luận văn thạc sĩ nhóm liên hợp đóng

Các tính chất của T – nhóm đã được khảo sát khá phong phú trong [3] còn trong luận văn này ta sẽ đưa ra định nghĩa và khảo sát một số tính chất của các nhóm liên hợp đóng – một lớp con c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

L ời cảm ơn

Trước tiên, tác giả luận văn xin gửi lời cảm ơn đến người thầy đáng kính,

PSG.TS M ỵ Vinh Quang, người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong

su ốt quá trình học tập từ đại học cho đến cao học và làm luận văn

Xin c ảm ơn các bạn học viên Cao học Đại Số khóa 21 trường ĐHSP

Tp HCM đã động viên giúp đỡ tác giả rất nhiều trong thời gian làm luận văn

Xin được gửi lời cảm ơn đến thầy giáo TS Trần Huyên, người thầy đã dẫn

d ắt tác giả đến với những kiến thức đầu tiên của môn Đại số

Cu ối cùng xin gửi lời tri ân đến gia đình, bạn bè, người thân và đồng nghiệp

đã động viên giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và công tác

TÁC GI Ả LUẬN VĂN

M ục Lục

Lời cảm ơn 1

Bảng ký hiệu 3

Mở đầu 4

CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU 6

1.1 Định lý Sylow 6

1.2 Nhóm lũy linh, nhóm giải được và các tính chất liên quan 8

1.3 M ột số nhóm quan trọng 13

1.4 Bi ểu diễn chính quy của một nhóm 18

1.5 Nhóm t ự do và một số tính chất liên quan 20

CHƯƠNG II: NHÓM LIÊN HỢP ĐÓNG 23

2.1 Định nghĩa và ví dụ nhóm liên hợp đóng 23

2.2 Các tính ch ất cơ bản của nhóm liên hợp đóng 23

2.3 Nhóm liên h ợp đóng và các tính chất liên quan đến tính lũy linh và giải được 34

2.4 Nhóm liên h ợp đóng hữu hạn 40

Kết Luận 44

Đề xuất của luận văn 45

Tài Liệu Tham Khảo 46

B ảng ký hiệu

H

x Lớp liên hợp của x trong H

H ≤ , H G G < H là nhóm con của nhóm G, H là nhóm con thực sự của G

H G H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G

M ở đầu

Với G là một nhóm bất kỳ nếu A B G  thì A chưa chắc là nhóm con chuẩn

tắc của G Tức là tính chuẩn tắc không bắc cầu Vậy thì khi nào tính chuẩn tắc bắc

cầu, và nhóm đó có những tính chất gì? Tính chất trên được lấy làm định nghĩa cho

lớp các T – nhóm Các tính chất của T – nhóm đã được khảo sát khá phong phú trong [3] còn trong luận văn này ta sẽ đưa ra định nghĩa và khảo sát một số tính chất

của các nhóm liên hợp đóng – một lớp con của các T – nhóm

Với K G≤ , gọi 1

K

x = kxk− k∈K là lớp liên hợp của x trong K Cho H G ,

nếu x H =x G,∀ ∈x Hthì H được gọi là liên hợp đóng G được gọi là nhóm liên hợp

đóng nếu mọi nhóm con chuẩn tắc đều liên hợp đóng Hơn nữa, nếu A B G  thì

của T – nhóm ở [3] đưa ra một số tính chất tương tự, và một số các tính chất rất đặc

biệt chỉ có nhóm liên hợp đóng

Nội dụng luận văn gồm các phần sau:

Chương I: Các Kiến Thức Mở Đầu

Trình bày l ại các khái niệm, chứng minh lại một số các định lý, bổ đề để dùng trong lu ận văn

Chương II: Nhóm Liên Hợp Đóng

1 Định nghĩa và ví dụ nhóm liên hợp đóng

2 Các tính ch ất cơ bản của nhóm liên hợp đóng:

Đây là phần trình bày các kết quả chính của luận văn, ta sẽ chứng minh

r ằng: Nếu nhóm G=Z G( )× thì G liên h H ợp đóng ⇔ H liên hợp đóng Hơn

n ữa nhóm hữu hạn G là nửa đơn liên hợp đóng và hoàn thiện nếu và chỉ nếu

nó là tích c ủa các nhóm đơn không abel

3 Nhóm liên h ợp đóng và các tính chất liên quan đến tính lũy linh và giải

được

Trong l ớp các nhóm liên hợp đóng thì tính chất lũy linh và giải được tương

đương nhau Đặc biệt liên hợp đóng mà lũy linh thì abel Ta còn chỉ ra rằng

nhóm đối xứng S v n ới n ≥ là không liên hợp đóng 3

4 Nhóm liên h ợp đóng hữu hạn

Kh ảo sát các tính chất của nhóm liên hợp đóng hữu hạn

CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU

1.1 Định lý Sylow

Định nghĩa 1.1.1 Với p nguyên tố, một nhóm hữu hạn được gọi là p – nhóm nếu

c ấp của nó là lũy thừa của p

Định lý 1.1.2 ( Định lý Sylow) Cho p là số nguyên tố, G là nhóm hữu hạn,

n

G = p m v ới (p m, )=1 Khi đó:

a) V ới mọi 1 k n ≤ ≤ , t ồn tại trong G một p – nhóm con có cấp k

p Nói riêng, t ồn tại trong p – nhóm con Sylow của G ( n

G = p m nên p – nhóm con Sylow c ủa G có cấp là p n

Ta có: PH, vì vậy P cũng là p – nhóm con Sylow của H

Suy ra số p – nhóm con Sylow là trong H là: ( :H N G( ))P = 1

⇒ P là p – nhóm con Sylow duy nhất trong H

Lấy g∈N G(H), ta có: g−1Pg≤g−1Hg=H , nên g−1Pg cũng là p – nhóm con Sylow của H

Suy ra điều phải chứng minh

ii) Ta có do N  nên PN là nhóm của G, thật vậy: G

Mà P∩ ≤ nên |N P P∩N| , do đó P N p ∩ là p – nhóm con của G

Mặt khác, P N N ∩ ≤ nên P N∩ là p – nhóm con của N

Do |N|:|P∩N| |= N P: ∩N|= với ( , ) 1n n p = , nên P N∩ là p – nhóm con Sylow

Bổ đề 1.1.4 ( Frattini Argument) Cho G là nhóm hữu hạn, N là nhóm con chuẩn

t ắc của G và P là p – nhóm con Sylow của N Khi đó : G=N G( )P N

Ch ứng minh

Lấy x G ∈ , vì N G , ta có: 1 1

x− Px≤x− Nx=N

Do đó x− 1Px là p – nhóm con Sylow của N

Theo định lý Sylow x− 1Px và P liên hợp với nhau trong N: x− 1Px=n− 1Pn với

n∈ N

Ch ứng minh Cho nhóm G tác động vào tập A={g H1 ,…g H n }với phép nhân trái

Mỗi hoán vị trên A được xem như một phần tử của S : n

: G

ϕ ⟶S n

x⟼σx:{g H1 ,…g H n }⟶{g H1 ,…g H n }

g H i ⟼xg H i

Dễ dàng kiểm tra σx như vậy là xác định

Đặt N ker= ϕ , ta có N  (lấy n N H ∈ , khi đó nH H= ⇒ ∈ ) n H

Mặt khác /G N ≅K ≤S nnên [ :G N]≤n! ∎

1.2 N hóm lũy linh, nhóm giải được và các tính chất liên quan

Định nghĩa 1.2.1 Cho G là một nhóm, x x1, 2∈G Khi đó ký hiệu là [ ,x x1 2] là

hoán t ử của x x1, 2, xác định bởi 1 1

[ ,x x ]=x x x x− −

Nhóm sinh bởi tất cả các hoán tử của G được gọi là nhóm con dẫn xuất của G

Kí hiệu là 'G hay [G,G]

Như vậy G'=<[ ,x x1 2] |x x1, 2∈ >G

Một nhóm G mà nhóm con dẫn xuất của G trùng với nó (tức là G’ = G) thì G được

gọi là nhóm hoàn thiện

Sau đây ta sẽ xét một tính chất về nhóm con dẫn xuất sẽ được sử dụng trong luận văn

Bổ đề 1.2.2 Cho G là nhóm, N G  , khi đó G/N abel ⇔G'≤ N

Ch ứng minh ( )⇒ giả sử G/N abel, khi đó: Nx Ny =Ny Nx ∀x y, ∈G

(⇐ N) ếu G N′ ≤ thì [ , ]x y ∈ ∀N x y, ∈ G , theo các bước trên ta có G/N

abel Hơn nữa G/G’ là abel và nó là nhóm thương lớn nhất abel ∎

Tiếp theo ta sẽ định nghĩa nhóm lũy linh và nhóm giải được, đây là hai khái niệm

rất quan trọng trong lý thuyết nhóm:

Định nghĩa 1.2.3 Cho G là nhóm, ta đặt

0( )G {1}, 1( )G ( ), 2( ) /G Z G1( ) ( / 1( )) , n / n 1 ( / n 1( )

Z = Z =Z G Z =Z G Z G … Z Z − =Z G Z − G

… Gọi tắt Z i =Z G i( )

Khi đó dãy Z0≤Z1≤Z2 ≤  được gọi là dãy tâm trên của G

Nhóm G được gọi là lũy linh nếu dãy tâm trên dừng hay Z m = vG ới m nguyên

dương nào đó Khi đó độ dài ngắn nhất của dãy tâm trên được gọi là lớp lũy linh của

Khi đó dãy G=γ1( )G ≥γ2( )G ≥γ3( )G ≥  được gọi là dãy tâm dưới của G

Người ta chứng minh được rằng nhóm G là lũy linh nếu và chỉ nếu dãy tâm dưới

của G dừng hay γm( )G = v1 ới số nguyên dương m nào đó Hơn nữa độ dài ngắn

nhất của dãy tâm dưới cũng bằng với lớp lũy linh của G

Định nghĩa 1.2.5 Cho nhóm G, ta đặt

0( ), 1( ) ( ) , , i( ) ( i 1( )) [ i 1( ), i 1( )],

G =δ G δ G =δ G =G′…δ G =δ δ − G = δ − G δ − G … là dãy các nhóm con của G

Khi đó dãyG=δ0( )G ≥δ1( )G ≥δ2( )G ≥ được gọi là dãy dẫn xuất của G

Nhóm G được gọi là giải được nếu dãy dẫn xuất dừng hay δm( )G = v1 ới số nguyên

dương m nào đó Khi đó độ dài ngắn nhất của dãy dẫn xuất được gọi là độ dài dẫn

xu ất của G

Ta xét một vài tính chất của nhóm lũy linh và nhóm giải được hay sử dụng:

Bổ đề 1.2.6 Cho G là nhóm , nếu φ: G→ K là toàn c ấu thì ( ( ))φ γi G =γi( )K i∀

Định lý 1.2.7 Một p – nhóm hữu hạn thì lũy linh

Ch ứng minh Cho G là p-nhóm hữu hạn, giả sử | | G = p n

Ta sẽ chứng minh quy nạp theo lực lượng của G:

- Nếu |G|=1, hiển nhiên G lũy linh (γ1( )G =G = ) 1

- Giả sử |G|>1 ⇒Z G( )≠ 1Khi đó G/Z(G) là p-nhóm và |G/Z(G)|<|G| và vì vậy theo giả thiết quy nạp G/Z(G) là lũy linh

Định lý 1.2.8 Cho nhóm G lũy linh Khi đó mọi nhóm con thực sự của G đều thực

s ự chứa trong cái chuẩn hóa tử của nó

Làm việc với nhóm lũy linh, ngoài sử dụng định nghĩa dãy tâm trên và dãy tâm dưới, ta cần có thêm công cụ là các tính chất tương đương với lũy linh

Định lý 1.2.9 Cho G hữu hạn, các tính chất sau tương đương:

i) G lũy linh

ii) M ọi nhóm con Sylow đều chuẩn tắc trong G

iii) G là tích tr ực tiếp của những nhóm con Sylow của nó

Khi đó P là các i p - nhóm con Sylow trong G i ⇒ P i G∀ =i 1, 2… ,k

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: P P1 2…P k ≅ × …× P1 P2 P k

- k=1: điều này hiển nhiên!

iii ⇒ Ta chi ứng minh quy nạp theo lực lượng của G

- Nếu |G|=1, hiển nhiên G lũy linh

- Nếu |G|>1, giả sử G= × …× là tích các pP1 P2 P k i-nhóm không

Do đó: γc+1( )G =[γc( ), ] [ ( ), ] 1G G ≤ Z G G = Suy ra G lũy linh ∎

Định lý 1.2.10 ( Định lý Schreier) Nhóm đẳng cấu ngoài của một nhóm đơn hữu

h ạn thì giải được Xem [6] ∎

1.3 M ột số nhóm quan trọng

Định nghĩa 1.3.1 Nhóm G được gọi là T – nhóm nếu mọi nhóm con chuẩn tắc của

nhóm con chuẩn tắc của G là chuẩn tắc trong G (tức là: G là T – nhóm và

,

Định nghĩa 1.3.2 Một nhóm G được gọi là F.C – nhóm nếu mọi lớp liên hợp của

mỗi phần tử trong G là hữu hạn

Định nghĩa 1.3.3 Nhóm G được gọi là nửa đơn nếu G không có nhóm con chuẩn

tắc abel không tầm thường

Định nghĩa 1.3.4 Nhóm con Frattini của một nhóm G là giao của tất cả các nhóm

con tối đại của G Kí hiệu là ( )φ G

Nếu G không có nhóm con tối đại thì nhóm con Frattini của G bằng G

Sau đây ta xét một số tính chất của nhóm con Frattini:

Định lý 1.3.5 Nhóm con Frattini của G là nhóm con chuẩn tắc của G

Ch ứng minh Thật vậy ta sẽ chứng minh giao của tất cả các nhóm con tối đại của G

là nhóm con chuẩn tắc của G

Cho M là nhóm con tối đại của G

Khi đó g Mg− 1 vẫn là nhóm con tối đại của G Vì nếu g Mg− 1 không tối đại thì nó sẽ được chứa trong một nhóm con thực sự H của G, nhưng khi đó

 là giao tất cả các nhóm con tối đại

Khi đó tính chất của phép liên hợp cho ta: ( i) 1 i 1 i

g M g− =gM g− =M

Vì vậy theo )ii ⇒ i) định lý 1.2.9 ta được ( )φ G lũy linh ∎

Định nghĩa 1.3.7 Một nhóm H của G gọi là có phần bù trong G nếu có một nhóm

con không tầm thường K của G sao cho G HK=

Định lý 1.3.8 Một nhóm con chuẩn tắc N của một nhóm G hữu hạn có phần bù nếu

và ch ỉ nếu N không chứa trong nhóm con Frattini của G

Ch ứng minh

)

⇒ giả sử N là nhóm con chuẩn tắc có phần bù là H trong G

Khi đó H được chứa trong nhóm con tối đại M của G

Do G = NH nên G = NM

Nếu N ≤φ( )G thì N ≤M (mâu thuẫn)

Do đó: N không chứa trong ( )φ G

(⇐ giả sử N không chứa trong ( )) φ G Thì sẽ tồn tại một nhóm con tối đại M của

G, mà N không chứa trong M

Do N  , nên ta có G = NM, và do đó N có phần bù trong G G ∎

Định nghĩa 1.3.9 Một nhóm con H của G được gọi là nhóm á chuẩn tắc

(subnormal) của G nếu tồn tại dãy: H H1H n =G

Như vậy ta thấy rằng mọi nhóm á chuẩn tắc của T- nhóm đều là nhóm con chuẩn tắc

Suy ra H là nhóm á chuẩn tắc của G

(⇐ giả sử mọi nhóm con của G đều là nhóm á chuẩn tắc của G )

Lấy P là p – nhóm con Sylow của G, khi đó tồn tại dãy:

P  P P =G

Ta sẽ dùng định lý 1.2.9 chứng minh P G :

Ta chứng minh quy nạp theo n:

- n= : theo bổ đề trên (Frattini Argument) ta có: 1

Từ kết quả này hiển nhiên ta có hệ quả sau:

Hệ quả 1.3.11 Mọi nhóm lũy linh là T – nhóm khi và chỉ khi mọi nhóm con đều

Định nghĩa 1.3.12 Nhóm con Fitting là nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con lũy

linh chuẩn tắc của nhóm G Ký hiệu : ( )F G

Từ định nghĩa ta có nhận xét: ( )F G là nhóm con lũy linh chuẩn tắc lớn nhất và duy

Do đó C lũy linh và do đó C≤F G( )

- Lấy N là nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G

Lấy x N∈ , do định lý 1.3.10 nên x < > mà N G N  ⇒< >x  (tính chất của G

T – nhóm)

Theo chứng minh của định lý 2.2.5: /G C G( )x ≅K ≤ Aut< > x

Do đó /G C G( )x là abel, suy ra G′≤C G( )x ⇒ ∈ =x C C G(G′)⇒N ≤ C

1.4 Bi ểu diễn chính quy của một nhóm

Định nghĩa 1.4.1 Xét tác động trái của G lên chính nó: :ϕ G→S G với

Do đó ϕlà đơn cấu, và đồng cấu này được gọi là biểu diễn chính quy (trái) của G

Định lý 1.4.2 Cho G hữu hạn, lấy ϕ: G⟶S là bi G ểu diễn chính quy trái của G

Ch ứng minh rằng nếu có phần tử x G ∈ sao cho | | x =n G,| |=mn thì ( )ϕ x là tích c ủa

Vì | |x = nên n σ ϕ= ( )x ∈S G cũng có cấp n, tức là 2 1

{1, , , , n }

σ σ σ σ −

Ta biết rằng mỗi hoán vị là tích của những chu trình rời nhau Khi đó tích này được

gọi là chu trình khai triển (cylce decomposition) Hơn nữa với mỗi hoán vị thì chu

trình khai triển là duy nhất, sai khác thứ tự các chu trình (do rời nhau) Xem [9]

Nếu cho < > tác động vào G thì chu trình khai triển của σ được lấy từ quỹ đạo σ

Hơn nữa: một chu trình có độ dài lẻ là một hoán vị chẵn và một chu trình có độ dài

chẵn là một hoán vị lẻ Do đó ( )ϕ x là hoán vị lẻ nếu và chỉ nếu chu trình khai triển

của nó gồm số lẻ các chu trình chẵn, tức là n chẵn và m lẻ ∎

Bổ đề 1.4.3 Nếu G là nhóm, N G ≤ ,[ :G N]= p nguyên t ố và K G ≤ thì ho ặc

K ≤ N ho ặc G KN= và [K K: ∩N]= p

Ch ứng minh giả sử \ K N ≠ ∅ , gọi k∈K N\

Ta có: G N/ ≅Z plà nhóm cyclic, hơn nữa nó được sinh bởi một phần tử bất kỳ khác đơn vị (do p nguyên tố) hay /G N =< > k

Định lý 1.4.4 Cho G hữu hạn, ϕ: G ⟶S là bi G ểu diễn chính quy trái Chứng minh

r ằng: nếu ( )ϕ G có ch ứa một hoán vị lẻ thì G có nhóm con chuẩn tắc chỉ số 2

Ch ứng minh Ta có ( )ϕ G ≤S G chứa một hoán vị lẻ, do đó ϕ( )G A G

Mặt khác A G S Gcó chỉ số 2 [ ( ) :⇒ ϕ G A G ∩ϕ( )]G = (theo b2 ổ đề trên)

Do biểu diễn chính quy trái là đơn cấu nên ta đồng nhất ( )ϕ G = G≤S G

Do đó G có nhóm con chuẩn tắc chỉ số 2 là A G∩ϕ( )G ∎

1.5 Nhóm t ự do và một số tính chất liên quan

Địn nghĩa 1.5.1 Nếu X là tập con khác rỗng của nhóm F, khi đó F là nhóm tự do

với cở sở X nếu: với mỗi nhóm G và với mỗi ánh xạ :f X → , tồn tại duy nhất G

đồng cấu ϕ: F →G thỏa ( )ϕ x = f x( )với mọi x X∈

Ta có một tính chất quan trọng của nhóm tự do: mỗi phần tử của nhóm tự do F được viết một cách duy nhất dưới dạng: 1 2

Định lý 1.5.2 Cho F là nhóm tự do với cơ sở X ={ ,x1 ,x n}thì F F′ là nhóm /

abel t ự do với cơ sở X′={x F1 ′,,x F n ′}

 Ánh xạ g’ xác định vì G abel nên ' F ≤kerg

Khi đó g p ′ ′ = , thật vậy: do g pγ ′υ =g′πp=gp =γυ, mà υđơn ánh nên g p′ ′ = γ

Hơn nữa g’ là duy nhất, vì nếu có g” thỏa " g p′ = thì do p’ đơn ánh nên γ g'≡g"

Đặt G =C F( )x ={ ,x x1 2,,x n} Do x giao hoán với chính nó nên x thuộc G

Trường hợp 1: Nếu x là phần tử sinh của G thì nó là phần tử sinh duy nhất, vì nếu

x x= x x x  , rõ ràng do tính duy nhất của biểu diễn x

mỗi phần tử trong nhóm tự do xx2 ≠x x2 , do đó x2∉ (!) VG ậy G cylic ∎

CHƯƠNG II: NHÓM LIÊN HỢP ĐÓNG

2.1 Định nghĩa và ví dụ nhóm liên hợp đóng

Định nghĩa 2.1.1 Cho nhóm G và K là nhóm con bất kỳ của G

Ta ký hiệu x K ={k− 1xk k| ∈K} là lớp liên hợp của x trong K

Cho H là nhóm con chuẩn tắc của G, ta nói H là liên hợp đóng nếu H G

Ví dụ 2.1.2 Rõ ràng các nhóm đơn và nhóm abel đều là các nhóm liên hợp đóng

Nhận xét 2.1.3 Như trong phần mở đầu ta đã chứng tỏ rằng một nhóm liên hợp

đóng là T – nhóm

Ngược lại một T – nhóm chưa hẳn là nhóm liên hợp đóng, ví dụ là nhóm S 3

Rõ ràng S3 là T – nhóm (vì nó ch ỉ có một nhóm chuẩn tắc là A ) Tuy nhiên theo 3

k ết quả trong phần 3 ta sẽ chỉ ra rằng mọi nhóm đối xứng S v n ới n ≥ không là 3

Ta xét vài tính chất tổng quát của nhóm liên hợp đóng:

2.2 Các tính ch ất cơ bản của nhóm liên hợp đóng