L ời cảm ơn
B ảng ký hiệu
2.4 Nhóm liên hợp đóng hữu hạn
Trong phần này ta sẽ xem xét một số tính chất của nhóm liên hợp đóng hữu hạn. Tuy nhiên chúng ta biết rằng : mọi nhóm cấp lẻ thì đều giải được – đây chính là nội dung của một định lý lớn rất nổi tiếng – Định lý Fiet – Thompson [8].
Như vậy theo mệnh đề 2.3.7 bất kỳ nhóm liên hợp đóng cấp lẻ nào cũng abel. Vì vậy ta chỉ quan tâm tới các nhóm liên hợp đóng cấp chẵn!
Định lý 2.4.1.Cho G là nhóm liên hợp đóng hữu hạn có một 2 – nhóm con Sylow cyclic. Khi đó G abel.
Chứng minh.
Lấy P là 2 – nhóm con Sylow của G, sao cho P=< >a . Giả sử | | 2 ,r
P = ∀ ∈r Z+. Khi đó | | 2r
G = mvới m là số nguyên lẻ.
Khi đó ánh xạ σa =ϕ( ) :a G⟶Gđịnh nghĩa bởi ( )σa x =axthuộc SG, do | | 2a = r, m lẻ nên theo định lý 1.4.2 σalà hoán vị lẻ, do đó theo định lý 1.4.4, G có nhóm con chuẩn tắc H có cấp 2r−1m.
Vì H chuẩn tắc trong G và P là 2 – nhóm con Sylow của G nên H∩Plà 2 – nhóm con Sylow của H (bổ đề 1.1.3).
Do P cyclic nên H ∩Pcyclic, khi đó H là nhóm cấp 2r−1mvà có 2 – nhóm con
Sylow cyclic
Tiếp tục như vậy đến hữu hạn lần, ta sẽ thu được dãy các nhóm con chuẩn tắc
1 2 1
, , , r , r
G H =H H …H − H =K, trong đó Hilà nhóm con có cấp 2r i− mcó 2 –
nhóm con Sylow cylcic.
Trong đó K = Hrlà nhóm có cấp m – cấp lẻ, do đó theo định lý Fiet – Thompson
r
Mặt khác nhóm liên hợp đóng là T – nhóm, K là nhóm con chuẩn tắc của G, nên K là nhóm liên hợp đóng. Do đó theo hệ quả 2.3.5, K là nhóm abel và do đó nên
( )
K ≤Z G .
Ta lại có /G K ≅ =< >P a ⇒ =< >G a K
Như vậy G abel. ∎
Mệnh đề 2.4.2. Cho G là nhóm liên hợp đóng có cấp 2rm, với m là một số nguyên lẻ. Nếu G có một 2 – nhóm con Sylow chuẩn tắc, thì G abel.
Chứng minh.
Cho P là 2 – nhóm con Sylow chuẩn tắc của G
Khi đó theo định lý 1.2.7: P là nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G.
Suy ra P là nhóm liên hợp đóng lũy linh, theo mệnh đề 2.3.2: P là nhóm abel, lại theo mệnh đề 2.2.4 P≤Z G( )
Hơn nữa | / |G P =mlẻ nên G/P giải được
Mà G/P là nhóm liên hợp đóng do đó G/P abel, lại do mệnh đề 1.2.2 ta có 'G ≤P. Như vậy G’≤ Z G( )theo chứng minh trong định lý 2.3.6 ta có G lũy linh
Theo mệnh đề 2.3.2 G abel. ∎
Hệ quả 2.4.3.Cho G là nhóm liên hợp đóng cấp 2rm(với m lẻ), sao cho có một 2 – nhóm con Sylow của G/Z(G) là cyclic. Khi đó G abel.
Chứng minh.
Ta có G là liên hợp đóng nên G/Z(G) liên hợp đóng.
Định lý 2.4.4.Một F.C. p – nhóm mà liên hợp đóng thì abel.
Chứng minh.
Gọi G là một F.C. p – nhóm và x∈G
Khi đó [ :G CG( )]x < ∞ theo định lý 1.1.5: G có một nhóm con chuẩn tắc H sao cho: ( )
G
H ≤C x và [ :G H]< ∞
Mặt khác G/H là p – nhóm hữu hạn nên theo định lý 1.2.7 ta được G/H là lũy linh. Mà G/H là liên hợp đóng nên theo mệnh đề 2.3.2 ta được G/H abel.
Theo bổ đề 1.2.2 G′≤H ⇒G′≤CG( )x Do x bất kỳ nên G( ) ( ) x G G C x Z G ∈ ′ ≤ =
Theo chứng minh của định lý 2.3.6 ta có G giải được nên theo mệnh đề 2.3.5 ta
được G abel. ∎
Định lý 2.4.5. Cho nhóm liên hợp đóng hữu hạn G, khi đó CG(G')=F G( )=Z G( )
Chứng minh.
G là liên hợp đóng nên là T – nhóm, nên theo định lý 1.3.13 ta có: CG( ')G = F G( ) Mặt khác ( )F G là nhóm con chuẩn tắc lũy linh lớn nhất duy nhất, hơn nữa còn liên hợp đóng nên ( )F G abel.
Nhưng trong nhóm liên hợp đóng hữu hạn G, Z(G) là nhóm chuẩn tắc abel lớn nhất (theo mệnh đề 2.2.4) nên F G( )⊂Z G( )⊂CG( ')G (vì ( ) G( ) x G Z G C x ∈ = ) Vậy CG( ')G =F G( )=Z G( ). ∎
Kết Luận
Dưới đây là một số kết quả của luận văn:
Đưa ra định nghĩa và các tính chất của nhóm liên hợp đóng:
- Một nhóm hữu hạn là nửa đơn, liên hợp đóng và hoàn thiện nếu và chỉ nếu nó là tích trực tiếp của các nhóm đơn không abel.
- Trong lớp các nhóm liên hợp đóng thì tính lũy linh và giải được là tương đương nhau. Hơn nữa nếu một nhóm liên hợp đóng mà lũy linh thì abel.
- Chúng ta đã chỉ ra được mọi nhóm liên hợp đóng là T – nhóm, hơn nữa nhóm đối xứng bậc baS3là T – nhóm, nhưng không liên hợp đóng. Tổng quát hơn các nhóm đối xứng bậc n Sn với n≥3 không là nhóm liên hợp đóng.
- Trong phần cuối cùng, luận văn đã đưa ra một số kết quả về nhóm liên hợp đóng hữu hạn.
Đề Xuất Của Luận Văn
Lớp các nhóm liên hợp đóng là khái niệm được đưa ra khi nghiên cứu các tính chất của T – nhóm. Các khái niệm này còn khá mới và các kết quả của nó trong luận văn chỉ mới là các kết quả ban đầu. Và do đó còn khá nhiều vấn đề về nhóm liên hợp đóng chưa được khai phá, nghiên cứu. Chúng tôi hy vọng sẽ được tiếp tục nghiên cứu theo hướng này trong thời gian tới.
Tài Liệu Tham Khảo
1. Benjamin Debeerst,A topological proof of the Nielsen-Schreier theorem, University of Ghent, (2010)
2. David S. Dummit và Richard M. Foote, Abstract Algebra, (3rd Edition), John Wiley and Sons, Inc, (2004)
3. D. J. S. Robinson, Groups in which normality is a transitive relation, Proc. Cambridge Philos. Soc., 60 (1964), 21 - 38
4. D. J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, (2nd edition), Springer-Verlag,New York, (1996)
5. L. C. Kappe và J. Kirtland, Finite groups with trivial Frattini subgroup, Archiv der mathematik, 80 (2003), 225 - 234.
6. Lambert M. Surhone, Mariam T. Tennoe và Susan F. Henssonow,
Schreier Conjecture,Betascript Publishing, (2010)
7. Ram Karan và Shiv Narin, Some remarks on conjugate closed groups, Indian J.Pure Appl. Math.,42 (2011),249 - 257
8. W.Fiet và J.G. Thompson, Solvability of group of odd order, Pacific. J.Math.,13 (1963),775-1029
9. William J. Gilbert và W.Keith Nicholson, Modern Algebra with Applications, (2nd edition), John Wiley and Sons, Inc, (2003)