Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm học 2014 - 2015 trường THCS Xuân Dương, Hà Nội

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6 điểm)  x5 x   25  x x 3 x 5  Cho biểu thức A =   1 :     x  25 x  x  15 x  x      Rút gọn A Tìm số nguyên x để A nguyên Với x  , x  25, x  tìm giá trị nhỏ biểu thức B= A( x  16) Câu 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: x  x   x   x  21x  11 b) Tìm giá trị nhỏ A= xy yz zx với x, y, z số dương x2 + y2 + z2 =   z x y Câu 3: (3 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 b) Cho x, y, z số dương thoả mãn Chứng minh rằng: 1   6 x y yz zx 1    3x  y  z 3x  y  3z x  y  3z Câu 4: (6 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB M điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) J a) Chứng minh: Đường thẳng IJ tiếp tuyến đường tròn (O’) b) Xác định vị trí M đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn Câu 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83 -Hết - PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Câu Ý a (6đ) Nội dung trình bày Tìm điều kiện x  0, x  25, x  Rút gọn A  b ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN Năm học: 2014 – 2015 x 3  x 3 1 1,0 1,5 x  z => x  Ư(5) =>  Điểm 0,5 (loai ) 1,0  x    x  c B A( x  16) 5( x  16) x  16   5( x  x 3  x 3 a 25 x 3  x 3 25 x 3 0,5 6 1,0 => B  => B =  x=4 0,5 ĐK: x  x = 0,5 0,5 Biến đổi: (4đ) x  x   x   x  21x  11   x  42 x  1  x  42 x  1  2x 1  2x 1  x  112 x  1 x  112 x  1   x  1( x    x  11 )  1,0  x   0(1) Hoặc x    x  11  (2) Giải (1) x = 0,5 (thỏa mãn), giải (2) x = (thỏa mãn) 0,5 b A= xy yz zx   z x y Nên A2 = x2 y2 y2 z2 z2 x2    ( x2+y2+z2 =1) z x y = B +2 0,75 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có x2 y2 y2 z2 x2 y2 y2 z2    2y2 2 z x z x 2 y z z2 x2 Tương tự   2z x2 y2 x2 y2 z2 x2   2x z2 y Cộng vế với vế ta 2B   B  Do A2 = B +2  nên A  Vậy Min A =  x=y=z= a (3đ) b 0,75 0,5 3 Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2 £ 320 0,5 mà x nguyên nên x £ Nếu x=1 x=-1 y không nguyên (loại) Nếu x=2=> y=-2 y=6 Nếu x=-2 => y=-6 y=2 Vậy phương trình cho có cặp nghiệm (x;y) là: (2;-2); (2;6); (-2;-6); (-2;2) 0,75 Áp dụng BĐT  1   a b ab 11 1     ab 4 a b (với a, b > 0) 0,25 0,5 Ta có:  1 1 1      3x  3y  2z  2x  y  z    x  y  z   2x  y  z x  y  z   1  1 1 1              x  y    x  z   x  y    y  z     x  y x  z x  y y  z   1 1      16  x  y x  z y  z  1 1       x  y  z 16  x  z x  y y  z  1 1       x  y  z 16  y  z x  y x  z  Tương tự: 0,5 Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4         3x  y  2z 3x  y  3z 2x  y  3z 16  x  y x  z y  z   4 1        16  x  y x  z y  z  4 0,5 1,0 C (6đ) J A I M O O’ B D a Xét tứ giác ACMD có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB  CD : gt)  ACMD hình thoi 0,5  AC // DM, mà AC  CB (do C thuộc đường tròn đường kính 0,5 AB)  DM  CB; MJ  CB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)  D, M, J thẳng hàng 0,5  = 900 )  + IMD  = 900 (vì DIM Ta có : IDM  = IDM  (do IC = IJ = ID :  CJD vuông J có JI Mà IJM trung tuyến) 0,5  = JMO'  = IMD  (do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); MJO' ˆ ' IMD ˆ đối đỉnh) JMO   900  IJ tiếp tuyến (O’),  + MJO'   900  IJO  IJM 0,5 J tiếp điểm b Ta có: IA = IM  IO’ = AB = R (R bán kính (O)) O’M = O’B (bán kính (O’)  JIO’ vuông I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 2 Mà IJ + O’J  2IJ.O’J = 4SJIO’ Do SJIO’ SJIO’ = R2  R2 IJ = O’J  JIO’ vuông cân 0,5 0,5 0,5 0,5 có cạnh huyền IO’ = R nên : 2O’J2 = O’I2 = R2  O’J = (1đ) R 2 Khi MB = 2O’M = 2O’J = R 0,5 Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83  xy  x  y   167  (2 x  1)(2 y  1)  167 Do x,y nguyên dương  (2 x  1);(2 y  1)  Z  (2 x  1);(2 y  1)  Ư(167) 0,5 Lập bảng tìm (x,y)=(0;83);(83;0) 0,5 ...PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Câu Ý a (6đ) Nội dung trình bày Tìm điều kiện x  0, x  25, x  Rút gọn A  b ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN Năm học: 2014 – 2015 x 3  x 3 1 1,0... (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2 £ 320 0,5 mà x nguyên nên x £ Nếu x=1 x =-1 y không nguyên (loại) Nếu x=2=> y =-2 y=6 Nếu x =-2 => y =-6 y=2 Vậy phương trình cho có cặp nghiệm (x;y) là: (2 ;-2 ); (2;6);... y =-2 y=6 Nếu x =-2 => y =-6 y=2 Vậy phương trình cho có cặp nghiệm (x;y) là: (2 ;-2 ); (2;6); (-2 ;-6 ); (-2 ;2) 0,75 Áp dụng BĐT  1   a b ab 11 1     ab 4 a b (với a, b > 0) 0,25 0,5 Ta