Khóa luận tốt nghiệp " Phương pháp toán tử cho bài toán Exciton hai chiều " docx

TRƯ NG B GIÁO D C VÀ ÀO T O I H C SƯ PH M THÀNH PH H CHÍ MINH KHOA V T LÝ o0o KHÓA LU N T T NGHI P Giáo viên hư ng d n: ThS HOÀNG NG C TR M Sinh viên th c hi n: TRƯƠNG M NH TU N Tp H H CHÍ MINH 05/2010 Lu n văn t t nghi p Ng c Tr m ȱ 2010ȱ GVHD: Th.S Hoàng L i c m ơn Trong trình th c hi n hồn thành khóa lu n này, ngồi nh ng n l c c a b n thân, ã nh n c s quan tâm giúp khoa V t lý trư ng Tôi xin ng viên c a quý th y cô i h c Sư ph m thành ph H Chí Minh ơc bày t lịng bi t ơn chân thành t i ThS Hồng Ng c Tr m - giáo viên hư ng d n lu n văn – cô ã t n tình hư ng d n, truy n th cho tơi nh ng ki n th c b ích, nh ng kinh nghi m quý báu th c hi n khóa lu n này, ng th i truy n cho tơi lịng nhi t tình nghiên c u khoa h c Tôi xin c c m ơn anh Lê Quý Giang, ch Nguy n Th M n thành viên tài Nghiên c u khoa h c ã hư ng d n, giúp vi c l p trình v i ngơn ng l p trình FORTRAN 77 Xin c m ơn gia ình, ngư i thân ã h tr tinh th n có th hồn thành khóa lu n M t l n n a xin chân thành c m ơn Trương M nh Tu n SVTH: Trương M nh Tu n Trang Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng M Ng c Tr m ȱ 2010ȱ U Ngày v i s phát tri n vũ bão c a khoa h c k thu t, h lư ng t c xét n ngày a d ng, ó có nhi u tốn chưa tìm c l i gi i, t ó phát sinh nhu c u xây d ng phát tri n phương pháp gi i toán h c lư ng t - c th gi i phương trình Schrưdinger M t nh ng phương pháp m nh ph bi n có th k n phương pháp lý thuy t nhi u lo n Ý tư ng c a lý thuy t nhi u lo n tách Hamiltonian c a toán thành hai thành ph n: m t ph n có th xác nh c nghi m xác, ph n cịn l i “nhi u lo n” s óng góp vào k t qu thơng qua b chính; ó i u ki n áp d ng thành ph n “nhi u lo n” ph i nh so v i thành ph n ây h n ch l n c a phương pháp này, th c t m t s trư ng h p thành ph n tách không “nhi u lo n” Như v y, vi c xây d ng m t phương pháp nh coi gi i toán phi nhi u lo n c n thi t Phương pháp toán t (Operator Method, vi t t t OM) c xây d ng t th p niên 80 c a th k trư c ây m t phương pháp m nh cho m t d i r t r ng toán phi nhi u lo n nêu [7] Ý tư ng c a OM [7] n m b n bư c sau: (1) - Bi u di n toán t ˆ ˆ Hamiltonian qua toán t sinh h y: H ( x, p) → H (a, a + , ω ) ; (2) - Tách Hamiltonian ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ thành ph n trung hòa khơng trung hịa: H (a, a + , ω ) = H (a + a, ω ) + V (a, a + , ω ) ; (3) ˆ ˆ Ch n tham s ω cho H (a + a, ω ) thành ph n c a Hamiltonian t ˆ ˆ có nghi m riêng c a H (a + a, ω ) lư ng g n ây ta úng b c không; (4)- Xem ˆ ˆ V (a, a + , ω ) thành ph n nhi u lo n tính b b c cao theo sơ thích h p Qua nghiên c u ng d ng m t lo t toán c th v lý thuy t trư ng, ch t r n, v t lý nguyên t … OM ã ch ng t tính ưu vi t hi u qu c a [7] M t s ưu i m có th k như: (1) ph c t p, ưa v phép bi n SVTH: Trương M nh Tu n i thu n ơn gi n hóa vi c tính tốn y u t ma tr n i s Vì v y có th s d ng chương trình Trang Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hồng tính tốn bi u tư ng Matlab, Mathematica t Ng c Tr m ȱ 2010ȱ ng hóa q trình tính toán; (2) - Cho phép xét h lư ng t v i trư ng ngồi có cư ng b t kì T ây có th tìm giá tr lư ng hàm sóng c a h tồn mi n thay i c a tham s trư ng ngồi M t nh ng khó khăn chung áp d ng OM a ph n tốn có tốn t Hamilton ch a bi n ng l c m u s ho c trong d u nên n u ơn thu n chuy n sang bi u di n toán t sinh h y s gây khó khăn tính tốn gi i quy t v n này, công trình trư c [2], [7] tác gi liên h gi a toán nguyên t hydro toán dao ng t i u hịa thơng qua phép i Levi-Civita giúp ưa phương trình v d ng toán dao bi n ã s d ng m i ng t phi hòa quen thu c – cách gi i “ p m t” v hình th c ã phát huy tác d ng xác i v i m t s toán [7] Tuy nhiên, i v i toán ph c t p hơn, vi c nh lư ng m t cách gián ti p v y gây m t s khó khăn tính tốn, l p trình tìm nghi m Do ó, tài tơi s d ng phương pháp tốn t tìm lư ng E m t cách tr c ti p b ng cách s d ng phép bi n i Laplace ưa ph n t a kh i m u s d u ây c coi m t bư c phát tri n OM V i ý nghĩa óng góp vào s phát tri n c a OM, lu n văn ch áp d ng OM cho m t toán ơn gi n, d dàng tìm nghi m xác b ng phương pháp gi i tích ti n i chi u, so sánh rút k t lu n: toán exciton hai chi u, t ó có s áp d ng cho toán ph c t p sau Tuy ây toán ơn gi n m t toán c quan tâm ý nghĩa th c ti n c a [3], [8] M t nh ng khâu quan tr ng s d ng OM ch n giá tr tham s t ω , vi c ch n ω phù h p s t i ưu hóa t c tính tốn ó kh o sát s h i t c a phương pháp theo tham s ω m t nhi m v quan tr ng V i m c tiêu tìm hi u sâu v m t s v n h c lư ng t bư c u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c, tác gi t t cho nhi m v sau: SVTH: Trương M nh Tu n Trang Lu n văn t t nghi p Ng c Tr m ȱ 2010ȱ GVHD: Th.S Hồng - Tìm hi u v lý thuy t nhi u lo n, c th nhi u lo n d ng, tính l i sơ xác nh b lư ng, hàm sóng, áp d ng cho m t tốn ph bi n h c lư ng t tốn dao - Tìm hi u v OM (sơ ng t phi i u hịa tính tốn, ưu i m ) s i chi u, so sánh v i phương pháp lý thuy t nhi u lo n thông qua vi c gi i tốn dao ng t phi i u hịa - Hồn thi n kĩ tính tốn: tính tốn toán t sinh h y, bi n i gi i tích - Bư c - u làm quen v i ngơn ng l p trình (FORTRAN 77, 90) ưa l i gi i cho toán exciton hai chi u b ng phương pháp toán t , so sánh v i k t qu thu c b ng l i gi i gi i tích - Kh o sát tính h i t c a phương pháp toán t theo tham s ω Phương pháp nghiên c u: - Tính tốn is tìm bi u th c gi i tích - S d ng ngơn ng l p trình FORTRAN 77 tìm nghi m s i chi u, so sánh k t qu s thu c b ng l i gi i gi i tích l i gi i theo OM - B c c c a lu n văn c tác gi chia làm chương: Chương 1: Gi i thi u phương pháp toán t qua toán dao Tác gi gi i thi u OM thơng qua ví d toán dao th i ng t phi i u hòa ng t phi i u hòa, i chi u v i phương pháp lý thuy t nhi u lo n truy n th ng hi u qu c a phương pháp Trư c h t tác gi vi t l i sơ ng th y c tính lý thuy t nhi u lo n Rayleigh-Schrödinger áp d ng cho tốn nêu Sau ó tác gi ưa bư c b n c a OM áp d ng cho m t toán K t qu b ng s cho th y phương pháp nhi u lo n ch áp d ng c cho trư ng h p tham s phi i u hòa λ 0.1 phương pháp toán t cho k t qu h i t nhanh nhi u l n úng cho m i giá tr c a tham s λ Chúng ta s s d ng phương pháp gi i quy t v n nêu lu n văn SVTH: Trương M nh Tu n Trang Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m ȱ 2010ȱ Chương 2: Exciton – Bài toán exciton hai chi u Chương tác gi gi i thi u ki n th c b n v exciton, thi t l p phương trình Schrưdinger cho toán ưa l i gi i gi i tích ây ki n th c n n, làm s cho ph n ti p theo Chương 3: Phương Pháp Toán T Bài toán exciton hai chi u Tác gi ti n hành áp d ng OM gi i quy t toán exciton hai chi u Dùng chương trình FORTRAN 77 gi i phương trình truy tốn, tìm m t s m c lư ng c a exciton hai chi u, ng th i kh o sát s h i t tương ng v i m c lư ng b n theo giá tr ω Ph n k t lu n: Vi c áp d ng phép bi n i Laplace OM có th gi i quy t hi u qu toán exciton hai chi u K t qu thu t tốn exciton hai chi u ngồi trư ng h p m c lư ng b n, trư ng h p m c lư ng kích thích hồn tồn phù h p v i k t qu thu c t phương pháp gi i tích V i vi c kh o sát tham s ω toán, ta ã xác nh c giá tr ω thích Hư ng phát tri n ti p c a hóa t c tài là: ti p t c kh o sát ω tính toán, s d ng sơ c sơ c bi t trư ng h p m c lư ng kích tính tốn phù h p T khác tìm quy lu t t i ưu tính tốn nghi m xác, ch n ó ng d ng OM cho toán exciton âm exciton dương t trư ng… SVTH: Trương M nh Tu n Trang Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m ȱ 2010ȱ CHƯƠNG GI I THI U PHƯƠNG PHÁP TOÁN T TOÁN DAO NG T QUA BÀI PHI I U HÒA Trong chương ta s gi i thi u bư c b n c a OM thơng qua ví d tốn dao ng t phi i u hịa minh h a nh ng ưu i m c a phương pháp m i ta s trình bày song song v i phương pháp lý thuy t nhi u lo n [1], [4] so sánh k t qu b ng s c a hai phương pháp 1.1 Sơ Rayleigh- Schrödinger cho phương pháp nhi u lo n d ng Xét phương trình Schrưdinger d ng: ˆ H Ψ ( x) = E Ψ ( x) , (1.1) ta tách toán t Hamilton c a toán thành hai thành ph n: ˆ ˆ ˆ H = H + βV ; (1.2) ˆ ó thành ph n H tốn t Hamilton có nghi m riêng xác: ˆ H 0ψ n = ε nψ n , (1.3) ˆ thành ph n V l i c g i th nhi u lo n, i u ki n áp d ng lý thuy t nhi u ˆ ˆ ˆ ˆ lo n thành ph n nhi u lo n V ph i “nh ” so v i H , V q≥0 ( p , q∈ Z ) k k ( 2k + m + 1) − Z 2 ω∑ i=0 ( −t ) q +∞ dτ k τ 2i (k )!( k + m ) ! (k − i )!( k + m − i ) ! (1 + 2τ )( k + m +1) (k )!( k + m ) ! ∫ dt (1 + t 2i +∞ 2d ) ( i !) (2 = −Z =− ω k ( k + m )δ k + s , k −1 + 2ω π ( +∞ ∫ dτ τ ∞ ∑ i =0 (i ≠ j ) ) (k − i )!( k + m − i )! I ki + m +1 π ( −1) (2 p − 2q − 3)!!( 2q − 1)!! p −1 ( p − 1)! ( ω 2τ q p (k )!( k + m )! ω ˆ 2ω ˆ ˆ H km ,( k + s , m ) = H ( k + s , m ), km = m , k + s V k , m = m, k + s − M +M+ −Z π =− ( 2i (k )!( k + m )! +∞ ω k ( −2τ ) dt ∑ π i = ( i !)2 (k − i )!( k + m − i )! ∫ (1 + 2τ )( k + m +1) ( 2k + m + 1) − 2Z ω = +∞ dτ ˆ S1 k , m dτ 2τ t t = 2τ → dt = H k ,k = ∫ ( −2τ ) ∑ i ! (k − i)!( k + m − i )! ∫ ( k + m +1) π i=0 ( ) (1 + 2τ ) 2ω ( 2k + m + 1) − Z +∞ ( −2τ ) ∫ τ ∑ ( i !)2 π i =0 2ω ( 2k + m + 1) − Z Ng c Tr m ȱ 2010ȱ GVHD: Th.S Hoàng ( k + 1) ( k +  −2τ  ∑ i ! j !  + 2τ    j =0 k k ( k + m )δ s , −1 + i+ j ( k + 1) ( k + m + 1)δ k + s , k +1 ) +∞ ) ( k )!( k + m ) !( k + s ) !( k + m + s ) ! ( k + s − i )!( k + m + s − i ) ! m + 1)δ s ,1 ∫ dτ ˆ S2 k , m τ (1 + 2τ )( k + s + m +1) δ k + s ,k +i − j ) ( k )!( k + m )!( k + s ) !( k + m + s ) ! +∞ ( −t ) ω k+s − 2Z ∑ ∫ ( k + s + m +1) π i = s i !(i − s )! ( k + s − i )!( k + m + s − i ) ! (1 + t ) 2i − s =− ω ( k ( k + m )δ s , −1 + k+s − Z ω∑ i=s ( k + 1) ( k + m + 1)δ s ,1 ) ( k )!( k + m ) !( k + s ) !( k + m + s ) ! i − s I k + m + s +1 i !( i − s ) ! ( k + s − i )!( k + m + s − i ) ! H ( k , m ), ( k − s , m ) = H ( k − s , m ) ,( k , m ) = H ( k1 , m ), ( k1 + s , m ) ( k1 = k − s ) SVTH: Trương M nh Tu n Trang 69 Lu n văn t t nghi p H k ,k +1 = − ω k +1 ( k + 1) ( k + m + 1) − Z ω ∑ i =1 i !( i − 1) ! k +s H k ,k + s = −Z ω ∑ ( s >1) * Xác GVHD: Th.S Hoàng i=s Ng c Tr m ȱ 2010ȱ (k )!( k + m ) !( k + 1) !( k + m + 1) ! (k + − i )!( k + m + − i ) ! I 22ki −1m + + (k )!( k + m )!( k + s )!( k + m + s )! 2i − s I k + m + s +1 i !( i − s )! (k + s − i )!( k + m + s − i )! nh f (ω ) : Ta có: ε k( 0) = H kk = = ω ( 2k + m + 1) − Z k ω∑ ( ∂ε n0) Z 0= = ( 2k + m + 1) − ∂ω 2 ω i =0 k ∑ (k )!( k + m )! ( i !) (k − i )!( k + m − i )! (k )!( k + m )! i = ( i !) ( k − i )!( k + m − i )! I 22ki + m +1 I ki + m +1 k   Z ( k )! ( m + k )! i ω= I k + m +1  ∑  (2k + m + 1) i = ( i !) (k − i )! ( m + k − i )!    SVTH: Trương M nh Tu n Trang 70 Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m ȱ 2010ȱ Hàm Gamma Ph l c 11: Hàm Gamma c nh nghĩa b ng ng th c tích phân sau ây: ∞ Γ (α ) = ∫ e − x xα −1dt (α > ) Tính tích phân t ng ph n, ta có: Γ (α + 1) = ∫ e − x xα dx − ∫ xα d ( e − x ) = − xα e − x ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 0 +α ∫ e − x xα −1 dx = α ∫ e − x xα −1 dx hay Γ (α + 1) = αΓ (α ) Khi α = α = , hàm Γ (α ) có giá tr : 1 Γ (1) = 1, Γ   = π 2 T ó ta xác nh c giá tr c a hàm Γ (α ) i v i α nguyên bán nguyên sau: Γ ( n ) = ( n − 1)!  ( 2n − 1)!!  Γn +  = π 2 2n  ó n=1,2,3 i v i giá tr khác c a α , hàm Γ (α ) có th tìm b ng riêng Tích phân có d ng Iq p ( p,>qq∈≥Z0) p SVTH: Trương M nh Tu n = π +∞ ( −t ) ∫ dt (1 + t q )p = ( −1) q 1  1  Γ p − q − Γq +  2  2  π Γ( p) Trang 71 Lu n văn t t nghi p v i Ng c Tr m ȱ 2010ȱ GVHD: Th.S Hoàng 1 1 π (2 p − 2q − 3)!!   Γ p − q −  = Γ p − q −1+  = , 2 2 p − q −1   π ( 2q − 1) !! 1  Γ q +  = , 2 2q  Γ ( p ) = ( p − 1)! ó tích phân có d ng: Iq = π p p > q ≥0 ( p ,q∈Z ) +∞ ( −t ) q ∫ dt (1 + t )p SVTH: Trương M nh Tu n π ( −1) (2 p − 2q − 3)!!( 2q − 1) !! q = p −1 ( p − 1)! , v i p, q = 1, 2, Trang 72 Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m ȱ 2010ȱ Ph l c 12: L p trình fortran cho m c lư ng c a exciton hai chi u c Calculate Exciton2D excited energy PROGRAM MAIN integer i,m,k double precision w,Hmatrix * From the mininum of energy -> omega=Pi w=0.0021 m=6 k=0 CALL MAINSUB(w,k,m) END * MAIN subroutine calculate approximated energy SUBROUTINE MAINSUB(w,k,m) INTEGER Z,i,j,s,L,m,k DOUBLE PRECISION w,Hmatrix,E,C,H,tuso,mauso,temp,msum PARAMETER (smax=100,kmax=101) * Chu y thay kmax=smax+k DIMENSION E(0:smax),C(0:kmax,0:smax),H(0:kmax,0:kmax) Z=1 * Initialize matrix Hmatrix DO i=0,smax+k write(*,*) i DO j=0,i H(i,j)= Hmatrix(w,Z,m,i,j) H(j,i)=H(i,j) ENDDO ENDDO WRITE(*,*) 'Hmatrix done!' * Initialize C coefficient matrix DO i=0,smax DO j=0,smax+k C(j,i)=0.0 ENDDO C(k,i)=1.0 ENDDO WRITE(*,*) 'C matrix done!' SVTH: Trương M nh Tu n Trang 73 Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m ȱ 2010ȱ * Initialize E(s) DO i=0,smax E(i)=0.0 ENDDO E(0)=H(k,k) * Calculate E(s): Energy in s th approximation OPEN(10,FILE='Energy.dat',STATUS='Unknown') WRITE(10,*) 's=0','E=',E(0) DO s=1,smax * Calculate C(L,s) DO L=0,s+k IF (L.NE.k) THEN tuso=H(L,k) mauso=E(s-1)-H(L,L) DO i=0,k+s IF (i.NE.k.AND.i.NE.L) THEN tuso=tuso+C(i,s-1)*H(L,i) ENDIF ENDDO IF (mauso.EQ.(0.0)) STOP 'Error, division by zero' C(L,s)=tuso/mauso ENDIF ENDDO * Calculate E(s) from C(L,s) msum=0.0 DO L=0,k+s IF (L.NE.k) msum=msum+C(L,s)*H(L,k) ENDDO E(s)=H(0,0)+msum WRITE(10,*) 's=',s,'E=',E(s) ENDDO RETURN END * function calculate Hmatrix C Calculate elements of H matrix H(omega,Z,m,row,col) FUNCTION Hmatrix(w,Z,m,row,col) INTEGER Z,row,col,r,c,s,k,p,q,I,m1 DOUBLE PRECISION Hmatrix,w,H,msum,coeff1,coeff2 PARAMETER (pi=3.14159265358979323846) SVTH: Trương M nh Tu n Trang 74 Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m ȱ 2010ȱ IF (row