Một số lý thuyết thống kê nghiên cứu về tinh thể phi tuyến

ƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI TR KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG MỘT SỐ LÝ THUYẾT THỐNG KÊ NGHIÊN CỨU VỀ TINH THỂ PHI TUYẾN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI 2012 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu, với nỗ lực thân giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên, em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lí, tới bạn sinh viên giúp đỡ em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo T.S Phạm Thị Minh Hạnh - người hướng dẫn, bảo tận tình, giúp đỡ em hồn thành khóa luận Mặc dù em có nhiều cố gắng, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý,chỉ bảo thầy giáo, giáo, bạn đọc để khóa luận em hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Ánh Hồng LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết thân em qua trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, em ln quan tâm tạo điều kiện thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lí, đặc biệt hướng dẫn tận tình giáo T.s Phạm Thị Minh Hạnh Em xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác.Em xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thơng tin trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Ánh Hồng MỤC LỤC Trang A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG Chƣơng 1: Cấu trúc tinh thể 1.1 Các dạng liên kết 1.1.1 Lực Van-der-van 1.2 1.1.2 Liên kết ion 1.1.3 Liên kết cộng hóa trị 1.1.4 Liên kết kim loại 1.1.5 Liên kết hiđro 1.1.6 So sánh loại liên k Mạng tinh thể 1.2.1 Mạng không gian 1.2.2 Các hệ tinh thể 1.2.3 Một số kiểu tinh thể điể 1.2.4 Cấu trúc tinh thể 1.2.5 Chỉ số Miller 1.2.6 Mật độ nguyên tử 1.3 Tính đối xứng tinh 1.3.1 Tâm đối xứng 1.3.2 Mặt chiếu gương 1.3.3 Trục đối xứng 1.3.4 Phép tịnh tiến 1.4 Mạng đảo 15 1.4.1 Định nghĩa .15 1.4.2 Tính chất vecto mạng đảo 16 1.5 Sai lệch mạng tinh thể .17 1.5.1 Sai lệch điểm 17 1.5.2 Sai lệch đường lệch 18 1.5.3 Sai lệch mặt .19 1.5.4 Sai lệch khối 19 1.5.5 Vai trò sai lệch tính chất vật rắn .19 1.6 Đơn tinh thể đa tinh thể 19 1.6.1 Đơn tinh thể, đặc tính, ứng dụng .19 1.6.2 Đa tinh thể .20 1.7 Kết luận chương 21 Chƣơng 2: Hiệu ứng phi tuyến tinh thể Các lý thuyết chủ yếu nghiên cứu hiệu ứng phi tuyến tinh thể 22 2.1 Hiệu ứng phi tuyến tinh thể 22 2.2 Lý thuyết động lực mạng tinh thể 24 2.3 Lý thuyết phonon tự hợp 28 2.4 Phương pháp hàm phân bố hạt 32 2.5 Phương pháp Monte – Carlo 38 2.5.1 Sự đời phương pháp Monte – Carlo 39 2.5.2 Phương pháp Monte – Carlo gì? 39 2.5.3 Phương pháp Monte – Carlo trạng thái vật lí 40 2.5.4 Từ phương pháp Monte – Carlo đến phương pháp động học Monte – Carlo 41 2.6 Kết luận chương 43 C KẾT LUẬN .44 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong cách mạng khoa học công nghệ nay, ngành vật lí chất rắn đóng vai trò đặc biệt quan trọng Vật lí chất rắn tạo vật liệu cho ngành kĩ thuật mũi nhọn điện tử, du hành vũ trụ, lượng nguyên tử v…v… Trong năm gần xuất hàng loạt cơng trình siêu dẫn nhiệt độ cao làm cho vị trí ngành vật lí chất rắn thêm bật Phần lớn vật rắn có cấu trúc tinh thể, nghĩa hạt tạo nên chúng xếp cách có trật tự Chính vậy, tinh thể vật rắn có tính tuần hồn theo khơng gian tạo thành mạng tinh thể có cấu trúc đối xứng Các hạt nút mạng tinh thể dao động xung quanh vị trí cân với biên độ nhỏ Trong trường hợp xem tinh thể hệ dao tử điều hòa độc lập Điều cho phép giải thích số tính chất nhiệt động nhiệt dung tinh thể nhiệt độ thấp Tuy nhiên, sở khơng giải thích tính chất nhiệt động khác hệ số dãn nở nhiệt, nhiệt dung nhiệt độ cao, số mạng… Ở nhiệt độ cao, dao động hạt nút mạng mạnh Dao động hạt khơng phải điều hòa mà phi điều hòa Từ giải thích nhiều tính chất nhiệt động tinh thể, nhiệt độ cao Dao động hạt ứng với trường hợp phi điều hòa goi dao động phi tuyến Các hiệu ứng tương ứng tinh thể gọi hiệu ứng phi tuyến Khi tính tới hiệu ứng phi tuyến giải thích phù hợp lý thuyết thực nghiệm nhiều đại lượng vĩ mô hệ số dãn nở nhiệt, hệ số nén, nhiệt dung nhiệt độ cao.v v… Vì em chọn đề tài nghiên cứu: “Một số lý thuyết thống kê nghiên cứu tinh thể phi tuyến” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu số lý thuyết thống kê nghiên cứu tinh thể phi tuyến Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu vật rắn - Phạm vi nghiên cứu: vật rắn có cấu trúc tinh thể phi tuyến Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu vật rắn có cấu trúc tinh thể phi tuyến, hiệu ứng phi tuyến, giới thiệu số phương pháp lý thuyết chủ yếu nghiên cứu hiệu ứng phi tuyến tinh thể Phƣơng pháp nghiên cứu - Tra cứu, tìm kiếm nghiên cứu tài liệu - Thống kê, lập luận, diễn giải NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CẤU TRÚC TINH THỂ 1.1 Các dạng liên kết vật rắn [1] 1.1.1 Lực Van-der-van - Đây loại liên kết thường gặp xuất hai nguyên tử phân tử - Phương trình Van-der-van: a   V − b) P +  (  V  = RT  (1.1) - Đây loại lực xuất phần tử có liên kết hóa học bão hòa phần tử khí trơ - Trong trường hợp tổng quát, lực liên kết Van-der-van gồm ba loại liên kết chính: tương tác tán xạ, tương tác định hướng, tương tác cảm ứng • Tương tác tán xạ Năng lượng tương tác tán xạ tính theo biểu thức: 3α Utx đó: α: độ phân =− r J , (1.2) cực, J: lượng kích thích, r: khoảng cách • Tương tác định hướng Năng lượng tương tác định hướng tính theo biểu thức: M2 + Ở nhiệt độ thấp: Udh = − 2πε 0r (1.3) + Ở nhiệt độ cao: Udh = − M 24π k BT r ε (1.4) Trong đó: M: mômen lưỡng cực: M =αε (ε: cường độ điện trường), ε : số điện môi, kB : số Boltzmann, T: nhiệt độ tuyệt đối • Tương tác cảm ứng: Năng lượng tương tác cảm ứng tính theo biểu thức: α M2 U cu = − 8πε r6 (1.5) Trong trường hợp tổng quát, hai nguyên tử lại gần xuất đồng thời ba loại liên kết nên Utx U = + Ucu  1.1.2 Liên kết ion Udh + Ucu Utx Udh ; - Đây loại liên kết xuất kim loại điển hình kết hợp với nhóm halogen - Bản chất liên kết ion lực hút tĩnh điện hai ion trái dấu - Đặc điểm: Sự phân bố điện tích ion có tính đối xứng cầu - Năng lượng tương tác: B q U = n − , r 4πε r (1.6) đó: q: điện tích ion, B, n: số, r: khoảng cách 1.1.3 Liên kết cộng hóa trị - Liên kết cộng hóa trị tạo thành cặp electron có spin đối song, loại liên kết mạnh liên kết ngun tử trung hòa Ví dụ liên kết kim cương, Silic, GaAs, GaP, AlP, … Phương trình (2.14) chứng tỏ tần số ωk j (tần số giả điều hòa) Khi sử dụng tính chất hàm tương quan : phụ thuộc vào nhiệt độ q1 qn ≈ n ( −1 ) (n q.q , n (2.15) q.− q n − 3) ma trận lực giả điều hòa (2.12) viết dạng:  ∑ lm U  U qr  e x p = ∇ ∇ q ∇ ∇    l 1 o 2 m 12 (2.16) ( )   Để tính lượng tự mạng tinh thể theo (2.8) phép l gần giả Uđiều hòa bằn theo ma g trận lực tùy ý biểu thức (2.16) Từ (2.8), (2.13) (2.14) suy biểu thức lượng tự 10 phép gần giả điều hòa có dạng : ω     ln 2si F nh + exp =  U qq r − ω ω cth k N ) ∇ ∑     (2.17) (N ) 4k 2θ  ) Một phương pháp hiệu nghiệm để nghiên cứu hệ nhiều , , trình Bogoliubov: ,W N ∑ H = ) ∂  = H  ∂H   i=1  ∂ri (N) X l −     ∂t (N) ∂W  ∂W W) Các hàm thỏa mãn mạch phương N (N ) X hạt phương pháp hàm phân bố ∂W X i ; H = hàm Hamilton): 2.4 Phƣơng pháp hàm phân bố hạt (N) độ xung hạt giống (với k 2θ   12 k ( ) ∑ ∑ W ( ∇ θ (   H mật độ xác xuất pha, đối xứng mhoán vị tọa  (2.18) ∂ p ∂ ∂ri  p i i , , X 10 ( ri , pi ( , , XN, t j  = W X1, , X j , , Xi , X N ,t Mỗi phương trình mạch Bogoliubov khơng phải kín Muốn có phương trình kín để tìm hàm phân bố phải sử dụng giả 10 thuyết đa tích hàm phân bố: Wij ( X i , X j , t ) = Wi ( X i , t )Wj ( X j , t (2.19) ) Khi ta tìm phương trình kín hàm phân bố hạt Trong trường hợp hệ cân có cấu tử phương trình ứng với      ( φ r − r' λ ρ '= )ρdr0(',r ln  phương trình Vlasov: ( ) ) ( ) r +    θ ∫ N  V tro ρ W mật độ số ng hạt trung đó: ( r ( r bình; ) ) = hạt; số λ xác định từ điều kiện chuẩn Phương trình (2.20) cho nghiệm dạng: φ tương tác ( r ) ρ ( r ) = exp  − λ    u r ( )    ,    θ (2.21)       ( ) = ∫φ ( r − r ' ) ρ ( r ' ) dr ' u r u  ( có ý nghĩa tự hợp điểm r , r gây nên tất hạt lại   ) chiều) vùng hoạt động hạt nút mạng Ngoài ra, tính tuần hồn hàm phân bố  tinh hạt  − ρcực ( a  đại hạt ngun tử hồn khơng gian Như vậy, gần nút mạng có đồng thời vài hạt Điều trái với thực tế trạng thái tinh thể Để loại trừ sai sót này, Bazarov đưa vào điều kiện:   r− r'  b, (2.22) ρ trên, ta sử dụng hàm: ( r ) ( ) ∑ (r 1 r i ) (2.23) Khi thay cho phương trình (2.20) ta sử dụng phương trình : ) Mật độ xác suất tuần  thể, thay cho hàm  ρ = ρ   cực tiểu t tinh thể Ở nút mạng h  ế u ( a i) hàm với b bán kính (hoặc kích thước i (1−  δ ) φ r − r ' ln r θ λ∑ ρ ( ρ r − a dr ' = )0 ∑ ∫ ( r − + (2.24) T tùy ý r Do ta o n nghiên g cứu ij i i j p h n g t r ì n h n y  nghiệm ứng với nút gốc mạng (i = 0, a0 = 0) Phương trình (2.24) cho dạng t n g t ự (2.20): N   θ l n λρ ) + ( ∫ r ( K ) ∑ r− r' ) ρ (r (2.2  5) ' dr ' = 0 j =1 N ( )  u r   = exp −  ( ) = u r θ  ∫ K (     N −   N θ dr θ ∫  ( e   +  (2.26)  −   ( r − r ' ) = ∑Φ( − r ' − a ) K j =1 −1  ) ρ (r ') d r ',  (N ) ∫ , r− r' (b )  − Và phương trình cho nghiệm tương tự (2.21): ρ (r ) λ u (r )   r 2 u −  u  j − Nghiệm (2.26) gọi nghiệm phép gần trường tự hợp Khi sử dụng nguyên lý biến thiên Boroliubov để xác   ∫ e∫ θ dr e  θ dr   định lượng tự do, ta thu biểu thức lượng phiến  (d {u} = − r r e −) N θ ln N e + ∫ ý phương  θ  Chú u F  dạng hàm:        φ( r − r ' ) exp − u(r) + u(r ') pháp này, cận tích phân (2.26) drdr ' (2 có giá trị b (được xác định từ điều kiện cực tiểu lượng tự do) Như vậy, thay cho việc sử dụng mạch phương trình động Bogoliubov, phải sử dụng mạch phương trình mật độ xác suất pha, suy từ phương trình Liouville Do đó, sử dụng giả thuyết đa tích (2.19) từ mạch ta thu hệ kín gồm N phương trình vi tích phân phi tuyến mật độ xác suất hạt: ∂Wi  (1−) ∂φij = + P ∂Wi Wi P δ i  W  − d  ∑  ∂t m ∂ri ∂pi 1 i N ij i (2.28) j x ∂r i j =1 Wi ∂ t nghiệm: i  j Ở trạng thái cân nhiệt động: ∂   W (r , p ) = ( 2π mθ )3 ∫ exp  − = , phương trình (2.28) cho    2mθ i  , i p ω (r ) i (2.29) i hàm ωi ( ri ) thỏa mãn hệ phương trình phi tuyến: ln 1 λω +r ( ( )) i i số λi i N   1− δ φ( θ r− r i ∑ ( j =1 )∫ ij   )ω (r )d r = jj j j , thỏa mãn điều kiện chuẩn Trong trường hợp tinh thể lí tưởng ( N → ∞) mật độ xác suất tất (2.30) hạt có dạng giống nhau, khác chỗ vị trí cách    khoảng vecto tịnh tiến mạng, tức là: ω r = ω i ( i) − Ani (2.31) Khi với   K r − r' ( ) hạt nằm khoảnh cách r nút mạng tương tác với hạt lại dịch chuyển khỏi nút chúng khoảng  r' Hệ (2.30) tách thành N phương trình giống nhau: (r i      λω r ( ) ( ) θ ∫ +( K r −) r( ' ω r ' dr ' =      ˆ r' K r −( r ' )= φ r − ( An − ) ∑  ln (2.32) n≠0 Phương trình (2.29) (2.32) phương trình phương pháp trường tự hợp khơng đối xứng Nó có dạng gần tương tự với phương trình phương pháp trường tự hợp đối xứng (2.25) Phương trình (2.30) cho nghiệm tương tự (2.26) ω   i λi i   =  ( r ) = exp − ur ∑ur( 1− i i λi = ∫ j  i i θ  δij ) ∫ φ ( r  )ω        r + ri ( ) dr j (2.33)    u r       exp − i i d r ; r = r −  ri i j  θ      ( ) khác rằng, tích phân biểu thức u i   khơng có cận bị chặn giá trị b (r ) Khi sử dụng dạng (2.33), biểu thức lượng tự là: 3Nθ F= −  mθ N (  ui ri  ) ln ∑ − ∫ ln exp −  θ 2π  i=1 θ  Trong trường hợp tinh thể lí tưởng:   i d r    u r    m θ   dr  F − exp  ' = −Nθ ln  ∫ 2  2π    θ        2.5 Phƣơng pháp Monte - Carlo (2.34) ( ) (2.35) 2.5.1 Sự đời phương pháp Monte – Carlo Stanislaw Ulam nhà khoa học quan tâm đặc biệt đến xác suất quy trình ngẫu nhiên Cùng với đời máy tính ENIAC, Stanislaw Ulam trao đổi ý tưởng với Von Neumann Từ đó, tia sáng phương pháp Monte – Carlo dần xuất Năm 1947, Von Neumann trình bày sơ thảo bước tính xác suất để giải vấn đề khuyếch tán neutron vật liệu phân hạch Sau phương pháp Monte – Carlo Metropolis hoàn thiện Đến năm 1990, phương pháp động học Monte – Carlo (kinetic Monte Carlo) đời liên tục phát triển 2.5.2 Phương pháp Monte – Carlo ? Phương pháp Monte – Carlo lớp thuật toán để giải nhiều toán máy tính theo kiểu khơng tất định, thường cách sử dụng số ngẫu nhiên (thường số giả ngẫu nhiên), ngược lại với thuật toán tất định Một ứng dụng cổ điển phương pháp việc tính tích phân xác định, đặc biệt tích phân nhiều chiều với điều kiện biên phức tạp Phương pháp Monte – Carlo thường thực lặp lại số lượng lớn bước đơn giản, song song với Kết phương pháp xác số lượng lặp bước tăng 2.5.3 Phương pháp Monte – Carlo trạng thái vật lí Trong vật lí, để mơ thay đổi trạng thái hệ, tìm hiểu thay đổi hàm phân bố hệ thay đổi Dạng chung hàm phân bố là: Z =∑ all −states − H e k BT (2.36) Tổng phương trình (2.36) tập hợp tất trạng thái hệ phụ thuộc vào kích thước hệ số bậc tự phần tử Khi hệ thống gồm phần tử tương tác hàm phân bố cho biết xác tính chất hệ Khi đó, xác suất thay đổi trạng thái thành phần thứ i hệ là: − H (i) k BT Pi = e Z , với H(i) hàm Hamintonian trạng thái thứ i 2.5.4 Từ phương pháp Monte – Carlo đến phương pháp động học Monte – Carlo Trong mơ Monte – Carlo tính tốn bước mơ Tuy nhiên, bước mô thời gian không xác định nên thời gian tồn q trình khơng mang ý nghĩa vật lí Để khắc phục vấn đề này, phương pháp mô động học Monte – Carlo đưa vào thông số mới: tốc độ nhảy bước Các điểm khác biệt phương pháp Monte Carlo động học Monte Carlo: - Trong phương pháp động học Monte – Carlo kiện phân biệt rõ ràng từ trạng thái vi mô đến trạng thái vĩ mô Trong phương pháp Monte – Carlo phân biệt trạng thái vi mơ hay vĩ mô - Một thuận lợi phương pháp động học Monte –Carlo so với phương pháp Monte-Carlo thời gian mơ phương pháp động học Monte-Carlo có ý nghĩa vật lý Dĩ nhiên phải tính tốn tốc độ nhảy kiện trình 2.6 Kết luận chƣơng (2.37) Trong chương 2, em trình bày tinh thể phi tuyến, bốn phương pháp lý thuyết nghiên cứu tinh thể phi tuyến:  Lý thuyết động lực mạng tinh thể  Lý thuyết phonon tự hợp  Phương pháp hàm phân bố hạt  Phương pháp Monte – Carlo KẾT LUẬN Trong đề tài nghiên cứu “Một số lý thuyết thống kê nghiên cứu tinh thể phi tuyến” em trình bày nội dung sau:  Cấu trúc mạng tinh thể  Hiệu ứng phi tuyến tinh thể  Một số lý thuyết nghiên cứu tinh thể phi tuyến  Lý thuyết động lực mạng tinh thể  Lý thuyết phonon tự hợp  Phương pháp hàm phân bố hạt  Phương pháp Monte – Carlo ... số nén, nhiệt dung nhiệt độ cao.v v… Vì em chọn đề tài nghiên cứu: Một số lý thuyết thống kê nghiên cứu tinh thể phi tuyến 2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu số lý thuyết thống kê nghiên cứu tinh. .. thể phi tuyến, hiệu ứng phi tuyến, giới thiệu số phương pháp lý thuyết chủ yếu nghiên cứu hiệu ứng phi tuyến tinh thể Phƣơng pháp nghiên cứu - Tra cứu, tìm kiếm nghiên cứu tài liệu - Thống kê, ... tinh thể phi tuyến Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu vật rắn - Phạm vi nghiên cứu: vật rắn có cấu trúc tinh thể phi tuyến Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu vật rắn có cấu trúc tinh thể