Một số phương pháp giải phương trình bậc ba

Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội M U Lý chn ti Trong nh trng ph thụng mụn Toỏn gi mt v trớ quan trng nú giỳp hc sinh hc tt hu ht cỏc mụn hc, v l cụng c ca nhiu ngnh khoa hc k thut, cú nhiu ng dng to ln i sng Mun hc gii núi chung v hc gii Toỏn núi riờng thỡ phi luyn tp, thc hnh nhiu ngha l ngoi vic nm rừ lý thuyt cỏc em cũn phi lm nhiu bi i vi hc sinh bi thỡ rt nhiu v a dng nhng thi gian thỡ hn hp ng thi cỏc em khú cú iu kin chn lc nhng bi toỏn hay cú tỏc dng thit thc cho vic hc rốn luyn t toỏn hc ca mỡnh Trong mụn Toỏn phng trỡnh gi v trớ ht sc quan trng khụng nhng l i tng nghiờn cu ca i s m cũn l cụng c c lc ca Gii tớch Nú c gii thiu t nhng nm u ca bc ph thụng cỏc dng n gin a phn cỏc em c lm quen vi phng trỡnh bc nht hoc bc hai cũn cỏc phng trỡnh bc cao cỏc em ớt c lm quen Ngy phng trỡnh bc ba, bc bn ó gii c bng cn thc Xong ph thụng nghim phc a vo ch mc gii thiu, ú vic ỏp dng cỏch gii ny th no cho cỏc em d hiu v d nm bt l c mt Vi nhng lý trờn cựng vi lũng say mờ nghiờn cu v c s giỳp tn tỡnh ca cụ giỏo Nguyn Th Bỡnh, em ó chn ti: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh bc ba lm khúa lun tt nghip vi mong mun gúp phn nh lm tng v p ca mụn Toỏn qua vic gii phng trỡnh bc ba Mc ớch nghiờn cu Tr-ơng Thị Lâm K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Bc u lm quen vi cụng vic nghiờn cu khoa hc v tỡm hiu sõu hn v phng trỡnh bc ba Nhim v nghiờn cu - Gii c phng trỡnh bc ba tng quỏt - Tỡm mt s phng phỏp gii phng trỡnh bc ba thng dựng i tng v phm vi nghiờn cu - i tng nghiờn cu: Phng trỡnh bc ba - Phm vi nghiờn cu : + Kin thc v a thc + Phng trỡnh bc ba tng quỏt v mt s phng trỡnh bc ba thng gp Phng phỏp nghiờn cu - Phng phỏp nghiờn cu ti liu - So sỏnh, phõn tớch, tng hp - Phng phỏp ỏnh giỏ Cu trỳc khúa lun Ngoi m u, kt lun, danh mc ti liu tham kho, khúa lun ca em gm hai chng: Chng 1: Nhng kin thc chun b Chng 2: Phng trỡnh bc ba v mt s phng phỏp gii Tr-ơng Thị Lâm K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Chng Tr-ờng ĐHSP Hà Nội NHNG KIN THC CHUN B 1.Vnh a thc mt n 1.1 Xõy dng vnh a thc mt n Gi s A l vnh giao hoỏn cú n v v P l hp cỏc dóy s vụ hn (a0 , a1 , , a n , ) , ú cỏc A, i N v ch mt s hu hn cỏc hng t Hai phn t (a0 , a1 , , a n , ) v (b0 , b1 , , b n , ) ca P c xem l bng nu v ch nu bi , i Phộp cng v phộp nhõn P c nh ngha bi: i) (a0 , a1 , , an , ) (b0 , b1, , bn , ) (a0 b0 , a1 b1, , an bn , ) ii) (a0 , a1, , an , ).(b0 , b1, , bn , ) (c0 , c1, , cn , ) vi ck i j k aibj , k 0,1,2, Tp P cựng vi hai phộp toỏn trờn lp thnh mt vnh giao hoỏn cú n v nh x A P a a (a,0, ,0, ) l mt n cu, vy ta ng nht phn t a A vi phn t (a,0, ,0, ) P thỡ A l mt vnh ca P t x (0,1,0, ,0, ) Khi ú, mi phn t ca P l dóy (a0 , a1 , , a n , ) vi cỏc A, i N cú th vit di dng: Nu an 0(n 0) thỡ n c gi l bc ca a thc f ( x) Kớ hiu n deg f ( x) a thc khụng l a thc khụng cú bc hoc bc l gi l vnh a thc n x trờn A Kớ hiu P Tr-ơng Thị Lâm Vnh P c A x K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 1.2 Phộp chia a thc 1.2.1 Phộp chia vi d nh lớ: Gi s A l mt trng, f ( x) v g ( x) l hai a thc ca vnh A x ; th thỡ bao gi cng cú hai a thc nht l q( x) v r ( x) thuc A x cho f ( x) g ( x).q( x) r ( x) , vi deg r ( x) deg g ( x) nu r ( x) H qu: f ( x) chia ht cho g ( x) v ch d phộp chia f ( x) cho g ( x) bng 1.2.2 Lc Horner Cho a thc f ( x) A x f ( x) a0 xn a1 xn an x an , Gi s thng ca phộp chia f ( x) cho ( x q( x) b0 xn b1 xn bn , bi A ) A x l A , i 0, n Suy a0 xn a1 xn an x an ( x )(b0 xn b1xn bn ) f ( ) So sỏnh cỏc h t ca cỏc ly tha ging ca x h thc trờn ta lp c bng sau a0 b0 a1 a0 b0 a1 b0 an bn an an bn r an bn 1.3 Nghim ca a thc 1.3.1 nh ngha: Gi s K l mt trng no ú, A l trng ca K Mt phn t K gi l nghim ca a thc f ( x) A x nu v ch nu f ( ) Tr-ơng Thị Lâm K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Ta cng núi Tr-ờng ĐHSP Hà Nội l nghim ca phng trỡnh i s f ( x) K Nu deg f ( x) n thỡ phng trỡnh f ( x) gi l phng trỡnh i s bc n(n 1) 1.3.2 nh lớ (Bozout) Cho A l mt trng, phộp chia P( x) cho x A, P( x) A[ x] Khi ú d l P( ) Chng minh Gi s P( x) ( x ).q( x) r ( x) , r ( x) hoc r ( x) Nu r ( x) thỡ deg r ( x) deg( x ) Suy r ( x) r A Ta cú P( ) r r Trong trng hp ny phn d phộp chia P( x) cho x l r P( ) Nu r ( x) thỡ P( x) ( x ).q( x) Khi ú P( ) H qu: Cho P( x) K [ x], K Khi ú: P( x) chia ht cho x v ch ) P( x)M (x l nghim ca P( x) K 1.3.3 Nghim bi nh ngha Cho a thc P( x) a0 xn a1 xn an 1x an A[ x] Nu P( x) cú biu din dng P( x) ( x )m ( x 1 )m ( x )m k 2 k Trong ú: , , , k l nhng ụi mt khỏc m1 , m2 , , mk l nhng s t nhiờn v m1 m2 mk Khi ú m1 , m2 , , mk gi l bi tng ng ca cỏc nghim Ngi ta gi nghim ch P( x)M (x , , , k ca a thc P( x) l nhng nghim bi bc m )m nhng khụng chia ht ( x Tr-ơng Thị Lâm n )m K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Nhn xột: c A l nghim ca bi m ca a thc f ( x) A[ x] nu v ch nu f ( x) ( x c)m.g ( x) vi ( g ( x), x c) Chỳ ý: Gi s A l nguyờn, th thỡ s nghim ca mt a thc f ( x) A[ x] , mi nghim tớnh vi s bi ca nú khụng vt quỏ bc ca f ( x) Nu hai a thc f ( x), g ( x) A[ x] cú bc n v ly giỏ tr bng ti n phn t khỏc ca nguyờn A th thỡ chỳng bng 1.3.4 Mt s nh lớ v s tn ti nghim ca a thc nh lớ Mi a thc bc l vi h s thc cú ớt nht mt nghim thc nh lớ (nh lớ c bn) Mi a thc f ( x) bc n trờn trng s phc (hay thc) u cú ỳng n nghim phc, mi nghim tớnh vi bi ca nú nh lớ Cho f ( x), g ( x),deg f ( x) m v g ( x) cú ỳng m nghim A Khi ú f ( x)M g ( x) f ( x) hoc mi nghim bi c ca g ( x) l nghim bi k ' ca f ( x) vi k ' k Chng minh Gi s f ( x)M g ( x) Khi ú f ( x) g ( x).h( x) Nu g ( x) ( x )k q( x) thỡ f ( x) ( x nghim bi k ca g ( x) thỡ )k q( x).h( x) Suy l l nghim bi k ' ca f ( x) ( k ' k ) Ngc li: Nu tt c cỏc nghim ca g ( x) l , , , m ( i l cỏc nghim bi k c lit kờ k ln) Tr-ơng Thị Lâm K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp g ( x) a.( x ).( x Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 ) ( x Theo gi thit ta cú f ( x) a.( x m ) , vi a l h s cao nht ca g ( x) ).( x ) ( x m ).h( x) Suy f ( x)M g ( x) nh lớ Cho a thc h s nguyờn f ( x) a0 xn a1 xn an x an (a 0) Khi ú phõn s ti gin p an p l nghim ca a thc f ( x) thỡ q q a0 H qu 1: Mi nghim nguyờn ca a thc vi h s nguyờn l c ca s hng t H qu 2: Mi nghim hu t ca a thc vi h s nguyờn cú h s cao nht bng u l s nguyờn nh lớ Cho a thc vi h s nguyờn f ( x) a0 xn a1 xn an x an Phõn s ti gin A[ x] p l nghim ca a thc f ( x) Khi ú vi mi m  ta cú q ( p mq) f (m) Trng hp c bit: ( p q) f (1) v ( p q) f ( 1) H qu: Nu l nghim ca a thc f ( x) a0 xn a1 xn an x an A[ x] thỡ f (1) f ( 1) , u l s nguyờn 1 nh lớ (nh lớ Rolle) Gi s hm s f : a; b khong a; b , nu f (a) Ă liờn tc trờn on a; b v cú o hm f (b) thỡ tn ti ớt nht im c a; b cho f '(c) 1.3.5 Cụng thc Viet a) nh ngha Cho P( x) a0 xn a1 xn an 1x an Tr-ơng Thị Lâm A[ x], a0 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Gi s P( x) cú A hoc m rng ca A n nghim , , , n Khi ú: 1 2 n ( 1)1 a1 a0 n n ( 1)2 a2 a0 n ( 1)n an a0 Cụng thc trờn gi l cụng thc Viet b) Cụng thc Viet i vi hm bc Nu a thc f ( x) ax3 bx2 cx d (a 0) cú cỏc nghim x1 , x2 , x3 Khi ú ta cú: b a x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x1 x3 x1 x2 x3 c a d a Phng trỡnh mt n 2.1.Khỏi nim phng trỡnh n Cho hai hm s f ( x) v g ( x) vi bin s x v cỏc h s thuc D Khi gỏn cho bin s x giỏ tr a D , ta tớnh c f (a) , g (a) tng ng gi l cỏc giỏ tr ca hm s f , g ti a Ta tỡm a D cho f (a) g (a) Khi ú mnh bin x : f ( x) g ( x) c gi l phng trỡnh n x , f ( x) l v trỏi, g ( x) l v phi ca phng trỡnh, a D : f ( x) g ( x) gi l nghim ca phng trỡnh Vic tỡm tt c cỏc nghim ca phng trỡnh gi l gii phng trỡnh trờn D Tr-ơng Thị Lâm K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp D Df Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Dg Trong ú Df , Dg ln lt l xỏc nh ca phng trỡnh f ( x) g ( x) 2.2 Phng trỡnh tng ng v phộp bin i tng ng 2.2.1 Phng trỡnh tng ng Cho hai phng trỡnh: f ( x) g ( x) (1) f '( x) g '( x) (2) Ta gi phng trỡnh (2) l h qu ca phng trỡnh (1) nu nghim ca (1) trờn D u l nghim ca (2) v ú ta vit (1) suy (2) Nu phng trỡnh (1) l h qu ca phng trỡnh (2) v (2) l h qu ca (1) thỡ hai phng trỡnh (1) v (2) gi l phng trỡnh tng ng 2.2.2 Phộp bin i tng ng a) nh ngha Mt phộp bin i a phng trỡnh ny v phng trỡnh khỏc m khụng lm thay i nghim ca phng trỡnh ó cho gi l phộp bin i tng ng b) Mt s phộp bin i tng ng nh lớ Nu thc hin phộp tớnh mi v ca phng trỡnh thỡ phng trỡnh nhn c tng ng vi phng trỡnh ó cho nh lớ Nu biu thc H ( x) xỏc nh trờn xỏc nh ca phng trỡnh F ( x) G( x) (1) Phng trỡnh (1) tng ng vi phng trỡnh F ( x) H ( x) G ( x) H ( x) Chng minh a gi l nghim ca phng trỡnh (1) v ch F (a) G(a) Do Tr-ơng Thị Lâm K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội H ( x) xỏc nh trờn xỏc nh ca phng trỡnh nờn H (a ) xỏc nh Khi ú F (a) H (a) G(a) H (a) iu ny xy v ch a l nghim ca (2), tc (1) tng ng (2) H qu: Cú th chuyn v mt hng t t v ny sang v ca phng trỡnh ng thi i du c phng trỡnh mi tng ng vi phng trỡnh ó cho Nhn xột: iu kin H ( x) xỏc nh trờn xỏc nh ca phng trỡnh F ( x) G( x) l iu kin nhng khụng l iu kin cn Núi cỏch khỏc, nu cú iu kin y thỡ phng trỡnh (1) v (2) tng ng, nu khụng cú iu kin y thỡ phng trỡnh (1) v (2) cú th tng ng, cú th khụng tng ng nh lớ Nu biu thc H ( x) xỏc nh v khỏc trờn xỏc nh ca phng trỡnh F ( x) G( x)(1) thỡ(1) tng ng vi phng trỡnh F ( x) H ( x) G ( x) H ( x) H qu: Cú th nhõn hoc chia c hai v ca phng trỡnh vi cựng mt s khỏc thỡ phng trỡnh nhn c tng ng vi phng trỡnh ó cho nh lớ Nu nõng hai v ca phng trỡnh lờn ly tha l thỡ phng trỡnh nhn c tng ng vi phng trỡnh ó cho Chỳ ý: Nu nõng hai v ca phng trỡnh lờn ly tha chn thỡ phng trỡnh nhn c cha chc ó tng ng vi phng trỡnh ó cho (phng trỡnh bin i l phng trỡnh h qu ca phng trỡnh ó cho) Nhn xột: Tr-ơng Thị Lâm 10 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 cos( x1 cos( cos( x2 x3 |k| ( |k| 3ak x ) b arccos (k ) 3a ) b k2 k 1) |k| b 3a : Phng trỡnh cú mt nghim bi x 3) Nu arccos(k ) 3a : Phng trỡnh cú mt nghim nht 1.2) k 2) Nu arccos(k ) ) b 3a b b3 27a d 3a : Phng trỡnh cú mt nghim nht x | | ( k 3a k2 k k 1) b 3a Vớ d 10: Gii phng trỡnh x3 18 x 15 Gii Ta cú: a 1, b 0, c 18, d 15 Tớnh ,k b2 3ac 02 3.1.18 k 9abc 2b3 27a 2d Tr-ơng Thị Lâm 54 27.1.15 543 405 324 34 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp nờn phng trỡnh cú nghim nht Do x Tr-ờng ĐHSP Hà Nội | | ( k 3a 54 ( 6( 3 ) k 1) k 25 16.6 k2 3 b 3a 25 1) 16.6 6( 11 6 11 ) 24 6.4 Phng phỏp (Tỡm nghim hu t ca phng trỡnh vi h s nguyờn) Tỡm nghim hu t ca a thc bc ba cú dng x3 ax bx c vi cỏc h s nguyờn f ( x) Gi s l mt nghim hu t ca f ( x) , th thỡ phi nguyờn Mt khỏc, t a b c ta cú th vit ( ú a b) c c Nh vy cỏc nghim nguyờn ca f ( x) , nu cú, phi l nhng c ca c Cho nờn mun tỡm nghim nguyờn ca f ( x) ta xột cỏc c ca s hng t c, v sau ú th xem cỏc c ú cú phi l nghim ca f ( x) hay khụng hn ch s ln th ngi ta a vo nhn xột sau õy Gi s l mt nghim nguyờn ca f ( x) Th thỡ f ( x) chia ht cho x f ( x) ( x )q ( x ) v theo s Hoorne, q ( x) l mt a thc vi h s nguyờn Do ú q(1), q( 1) l nhng s nguyờn v f (1) Tr-ơng Thị Lâm q(1), f ( 1) q( 1) 35 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp nu Tr-ờng ĐHSP Hà Nội khỏc v -1 Vỡ vy trc ht ta tớnh f(1) v f(-1) xem v -1 cú phi l nghim ca f(x), sau ú ta xột cỏc c ca c cho f (1) f ( 1) , 1 l nhng s nguyờn th xem chỳng cú l nghim ca f(x), v ú s ln th ca ta bt i núi chung Vớ d 11: Gii phng trỡnh sau x3 x 11x 30 Gii Xột a thc f ( x) x3 x 11x 30 Nghim ca f(x) cng chớnh l nghim ca phng trỡnh ó cho Ta cú f (1) 11 30 16 f ( 1) 11 30 36 Suy v -1 khụng l nghim ca f(x) Cỏc nghim ca f(x) phi l nhng c ca 30 Cỏc c ca 30 l 2, 3, 5, 6, 15, 30 Xột f (1) f ( 1) , 1 f (1) 2 f (1) 3 f (1) f (1) f (1) 16 16  ; f ( 1) 36 12  16  16 16 Â; f ( 1) 36 4 Â; f ( 1) 36 16  Tr-ơng Thị Lâm ; f ( 1) 36  13   36 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp f (1) 5 f (1) 6 f (1) 15 f (1) 15 15 16  16  f (1) 15 f (1) 30 30 30 Tr-ờng ĐHSP Hà Nội f (1) 30 16  16 14  16 16  ; 16 29  f ( 1) 15 36  14 16  31 Nh vy 2, 3, -3, cú th l cỏc nghim nguyờn ca f(x) Bng s Hoorne, kim tra xem cú phi l nghim ca f(x) hay khụng Ta cú bng sau -4 -11 30 -2 -15 -1 -14 -22 -3 -7 10 1 -6 Vy ta cú f ( x) ( x 2)( x 3)( x 5) Phng trỡnh ó cho cú cỏc nghim l 2, -3, 6.5 Phng phỏp (Quy v phng trỡnh bc hai) Cho phng trỡnh ax3 bx2 cx d Tr-ơng Thị Lâm (a 0) 37 (1) K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Gii phng trỡnh bit mt nghim x0 PHNG PHP CHUNG Ta thc hin theo cỏc bc sau: Bc 1: oỏn nghim x0 ca (1) Bc 2: Phõn tớch (1) thnh ( x x0 )(ax2 b1x c1 ) x x0 g ( x) ax b1 x c1 Chỳ ý D oỏn nghim da vo cỏc kt qu sau: Nu a b c d thỡ (1) cú nghim x Nu a b c d thỡ (1) cú nghim x Nu a, b, c, d nguyờn v (1) cú nghim hu t p thỡ p, q theo th t l q c ca d v a Nu ac3 bd (a, d 0) thỡ (1) cú nghim x Nu a 1, b3 4bc 8d c b thỡ (1) cú nghim x b Vớ d 12: Gii cỏc phng trỡnh sau: a x3 x2 5x Tr-ơng Thị Lâm c 3x3 x 38 2x K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp b x3 e x3 Tr-ờng ĐHSP Hà Nội d x3 x 2x2 x2 2x 2 4x Gii a Nhn xột: a b c d ú phng trỡnh cú nghim x Bin i phng trỡnh v dng: ( x 1)(2 x2 3x 2) x x x x 3x Vy phng trỡnh ó cho cú ba nghim phõn bit x 1, x b Nhn xột: a b c d ú phng trỡnh cú nghim x x 2, x 2 Bin i phng trỡnh v dng: ( x 1)(2 x2 x 3) x x2 2x Vy phng trỡnh cú nghim nht x x 1 c Nhn xột: a cú cỏc c l 1, v d cú cỏc c l 1, ú phng trỡnh nu cú nghim hu t thỡ ch cú th l mt cỏc giỏ tr 1, 2, , 3 Tr-ơng Thị Lâm 39 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 l nghim phng trỡnh Nhn thy x Bin i phng trỡnh v dng: (3x 2)( x2 x 2) 3x x2 x 2x x ,x Vy phng trỡnh cú ba nghim phõn bit x 3, x d Nhn xột: ac3 1.( 2)3 2 bd c b Do ú phng trỡnh cú nghim x Bin i phng trỡnh v dng: (x 2)[x ( 1) x 2] x x2 ( 1) x Vy phng trỡnh cú nghim nht x x 2 e Nhn xột: a 1, b3 4bc 8d Do ú phng trỡnh cú nghim x Tr-ơng Thị Lâm 40 b K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Bin i phng trỡnh v dng ( x 1)( x2 Do x x 3) x vi mi x nờn phng trỡnh cú nghim nht x Chỳ ý Khi ó thnh tho cỏc phng phỏp nhm nghim ta khụng cn nờu nhn xột li gii cho mi phng trỡnh Nu cỏc phng phỏp nhm nghim khụng cú tỏc dng ta cú th dng kin thc v phõn tớch a thc Vớ d 13: Gii phng trỡnh: x3 3x 7x Gii: Bin i phng trỡnh v dng x3 3x x2 ( x (x 7x 3) 3x( x 3)( x ( x3 3x 3) ( x 3x 1) 3x x 3) x x x2 3x x Vy phng trỡnh cú cú ba nghim phõn bit x Tr-ơng Thị Lâm 6x 41 3, x 2 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội BI TP Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau: x3 10 x x3 x 2 36 x3 12 x x 6x x3 3x 7x x3 10 x x3 x 6x 4x 7x Bi 2.Gii cỏc phng trỡnh sau: x3 x 8x x3 12 x2 x x3 27 x2 x x3 15x x x3 x x3 3x2 x Bi Gii cỏc phng trỡnh sau: x3 36 x2 84 x 20 x3 x x3 18x 15 x3 3x2 x Bi Tỡm nghim hu t ca cỏc phng trỡnh sau: x3 x 15 x 14 2 x3 3x x x3 x x Bi Gii cỏc phng trỡnh sau: 8x3 36 x 27 x3 3x x3 x x3 x Bi Tỡm tt c cỏc nghim x 0,1 ca cỏc phng trỡnh: 64 x6 96 x4 36 x2 x(2 x 1)(8 x x 1) Tr-ơng Thị Lâm 42 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội KT LUN Phng trỡnh bc ba l phn kin thc m rng chng trỡnh ph thụng Ta thng hay gp bi toỏn ny cỏc kỡ thi c bit l cỏc kỡ thi hc sinh gii v Olympic toỏn hc Trong khúa lun ny tụi ó trỡnh by mt cỏch khỏ chi tit v phng trỡnh bc ba tng quỏt v cỏc dng hay gp ca nú Tuy nhiờn cũn rt nh so vi kin thc v phng trỡnh Khúa lun c thc hin vi mong mun úng gúp kinh nghim vic nghiờn cu v hc toỏn T ú giỳp bn c hiu sõu hn, rng hn na v phng trỡnh bc cao v v a thc Do thi gian v nng lc ca bn thõn cũn hn ch ti s khụng trỏnh nhng thiu sút Em rt mong nhn c s úng gúp quý bỏu ca thy cụ v cỏc bn yờu toỏn Tr-ơng Thị Lâm 43 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội TI LIU THAM KHO Hong Xuõn Sớnh (1982), i s i cng, NXB Giỏo dc, H Ni Trn Phng, Lờ Hng c (2010), i s s cp, NXB i hc quc gia H Ni u Th Cp, i s s cp, NXB Giỏo dc, H Ni Lờ Hng c-Lờ Bớch Ngc-Lờ Hu Trớ(NXB H Ni) Tp toỏn hc v tui tr-Quyn 2(NXBGD) Tr-ơng Thị Lâm 44 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Lời cảm ơn Trong trình làm khóa luận, em nhận đ-ợc giúp đỡ, bảo tận tình cô giáo Nguyễn Thị Bình Em xin chân thành cảm ơn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Nhân đây, em xin đ-ợc cảm ơn thầy cô giáo tổ Đại số, khoa Toán thầy cô tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2, tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn để khóa luận đ-ợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Tr-ơng Thị Lâm Tr-ơng Thị Lâm 45 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Lời cam đoan Khóa luận em đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn cô giáo Nguyễn Thị Bình cố gắng thân Trong suốt trình nghiên cứu thực khóa luận này, em có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Tr-ơng Thị Lâm Tr-ơng Thị Lâm 46 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội MC LC Trang M U - Chng 1: NHNG KIN THC CHUN B Vnh a thc mt n 1.1 Xõy dng vnh a thc mt n 1.2 Phộp chia a thc 1.2.1 Phộp chia vi d 1.2.2 Lc Hoorne 1.3 Nghim ca a thc - 1.3.1 nh ngha 1.3.2 nh lớ Bozut 1.3.3 Nghim bi - 1.3.4 Mt s nh lớ v s tn ti nghim ca a thc - 1.3.5 Cụng thc Viet 2.Phng trỡnh mt n 2.1 Khỏi nim phng trỡnh mt n - 2.2 Phng trỡnh tng ng v phộp bin i tng ng 2.2.1 Phng trỡnh tng ng 2.2.2 Phộp bin i tng ng - Chng 2: PHNG TRèNH BC BA V MT S PHNG PHP GII PHNG TRèNH BC BA MT S PHNG PHP GII PHNG TRèNH BC BA 2.1 Bi toỏn (Gii phng trỡnh x3 3x m ) - 14 2.2 Bi toỏn (Gii phng trỡnh x3 3x m ( m 1) ) 16 2.3 Bi toỏn (Gii phng trỡnh x3 3x m ( m 1) ) 18 2.4 Bi toỏn (Gii phng trỡnh x3 px q ) 20 2.5 Bi toỏn (Gii phng trỡnh ax3 bx cx d ) - 27 BI TP 42 KT LUN 43 TI LIU THAM KHO 44 Tr-ơng Thị Lâm 47 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ơng Thị Lâm Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 48 K33C - Toỏn [...]... tng ng Tr-ơng Thị Lâm 11 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Chng 2 Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 PHNG TRèNH BC BA V MT S PHNG PHP GII 1 PHNG TRèNH BC BA Phng trỡnh bc ba c cp ln u tiờn bi nh toỏn hc n c Jaina khong gia nm 400 TCN v 200 CN Nh toỏn hc Ba- t Omar Khayyỏm (10481123) ó cụng b vic gii phng trỡnh bc ba nh giao ca mt thit din co-nic vi ng trũn ễng cụng b rng li gii hỡnh hc ny cú th dựng cho cỏc li... (14651526) tỡm ra cỏch gii mt lp cỏc phng trỡnh bc ba dng x3 + mx = n Thc ra, mi phng trỡnh bc ba cú th a v dng ny Tuy nhiờn cú th dn n cn bc hai ca nhng s õm, iu ú lỳc ny cha gii quyt c Del Ferro gi kớn iu ny cho n trc khi ụng cht mi núi cho hc trũ ụng l sinh viờn Antonio Fiore v nú Vo 1530, Niccolo Tartaglia (1500-1557) tip nhn hai bi toỏn trong phng trỡnh bc ba t Zuanne da Coi v cụng b ụng ó gii c chỳng... nghim ca phng trỡnh tng quỏt m ch dựng hu hn ln 6 phộp toỏn c bn l cng (+), tr (-), nhõn (ì), chia (:), ly tha (^) v khai cn () ) nh ngha: Phng trỡnh bc ba l mt trong cỏc dng ca phng bc l, nú luụn cú ớt nht mt nghim v cú nhiu nht l ba nghim Phng trỡnh bc ba cú dng tng quỏt : ax3 bx2 cx d 0(a 0) Thụng thng trong toỏn hc s cp, cỏc h s a, b, c, d l cỏc s thc Tuy Tr-ơng Thị Lâm 13 K33C - Toỏn Khóa luận tốt... ĐHSP Hà Nội 2 nhiờn a s lý thuyt cng ỳng nu cỏc h s ly trong mt trng cú c s khỏc 3 Ta luụn gi s rng a khỏc khụng.Cú th gii c mt phng trỡnh bc ba bng cn thc 2 MT S PHNG PHP GII PHNG TRèNH BC BA 2.1 Bi toỏn 1: Gii phng trỡnh: 4 x3 3x m (1) PHNG PHP CHUNG Thc hin theo ba bc sau: Bc 1: Chng minh phng trỡnh cú nghim duy nht bng mt trong hai cỏch sau: Cỏch 1: Gi s x0 l nghim ca phng trỡnh, khi ú: Vi x 4 x3... tng ng vi mt phng trỡnh bc hai vi u3 Khi gii, ta tỡm c u 3 q 2 q2 4 Vỡ t v u v t x p3 27 (4) x a / 3 , ta tỡm c p a u 3u 3 Chỳ ý rng, cú sỏu giỏ tr u tỡm c t (4), vỡ cú hai cn bc ba ng vi hai du ( ), v mi cn bc ba cú ba giỏ tr (mt giỏ tr thc v hai tớch ca nú vi 1/ 2 i 3 / 2 ) Tuy nhiờn, du ca cỏc cn phi chn sao cho khi tớnh x, khụng gp trng hp chia cho khụng Th nht, nu p = 0, thỡ chn du ca cn bc... tốt nghiệp cos cos(3 ) 4cos3 9 9 3 x1 Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 cos 9 3cos 9 l mt nghim ca phng trỡnh Tng t ta cng c x2,3 6 9 cos Vy phng trỡnh cú ba nghim x1 l nghim ca phng trỡnh cos , x2,3 9 cos 6 9 2.4 Bi toỏn 4: Gii phng trỡnh: x3 px q 0 (1) PHNG PHP CHUNG Xột ba kh nng sau: Nu p 0 thỡ: (1) x3 q x 3 q l nghim duy nht ca phng trỡnh Nu p 0 Cỏch 1: Bng cỏch t n ph ta chuyn (1) v bi toỏn 1 nh sau: t:... x3 3x m Tr-ơng Thị Lâm 18 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 PHNG PHP CHUNG Thc hin theo ba bc sau: Bc 1: t m cos cos( 2 ) Bc 2: Nhn xột rng: cos(3 ) 4cos3 3 3 cos x1 cos 3 3cos 3 l mt nghim ca phng trỡnh Tng t cng c x2,3 2 l nghim ca phng trỡnh 3 cos Bc 3: Vy phng trỡnh cú ba nghim x1 cos , x2,3 3 cos 2 3 Vớ d 3: Gii phng trỡnh: 4 x3 3x 1 2 Gii Ta cú: 1 2 cos 3 cos( 3 2 ) cos( 6... 4 3 3 1 3 2, 1 x 1 3 ( 1 2 3 2 2 ) , ta c: 1 l nghim ca phng trỡnh Vy phng trỡnh cú nghim duy nht x 1 3 ( 1 2 2 3 1 2) 2.2 Bi toỏn 2: Vi m 1 , gii phng trỡnh: 4 x3 3x m (1) PHNG PHP CHUNG Thc hin theo ba bc sau: Bc 1: Chng minh phng trỡnh cú nghim duy nht bng mt trong hai cỏch sau: Cỏch 1: Gi s x0 l nghim ca phng trỡnh, khi ú: Nu x0 1 thỡ: x0 1 2 0 4x 3 1 x0 (4 x02 3) 1 x0 khụng th l nghim ca phng... quỏt : 3x3 + 2x2 + 1x + 0 = 0 Trc tiờn, chia phng trỡnh cho 3 a v dng x3 ax2 bx c 0 (1) t x t a / 3 v bin i ta cú phng trỡnh t3 pt q 0 , trong ú p b a2 2a3 9ab v q c 3 27 (2) Nú c gi l phng trỡnh bc ba suy bin Ta s tỡm cỏc s u v v sao cho u3 v3 q v uv p 3 (3) mt nghim ca nú tỡm c t vic t t v u, Tr-ơng Thị Lâm 30 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 cú th kim tra trc tip khi thay... n, khú hn v Tartaglia ó thng cuc Tr-ơng Thị Lâm 12 K33C - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 Sau ny, Tartaglia c Gerolamo Cardano (1501-1576) thuyt phc tit l bớ mt ca cỏch gii phng trỡnh bc ba Tartaglia ó t iu kin yờu cu Cardano khụng tit l nú t nm sau, Cardano hiu c cụng trỡnh ca Ferro v vi phm li ha khi cụng b phng phỏp Tartaglia trong cun sỏch ca ụng nhan Ars Magna (1545) vi li ca ngi ... phng trỡnh bc ba Nhim v nghiờn cu - Gii c phng trỡnh bc ba tng quỏt - Tỡm mt s phng phỏp gii phng trỡnh bc ba thng dựng i tng v phm vi nghiờn cu - i tng nghiờn cu: Phng trỡnh bc ba - Phm vi nghiờn... ĐHSP Hà Nội PHNG TRèNH BC BA V MT S PHNG PHP GII PHNG TRèNH BC BA Phng trỡnh bc ba c cp ln u tiờn bi nh toỏn hc n c Jaina khong gia nm 400 TCN v 200 CN Nh toỏn hc Ba- t Omar Khayyỏm (10481123)... ly tha (^) v khai cn () ) nh ngha: Phng trỡnh bc ba l mt cỏc dng ca phng bc l, nú luụn cú ớt nht mt nghim v cú nhiu nht l ba nghim Phng trỡnh bc ba cú dng tng quỏt : ax3 bx2 cx d 0(a 0) Thụng thng