Hamilton chứa biến động lực mẫu số trong dấu nên đơn chuyển sang biểu diễn toán tử sinh hủy gây khó khăn tính toán Để giải vấn đề này, công trình trước [3], [7] tác giả sử dụng mối liên hệ toán nguyên tử hydro toán dao động tử điều hòa thông qua phép biến đổi Levi-Civita giúp đưa phương trình dạng toán dao động tử phi hòa quen thuộc – cách giải “đẹp mắt” hình thức phát huy tác dụng số toán [7] Tuy nhiên, toán phức tạp hơn, việc xác định lượng cách gián tiếp gây số khó khăn tính toán, lập trình để tìm nghiệm Do đó, đề tài sử dụng phương pháp toán tử tìm lượng E cách trực tiếp cách sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa phần tọa độ khỏi mẫu số dấu Đây coi bước phát triển OM Với ý nghĩa đóng góp vào phát triển OM, luận văn áp dụng OM cho toán đơn giản, dễ dàng tìm nghiệm xác phương pháp giải tích để tiện đối chiếu, so sánh rút kết luận: toán exciton hai chiều, từ có sở để áp dụng cho toán phức tạp sau Tuy toán đơn giản toán quan tâm ý nghĩa thực tiễn [4], [8] Một khâu quan trọng sử dụng OM chọn giá trị tham số tự ω , việc chọn ω phù hợp tối ưu hóa tốc độ tính toán khảo sát hội tụ phương pháp theo tham số ω nhiệm vụ quan trọng Với mục tiêu tìm hiểu sâu số vấn đề học lượng tử bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, tác giả tự đặt cho nhiệm vụ sau: - Tìm hiểu lý thuyết nhiễu loạn, cụ thể nhiễu loạn dừng, tính lại sơ đồ xác định bổ lượng, hàm sóng, áp dụng cho toán phổ biến học lượng tử toán dao động tử phi điều hòa SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  - Tìm hiểu OM (sơ đồ tính toán, ưu điểm ) sở đối chiếu, so sánh với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc giải toán dao động tử phi điều hòa - Hoàn thiện kĩ tính toán: tính toán toán tử sinh hủy, biến đổi giải tích - Bước đầu làm quen với ngôn ngữ lập trình (FORTRAN 77, 90) - Đưa lời giải cho toán exciton hai chiều phương pháp toán tử, so sánh với kết thu lời giải giải tích - Khảo sát tính hội tụ phương pháp toán tử theo tham số ω Phương pháp nghiên cứu: - Sử dụng ngôn ngữ lập trình FORTRAN 77 để tìm nghiệm số - tính toán đại số để tìm biểu thức giải tích - Đối chiếu, so sánh kết số thu lời giải giải tích lời giải theo OM Bố cục luận văn tác giả chia làm chương: Chương 1: Giới thiệu phương pháp toán tử qua toán dao động tử phi điều hòa Tác giả giới thiệu OM thông qua ví dụ toán dao động tử phi điều hòa, đồng thời đối chiếu với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn truyền thống để thấy tính hiệu phương pháp Trước hết viết lại sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn Rayleigh-Schrödinger áp dụng cho toán nêu Sau tác giả đưa bước OM áp dụng cho toán Kết số cho thấy phương pháp nhiễu loạn áp dụng cho trường hợp tham số phi điều hòa λ < 0.1 phương pháp toán tử cho kết hội tụ nhanh nhiều lần cho giá trị tham số λ Chúng ta sử dụng phương pháp để giải vấn đề nêu luận văn Chương 2: Exciton – Bài toán exciton hai chiều SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Chương tác giả giới thiệu kiến thức exciton, thiết lập phương trình Schrödinger cho toán đưa lời giải giải tích Đây kiến thức nền, làm sở cho phần Chương 3: Bài toán exciton hai chiều Tác giả tiến hành áp dụng (OM) để giải toán exciton hai chiều Dùng chương trình FORTRAN 77 để giải phương trình truy toán, tìm số mức lượng exciton hai chiều, đồng thời khảo sát hội tụ tương ứng với mức lượng theo giá trị ω Phần kết luận: Việc áp dụng phép biến đổi Laplace OM giải hiệu toán exciton hai chiều Kết thu từ toán exciton hai chiều trường hợp mức lượng bản, trường hợp mức lượng kích thích hoàn toàn phù hợp với kết thu từ phương pháp giải tích Với việc khảo sát tham số ω toán, ta xác định giá trị ω đặc biệt trường hợp mức lượng kích thích Hướng phát triển tiếp đề tài là: tiếp tục khảo sát ω để tìm quy luật tối ưu hóa tốc độ tính toán, sử dụng sơ đồ khác để tính toán nghiệm xác Từ ứng dụng OM cho toán exciton âm exciton dương từ trường… SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Luận văn tốt nghiệp CHƯƠNG GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA Trong chương ta giới thiệu bước OM thông qua ví dụ toán dao động tử phi điều hòa Để minh họa ưu điểm phương pháp ta trình bày song song với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn [1], [2] so sánh kết số hai phương pháp 1.1 Sơ đồ Rayleigh- Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng Xét phương trình Schrödinger dừng: Hˆ Ψ ( x) = E Ψ ( x) , (1.1) ta tách toán tử Hamilton toán thành hai thành phần: Hˆ = Hˆ + β Vˆ ; (1.2) thành phần Hˆ toán tử Hamilton có nghiệm riêng xác: Hˆ 0ψ n = ε nψ n , (1.3) thành phần Vˆ lại gọi nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với Hˆ , Vˆ Bài toán có dạng chuyển động hố có mức lượng gián đoạn Ta sử dụng phương pháp nhiễu loạn đề cập để giải toán Trước hết ta chia toán tử Hamilton thành hai phần sau: Hˆ = Hˆ + Vˆ , với : d2 ˆ H0 = − + x , dx 2 Vˆ = λ x (1.13) Toán tử Hamilton gần Hˆ có nghiệm riêng xác hàm sóng dao động tử điều hòa: ⎛ x2 ⎝ ψ n = An exp ⎜ − ⎞ ⎟ Hn ( x) , ⎠ H n ( x ) = (−1) n e x với H n ( x ) đa thức Hermit: (1.14) d n − x2 e dx n Hàm sóng ứng với trị riêng lượng gần bậc không ε n = n + Các yếu tố ma trận toán tử Hˆ Vˆ ứng với hàm số (1.14) tính sau: H nn = n + Vn , n + = λ SVTH: Trương Mạnh Tuấn (n + 4)(n + 3)( n + 2)(n + 1) , Vn , n + = λ (2n + 3) ( n + 2)(n + 1) , Trang GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Luận văn tốt nghiệp ( k , m = Ckm [( aˆ + ) + (bˆ + ) ]k aˆ + ± ibˆ + ) m Xét: ( ) = ( Mˆ ) aˆ + ⎡⎣⎢aˆ, ( Mˆ ) ⎤⎦⎥ = ( Mˆ ) aˆ + ⎡⎣ aˆ, ( Mˆ )⎤⎦ ( Mˆ ) + Mˆ ⎡⎣⎢ aˆ, ( Mˆ ) ⎤⎦⎥ = ( Mˆ ) aˆ + ⎡ aˆ , ( Mˆ ) ⎤ ( Mˆ ) + Mˆ ⎡ aˆ , ( Mˆ ) ⎤ ( Mˆ ) + ( Mˆ ) ⎡ aˆ , ( Mˆ ) ⎤ ( Mˆ ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ˆ ˆ ⎡ aˆ , M ⎤ = aˆ , ( aˆ ) + aˆ , ( b ) = 2aˆ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ aˆ Mˆ + k k + + + + k ( ) ⎤⎦⎥ = → aˆ ( Mˆ ) = ( Mˆ ) = ( Mˆ ) k + k + k + k + + + + k −1 + k −2 + + k −1 + + k −3 ( ) + + Mˆ + k −1 ( ) ⎡ aˆ , Mˆ + ⎤ ⎣ ⎦ + ( ) aˆ + 2k ( Mˆ ) aˆ + 2aˆ + Mˆ + + + k −1 + + k + + + ⎡ aˆ + , Mˆ + ⎣⎢ k k −1 k −1 ( ) + + Mˆ + k −1 2aˆ + aˆ + Tính toán tử sau: ( ) aˆ Mˆ + {( k = aˆ Mˆ + ) ( ) aˆ = Mˆ + k ( ) = ( Mˆ ) bˆ bˆ Mˆ + k + k k ( ) + 4k ( Mˆ ) aˆ + 2k Mˆ + k −1 + ( ) + 4k Mˆ + k −1 aˆ + } ( ) aˆ + aˆ + 2k Mˆ + ( ) k −1 bˆ +bˆ + 2k Mˆ + k −1 ( ) ( aˆ ) k −1 + 4k ( k − 1) Mˆ + k −2 + ; ( ) ( bˆ ) ; k −2 + 4k (k − 1) Mˆ + + ( ) = ( Mˆ ) ( aˆ + bˆ ) + 4k ( Mˆ ) ( aˆ aˆ + bˆ bˆ + 1) + 4k (k − 1) ( Mˆ ) ⎡⎢⎣( aˆ ) + (bˆ ) ⎤⎥⎦ = ( Mˆ ) Mˆ + 2k ( Mˆ ) Nˆ + 4k (k − 1) ( Mˆ ) ; → Mˆ Mˆ + k k + + k k −1 + + + k −1 k + ( ) = ( Mˆ ) aˆ + aˆ Mˆ + k + ( ) = ( Mˆ ) bˆ + bˆ Mˆ + ( ) Nˆ Mˆ + k ( k + k + k −1 + k −2 + + ( aˆ ± ibˆ ) ( Mˆ ) = ( Mˆ ) ( aˆ ± ibˆ ) + 2k ( Mˆ ) ( aˆ + + + + k −1 ) ± ibˆ + ; ( ) ( aˆ ) ; k aˆ + aˆ + 2k Mˆ + k bˆ + bˆ + 2k Mˆ + k −1 + ( ) (bˆ ) ; )( ) = aˆ + aˆ + bˆ + bˆ + Mˆ + k k −1 + ( ) ( aˆ aˆ + bˆ bˆ + 1) + 4k ( Mˆ ) = ( Mˆ ) = Mˆ + k + + + k + k ( ) Nˆ + 4k Mˆ + Tính SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 64 k GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Luận văn tốt nghiệp ( ) ( aˆ ± ibˆ ) = C ( Mˆ ) aˆ ( aˆ ± ibˆ ) + 2kC ( Mˆ ) = C aˆ ( Mˆ ) ( aˆ ± ibˆ ) = C ( Mˆ ) aˆ ( aˆ ± ibˆ ) aˆ k , m = Ckm aˆ Mˆ + aˆ + k , m k + m + + k + m + + km + k + + + k −1 km m + km k + + ( aˆ + aˆ + ± ibˆ+ ) m m + km ( ) ( aˆ Mˆ + k , m = Ckm Mˆ + Mˆ + ( ) Mˆ ( aˆ Mˆ k , m = Ckm Mˆ + k + k ± ibˆ+ + ) ± ibˆ + m ) m ( ) ( aˆ = Ckm Mˆ + ( ) + 2kCkm Mˆ + k −1 k +1 ( Nˆ aˆ + ± ibˆ+ ) + m ± ibˆ + ) m ( ) ( aˆ + 4k (k − 1)Ckm Mˆ + k −1 + ± ibˆ+ ) m 0, =0 = 4k ( k + m ) Ckm k − 1, m Ck −1,m Tính : C Mˆ j k , m = 4k ( k + m ) km Mˆ j −1 k − 1, m Ck −1, m = j k (k − 1)(k − 2) (k − j + 1)( m + k )( m + k − 1) ( m + k − j + 1) = 4j ( Ckm k − j, m Ck − j , m k !( m + k )! Ckm k − j, m (k − j )!( m + k − j )! Ck − j , m ) aˆ ∓ ibˆ k , m = Ckm {( Mˆ + = (k + m ) )( k )( aˆ ∓ ibˆ aˆ + ± ibˆ + ) m ( ) ( + k Mˆ + k −1 aˆ + ∓ ibˆ + )( aˆ + ± ibˆ + ) m Ckm k, m − Ck , m −1 Tính ( aˆ ∓ ibˆ ) l k, m = 2(k + m ) ( Ckm aˆ ∓ ibˆ Ck , m −1 ) l −1 k, m − = = 2l ( k + m )! C ( k + m − l )! C km k, m − l k ,m −l Từ điều kiện chuẩn hóa ta thu sau: SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 65 } 0 GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Luận văn tốt nghiệp ( m, k k , m = Ckm aˆ ∓ ibˆ ) m Mˆ k k , m = 4k k !( m + k )! Ckm aˆ ∓ ibˆ m! C0, m = 4k k !( m + k )! Ckm m ( m )!C0, m 0 m! C0, m ( ) m 0, m =1 =2 2k + m Ck , m = k !( m + k )!Ckm = 2 k m k !( m + k )! Vậy ta thu hàm sóng sau chuẩn hóa có dạng: k, m = Mˆ ) ( aˆ ( k !( m + k )! 2k m + k + ± ibˆ + ) m Tính tác dụng toán tử lên hàm sóng này: Mˆ k , m = k ( k + m ) k − 1, m ; Mˆ + k , m = ( k + 1) ( k + m + 1) k + 1, m ; Nˆ k , m = ( 2k + m + 1) k , m SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 66 GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Luận văn tốt nghiệp Phụ lục 10: Các thành phần ma trận cho toán exciton hai chiều Từ điều kiện chuẩn hoá ta thu hàm sở cho nguyên tử hydro sau: k, m = ( Mˆ ) ( aˆ + m 2k k !( m + k )! k + ± ibˆ + ) m Nˆ k , m = ( 2k + m + 1) k , m ; Mˆ k , m = k ( k + m ) k − 1, m ; Mˆ j k , m = j Mˆ + k , m = ( Mˆ ) + i (k )!( k + m )! (k − j )!( k + m − j )! ( k + 1) ( k + m + 1) k , m = 2i k − j, m ; k + 1, m ; ( k + i )!( k + m + i )! ( k )!( k + m )! k + i, m * Tính thành phần ma trận toán tử Sˆ Do toán tử Sˆ đựơc tách làm hai thành phần, ta tiến hành tính thành phần ma trận toán tử Sˆ Sˆ ,Sˆ sau: ⎛ ∞ ⎛ −τ ⎞ i ⎞ i ˆ+ ˆ i ⎟ k, m Sˆ1 k , m = ⎜ ∑ M M ⎟ ⎜ Nˆ / ⎜ ⎟ + 2τ ⎠ (1 + 2τ ) ⎝ i = ( i !) ⎝ ⎠ 2i ⎛ k ( k )!( k + m )! ⎛ −τ ⎞ i = ⎜∑ 2i ⎟ 2 ⎜ ( ⎜ i = ( i !) ⎝ + 2τ ⎠ ( k − i )!( k + m − i )! (1 + 2τ ) k − i + m +1) ⎝ ( ) ⎛ k ( k )!( k + m )! 2i = ⎜∑ −2τ ) ( ⎜ i = ( i !) ( k − i )!( k + m − i )! (1 + 2τ )( k + m +1) ⎝ ( k )!( k + m )! ⎞⎟ k, m ( k − i )!( k + m − i )! ⎠⎟ ⎞ ⎟ k, m ⎟ ⎠ Thành phần Sˆ2 : SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 67 GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Luận văn tốt nghiệp i+ j ∞ ∞ ⎛ −τ ⎞ Sˆ2 k, m = ∑∑ ⎜ ⎟ i =0 j =0 i! j !⎝ 1+ 2τ ⎠ ( Mˆ ) + (i≠ j ) i (1+ 2τ ) Nˆ /2 Mˆ j k, m i+ j (k)!( k + m )! ⎛ −τ ⎞ j = ∑∑ ⎜ 2i ⎟ 2k −2 j + m +1) ( i j ! ! + τ k j k m j ( − )! + − ! ⎝ ⎠ ( ) (1+ 2τ ) i =0 j =0 ∞ k (i≠ j) ∞ ( k + i − j )!( k + m + i − j )! k + i − j, m ( k − j )!( k + m − j )! (k)!( k + m )!( k + i − j )!( k + m + i − j )! 1 i+ j k + i − j, m ( −2τ ) 2k − j +i + m +1) ( (k − j)!( k + m − j )! j =0 i! j ! (1+ 2τ ) k = ∑∑ i =0 (i≠ j) Khi ta tính 2i ⎛ ∞ ⎛ −τ ⎞ ˆ+ m, k Sˆ1 k , m = m, k + s ⎜ ∑ ⎜ ⎟ M ⎜ i = ( i !)2 ⎝ + 2τ ⎠ ⎝ ( ) ( −2τ ) i =0 ( i !) 2i ( −2τ ) i =0 ( i !) 2i k =∑ k =∑ ( k )!( k + m ) ! (1 + 2τ ) Nˆ / (k − i)!( k + m − i ) ! (1 + 2τ )( k + m +1) ( k )!( k + m ) ! ⎞ Mˆ i ⎟ k , m ⎟ ⎠ i m, k k , m =1 (k − i)!( k + m − i ) ! (1 + 2τ )( k + m +1) Tính ⎛ ∞ ∞ i+ j ⎛ −τ ⎞ ⎜ ˆ m, k + s S k , m = m, k + s ⎜ ∑ ∑ Mˆ + ⎜ ⎟ ⎜ i(=i ≠0 j ) j =0 i ! j ! ⎝ + 2τ ⎠ ⎝ ( ) ⎛ −2τ ⎞ = ∑∑ ⎜ ⎟ i = j = i ! j ! ⎝ + 2τ ⎠ k +s k i+ j ⎛ −2τ ⎞ = ∑∑ ⎜ ⎟ i = j = i ! j ! ⎝ + 2τ ⎠ k =∑ i=s ( −2τ ) 2i − s i !(i − s )! Nˆ /2 (k − j )!( k + m − j )! i+ j (1 + 2τ ) ( k −4 j + m+ 2) (k )!( k + m )!( k + i − j )!( k + m + i − j )! (i ≠ j ) k +s (1 + 2τ ) ⎞ j ⎟ ˆ M ⎟ k, m ⎟ ⎠ (k )!( k + m )!( k + i − j )!( k + m + i − j )! (i≠ j ) k +s i (k − j )!( k + m − j )! (k )!( k + m )!( k + s )!( k + m + s )! (k + s − i )!( k + m + s − i )! (1 + 2τ ) ( k − j + m +1) m, k + s k + i − j , m δ s ,i − j (1 + 2τ )( k + s + m +1) * Tính phần tử ma trận: SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 68 GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Luận văn tốt nghiệp +∞ ω 2ω H km,km = m, k Hˆ k , m = m, k Nˆ − Z π ω = ω = 2ω ( 2k + m + 1) − Z ω ( p , q∈Z ) ω∑ i =0 ( −t ) q +∞ i =0 k k ( 2k + m + 1) − Z 2 với I q = p π p >q≥0 ∫ τ ∑ ( i !) (k )!( k + m )! 2i (k − i)!( k + m − i ) ! (1 + 2τ )( k + m +1) (k )!( k + m ) ! ∫ dt (1 + t 2i +∞ 2d ( i !) (2 ) = −Z =− ω k ( k + m )δ k + s , k −1 + 2ω π ( +∞ ∫ dτ τ ∞ ∑ i=0 (i ≠ j ) ) (k − i )!( k + m − i )! I 22ki + m +1 π ( −1) (2 p − 2q − 3)!!( 2q − 1)!! p −1 ( p − 1)! ( ω 2τ q p (k )!( k + m )! ω ˆ 2ω H km ,( k + s , m ) = H ( k + s , m ), km = m, k + s Vˆ k , m = m, k + s − M + Mˆ + − Z π =− ( 2i (k )!( k + m )! +∞ ω k ( −2τ ) dt ∑ π i = ( i !)2 (k − i )!( k + m − i )! ∫0 (1 + 2τ )( k + m +1) ( 2k + m + 1) − 2Z ω = ( −2τ ) k τ dτ 2τ Đặt t = 2τ → dt = H k ,k = dτ dτ ˆ S1 k , m ( −2τ ) ∑ ∫ π i =0 ( i !) (k − i )!( k + m − i )! (1 + 2τ )( k + m +1) 2ω ( 2k + m + 1) − Z π +∞ ∫ ( k + 1) ( k + ⎛ −2τ ⎞ ∑ ⎜ ⎟ j = i ! j ! ⎝ + 2τ ⎠ k k ( k + m )δ s , −1 + i+ j ( k + 1) ( k + m + 1)δ k + s , k +1 ) +∞ ) ( k )!( k + m ) !( k + s ) !( k + m + s ) ! ( k + s − i )!( k + m + s − i ) ! m + 1)δ s ,1 ∫ dτ ˆ S2 k , m τ (1 + 2τ )( k + s + m +1) δ k + s ,k +i − j ) ( k )!( k + m ) !( k + s ) !( k + m + s ) ! +∞ −t ) ( ω k +s − 2Z ∑ ∫0 ( k + s + m +1) π i = s i !(i − s )! ( k + s − i )!( k + m + s − i ) ! (1 + t ) 2i − s =− ω ( k ( k + m )δ s , −1 + k +s − Z ω∑ i=s ( k + 1) ( k + m + 1)δ s ,1 ) ( k )!( k + m ) !( k + s ) !( k + m + s )! i − s I k + m + s +1 i !( i − s ) ! ( k + s − i )!( k + m + s − i ) ! H ( k , m ), ( k − s , m ) = H ( k − s , m ), ( k , m ) = H ( k1 , m ), ( k1 + s , m ) ( k1 = k − s ) SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 69 GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Luận văn tốt nghiệp H k ,k +1 = − ω k +1 ( k + 1) ( k + m + 1) − Z ω ∑ i =1 (k )!( k + m ) !( k + 1) !( k + m + 1) ! 2i −1 I 2k + m +2 i !( i − 1) ! (k + − i )!( k + m + − i ) ! (k )!( k + m )!( k + s )!( k + m + s )! 2i − s I k + m + s +1 ( k + s − i )!( k + m + s − i )! i = s i !( i − s )! k +s H k ,k + s = −Z ω ∑ ( s >1) * Xác định f (ω ) : Ta có: ε k( 0) = H kk = = 0= ω ( 2k + m + 1) − Z k ω∑ ∂ε n( 0) Z = ( 2k + m + 1) − ∂ω 2 ω i=0 k ∑ (k )!( k + m )! ( i !) (k − i )!( k + m − i )! (k )!( k + m )! i = ( i !) ( k − i )!( k + m − i )! I 22ki + m +1 I 22ki + m +1 k ⎡ ⎤ Z ( k )! ( m + k )! i ω=⎢ I k + m +1 ⎥ ∑ ⎢⎣ (2k + m + 1) i = ( i !) (k − i )! ( m + k − i )! ⎥⎦ SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 70 GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Luận văn tốt nghiệp Hàm Gamma Phụ lục 11: Hàm Gamma định nghĩa đẳng thức tích phân sau đây: ∞ Γ (α ) = ∫ e − x xα −1dt (α > ) Tính tích phân phần, ta có: Γ (α + 1) = ∫ e − x xα dx − ∫ xα d ( e − x ) = − xα e − x ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 0 +α ∫ e − x xα −1 dx = α ∫ e− x xα −1 dx hay Γ (α + 1) = αΓ (α ) Khi α = α = , hàm Γ (α ) có giá trị: ⎛1⎞ Γ (1) = 1, Γ ⎜ ⎟ = π ⎝2⎠ Từ ta xác định giá trị hàm Γ (α ) α nguyên bán nguyên sau: Γ ( n ) = ( n − 1)! ⎞ ( 2n − 1)!! ⎛ π Γ⎜ n + ⎟ = 2⎠ 2n ⎝ n=1,2,3 Đối với giá trị khác α , hàm Γ (α ) tìm bảng riêng Tích phân có dạng I pq ( pp ,>qq∈≥Z0) SVTH: Trương Mạnh Tuấn = π +∞ ( −t ) ∫ dt (1 + t ( −1) q )p = q 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ Γ⎜ p − q − ⎟Γ⎜q + ⎟ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ π Γ ( p) Trang 71 GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Luận văn tốt nghiệp với 1⎞ 1⎞ π (2 p − 2q − 3)!! ⎛ ⎛ Γ⎜ p − q − ⎟ = Γ⎜ p − q −1+ ⎟ = , 2⎠ 2⎠ p − q −1 ⎝ ⎝ π ( 2q − 1) !! 1⎞ ⎛ Γ⎜q + ⎟ = , 2⎠ 2q ⎝ Γ ( p ) = ( p − 1)! tích phân có dạng: I pq = π p >q≥0 ( p ,q∈Z ) +∞ ( −t ) q ∫ dt (1 + t SVTH: Trương Mạnh Tuấn )p π ( −1) (2 p − 2q − 3)!!( 2q − 1) !! q = p −1 ( p − 1)! , với p, q = 1, 2,3 Trang 72 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Phụ lục 12: Lập trình fortran cho mức lượng exciton hai chiều c Calculate Exciton2D excited energy PROGRAM MAIN integer i,m,k double precision w,Hmatrix * From the mininum of energy -> omega=Pi w=0.0021 m=6 k=0 CALL MAINSUB(w,k,m) END * MAIN subroutine calculate approximated energy SUBROUTINE MAINSUB(w,k,m) INTEGER Z,i,j,s,L,m,k DOUBLE PRECISION w,Hmatrix,E,C,H,tuso,mauso,temp,msum PARAMETER (smax=100,kmax=101) * Chu y thay kmax=smax+k DIMENSION E(0:smax),C(0:kmax,0:smax),H(0:kmax,0:kmax) Z=1 * Initialize matrix Hmatrix DO i=0,smax+k write(*,*) i DO j=0,i H(i,j)= Hmatrix(w,Z,m,i,j) H(j,i)=H(i,j) ENDDO ENDDO WRITE(*,*) 'Hmatrix done!' * Initialize C coefficient matrix DO i=0,smax DO j=0,smax+k C(j,i)=0.0 ENDDO C(k,i)=1.0 ENDDO WRITE(*,*) 'C matrix done!' * Initialize E(s) DO i=0,smax E(i)=0.0 ENDDO SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 73 GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  Luận văn tốt nghiệp E(0)=H(k,k) * Calculate E(s): Energy in s th approximation OPEN(10,FILE='Energy.dat',STATUS='Unknown') WRITE(10,*) 's=0','E=',E(0) DO s=1,smax * Calculate C(L,s) DO L=0,s+k IF (L.NE.k) THEN tuso=H(L,k) mauso=E(s-1)-H(L,L) DO i=0,k+s IF (i.NE.k.AND.i.NE.L) THEN tuso=tuso+C(i,s-1)*H(L,i) ENDIF ENDDO IF (mauso.EQ.(0.0)) STOP 'Error, division by zero' C(L,s)=tuso/mauso ENDIF ENDDO * Calculate E(s) from C(L,s) msum=0.0 DO L=0,k+s IF (L.NE.k) msum=msum+C(L,s)*H(L,k) ENDDO E(s)=H(0,0)+msum WRITE(10,*) 's=',s,'E=',E(s) ENDDO RETURN END * function calculate Hmatrix C Calculate elements of H matrix H(omega,Z,m,row,col) FUNCTION Hmatrix(w,Z,m,row,col) INTEGER Z,row,col,r,c,s,k,p,q,I,m1 DOUBLE PRECISION Hmatrix,w,H,msum,coeff1,coeff2 PARAMETER (pi=3.14159265358979323846) IF (row[...]... 2.2.2 Phương pháp giải tích cho bài toán exciton hai chiều Trong phần này ta sẽ tiến hành giải (2.9) theo phương pháp giải tích để đối chiếu với phương pháp toán tử ở phần sau * Phương trình Schrödinger của exciton hai chiều trong tọa độ cực: Chuyển toán tử Hamiton trong phương trình (2.9) qua biểu diễn trong tọa độ cực ta được 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂2 Z Hˆ = − − ⎜r ⎟− 2r ∂r ⎝ ∂r ⎠ 2r 2 ∂ϕ 2 r (2.10) Với toán tử. .. 3 BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIỀU Trong chương này tác giả áp dụng OM để giải bài toán exciton hai chiều bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace, tìm ra nghiệm số cho bài toán, so sánh với kết quả thu được bằng lời giải giải tích Sau đó, khảo sát tính hội tụ của bài toán khi giải bằng OM cho trường hợp năng lượng cơ bản theo tham số ω 3.1 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều biểu diễn qua toán. .. 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ π +∞ ∫ 0 e−t ( x 2 + y2 ) t dt (3.4) 3.2 Phương pháp toán tử giải bài toán exciton hai chiều Ta sẽ giải phương trình Schrödinger (2.9) bằng OM với bốn bước cơ bản như sau: Bước một: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh - hủy hai chiều bằng cách đặt biến số động lực (tọa độ và toán tử đạo hàm) thông qua các toán tử sau: SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 29 GVHD: Th.S Hoàng... (2.10) Với toán tử có dạng như trên, khi thay vào phương trình Schrödinger để tìm nghiệm sẽ khó vì trong phương trình chứa hai biến số Ta sẽ sử dụng một nguyên lý trong cơ học lượng tử: “Nếu hai toán tử giao hoán với nhau thì chúng có chung hệ hàm riêng”, vì vậy ta đi tìm các toán tử giao hoán với toán tử Hˆ , ta biết đối với bài toán hệ nguyên tử hai chiều hình chiếu moment xung lượng trên Oz bảo toàn.Thực... cao và chỉ áp dụng cho miền λ nhỏ 1.3 Phương pháp toán tử cho bài toán dao động tử phi điều hòa Những ý tưởng về OM đã xuất hiện vào những năm 1979 Tuy nhiên, OM được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các giáo sư ở trường Đại học Belarus và được ứng dụng thành công cho một nhóm rộng rãi các bài toán như các polaron, bipolaron trong trường điện từ, bài toán tương tác chùm điện tử với cấu trúc tinh... bài toán tương tác hệ các boson trong trong lý thuyết trường Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman, Wistchel và nhiều tác giả khác [7] Ta sẽ trình bày các điểm chính của phương pháp OM trên cơ sở ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều Kết quả thu được sẽ so sánh với phương pháp nhiễu loạn ở trên Xét phương trình Schrödinger (1.1) cho dao động tử. .. = ε n (0) ψ n ( ) (3.11) Trước hết ta chọn bộ hàm sóng cơ sở cho bài toán theo bộ hàm cơ sở của dao động tử điều hoà: nx , n y = ( ) nx 1 aˆ + ) bˆ + ( nx ! n y ! ny 0 (ω ) Như đã nói, hàm riêng của toán tử Hamilton cũng đồng thời là nghiệm riêng của toán tử Lˆ z , ta viết lại bộ hàm cơ sở cho exciton hai chiều theo trị riêng m của toán tử Lˆ z : ( k (m) = Ckm [(aˆ + ) 2 + (bˆ + ) 2 ]k aˆ + ± ibˆ... không Hệ thức này sẽ giúp ta đưa các toán tử sinh hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán tử sinh nằm ở phía bên trái và các toán tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi cho các tính toán đại số sau này Mặt khác, để thuận tiện trong tính toán ta sử dụng các toán tử: ( ) ( ) 2 Nˆ = 2 aˆ + aˆ + bˆ +bˆ + 1 , Mˆ = aˆ 2 + bˆ 2 , Mˆ + = ( aˆ + ) + bˆ + , 2 (3.7) trong đó ba toán tử Nˆ , Mˆ , Mˆ + tạo thành một đại... đây toán tử aˆ được gọi là toán tử hủy” và aˆ + được gọi là toán tử sinh” (xem [1],[2]); ω là tham số thực dương được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính toán, ta sẽ nói rõ hơn về tham số này trong bước ba Ta dễ dàng thu được hệ thức giao hoán: ⎡ aˆ , aˆ + ⎤ = 1 ⎣ ⎦ (1.18) Hệ thức này sẽ giúp ta đưa các toán tử sinh hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán tử sinh nằm ở phía bên trái và các toán tử. .. nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm   2010  CHƯƠNG 2 EXCITON – BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIỀU Trong chương này tác giả giới thiệu các kiến thức cơ bản về exciton như khái niệm, phân loại, tính chất Sau đó thiết lập phương trình Schrödinger cho bài toán và đưa ra lời giải giải tích làm cơ sở để so sánh với kết quả thu được bằng OM ở chương sau 2.1 Exciton 2.1.1 Khái niệm Trong chất bán dẫn thông thường, ... lập phương trình Schodinger cho exciton hai chiều, đưa lời giải giải tích cho toán - Xây dựng đựơc hàm sóng sở cho toán exciton hai chiều theo OM - Tìm nghiệm số xác cho lựơng exciton hai chiều. .. 2.2.2 Phương pháp giải tích cho toán exciton hai chiều Trong phần ta tiến hành giải (2.9) theo phương pháp giải tích để đối chiếu với phương pháp toán tử phần sau * Phương trình Schrödinger exciton. .. (3.4) 3.2 Phương pháp toán tử giải toán exciton hai chiều Ta giải phương trình Schrödinger (2.9) OM với bốn bước sau: Bước một: Chuyển toán tử Hamilton biểu diễn toán tử sinh - hủy hai chiều cách