mô hình hóa các quá trình lãi suất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - - Đỗ Thị Thu MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Thu MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN CHÍ LONG Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN - LỜI MỞ ĐẦU - CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ - 1.1 Quá trình ngẫu nhiên - - 1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc - - 1.2.1 Định nghĩa (bộ lọc) - - 1.2.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc - - 1.3 Thời điểm Markov thời điểm dừng: - - 1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ − trường - - 1.5 Martingale - - 1.6 Quá trình Wiener hay chuyển động Browwn: - - 1.7 Tích phân Ito - - 1.7.1 Vi phân Itô - - 1.7.2 Công thức Itô - - CHƯƠNG II: LÃI SUẤT VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ TRÁI PHIẾU - 11 2.1 Một số khái niệm tài - 11 - 2.2 Đường cong hoa lợi lãi suất - 13 - 2.2.1 Đường cong hoa lợi (Yeid Curve) - 13 - 2.2.2 Lãi suất định trước (Forward Rates) - 14 - 2.2.3 Tính lãi suất định trước f ( 0; t ) - 15 - 2.4 Các mô hình định giá trái phiếu - 16 - 2.3.1 Định giá trái phiếu độ đo martingale - 16 - 2.3.2 Độ đo martingale trung hòa rủi ro - 16 - 2.3.3 Chuyển đổi trái phiếu (Bond Swap) - 18 - 2.4 Định giá bảo hộ hợp đồng chuyển đổi - 21 - 2.5 Mô hình định giá trái phiếu - 25 - 2.5.1 Quá trình định giá Quyền Chọn - 25 - 2.5.2 Mô hình định giá trái phiếu - 25 - 2.5.1 Giá trái phiếu - 32 - CHƯƠNG III: MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT - 34 3.1 Mô hình Vasicek mô hình Ho-Lee: - 34 - 3.1.1 Định nghĩa: - 34 - 3.1.2 Phương trình giá trái phiếu Vasicek: - 35 - 3.2 Mô hình Hull-White - 36 - 3.2.1 Công thức giá trái phiếu P : - 36 - 3.2.2 Lãi suất ngắn hạn mô hình Hull-White: - 38 - 3.3 Mô hình lãi suất ngắn hạn: - 39 - 3.3.1 Danh mục đầu tư không rủi ro địa phương - 41 - 3.3.2 Mô hình hóa Martingale - 45 - 3.3.3 Cấu trúc affine - 46 - 3.3.4 Ước lượng tham số mô hình lãi suất: - 51 - 3.4 Mô hình Heath-Jarrow-Merton (HJM) - 55 - KẾT LUẬN - 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO - 60 - LỜI CÁM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS NGUYỄN CHÍ LONG tận tình bảo hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giảng viên khoa Toán – Tin học trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM tận tình dạy bảo cho trình học tập khoa Tôi xin cám ơn cán Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho học viên khác học tập nghiên cứu hiệu Cuối cùng, xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Đỗ Thị Thu LỜI MỞ ĐẦU Lãi suất xem vấn đề nhạy cảm đời sống kinh tế Lãi suất tác động trực tiếp đến lợi nhuận chủ thể kinh tế, định tới lợi nhuận nhà kinh doanh Ngân Hàng, định tới hiệu kinh tế hoạt động sản suất kinh doanh doanh nghiệp Có nhiều nghiên cứu, tranh luận bàn cãi lãi suất, diễn biến lãi suất, mô hình lãi suất,…Thông tin lãi suất cập nhật hàng ngày báo, tạp chí, tạp san chuyên nghành, Lãi suất thực vấn đề nóng bỏng thu hút quan tâm tầng lớp dân cư xã hội Các mô hình lãi suất chủ yếu sử dụng để định giá trái phiếu, định giá bảo hộ giá quyền lựa chọn trái phiếu Các mô hình trái phiếu thường không tương đương với mô hình Black-Scholes cho quyền lựa chọn trái phiếu Với mong muốn hiểu thêm mô hình lãi suất kiến thức giải tích ngẫu nhiên học xuất phát từ ý nghĩa thực tiễn tính thời vấn đề này, chọn đề tài “Mô hình hóa trình lãi suất” Tuy nhiên, với tính chất phức tạp vấn đề, với giới hạn viết trình bày mô hình lãi suất quan trọng nhất, nghiên cứu phương pháp định giá trái phiếu dựa mô hình rõ cách vận dụng thực hành Nội dung luận văn gồm có chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ……………………………………… Chương 2: LÃI SUẤT VÀ LÃI SUẤT ĐỊNH TRƯỚC ……………………………………… Chương 3: MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT ……………………………………… CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1: Cho ( Ω;  ; P ) không gian xác suất, tức ba gồm: • Ω tập sở mà phần tử ω ∈ Ω đại diện cho yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập Ω gồm số yếu tố ngẫu nhiên •  họ tập Ω có tính chất sau: i ∅, Ω ∈  ii Nếu A∈  A∈  iii Nếu { An }n ∈  ∞ A ∈  n n =1 Khi họ  gọi σ − đại số tập Ω Chú ý tiên đề thứ hai thứ ba nên ta có tính chất { An }n ∈  ∞ A ∈  n n =1 Mỗi tập  ∈  gọi biến cố ngẫu nhiên • P độ đo xác suất xác định không gian độ đo ( Ω,  ) , nghĩa σ − đại số  xác định hàm tập P :  → [ 0,1] thỏa tính chất sau:  P ( Ω ) =1  Nếu { An }n∈ dãy biến cố cho: Ai ∩ Aj =∅, ∀i ≠ j ∞ ∞  P   Ai  = ∑ P ( Ai )  i =1  i =1 Một trình ngẫu nhiên ( X t , t ≥ ) hàm hai biến X ( t , ω ) xác định tích  + × Ω lấy giá trị  , hàm đo B+ σ − trường tập Borel  + σ − trường tích B ×  , + 1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.2.1 Định nghĩa (bộ lọc) Định nghĩa 1.2: Một họ σ − trường ( t , t ≥ )  , t ⊂  gọi lọc thỏa mãn điều kiện thông thường nếu: i {t } họ tăng theo t , tức s ⊂ t ii {t } họ liên tục phải, nghĩa t = ε>0 t +ε iii Nếu A ∈  P ( A ) = A∈ 0 = ( Ω, ∅ ) (do  nằm t ) 1.2.2 s < t Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc X Cho trình ngẫu nhiên= ( X t , t ≥ ) Ta xét σ − trường t X sinh tất X σ ( X s , s ≤ t ) σ − trường chứa : t biến ngẫu nhiên X s với s ≤ t= đựng thông tin diễn biến khứ trình X thời điểm t Người ta gọi lọc tự nhiên trình X (hay gọi lịch sử X , hay gọi trường thông tin X ) Một không gian xác suất ( Ω,  , P ) ta gắn thêm vào lọc {t } , gọi không gian xác suất lọc ký hiệu ( Ω,  , {t } , P ) 1.3 Thời điểm Markov thời điểm dừng: Định nghĩa 1.3: Biến ngẫu nhiên τ ∈  +  {+∞} gọi thời điểm Markov với lọc {t }t≥0 t ≥ ta có đối {ω ∈ Ω : τ (ω ) ≤ t} ∈  t Một thời điểm Markov gọi thời điểm P {ω ∈ Ω : τ (ω ) < +∞} = (nghĩa τ hữu hạn hầu chắn) Chú ý 1.4: dừng Cho = τ τ thời điểm Markov xét σ − đại số { A : A ∈  , A  {τ ≤ t} ∈  , ∀t ≥ 0} , σ − đại số thông tin có trước t thời điểm τ 1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ − trường Cho ( Ω,  , P ) không gian xác suất,  σ − trường  ,  ⊂  X biến ngẫu nhiên, tức ánh xạ đo từ ( Ω,  ) vào (  , B ) , B σ − trường tập Borel đường thẳng  Khi đó, biến ngẫu nhiên X * gọi kỳ vọng có điều kiện X σ − trường  , nếu: • X * biến ngẫu nhiên đo  • Với tập  ∈  ta có ∫ X dP = ∫ XdP *   Biến ngẫu nhiên X * ký hiệu E ( X| ) Ta ý kỳ vọng có điều kiện E ( X| ) biến ngẫu nhiên Nếu ta chọn σ − trường  σ − trường σ (Y ) sinh biến ngẫu nhiên đó, kỳ vọng có điều kiện X lấy σ (Y ) ký hiệu E ( X| ) 1.5 Martingale X Định nghĩa 1.5: Cho trình ngẫu nhiên= ( X t , t ≥ 0) thích nghi với lọc {t } khả tích E X t < ∞ với t ≥ Giả sử s t hai giá trị không âm cho s ≤ t Khi đó: • Nếu E ( X t |s ) ≤ X s X gọi martingale (supermartingale) • Nếu E ( X t |s ) ≥ X s X gọi martingale (supmartingale) • Nếu E ( X t |s ) = X s X gọi martingale lọc {t , t ≥ 0} Khi không rõ lọc ta hiểu {t } lọc tự nhiên { X t } , tức là: = t σ ( X s , s = ≤ t ) t X 1.6 Quá trình Wiener hay chuyển động Browwn: Định nghĩa 1.6: Chuyển động Brown hay trình Wiener ký hiệu W(t) thỏa mãn tính chất sau: i W(0)=0 ii W(t) biến liên tục theo thời gian t iii Sự thay đổi W(t+s)-W(s)  ℵ(0,1), ∀0 ≤ s ≤ t , ℵ µ , σ  biểu thị   phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ phương sai σ 1.7 Tích phân Ito Định nghĩa 1.7: Cho f (t , ω ) trình ngẫu nhiên với W(t) chuyển động Brown, tất quỹ đạo f W xác định [ a; b ] Tích phân Itô trình ngẫu nhiên f ( t , ω ) giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình sau tồn tại: = I f ( t , ω )dWt ∫= b a l.i.m max t i+1 −ti →0 ∑ f ( t , ω )[W i t+1 − Wt ] (1.1) Chú ý 1.8: i Nếu tích phân trên, ta đặt a = b= t > ta có tích phân Itô t ∫ f ( s, ω )dW s phụ thuộc vào cận t từ ta xét tích phân ii Nếu trình ngẫu nhiên f ( s, ω ) thỏa mãn tích chất (i) (ii) sau có tích phân Itô dr ( t ) µ ( t , r ( t ) ) dt + σ ( t , r ( t ) ) dW ( t ) = (3.24) W trình Wiener Q Ta thấy Q , r (.) trình Markov, toán xác định giá trái phiếu dẫn đến toán biên parabolic ( ) Mệnh đề: Xét quyền tài với thời điểm đáo hạn T có dạng X = ø r (T ) Khi ( ) trình giá độ chênh thị giá cho π ( t , X ) = F t , r ( t ) , F nghiệm toán sau:  ∂F ∂F ∂2F  (t, r ) + µ (t, r ) (t, r ) + σ (t, r ) ( t , r ) − rF ( t , r ) = 2 ∂r  ∂t ∂r  F (t, r ) = ø ( r ) (3.25) ( ) Đặc biệt giá T − trái phiếu cho P ( t , T ) = F T t , r ( t ) ,  ∂F T ∂F T ∂ F  t + µ + σ − rF T = ∂ ∂ t r  ∂r  T  F (T , r ) = (3.26) 3.3.3 Cấu trúc affine Giả sử chọn mô hình lãi suất cụ thể dạng (3.24) độ đo martingale Q , ta muốn tính giá trị quyền tài cụ thể, ví dụ quyền chọn T − trái phiếu với ngày ký hợp đồng S giá trị thực thi K Điều có nghĩa ta cần định giá S − hợp đồng với lượng chi trả: = X max  P ( S,T ) − K ,0  Để định giá quyền chọn ta tiến hành sau: i Với T cố định trên, giải phương trình đạo hàm riêng:  T T t , r + σ t , r F T t , r − rF T t , r = + µ F t , r t , r F ( ) rr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t r    F T (T , r ) =  (3.27) ii Với T cho giải toán biên: Gt ( t , r ) + µ ( t , r ) Gr ( t , r ) + σ ( t , r ) Grr ( t , r ) − rG ( t , r ) = = G ( t , r ) max  FT ( s, r ) − K ,0    iii Định giá quyền chọn công thức: ∏ ( t , X ) = G ( t , r ( t ) ) Sơ đồ ta thực phương trình đạo hàm riêng nói dễ giải Một số vấn đề đặt với mô hình lãi suất dẫn đến phương tình đạo hàm riêng có tính chất tốt phương diện tính toán Kết chủ yếu quan hệ tới toán có liên quan tới cấu trúc affine lãi suất ngắn hạn nghiên cứu Browm-Shaefer (1994), Dufie (1992), Dufie-Kan (1993) ( Định nghĩa 3.3: Nếu trái phiếu cho phương trình P ( t , T ) = F T t , r ( t ) F T có dạng: FT (t, r ) = e A( t ,T )− B( t ,T ).r (3.28) ) A ( t , T ) , B ( t , T ) hàm tất định Khi mô hình gọi mô hình có cấu trúc affine (affine term structure) Giả sử F T có cấu trúc affine (3.28) Khi ta dễ dàng tính đạo hàm riêng thay chúng vào phương trình (3.27) thu phương trình: At ( t , T ) − 1 + Bt ( t , T )  r − µ ( t , r ) B ( t , T ) + σ ( t , r ) B ( t , T ) = (3.29) Và điều kiện biên F T r , T ≡ dẫn đến ( ) A (T , T ) = B (T , T ) = Ta nhận thấy µ σ affine theo r phương trình (3.29) tách Như giả thiết thêm µ σ có dạng: µ= (t, r ) α (t ) r + β (t ) σ= ( t , r ) γ ( t ) r + δ ( t ) Nếu thay µ σ vào phương trình (3.29) ta thu được: At ( t , T ) − β ( t ) B ( t , T ) + δ ( t ) B ( t , T ) −   1 + Bt ( t , T ) + α ( t ) B ( t , T ) − γ ( t ) B ( t , T )  r = (3.30) Nếu phương trình ∀t , T , r ta cần phải có Bt ( t , T ) = −α ( t ) B ( t , T ) + γ ( t ) B ( t , T ) − At ( t , T ) β ( t ) B ( t , T ) − γ ( t ) B ( t , T ) = Mệnh đề 3.4: Giả sử µ σ có dạng: µ= (t, r ) α (t ) r + β (t ) (3.31) σ= ( t , r ) γ ( t ) r + δ ( t ) (3.32) Khi mô hình F T t , r có cấu trúc affine dạng (3.28) A B thỏa ( ) mãn hệ phương trình sau:  −1  Bt ( t , T ) + α ( t ) Bt ( t , T ) − γ ( t ) B ( t , T ) =   B (T , T ) =  (3.33)  =  At β ( t ) B ( t , T ) − δ ( t ) B ( t , T )   A (T , T ) =  (3.34) Phương trình (3.33) phương trình Ricati B với t cố định Sau giải (3.33) ta thay nghiệm B ( t , T ) vào (3.34) sau lấy tích phân (3.34) để thu A ( t ,T ) Có thể thấy cấu trúc affine µ σ Ví dụ: đủ để đảm bảo cho F T có cấu trúc affine Xét mô hình Vasicek, r ( t ) − b trình Ornstein-Uhlenbeck, ta giải được: t −a t − s t −a t − s ( ) ) dw ( s ) at − r (t ) = e r ( 0) + b ∫ e ds + σ ∫ e ( 0 Với mô hình Vasicek ta có: b − ar ,σ ( t , r ) = µ (t, r ) = σ Như vậy: α ( t ) ≡ α ; β ( t ) ≡ β ; γ ( t ) =0;δ ( t ) ≡ σ −1   Bt ( t , T ) − aB ( t , T ) =   B (T , T ) = Vì phương trình (14.1) trở thành:  T) Giải phương trình ta được: B ( t ,= 1 −a T −t )  1− e (   a 2   A= t ( t , T ) bB ( t , T ) − σ B ( t , T ) Còn phương trình (3.34) trở thành:   A (T , T ) =  Thay biểu thức B(t,T) vào hệ ta được: T σ2T = − A ( t ,T ) B s , t ds b ( ) ∫ ∫ B ( t , T ) ds t t σ2  3 = − + − − − T t exp -a T-t exp -2a T-t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  a 2a 2a  b 1 (T − t ) + exp ( -a ( t-T ) ) −   a a a Hoặc A (t,T ) =    2σ  σ2  3σ     − 2b exp ( −a ( t − T ) ) − exp ( −2a ( t − T ) ) + 2b −  σ − 2ba  ( t − T ) +    a a 2a    2a     Do đó: = P ( t , T ) exp  A ( t , T ) − B ( t , T ) r  3.3.4 Ước lượng tham số mô hình lãi suất: Trong phần nghiên cứu việc ước lượng tham số mô hình lãi suất ngắn hạn r ( t ) Để xác định ta chọn mô hình Vasicek, ta cần ước lượng ba tham số a, b, σ Lẽ tự nhiên người ta muốn sử dụng chuỗi thời gian lịch sử trình lãi suất Tuy nhiên phương pháp không áp dụng lý sau: Khi sử dụng mô hình martingale quan tâm đến Q − động học r (.) , quan sát thực với độ đo xác suất khách quan toán thống kê truyền thống Để tránh toán tất nhiên ta xác định mô hình độ đo P sử dụng phương pháp ước lượng tham số cho trình khuếch tán Nhưng sử dụng mô hình để tính giá trái phiếu giá trái phiếu tính với độ đo martingale Q Như cần phải thực toán ước lượng nhân Girsanov để chuyển từ P sang Q Nhưng bào toán tương đương với toán ước lượng tham số theo Q Cần lưu ý thị trường trái phiếu với trình ngoại sinh r (.) không đầy đủ, có vô số độ đo martingale Q nên ước lượng tham số tương ứng với Q mà ta quan tâm Bởi độ đo martingale chưa xác định mô hình mà chọn thị trường, có thông tin thị trường để xác định Q Điều thực cách chọn độ đo Q cho đường hoa lợi lý thuyết ứng với Q phù hợp với đường hoa lợi quan sát thị trường Chúng ta giải vấn đề dựa sơ đồ sau: • Cố định mô hình cụ thể bao gồm vector tham số α đó: = dr ( t ) µ ( t , r ( t ) ,α ) dt + σ ( t , r ( t ) ,α ) dW ( t ) Giải phương trình đạo hàm riêng sau ∀T cố định  T T T T  Ft + µ Fr + σ Frr − rF =   F T (T , r ) =  Từ nhận giá trái phiếu lý thuyết P ( t , T , α ) = F T ( t , r , α ) • Quan sát thị trường trái phiếu để thu liệu giá trái phiếu Ví dụ, hôm ( t = ) quan sát P ( 0, T ) với tất giá trị T Ký hiệu hàm giá { } trị trái phiếu thực nghiệm P* ( 0, T ) ; T ≥ • Bây ta chọn α cho đường lý thuyết { P ( 0, T , α ) ; T ≥ 0} phù hợp với { } đường cong quan sát P* ( 0, T ) ; T ≥ (ứng với hàm mục tiêu lý thuyết ước lượng) Bằng cách ta nhận vector ước lượng α * • Sử dụng vector ước lượng α ước lượng độ đo martingale, r (.) có động học là: = dr ( t ) µ  t , r ( t ) , α *  dt + σ  t , r ( t ) , α *  dWt     Trường hợp lý tưởng ta tìm α * cho: P  0, T= , α *  P* ( 0, T ) , ∀T ≥   Tuy nhiên ta nhận rằng, hệ (14.9) hệ có vô số phương trình , ứng với T ta có một, khó mà hy vọng có (14.9) với vector α * hữu hạn chiều Vì lẽ tự nhiên ta dùng vector tham số vô hạn chiều để làm phù hợp P ( 0, T , α ) với P* ( 0, T ) Một phương pháp thường dùng tìm α = α ( t ) hàm thời gian t Đó lý mô hình Hoo-Lee mô hình Hull-White người ta đưa vào tham số ø ( t ) để mở rộng mô hình Vasicek mô hình CIR Để xác định ta xét mô hình Hull-White: dr ( t ) = ø ( t ) − ar  dt + σ dWt a, σ số, ta giả thiết chúng biết Ta giả thiết { } có trình quan sát P* ( 0, T ) ; T ≥ Bài toán đặt tìm ø (.) cho giá trái phiếu lý thuyết phù hợp với giá trái phiếu quan sát Vì mô hình Hull-White có cấu trúc affine nên ta có: P (t,T ) = exp  A ( t , T ) − B ( t , T ) r ( t )  A, B nghiệm hệ phương trình:  B= t ( t , T ) aB ( t , T ) −   B (T , T ) = 2  =  At ( t , T ) ø ( t ) B ( t , T ) − σ B ( t , T )   A (T , T ) =  Nghiệm hệ cho bởi: B ( t ,= T) 1 −a T −t )  1− e (   a  T 1  = A ( t , T ) ∫  σ B ( s, T ) − ø ( s ) B ( s, T )  ds  t Bây ta sử dụng lãi suất trước (tức thời) f ( t , T ) thay cho P ( t , T ) , đó: f (t,T ) = − ∂ ln P ( t , T ) ∂T f ( 0, t ) BT ( t , T ) r ( ) − AT ( 0, T ) = Cụ thể: Thay BT ( 0, T ) , AT ( 0, T ) thu vào f(t,T) ta có: T −a T − s ( ) f ( 0, T= ) e−aT r ( ) + ∫ e σ2  −aT 1 − e 2a  ø ( s )ds − {    σ2  −aT 1 − e 2a     } Đường cong lãi suất định trước f * ( 0, T ) ; T ≥ xác định bởi: ∂ ln P* ( 0, T ) * f ( 0, T ) = − , ∂T bây giở ta tìm hàm ø cho, ∀T ≥ T −a T − s ( ) f * ( 0, T= ) e−aT r ( ) + ∫ e ø ( s )ds − f* Ta viết phương trình dạng:= T) ( 0,= x (T ) − g (T ) x (.) g (.) nghiệm phương trình sau:  x = −ax ( t ) + ø ( t )   x ( ) = r ( ) σ2 σ2  − at  g (t ) = 1 − e  = B ( 0, t )   2a Từ ta thu được: ø ( t ) = x (T ) + ax (T ) = f * ( 0, T ) + g (T ) + ax (T ) ø ( t= ) f * ( 0, T ) + g (T ) + a  f * ( 0, T ) + g (T )    3.4 Mô hình Heath-Jarrow-Merton (HJM) Trong phần trước ta nghiên cứu mô hình xác suất lãi suất ngắn hạn r (.) biến giải thích (ngoại sinh) Mô có lợi sau đây:  Việc xác định r (.) nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên cho phép ta sử dụng tính chất Markop mô hình đưa đến việc giải Phương trình đạo hàm riêng  Thông thường nhận công thức giải thích tường minh để xác định giá trái phiếu trái phiếu Tuy nhiên nhược điểm mô hình lãi suất ngắn hạn là: • Từ quan điểm kinh tế giả thiết toàn thị trường tiền tệ bị chi phối biến giải thích r (.) tỏ không hợp lý • Rất khó để nhận cấu trúc độ biến động xác thực lãi suất định trước không đưa mô hình lãi suất ngắn hạn r (.) phức tạp • Khi mô hình lãi suất ngắn hạn trở thành xác thực việc sử dụng đường hoa lợi mô tả trở nên phức tạp Phương pháp mô hình hóa đề suất Heath-Jarrow-Morton để khắc phục nhược điểm Định nghĩa: Mô hình HJM mô hình giá trái phiếu P ( t , T ) có liên hệ với giá lãi suất r ( t ) mô tả phương trình diễn biến (8.2): = dP ( t , T ) r ( t ) P ( t , T ) dt + σ ( t , T ) P ( t , T ) dB Hay viết gọn lại = dP rPdt + σ PdB Mô hình giống mô hình giá cổ phiếu Black-Scholes, r = r ( t ) hàm theo t , σ = σ ( t , T ) hàm theo hai biến t T Ta có lôgarit P ( t , T ) thỏa mãn phương trình:   d ln P ( t , T ) =  r ( t ) − σ ( t , T )  dt + σ ( t , T ) dB (3.35) Ta có giá trái phiếu P ( t , T ) liên hệ với lãi suất định trước f ( t , T ) công thức: T P ( t ,T ) = e f (t,T ) = − Hoặc ∫ − f ( t , s )ds t ∂ ln P (t,T ) ∂T Mệnh đề 3.6: Trong mô hình HJM, lãi suất định trước f ( t , T ) thỏa mãn phương trình: df= (t,T ) σ ∂σ ∂σ dt − dB ∂T ∂T (3.36) Chứng minh: Ký hiệu F ( t , T1 , T2 ) lãi suất định trước cho thời kỳ [T1 , T2 ] định trước vào thời điểm t , ta có: F ( t , T1 , T2 ) = ln P ( t , T1 ) − ln P ( t , T2 ) T2 − T1 Thật vậy, hệ thức (3.36) suy hệ thưc sau: P ( t , T1 ) = P ( t , T2 ) e −(T2 −T1 ) F ( t ,T1 ,T2 ) Giá T1 = giá T2 × hệ số chiết khấu Hệ số chiết khấu = exp(-khoảng thời gian × lãi suất) Áp dụng (3.35) cho t = T1 t = T2 , ta được:   d ln P ( t , T1 ) =  r ( t ) − σ ( t , T1 )  dt + σ ( t , T1 ) dB (3.37)   d ln P ( t , T2 ) =  r ( t ) − σ ( t , T2 )  dt + σ ( t , T2 ) dB (3.38) Kết hợp hai phương trình (3.37) (3.38) ta được: σ ( t , T2 ) − σ ( t , T1 )  dt + σ ( t , T1 ) − σ ( t , T2 )  dB  d ln P ( t , T1 ) − ln= P ( t , T2 )  Do đó: ln P ( t , T1 ) − ln P ( t , T2 ) σ ( t , T2 ) − σ ( t , T1 ) σ ( t , T1 ) − σ ( t , T2 ) = F ( t , T1 , T2 ) = dt dt + dB T2 − T1 (T2 − T1 ) T2 − T1 Cho T2 → T1 , đồng thời ta ý F ( t , T1 , T2 ) = f ( t , T1 ) lãi suất định trước t cho thời điểm T1 Khi đó, ta có: ∂ ( t , T1 ) ∂σ ( t , T1 ) ∂ ( t , T1 ) ∂σ f ( t , T1 )= dt − dB= σ ( t , T1 ) dt − dB ∂T1 ∂T1 ∂T1 ∂T1 Thay ký hiệu T1 T ta có df= (t,T ) σ ∂σ ∂σ dt − dB ∂T ∂T (3.39) Nhận xét 3.7: • Trong phương trình (3.39) lãi suất định trước f , vắng mặt lãi suất ngắn hạn r ( t ) • Trong phương trình (3.39) hệ số dịch chuyển µ ( t , T ) = σ ( t , T ) biến động ν ( t , T ) = − ∂σ độ ∂T ∂σ Do ta thấy hai hệ số liên quan với ∂T µ = −σν Khi đó: T T ∂σ ∂σ ∂σ ( t , s ) µ (t,T ) = σ (t,T ) = ds = −ν ( t , T ) ∫ν ( t , s ) ds ∂T ∂T ∫t ∂s t T µ ( t , T ) = −ν ( t , T ) ∫ν ( t , s ) ds Tứclà t (11.1) Điều có nghĩa phương trình lãi suất định trước mô hình HJM độ biến động xác định hoàn toàn nên độ dịch chuyển Đó điều đặc biệt mô hình KẾT LUẬN Trên hoàn thành việc nghiên cứu vấn đề mô hình hóa trình lãi suất kinh tế, tương lai có kế hoạch tìm hiểu sâu vấn đề Luận văn hội để củng cố vận dụng kiến thức học vào đề tài cụ thể biết thêm số kiến thức Luận văn nhiều thiếu sót, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn bè TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Trần Trọng Nguyên (2011), Cơ sở Toán Tài Chính , Nhà xuất Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội [2] Nguyễn Chí Long (2008), Xác suất thống kê trình ngẫu nhiên, Nhà xuất đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, thành phố Hồ Chí Minh [3] Nguyễn Chí Long (2011), “Bổ đề Farkas ứng dụng thị trường tài chính” Tạp chí Khoa Học, 27(61), tr 41-53 [4] Nguyễn Chí Long (2011), “Mô hình định giá tài sản tư bản” Tạp chí Khoa Học, 30(64), tr 25-41 [5] Nguyễn Văn Hữu-Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán học tài chính, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội [6] Bùi Hữu Phước, (2008), Toán tài chính, Nhà xuất thống kê, thành phố Hồ Chí Minh [7] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn Toán Học Tài Chính, Nhà xuất Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội Tiếng Anh: [8] Robert J Elliott and P.E.Kopp, (2005), Mathematics of Financial Market, Springe Finance, Second Edition [9] Hans Foellmer and Alexander Schied (2002), An Introduction In Discrete time, Walter de Gruyter [10] G Pennacchi (2008), Theory of Asset Pricing, Person Education, Increase affect [11] Pliska (2008), Introduction to Mathematical Finance, Blackwell Pulishing [12] A Das (1997), An elemantary proof of Faska’s lemma, SIAM Rev., 39(3), pp 503-507 [...]... , lãi suất hàng năm là 6, 2% cho đến lúc đáo hạn 10 CHƯƠNG III: MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT Các mô hình lãi suất chủ yếu được sử dụng để định giá các trái phiếu, định giá và bảo hộ các quyền lựa chọn trên các trái phiếu Các mô hình trái phiếu thường không tương đương với mô hình Black-Scholes cho các quyền lựa chọn trên các trái phiếu Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các mô hình lãi suất. .. cứu các phương pháp định giá trái phiếu dựa trên các mô hình cơ bản đó và chỉ rõ cách vận dụng chúng trong thực hành Nội dung chủ yếu của phần này là dựa trên các công trình nghiên cứu của Aztzner và Dalbaen (1989) và Bjork (1997) 3.1 Mô hình Vasicek và mô hình Ho-Lee: 3.1.1 Định nghĩa: Mô hình Vasicek đối với lãi suất r = r ( t ) có dạng như sau: dr = α ( β − r ) dt + σ dB (3.1) Ta nhận thấy mô hình. .. Trong các tích phân (1.3) và (1.4 ) thì dX coi như đã biết và ta có thể thay dX = hdt + fdW Trong khi thực hiện các tính toán trên các vi phân, ta có thể áp dụng các quy tắc sau: = dt.dt 0,= dt.dW=dW.dt 0, dW.dW=dt CHƯƠNG II: LÃI SUẤT VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ TRÁI PHIẾU Tiền tệ là một loại hàng hóa và lãi suất là chi phí cho hàng hóa đó Tiền hoặc vốn đảm bảo cho sự phát triển của các quốc gia, cho các chi... thời điểm hiện tại là t = 0 , lãi suất của một hợp đồng tại thời điểm t > 0 có thời hạn đáo hạn T được gọi là lãi suất định trước Ký hiệu: f (0; t ) • Lãi suất ngắn hạn tức thời tại thời điểm t (ký hiệu là r (t ) ) được định nghĩa như sau: r (t ) = F (t , t ) (2.7) Nếu lãi suất thị trường ổn định và lãi suất ngắn hạn là r (hằng số) thì hiển nhiên giá P0 của trái phiếu lãi suất 0 vào ngày hôm nay (t =... + C Bằng cách chọn ∆ một cách sáng suốt (C là khoản tiền mặt) ta khử được số hạng có dB  Thiết lập phương trình Black-Scholes: ∂V ∂V 1 2 2 ∂ 2V 0 + rS + σ S − rV = ∂t ∂S 2 ∂S 2 (2.25)  Giải các phương trình đó 2.5.2 Mô hình định giá trái phiếu a) Giả sử rằng giá trái phiếu P ( t , T ) chỉ phụ thuộc vào: • Thời điểm đáo hạn T • Thời điểm t • Lãi suất ngắn hạn r ( t ) Ta sẽ dùng cho mô hình r (t )... chút từ mô hình = dr µ dt + σ dB , trong đó hệ số dịch chuyển µ là hằng số được thay thế bằng một hệ số là một hàm tuyến tính của r : α ( β − r ) Các mô hình loại này thường được gọi là mô hình phục hồi trung bình, vì số hạng α ( β − r ) đẩy r về β khi nó biến thiên với tốc độ là α Cũng như trước đây, β biểu thị độ biến động (volatility) của lãi suất r = r ( t ) theo nhiễu trắng dB Đối với mô hình Vasicek,... quát hơn phương trình Black-Scholes ở chỗ µ và σ ở đây đều là những hàm số của t Ngoài ra, đối với phương trình Black- Scholes khi ta cho các điều kiện ban đầu thì sẽ tồn tại lời giải duy nhất Còn đối với (2.37) thì có vô số lời giải phụ thuộc vào cách chọn r ( t ) e) Ta đã bắt đầu bằng một mô hình đối với lãi suất ngắn hạn = dr µ ( r , t ) dt + σ ( r , t ) dB Và ta đi tới một mô hình định giá trái... rằng ( X t , t ≥ 0 ) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho: • Hầu hết các quỹ đạo t → X t liên tục t t 0 0 • Hầu chắc chắn X t có biểu diễn X t = X 0 + ∫ h ( s, ω ) ds + ∫ f ( s, ω ) dWs Trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được sao cho các tích phân trong biểu diễn tồn tại thì ta nói rằng X là một quá trình Itô và có vi phân Itô dX Vi phân Itô dX được viết dưới hình thức như sau: dX t h(t... mua một hợp đồng chuyển đổi, cho phép lãi suất thả nổi lấy một lãi suất nhất định Phía bên kia của hợp đồng, tức ngân hàng họ chịu nhận lãi suất cố định do công ty ấy trả và trả lãi suất thả nổi cho chủ nợ của công ty ấy Trước tình thế đó, Ngân hàng cần phải định giá được sự chuyển đổi này để tự bảo hộ cho mình trước những diễn biến không dự đoán được của lãi suất tương lai Ngân hàng phải thỏa thuận... , Sn (t ) là các quá trình ngẫu nhiên nên giá của phương án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên Các αi (t ) ở đây là các hàm số tất định của t Một phương án đầu tư được ký hiệu bởi ø=(α ,S) Phương án đầu tư cũng được gọi là danh mục đầu tư hoặc chiến lược đầu tư hoặc chiến lược buôn bán Phiếu lãi (Coupon): một phiếu lãi (coupon) là phiếu đính kèm vào trái phiếu cho biết số tiền lãi mà người mang ... , lãi suất hàng năm 6, 2% lúc đáo hạn 10 CHƯƠNG III: MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT Các mô hình lãi suất chủ yếu sử dụng để định giá trái phiếu, định giá bảo hộ quyền lựa chọn trái phiếu Các. .. ……………………………………… Chương 2: LÃI SUẤT VÀ LÃI SUẤT ĐỊNH TRƯỚC ……………………………………… Chương 3: MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT ……………………………………… CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa... Mô hình hóa trình lãi suất Tuy nhiên, với tính chất phức tạp vấn đề, với giới hạn viết trình bày mô hình lãi suất quan trọng nhất, nghiên cứu phương pháp định giá trái phiếu dựa mô hình rõ cách