Trong phần này ta sẽ nghiên cứu thị trường trái phiếu trong đó chỉ có lãi suất ngắn hạn r t( )là biến giải thích duy nhất. Điều đó tất nhiên dẫn tới nghiên cứu một lớp con các mô hình thị trường trái phiếu. Tuy nhiên về mặt lịch sử thì đó là cách tiếp cận lâu đời và cách tiếp cận đó có một số nét khá thú vị về tính toán. Đặc biệt với cách tiếp cận này, người ta có thể định giá và việc bảo hộ giá có thể thực hiện trong khuôn khổ của các phương trình đạo hàm riêng.
Trước tiên người ta giả sử rằng lãi suất ngắn hạn r t( )tuân theo mô hình sau đây dưới độ khách quan P:
( ) ( , ( )) ( , ( )) ( )
dr t =µ t r t dt+σ t r t dω t
(3.12)
Trong đó µ( )t r, và σ( )t r, là các hàm giá trị thực đã cho và giả thiết là đủ trơn sao cho phương trình đạo hàm riêng (10.9) có nghiệm mạnh duy nhất, ω( )t là quá trình Wiener dưới P và lọc F ={t,t≥0}là lọc cảm sinh bởi ω( )t .
Giả sử r( ). tuân theo mô hình (3.12) và chỉ có một quá trình duy nhất đã cho trước nên thị trường là tài sản không rủi ro B( ). với động học:
( ) ( ) ( ) ( )0 1 dB t r t B t dt B = =
Lẽ tự nhiên người ta xét các trái phiếu như là các trái phiếu, động học của nó phụ thuộc vào quá trình B( ). với lãi suất r( ). được xem như là đối tượng cơ bản giống như quyền chọn là một trái phiếu trên các quá trình chứng khoán trong mô hình Black-Scholes. Một vấn đề đặt ra là phải chăng giá trái phiếu P t T( ), được xác định duy nhất bởi P-động lực của r( ). ngoài đòi hỏi rằng thị trường trái phiếu là không có độ chênh lệch thị giá.
Câu trả lời là không bởi vì thị trường trái phiếu của chúng ta là không đầy đủ, trong thị trường đó chỉ có một tài sản ngoại sinh đã cho là B( ). . Đó là tài sản không rủi ro duy nhất và như vậy danh mục đầu tư duy nhất mà chúng ta thực hiện là đặt tất cả vốn vào ngân hàng và ngồi đợi một cách thụ động. Đặc biệt là không có khả năng đáp ứng bất kỳ một quyền tài chính nào, ngay cả quyền tài chính đơn giản gắn với trái phiếu không trả lãi.
Vì thị trường là không đầy đủ nên độ đo martingle (độ đo của thị trường) là không duy nhất. Ngược lại, bởi vì trong trường hợp này quá trình giá chứng khoán chiết khấu duy nhất là quá trình tầm thường:
( ) ( )( )
0 B t 1
Z t
B t
= ≡
Vì vậy với bất kỳ độ đo Q nào tương đương vớiP là độ đo martingle. Hơn nữa với bất kỳ PQ sẽ sinh ra một thị trường trái phiếu không có độ chênh thị giá, trong đó giá trái phiếu xác định bởi ( ) T ( )
t , Q exp - t P t T E r s ds = ∫
So với mô hình Black-Scholes có sự khác biệt chủ yếu là lãi suất ngắn hạn r( ).
không phải là giá của tài sản được kinh doanh trên thị trường như giá chứng khoán S
trong mô hình Black-Scholes.
Chính vì vậy chúng ta nói rất it về giá của một trái phiếu cụ thể. Tuy nhiên thị trường trái phiếu có một đặc thù đặc biệt mà chúng ta có thể khai thác nó, cụ thể là:
Các trái phiếu tại các thời điểm khác nhau phải thỏa mãn mối quan hệ nhất quán nội tại.
Nếu chúng ta xét một trái phiếu riêng biệt trong một thị trường thái phiếu, chúng ta có thể định giá tất cả các trái phiếu khác theo giá trái phiếu tham chiếu đó.