Một số lý thuyết thống kê nghiên cứu về tinh thể phi tuyến

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG MỘT SỐ LÝ THUYẾT THỐNG KÊ NGHIÊN CỨU VỀ TINH THỂ PHI TUYẾN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI 2012 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu, với nỗ lực thân giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên, em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lí, tới bạn sinh viên giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo T.S Phạm Thị Minh Hạnh - người hướng dẫn, bảo tận tình, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Mặc dù em có nhiều cố gắng, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý,chỉ bảo thầy giáo, cô giáo, bạn đọc để khóa luận em hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Ánh Hồng LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết thân em qua trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, em quan tâm tạo điều kiện thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lí, đặc biệt hướng dẫn tận tình cô giáo T.s Phạm Thị Minh Hạnh Em xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác.Em xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Ánh Hồng MỤC LỤC Trang A MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG Chƣơng 1: Cấu trúc tinh thể 1.1 Các dạng liên kết vật rắn 1.1.1 Lực Van-der-van 1.2 1.1.2 Liên kết ion 1.1.3 Liên kết cộng hóa trị 1.1.4 Liên kết kim loại 1.1.5 Liên kết hiđro 1.1.6 So sánh loại liên kết Mạng tinh thể 1.2.1 Mạng không gian 1.2.2 Các hệ tinh thể 1.2.3 Một số kiểu tinh thể điển hình 11 1.2.4 Cấu trúc tinh thể 11 1.2.5 Chỉ số Miller 12 1.2.6 Mật độ nguyên tử mạng tinh thể, hệ số xếp chặt 13 1.3 Tính đối xứng tinh thể 14 1.3.1 Tâm đối xứng 14 1.3.2 Mặt chiếu gương 14 1.3.3 Trục đối xứng 14 1.3.4 Phép tịnh tiến 15 1.4 Mạng đảo 15 1.4.1 Định nghĩa 15 1.4.2 Tính chất vecto mạng đảo 16 1.5 Sai lệch mạng tinh thể 17 1.5.1 Sai lệch điểm 17 1.5.2 Sai lệch đường lệch 18 1.5.3 Sai lệch mặt 19 1.5.4 Sai lệch khối 19 1.5.5 Vai trò sai lệch tính chất vật rắn 19 1.6 Đơn tinh thể đa tinh thể 19 1.6.1 Đơn tinh thể, đặc tính, ứng dụng 19 1.6.2 Đa tinh thể 20 1.7 Kết luận chương 21 Chƣơng 2: Hiệu ứng phi tuyến tinh thể Các lý thuyết chủ yếu nghiên cứu hiệu ứng phi tuyến tinh thể 22 2.1 Hiệu ứng phi tuyến tinh thể 22 2.2 Lý thuyết động lực mạng tinh thể 24 2.3 Lý thuyết phonon tự hợp 28 2.4 Phương pháp hàm phân bố hạt 32 2.5 Phương pháp Monte – Carlo 38 2.5.1 Sự đời phương pháp Monte – Carlo 39 2.5.2 Phương pháp Monte – Carlo gì? 39 2.5.3 Phương pháp Monte – Carlo trạng thái vật lí 40 2.5.4 Từ phương pháp Monte – Carlo đến phương pháp động học Monte – Carlo 41 2.6 Kết luận chương 43 C KẾT LUẬN 44 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong cách mạng khoa học công nghệ nay, ngành vật lí chất rắn đóng vai trò đặc biệt quan trọng Vật lí chất rắn tạo vật liệu cho ngành kĩ thuật mũi nhọn điện tử, du hành vũ trụ, lượng nguyên tử v…v… Trong năm gần xuất hàng loạt công trình siêu dẫn nhiệt độ cao làm cho vị trí ngành vật lí chất rắn thêm bật Phần lớn vật rắn có cấu trúc tinh thể, nghĩa hạt tạo nên chúng xếp cách có trật tự Chính vậy, tinh thể vật rắn có tính tuần hoàn theo không gian tạo thành mạng tinh thể có cấu trúc đối xứng Các hạt nút mạng tinh thể dao động xung quanh vị trí cân với biên độ nhỏ Trong trường hợp xem tinh thể hệ dao tử điều hòa độc lập Điều cho phép giải thích số tính chất nhiệt động nhiệt dung tinh thể nhiệt độ thấp Tuy nhiên, sở không giải thích tính chất nhiệt động khác hệ số dãn nở nhiệt, nhiệt dung nhiệt độ cao, số mạng… Ở nhiệt độ cao, dao động hạt nút mạng mạnh Dao động hạt điều hòa mà phi điều hòa Từ giải thích nhiều tính chất nhiệt động tinh thể, nhiệt độ cao Dao động hạt ứng với trường hợp phi điều hòa goi dao động phi tuyến Các hiệu ứng tương ứng tinh thể gọi hiệu ứng phi tuyến Khi tính tới hiệu ứng phi tuyến giải thích phù hợp lý thuyết thực nghiệm nhiều đại lượng vĩ mô hệ số dãn nở nhiệt, hệ số nén, nhiệt dung nhiệt độ cao.v v… Vì em chọn đề tài nghiên cứu: “Một số lý thuyết thống kê nghiên cứu tinh thể phi tuyến” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu số lý thuyết thống kê nghiên cứu tinh thể phi tuyến Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu vật rắn - Phạm vi nghiên cứu: vật rắn có cấu trúc tinh thể phi tuyến Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu vật rắn có cấu trúc tinh thể phi tuyến, hiệu ứng phi tuyến, giới thiệu số phương pháp lý thuyết chủ yếu nghiên cứu hiệu ứng phi tuyến tinh thể Phƣơng pháp nghiên cứu - Tra cứu, tìm kiếm nghiên cứu tài liệu - Thống kê, lập luận, diễn giải NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CẤU TRÚC TINH THỂ 1.1 Các dạng liên kết vật rắn [1] 1.1.1 Lực Van-der-van - Đây loại liên kết thường gặp xuất hai nguyên tử phân tử - Phương trình Van-der-van: a    P   V  b   R T V   (1.1) - Đây loại lực xuất phần tử có liên kết hóa học bão hòa phần tử khí trơ - Trong trường hợp tổng quát, lực liên kết Van-der-van gồm ba loại liên kết chính: tương tác tán xạ, tương tác định hướng, tương tác cảm ứng  Tương tác tán xạ Năng lượng tương tác tán xạ tính theo biểu thức: U tx    2J , r6 (1.2) đó: α: độ phân cực, J: lượng kích thích, r: khoảng cách  Tương tác định hướng Năng lượng tương tác định hướng tính theo biểu thức: M2 + Ở nhiệt độ thấp: U dh   2 r + Ở nhiệt độ cao: U dh   M4 24  k BT r 2 (1.3) (1.4) Trong đó: M: mômen lưỡng cực: M =αε (ε: cường độ điện trường),  : số điện môi, k B : số Boltzmann, T: nhiệt độ tuyệt đối  Tương tác cảm ứng: Năng lượng tương tác cảm ứng tính theo biểu thức: M U cu   8 r (1.5) Trong trường hợp tổng quát, hai nguyên tử lại gần xuất đồng thời ba loại liên kết nên U  U tx  U dh  U cu U cu  U tx ; U dh 1.1.2 Liên kết ion - Đây loại liên kết xuất kim loại điển hình kết hợp với nhóm halogen - Bản chất liên kết ion lực hút tĩnh điện hai ion trái dấu - Đặc điểm: Sự phân bố điện tích ion có tính đối xứng cầu - Năng lượng tương tác: B q2 U n  , r 4 r (1.6) đó: q: điện tích ion, B, n: số, r: khoảng cách 1.1.3 Liên kết cộng hóa trị - Liên kết cộng hóa trị tạo thành cặp electron có spin đối song, loại liên kết mạnh liên kết nguyên tử trung hòa Ví dụ liên kết kim cương, Silic, GaAs, GaP, AlP, … - Đặc điểm: Liên kết cộng hóa trị có tính bão hòa, tính định hướng  Tính bão hòa: Mỗi nguyên tử có khả tạo thành liên kết cộng hóa trị với số định nguyên tử lân cận  Tính định hướng: Theo hướng phân bố lớp mây điện tử lớn nhất, phù hợp với điện tử hóa trị 1.1.4 Liên kết kim loại Đây liên kết xuất kim loại Trong kim loại, liên kết xuất ion dương khí điện tử Lực hút điện tử nằm ion ion cân với lực đẩy ion dương với Khi giảm khoảng cách ion, mật độ khí điện tử tăng lên Mặt khác, lúc lực đẩy ion tăng đẩy chúng xa nhau, đến khoảng cách lực hút cân với lực đẩy, mạng trạng thái ổn định 1.1.5 Liên kết hiđrô Liên kết hiđrô xuất nguyên tử H liên kết với nguyên tử có tính âm điện lớn nguyên tử O, nguyên tử F, nguyên tử Cl Khi nguyên tử nhận điện tử liên kết mang điện tích âm, nguyên tử H điện tử mang điện tích dương 1.1.6 So sánh loại liên kết  Liên kết thường gặp liên kết Van-der-van, có lượng thấp nhất, xuất trường hợp, lượng liên kết cỡ khoảng 104 J/mol, loại liên kết yếu - Liên kết xuất nguyên tử, phân tử trung hòa có lớp vỏ bên đầy Lực Van- der - van xuất trạng thái rắn, lỏng, khí chất hữu nhiều chất vô - Điểm nóng chảy cấu trúc có liên kết thấp  Liên kết ion liên kết hóa học điển hình thường gặp hợp chất vô cơ, hợp chất kim loại với halogen, oxit kim loại, sunfua hợp chất phân cực khác, lượng liên kết cỡ khoảng 106 J/mol 10 Hình 1.10: Mô hình đơn tinh thể (a); đa tinh thể (b); tổ chức tế vi kim loại đa tinh thể: đường tối biên hạt (c) 1.7 Kết luận chƣơng Trong chương một, em trình bày cấu trúc mạng tinh thể vật rắn, bao gồm vấn đề chính:  Các dạng liên kết vật rắn  Mạng tinh thể  Tính đối xứng tinh thể  Mạng đảo  Sai lệch mạng tinh thể  Đơn tinh thể đa tinh thể Trong chương hai, em trình bày hiệu ứng phi tuyến tinh thể số phương pháp nghiên cứu hiệu ứng phi tuyến tinh thể 64 CHƢƠNG 2: HIỆU ỨNG PHI TUYẾN CỦA TINH THỂ CÁC LÝ THUYẾT CHỦ YẾU NGHIÊN CỨU HIỆU ỨNG PHI TUYẾN CỦA TINH THỂ 2.1 Hiệu ứng phi tuyến tinh thể Phần lớn vật rắn có cấu trúc tinh thể, nghĩa hạt tạo nên chúng xếp cách có trật tự Chính vậy, vật rắn có tính tuần hoàn theo không gian tạo thành mạng tinh thể có cấu trúc đối xứng Ở nút mạng tinh thể nguyên tử, phân tử ion Giữa hạt nút mạng có tương tác với nên tạo thành tương tác mạng tinh thể Tùy theo loại tinh thể, dạng khác Việc xác định dạng chúng toán học lượng tử việc chọn dạng tương tác đơn giản Tuy nhiên, kết hợp phân tích thực nghiệm lý thuyết chọn dạng tương tác đơn giản có hiệu việc xác định tính chất vĩ mô vật rắn Do chuyển động nhiệt, hạt đứng yên nút mạng tinh thể mà chúng dao động xung quanh nút mạng (vị trí cân bằng) Ở nhiệt độ thấp, dao động hạt bé nên độ dời chúng nhỏ Ở nhiệt độ cao, dao động mạnh độ dời hạt khỏi vị trí cân lớn Như vậy, hạt tinh thể thay đổi Nói cách khác hàm độ dời khai triển biểu thức thàng cấp số độ dời Chẳng hạn, 65 trường hợp mạng đơn giản viết U dạng gần s U  U  U l , đúng: (2.1) l 2 với: U l  U     n1 nl nl n1 U q q     l ;  1, ,l  ; l ! n1 , ,nl l   n1 nl 1 l lU  n  x11 xnll ,  ˆ r  An  đó: Â ma trận mạng; n vecto với thành phần số  nguyên; q độ dời hạt khỏi nút mạng Tương ứng với s = có dao động điều hòa nút mạng Trong trường hợp xem tinh thể hệ dao tử điều hòa độc lập Điều cho phép giải thích số tính chất nhiệt động nhiệt dung tinh thể nhiệt độ thấp Tuy nhiên, sở mẫu không giải thích tính chất nhiệt động khác hệ số dãn nở nhiệt Ở nhiệt độ cao, dao động hạt nút mạng mạnh (dao động phi điều hòa) Từ giải thích nhiều tính chất nhiệt động tinh thể, nhiệt độ cao Dao động hạt ứng với trường hợp phi điều hòa gọi dao động phi tuyến hiệu ứng tương ứng tinh thể gọi hiệu ứng phi tuyến Sau em trình bày số phương pháp nghiên cứu hiệu ứng phi tuyến tinh thể 2.2 Lý thuyết động lực mạng tinh thể Trong phép gần điều hòa nhiệt dung riêng mạng tinh thể bằng: 66    e     Cv  NkB  g         e    d (2.2) Theo mẫu Einstein nhiệt dung riêng mạng xác định công thức: đó:  E   E  e E  T Cv  3Nk B   ,  E T     T  1  e    (2.3) E gọi nhiệt độ đặc trưng Einstein kB Theo mẫu Debye, nhiệt dung riêng mạng xác định biểu thức: T  CV  NK B    D  với y D T  y 4e y 1  e y  dy , (2.4)   D D  nhiệt độ đặc trưng Debye: k  B Mối liên hệ mẫu Einstein mẫu Debye: E  0.75D    E  0.75 D  (2.5) Khi sử dụng (2.5) ta có kết phù hợp tốt nhiệt dung mẫu Einstein mẫu Debey (hình 2.1) Như điều kiện (2.5) mẫu Debye mẫu Einstein cho kết khác tương đối đáng kể khoảng nhiệt độ T   D 67 Hình 2.1: Đường cong nhiệt dung theo mẫu Einstein mẫu Debye  E  0.75 D (đường nét liền: theo mẫu Debye, đường nét đứt: theo mẫu Einstein) Ở nhiệt độ T   D , phép gần điều hòa nhiệt dung CV  3NkB Nói cách khác, phép gần điều hòa hệ số dãn nở nhiệt không; hệ số nén đẳng nhiệt đoạn nhiệt không phụ thuộc vào áp suất nhiệt độ Điều không phù hợp với thực nghiệm Sự thực tính chất nhiệt động tinh thể có liên quan đến tính phi tuyến dao động hạt nút mạng, nghĩa liên quan tới tương tác phonon Để tính tới điều này, phép gần chuẩn điều hòa số hạng phi tuyến tương tác xem nhiễu loạn nhỏ Chẳng hạn lượng tự mạng xác định bởi: F   ln Z ; Z    n e  H  n  (2.6) n Trong phép gần bậc một, lượng tự mạng có dạng : F  F0  n | U | n   ( m n ) 68 m | U3 | n En  Em , (2.7) đó: Dấu ký hiệu trung bình theo tập hợp thống kê; F0 : Năng lượng tự mạng ứng với phần Hamiltonian không nhiễu loạn Khi biết lượng tự F, hoàn toàn xác định tất đại lượng nhiệt động mạng Phép gần chuẩn điều hòa hiệu lực nhiệt độ gần nhiệt độ nóng chảy vùng nhiệt độ tính phi tuyến mạnh 2.3 Lý thuyết phonon tự hợp Giữa lượng tự hàm Green có hệ thức liên hệ: d i F  F0    2 : F0  d  M1 2 ln  U 0ln Gln   i   Gln   i  ,  e   ln  - Năng lượng tự hệ với Hamiltonian Ho ; Ml (2.8) - Khối ln lượng hạt nút mạng l ;  ln - Ký hiệu Cronecker; U   - Ma trận lực tùy ý, chọn toán cụ thể; Gln   - Thành phần Fourrier hàm Green hai thời gian Như vậy, biết biểu thức hàm Green từ (2.8) xác định lượng tự hệ, qua xác định đại lượng nhiệt động tinh thể Ta có định nghĩa hàm Green độ dời hạt khỏi nút mạng: ll ' G  t  t '  ql  t  : ql '  t   i  t  t '  ql  t  ; ql '  t '   i  ll '  M1   G  t  t '    ll ' t t '     t  Ul ,1 n  q1  t  qn  t  ; ql '  t '   n 1 n !1, n  (2.9) 69 :   t  t ' - Hàm Hevisaido  iHt  l  iHt  ql  t   exp   q exp    biểu diễn Heisenberg toán tử độ       dời ql  Sp e H   Sp  e H   biểu thị trung bình theo tập hợp thống kê cân tinh thể Ta sử dụng phép gần giả điều hòa (gần điều hòa tái chuẩn hóa) q1 , , qn ; ql '  t  n n   ql ; ql '  t  q i 1 j i j (2.10) Khi phương trình (2.9) trở nên kín Nếu chuyển sang thành ll ' lm ml ' phần Fourrier, có dạng: M 1 G      ll '  U  G   , m (2.11)  lm lm ,1 n  U  u1 un ma trận lực tái chuẩn hóa:    U n  n ! n (2.12) Nghiệm phương trình (2.11) có dạng: ll ' G    MN ek j ekj   kj    i k l l '   kj e   , (2.13) với giả thiết xem tất hạt có khối lượng M; N số hạt mạng; tần số k j vecto phân cực ek j xác định từ phương trình:    eik l Mek jk2j   ekj U lo l 70 (2.14) Phương trình (2.14) chứng tỏ tần số k j (tần số giả điều hòa) phụ thuộc vào nhiệt độ Khi sử dụng tính chất hàm tương quan : q1 qn   n  1 n  3 q1q2 qn1qn , (2.15) ma trận lực giả điều hòa (2.12) viết dạng:    lm    exp  U q q   U r  l m 2 o 2   12    (2.16) Để tính lượng tự mạng tinh thể theo (2.8) phép ln gần giả điều hòa theo ma trận lực tùy ý U biểu thức (2.16) Từ (2.8), (2.13) (2.14) suy biểu thức lượng tự phép gần giả điều hòa có dạng :     1   F    ln  2sinh   exp   q1q2 1 U r1   k cth k 2  k 2  k  12   (2.17) 2.4 Phƣơng pháp hàm phân bố hạt Một phương pháp hiệu nghiệm để nghiên cứu hệ nhiều hạt phương pháp hàm phân bố Các hàm thỏa mãn mạch phương trình N  W  N   H W  N  H W  N  N        H ,W      t  pi  pi  ri i 1   ri Bogoliubov:    (2.18) Hàm W  N  mật độ xác xuất pha, đối xứng hoán vị tọa   độ xung hạt giống (với X i  ri , pi ; H hàm Hamilton): W  N   X1 , , X l , , X j , , X N , t   W  N   X 1, , X j , , X i , X N , t  Mỗi phương trình mạch Bogoliubov kín Muốn có phương trình kín để tìm hàm phân bố phải sử dụng giả 71 thuyết đa tích hàm phân bố: Wij  X i , X j , t   Wi  X i , t W j  X j , t  (2.19) Khi ta tìm phương trình kín hàm phân bố hạt Trong trường hợp hệ cân có cấu tử phương trình ứng với        ln  r    r  r '  r ' dr '  , phương trình Vlasov: (2.20)         đó:   r   W1  r  mật độ số hạt trung bình;   r  tương tác N V hạt; số  xác định từ điều kiện chuẩn Phương trình (2.20) cho nghiệm dạng:   u r   r  exp          u r   r  r '     ,       r'          d r '  (2.21)   u ( r ) có ý nghĩa tự hợp điểm r , gây nên tất hạt lại    tinh thể Ở nút mạng u (ai ) cực tiểu  (ai ) cực đại Mật độ xác suất hạt nguyên tử hàm tuần hoàn không gian Như vậy, gần nút mạng có đồng thời vài hạt Điều trái với thực tế trạng thái tinh thể Để loại trừ sai sót này, Bazarov đưa vào điều kiện:   r r'  b, (2.22) với b bán kính (hoặc kích thước chiều) vùng hoạt động hạt nút mạng Ngoài ra, tính tuần hoàn hàm phân bố  hạt tinh thể, thay cho hàm   r  trên, ta sử dụng hàm:       1 r    r  i Khi thay cho phương trình (2.20) ta sử dụng phương trình : 72 (2.23)            ln    r    1   ij    r  r '  r  dr '  i   j Trong phương trình  r (2.24) tùy ý Do ta nghiên cứu nghiệm ứng với nút gốc mạng  i  0, a0   Phương trình (2.24) cho dạng     N         ln  r    K r  r '  r ' d r '    j 1  tương tự (2.20): (2.25) Và phương trình cho nghiệm tương tự (2.21):   u r    r  exp         u r   K r r'     ,   b         r ' d r ',     (2.26)  N 1      K r  r '   r  r '  aj j 1 Nghiệm (2.26) gọi nghiệm phép gần trường tự hợp Khi sử dụng nguyên lý biến thiên Boroliubov để xác định lượng tự do, ta thu biểu thức lượng dạng e  F u   N ln  e N phiến hàm:  u r    dr          1   u (r )    ( r  r ' ) exp  u ( r )  u ( r ') d rd r '  N  u ( r )e  d r   N  N  1        ur  u ( r )      e   e  d r    dr   (2.27) Chú ý phương pháp này, cận tích phân (2.26) có giá trị b (được xác định từ điều kiện cực tiểu lượng tự do) 73 Như vậy, thay cho việc sử dụng mạch phương trình động Bogoliubov, phải sử dụng mạch phương trình mật độ xác suất pha, suy từ phương trình Liouville Do đó, sử dụng giả thuyết đa tích (2.19) từ mạch ta thu hệ kín gồm N phương trình vi tích phân phi tuyến mật độ xác suất hạt:    Wi Pi Wi Wi P     1   ij   ij W j d x j   t m  ri  pi j 1  ri 1 i  N (2.28) Ở trạng thái cân nhiệt động: Wi  , phương trình (2.28) cho t nghiệm:  3  pi     Wi (ri , pi )   2 m  exp    i (ri ) , m     hàm i ri thỏa mãn hệ phương trình phi tuyến: (2.29)        N   ln ii ri   1   ij    ( ri  rj ) j (rj )d rj  ,  (2.30) j 1 số i thỏa mãn điều kiện chuẩn Trong trường hợp tinh thể lí tưởng  N    mật độ xác suất tất hạt có dạng giống nhau, khác chỗ vị trí cách         r   r  An khoảng vecto tịnh tiến mạng, tức là: i i i i (2.31) Khi với    K rr'  hạt nằm khoảnh cách r đối  với nút mạng tương tác với hạt lại dịch chuyển khỏi nút chúng khoảng  r ' Hệ (2.30) tách thành N phương trình giống nhau: 74              ˆ  r ' K  r  r '      r  An      ln  r   K r  r '  r ' d r '  (2.32)  n0 Phương trình (2.29) (2.32) phương trình phương pháp trường tự hợp không đối xứng Nó có dạng gần tương tự với phương trình phương pháp trường tự hợp đối xứng (2.25) Phương trình (2.30) cho nghiệm tương tự (2.26)       j     ui ri      d ri ; r  rj  ri  i   exp             ui ri  i ri  exp    i        ui ri   1   ij     r   j r  ri d r     (2.33)    khác rằng, tích phân biểu thức ui ( ri ) cận bị chặn giá trị b Khi sử dụng dạng (2.33), biểu thức lượng tự là:   u r i i 3N m F  ln    ln  exp  2 2    i 1  N   d r   (2.34)   (2.35) i Trong trường hợp tinh thể lí tưởng:    u r  m  F '   N ln  exp       2       d r    2.5 Phƣơng pháp Monte - Carlo 2.5.1 Sự đời phương pháp Monte – Carlo Stanislaw Ulam nhà khoa học quan tâm đặc biệt đến xác suất quy trình ngẫu nhiên Cùng với đời 75 máy tính ENIAC, Stanislaw Ulam trao đổi ý tưởng với Von Neumann Từ đó, tia sáng phương pháp Monte – Carlo dần xuất Năm 1947, Von Neumann trình bày sơ thảo bước tính xác suất để giải vấn đề khuyếch tán neutron vật liệu phân hạch Sau phương pháp Monte – Carlo Metropolis hoàn thiện Đến năm 1990, phương pháp động học Monte – Carlo (kinetic Monte Carlo) đời liên tục phát triển 2.5.2 Phương pháp Monte – Carlo ? Phương pháp Monte – Carlo lớp thuật toán để giải nhiều toán máy tính theo kiểu không tất định, thường cách sử dụng số ngẫu nhiên (thường số giả ngẫu nhiên), ngược lại với thuật toán tất định Một ứng dụng cổ điển phương pháp việc tính tích phân xác định, đặc biệt tích phân nhiều chiều với điều kiện biên phức tạp Phương pháp Monte – Carlo thường thực lặp lại số lượng lớn bước đơn giản, song song với Kết phương pháp xác số lượng lặp bước tăng 2.5.3 Phương pháp Monte – Carlo trạng thái vật lí Trong vật lí, để mô thay đổi trạng thái hệ, tìm hiểu thay đổi hàm phân bố hệ thay đổi Dạng chung hàm phân bố là: Z  H e k BT all  states Tổng phương trình (2.36) tập hợp tất trạng thái hệ phụ thuộc vào kích thước hệ số bậc tự 76 (2.36) phần tử Khi hệ thống gồm phần tử tương tác hàm phân bố cho biết xác tính chất hệ Khi đó, xác suất thay đổi trạng thái thành phần thứ i hệ là:  H (i ) Pi  k BT e Z , với H(i) hàm Hamintonian trạng thái thứ i 2.5.4 Từ phương pháp Monte – Carlo đến phương pháp động học Monte – Carlo Trong mô Monte – Carlo tính toán bước mô Tuy nhiên, bước mô thời gian không xác định nên thời gian toàn trình không mang ý nghĩa vật lí Để khắc phục vấn đề này, phương pháp mô động học Monte – Carlo đưa vào thông số mới: tốc độ nhảy bước Các điểm khác biệt phương pháp Monte Carlo động học Monte Carlo: - Trong phương pháp động học Monte – Carlo kiện phân biệt rõ ràng từ trạng thái vi mô đến trạng thái vĩ mô Trong phương pháp Monte – Carlo phân biệt trạng thái vi mô hay vĩ mô - Một thuận lợi phương pháp động học Monte –Carlo so với phương pháp Monte-Carlo thời gian mô phương pháp động học Monte-Carlo có ý nghĩa vật lý Dĩ nhiên phải tính toán tốc độ nhảy kiện trình 2.6 Kết luận chƣơng 77 (2.37) Trong chương 2, em trình bày tinh thể phi tuyến, bốn phương pháp lý thuyết nghiên cứu tinh thể phi tuyến:  Lý thuyết động lực mạng tinh thể  Lý thuyết phonon tự hợp  Phương pháp hàm phân bố hạt  Phương pháp Monte – Carlo KẾT LUẬN Trong đề tài nghiên cứu “Một số lý thuyết thống kê nghiên cứu tinh thể phi tuyến” em trình bày nội dung sau:  Cấu trúc mạng tinh thể  Hiệu ứng phi tuyến tinh thể  Một số lý thuyết nghiên cứu tinh thể phi tuyến  Lý thuyết động lực mạng tinh thể  Lý thuyết phonon tự hợp  Phương pháp hàm phân bố hạt  Phương pháp Monte – Carlo 78 [...]... chương hai, em sẽ trình bày về hiệu ứng phi tuyến trong tinh thể và một số phương pháp nghiên cứu về hiệu ứng phi tuyến của tinh thể 26 CHƢƠNG 2: HIỆU ỨNG PHI TUYẾN CỦA TINH THỂ CÁC LÝ THUYẾT CHỦ YẾU NGHIÊN CỨU HIỆU ỨNG PHI TUYẾN CỦA TINH THỂ 2.1 Hiệu ứng phi tuyến của tinh thể Phần lớn vật rắn có cấu trúc tinh thể, nghĩa là các hạt tạo nên chúng được sắp xếp một cách có trật tự Chính vì vậy, vật rắn... ứng phi tuyến Khi tính tới hiệu ứng này chúng ta có thể giải thích được sự phù hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm của nhiều đại lượng vĩ mô như hệ số giãn nở nhiệt, hệ số nén, nhiệt dung ở nhiệt độ cao v…v… Sau đây em sẽ trình bày một số phương pháp trong việc nghiên cứu hiệu ứng phi tuyến của tinh thể 2.2 Lý thuyết động lực mạng tinh thể [5] Như chúng ta đã biết, các tính chất nhiệt động của tinh thể. .. tinh thể (a); đa tinh thể (b); tổ chức tế vi kim loại đa tinh thể: đường tối là biên hạt (c) 25 1.7 Kết luận chƣơng 1 Trong chương một, em đã trình bày về cấu trúc mạng tinh thể của vật rắn, bao gồm các vấn đề chính:  Các dạng liên kết trong vật rắn  Mạng tinh thể  Tính đối xứng của tinh thể  Mạng đảo  Sai lệch mạng tinh thể  Đơn tinh thể và đa tinh thể Trong chương hai, em sẽ trình bày về hiệu... tinh thể 4 He người ta thu được tần số dao động riêng của mạng là ảo, nghĩa là tinh thể không bền vững Như vậy, đối với các tinh thể này phép gần đúng chuẩn điều hòa hoàn toàn mất hiệu lực 2.3 Lý thuyết phonon tự hợp Để tính tới sự đóng góp của các số hạng phi điều hòa cấp cao không thể dùng phương pháp nhiễu loạn, bởi vì các tinh thể đó có tính phi tuyến mạnh, một trong những công trình đầu tiên nghiên. .. thống nhất và phương không đổi trong toàn bộ thể tích thì gọi là đơn tinh thể 24 Tính chất tiêu biểu của đơn tinh thể là tính dị hướng vì theo các hướng độ xếp chặt nguyên tử khác nhau Đơn tinh thể chủ yếu được sử dụng trong công nghệ bán dẫn và vật liệu kĩ thuật điện 1.6.2 Đa tinh thể Đa tinh thể gồm rất nhiều tinh thể nhỏ gọi là hạt tinh thể có cùng cấu trúc mạng nhưng định hướng khác nhau mang tính ngẫu... rắn tinh thể được sử dụng ở dạng đa tinh thể Tính chất tiêu biểu của đa tinh thể là tính đẳng hướng Cấu trúc của đa tinh thể gồm hai phần chính: - Các tinh thể nhỏ gọi là hạt, có định hướng khác nhau - Biên giới hạt, cấu trúc không trật tự, liên kết hạt với nhau được coi là một dạng của sai lệch mặt Do đặc điểm tạo thành các hạt tinh thể không bao giờ có kích thước như nhau Hình 1.10: Mô hình đơn tinh. .. lệch mạng tinh thể và tương tác giữa chúng ảnh hưởng đến tính chất của vật liệu Để giải thích tính chất cơ học (tính dẻo, độ bền, độ cứng, ….) cần phải dựa vào lý thuyết độ bền, trong đó các mô hình cấu trúc vi mô được áp dụng để lí giải kết quả thực tế 1.6 Đơn tinh thể và đa tinh thể 1.6.1 Đơn tinh thể, các đặc tính, ứng dụng Nếu vật tinh thể có mạng thống nhất và phương không đổi trong toàn bộ thể tích... nghiên cứu tinh thể phi điều hòa mạnh là công trình của Born Trong công trình này, các hiệu ứng phi điều hòa được tính bằng con đừng tái chuẩn hóa tự hợp ma trận lực cấp 2, nghĩa là tái chuẩn hóa tần số dao động của các phonon Ý tưởng này của Born đã được Hooton phát triển trong trường hợp chỉ xét các số hạng phi điều hòa cấp thấp và đã 33 giải thích được tính bền vững của tinh thể 4 He Về sau lý thuyết. .. điều hòa mất hiệu lực Đối với các tinh thể ion, hiệu ứng phi tuyến mạnh ở vùng nhiệt độ cao Đối với các tinh thể của các nguyên tố nặng thuộc nhóm 0 (Kr, Xe) hiệu ứng này trở nên mạnh từ nhiệt độ vào cỡ khoảng 2/3 nhiệt độ nóng chảy trở lên Riêng đối với các tinh thể lượng tử (H, He) hiệu ứng phi tuyến mạnh xuất hiện ngay từ 00 K vì biên độ dao động không của các tinh thể này đã vào cỡ 30% khoảng cách... không thể chỉ giữ tới số hạng với s = 2, mà phải lấy tới các số hạng bậc cao hơn như s = 3, s = 4, … Dao động của các hạt bây giờ không phải là điều hòa mà là phi điều hòa Từ đó chúng ta có thể giải thích được nhiều tính chất nhiệt động của tinh thể, nhất là ở nhiệt độ cao Dao động của 28 các hạt ứng với trường hợp phi điều hòa được gọi là dao động phi tuyến và các hiệu ứng tương ứng trong tinh thể được ... đề tài nghiên cứu: Một số lý thuyết thống kê nghiên cứu tinh thể phi tuyến Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu số lý thuyết thống kê nghiên cứu tinh thể phi tuyến Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối... nghiên cứu Một số lý thuyết thống kê nghiên cứu tinh thể phi tuyến em trình bày nội dung sau:  Cấu trúc mạng tinh thể  Hiệu ứng phi tuyến tinh thể  Một số lý thuyết nghiên cứu tinh thể phi. .. chọn đề tài nghiên cứu Một số lý thuyết thống kê nghiên cứu tinh thể phi tuyến Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu số lý thuyết thống kê nghiên cứu tinh thể phi tuyến Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối