ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 20152016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI LỘC TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH OLIMPIC LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6đ)  − x3  − x2 − x  : Cho biểu thức A =  với x khác -1 1 − x   1− x − x + x a, Rút gọn biểu thức A b, Tìm giá trị x để A < Giải phương trình: x - 30x + 31x - 30 = Câu 2: (4đ) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x2 + 9y2 – 12xy + = 24( 2y – x – ) Tìm số tự nhiên n biết: A= n3 – n2 + n - số nguyên tố Câu 3: (3đ)Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu4: (6đ) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (H ∈ BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD = BC AH + HC Câu 5: (1đ) Tìm số nguyên n để n5 + chia hết cho n3 + -Hết - PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO ĐẠI LỘC TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG Câu ý 1 (6đ) ĐÁP ÁN CHẤM THI HSG TOÁN Năm học: 2015 – 2016 Nội dung trình bày a) Với x khác -1 : Điểm 1,0 − x3 − x + x2 (1 − x)(1 + x) : A= 1− x (1 + x)(1 − x + x ) − x(1 + x) (1 − x)(1 + x + x − x) (1 − x)(1 + x) : = 1− x (1 + x)(1 − x + x ) = (1 + x ) : (1 − x) = (1 + x )(1 − x) 1,0 1,0 b)Với x khác -1 A với x nên (1) xảy − x < ⇔ x > KL: x - 30x + 31x - 30 = ( x - x + 1) ( x - ) ( x + ) = (*) 2 ) + > ∀x (*) (x - 5)(x + 6) = x - = x = ⇔ ⇔ x + =  x = - Kết luận nghiệm Vì x2 - x + = (x - (4đ) Giải phương trình nghiệm nguyên 5x2 + 9y2 – 12xy + = 24( 2y – x – ) ⇔ 5x2 + 9y2 – 12xy + +24x – 48y +72 = Ta có (3đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 A= n – n + n - 1= (n-1)(n +1) 0,75 n − = n = ⇔ A số nguyên tố ⇔  n + = n = Vậy n=0 n=1 A số nguyên tố 0,75 1,0 0,5 suy x – = 2x – 3y + = =>x =4 y = 16/ Vậy phương trình nghiệm nguyên 1,0 0,5 ⇔ 4x2 + 9y2 + 64 – 12xy – 48y + 32x +x2 – 8x +16 = ⇔ ( 2x – 3y + )2 + ( x – )2 = 1,0 1,0 1,0 2 0,5 P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x +5x-6)(x +5x+6)=(x +5x) -36 0 1,0 Ta thấy (x2+5x)2 ≥ nên P=(x2+5x)2-36 ≥ -36 1,0 Do Min P=-36 (x +5x) =0 Từ ta tìm x=0 x=-5 Min P=-36 1,0 + Hai tam giác ADC 2,0 BEC có: Góc C chung CD CA (Hai tam = a (6đ) CE CB giác vuông CDE CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) · · Suy ra: BEC = ADC = 1350 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) · Nên AEB = 450 tam giác ABE vuông cân A Suy ra: BE = AB = m BM BE AD = × = × (do ∆BEC : ∆ADC ) BC BC AC mà AD = AH (tam giác AHD vuông vân H) BM AD AH BH BH = × = × = = nên (do D ABH : D CBA ) BC AC AC AB BE D BHM : D BEC Do (c.g.c), suy ra: 2,0 · · · BHM = BEC = 1350 Þ AHM = 450 b Ta có: c Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc BAC.Suy ra: GB AB = , GC AC AB ED AH HD = D ABC : D DEC ) = ED / / AH ) = ( ( AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD = ⇒ = ⇒ = Do đó: GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC mà (1đ) Ta có: n5 + Mn3 + ⇔ n5 + n2 – n2 + Mn3 + ⇔ n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) ⇔ Mn3 + ⇔ (n – 1)(n + 1) M (n+1)(n2 – n + 1) ⇔n–1 M n2 – n + ⇒ n(n – 1) M n2 – n + 1Hay n2 – n M n2 – n + ⇒ (n2 – n + 1) – M n2 – n + ⇒ M n2 – n + Xét hai trường hợp: + n2 – n + = ⇒ n2 – n = ⇔ n(n – 1) = ⇔ n = 0, n = thử lại thấy thoả mãn đề 1,0 1,0 0,5 0,5 +n2–n+1 =-1 ⇔ n2–n+2=0,không có giá trị m thoả mãn Vậy với n=0 n=1thì n5+1 chia hết cho n3+1 ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO ĐẠI LỘC TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG Câu ý 1 (6đ) ĐÁP ÁN CHẤM THI HSG TOÁN Năm học: 2015 – 2016 Nội dung trình bày a) Với x khác -1 : Điểm 1,0 − x3 − x + x2 (1 −... 3y + = =>x =4 y = 16/ Vậy phương trình nghiệm nguyên 1,0 0,5 ⇔ 4x2 + 9y2 + 64 – 12xy – 48y + 32x +x2 – 8x +16 = ⇔ ( 2x – 3y + )2 + ( x – )2 = 1,0 1,0 1,0 2 0,5 P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x +5x-6)(x... Giải phương trình nghiệm nguyên 5x2 + 9y2 – 12xy + = 24( 2y – x – ) ⇔ 5x2 + 9y2 – 12xy + +24x – 48y +72 = Ta có (3đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 A= n – n + n - 1= (n-1)(n +1) 0,75 n − = n = ⇔ A số nguyên