TỔNG hợp lý THUYẾT và các DẠNG bài tập TOÁN 9 (ôn THI lên lớp 10)

Giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình B-ớc 1: Lập ph-ơng trình hoặc hệ ph-ơng trình B-ớc 2: Giải ph-ơng trình hoặc hệ ph-ơng trình B-ớc 3: Kiểm tra các nghiệm của p

HOÀNG THÁI VIỆT



TỔNG HỢP LÝ THUYẾT

VÀ CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

(DÙNG CHO HS ÔN THI VÀO LỚP 10)

Đà nẵng ,Năm 2015

HOÀNG THÁI VIỆT- ĐHBK- 01695316875

Truy cập face để liên hệ và học tập :

https://www.facebook.com/ttbdgdhtv

Download tại liệu của Hoàng thái việt tại :

http://www.slideshare.net/barackobamahtv

+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

- Đồ thị:

Đồ thị là một đ-ờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0)

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía d-ới trục hoành

Phần I:

Đại số

TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

5 Vị trí t-ơng đối của hai đ-ờng thẳng

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm

(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm

nghiệm phân biệt:

a

b x

2 1

2 2

a

b x

' ' 1

' ' 2

a

b x

x

' 2

Nếu a + b + c = 0 thì ph-ơng trình có hai nghiệm:

9 Giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình

B-ớc 1: Lập ph-ơng trình hoặc hệ ph-ơng trình

B-ớc 2: Giải ph-ơng trình hoặc hệ ph-ơng trình

B-ớc 3: Kiểm tra các nghiệm của ph-ơng trình hoặc hệ ph-ơng trình

nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

B các dạng bài tập

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Bài toán: Rút gọn biểu thức A

 Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các b-ớc sau:

- Quy đồng mẫu thức (nếu có)

- Đ-a bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)

- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

- Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia

Dạng 2: Bài toán tính toán

Bài toán 1 : Tính giá trị của biểu thức A

 Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút

gọn biểu thức A

Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a

 Cách giải:

TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

a a a

a

a a

1

1 1

1

a) Tính P khi a = 2

- Ph-¬ng ph¸p 5: Ph-¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt

a a a a n

a a

a a

.

3 2 1 3

3 2 2 2 1 2 3

3 2 2 1

a b

a b

a    

3 3 2 2 1 1

- Ph-ơng pháp 3: Ph-ơng pháp t-ơng đ-ơng

A > B  A' > B'  A" > B"  (*) (*) đúng do đó A > B

- Ph-ơng pháp 4: Ph-ơng pháp dùng tính chất bắc cầu

A > C và C > B  A > B

- Ph-ơng pháp 5: Ph-ơng pháp phản chứng

Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi t-ơng

đ-ơng để dẫn đến điều vô lí khi đó ta kết luận A > B

- Ph-ơng pháp 6: Ph-ơng pháp sử dụng giả thiết

- Ph-ơng pháp 7: Ph-ơng pháp quy nạp

- Ph-ơng pháp 8: Ph-ơng pháp dùng biểu thức phụ

Dạng 5: bài toán liên quan tới ph-ơng trình bậc hai

Bài toán 1: Giải ph-ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0)

a

b x

2

2 1

a

b x

' ' 1

' ' 2

x

' 2

- Ph-ơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et

Nếu x1, x2 là nghiệm của ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) thì:

a

b x x

2 1

2 1

Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0 thì ph-ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

Bài toán 2: Biện luận theo m sự có nghiệm của ph-ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m )

2

2 1

' ' 1

' ' 2

x

' 2

- Ghi tóm tắt phần biện luận trên

Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm

 Có hai khả năng để ph-ơng trình bậc hai ax2

+ bx + c = 0 có nghiệm:

1 Hoặc a = 0, b  0

2 Hoặc a  0,  0 hoặc '  0 Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc

0 '

0 '

a

Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép

 Điều kiện có nghiệm kép:

0 '

0 '

0 '

a

c P

Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm d-ơng

 Điều kiện có hai nghiệm d-ơng:

a

b S a

0

'

a

b S a

c P

Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm

 Điều kiện có hai nghiệm âm:

a

b S a

0

'

a

b S a

c P

Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu

 Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:

P < 0 hoặc a và c trái dấu

TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x1

Bài toán 14 : Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x1 , x 2 thoả mãn các điều kiện:

a x1 x2   b x x2 k

2 2 1

x

x  

2 1

1 1

d x x2 h

2 2

1 e x x3 t

2 3 1

 Điều kiện chung:  0 hoặc '  0 (*)

) 1 (

2 1

2 1

P a

c x x

S a

b x x

x x

a

b x x

Thay x1, x2 vào (2)  m Chọn các giá trị của m thoả mãn (*)

b Tr-ờng hợp: x x k  x x 2  x1x2k

2 1 2

2 2

1

Bài toán 15 : Tìm hai số u và v biết tổng u + v = S và tích u.v = P của chúng

x1, x2

 Ta cã u vµ v lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh:

x2 - Sx + P = 0 (*) (§iÒu kiÖn S2 - 4P  0) Gi¶i ph-¬ng tr×nh (*) ta t×m ®-îc hai sè u vµ v cÇn t×m

Bài toán 16 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là c¸c em phải biết biến đổi biểu thức

nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x x1 2 để áp

dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

1.Ph-¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1x2) và x x1 2

2 1 2

1

2 )

)(

(

2 1

1

a aS p

a S a

x a x

a x x a x a

Để làm các bài toán loại này,c¸c em làm lần lượt theo các bước sau:

1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

(thường là a  0 và   0)

2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT:

a

c x x a

b x

x1 2   ; 1. 2 

3- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau

đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham

số.§ã chÝnh lµ hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè

m

TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh :   2

m x  mx m   (1) cú 2 nghiệm x x1; 2 Lập hệ thức liờn hệ giữa x x1; 2 sao cho chỳng khụng phụ thuộc vào m

(Bài này đã cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận b-ớc 1)

Theo hệ thức VI- ẫT ta c ú :

1 2

1 2

2 1 4

1

m

x x

m m

x  m x m  Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa x x1; 2

sao cho x x1; 2 độc lập đối với m

Đối với cỏc bài toỏn dạng này các em làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x1 và x2

(thường là a  0 và   0)

1

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là

m

x x

m m

(thoả mãn điều kiện xác định )

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

x x nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m

+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1x2 và tích nghiệm x x1 2rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2

m

x x

m m

- Từ giả thiết: 3x1 5x2  6 Suy ra:

I/.ĐiÓm thuộc đường – đường đi qua điểm

Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA)

Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4)

Giải:

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.2 2

a = 1

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình:

y = -2(x + 1) Đường thẳng (d) có đi qua A không?

Giải:

Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)

II.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x)

Bước 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (*)

Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điÓm của hai đường trên

III.Quan hệ giữa hai đường thẳng

IV.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui

Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y) Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số

V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a ’ x 2 (a ’ 0)

1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

a ’ x 2 = ax + b (#)  a ’ x 2 - ax – b = 0

Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax 2 để tìm tung độ giao điểm

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (#) là số giao điểm của (d) và (P)

2.Tìm điều kiện để (d) và (P) c¾t;tiÕp xóc; kh«ng c¾t nhau:

' 2 2

TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

a) (d) và (P) cắt nhau phương trỡnh (#) cú hai nghiệm phõn biệt    0

b) (d) và (P) tiếp xỳc với nhau phương trỡnh (#) cú nghiệm kộp    0

c) (d) và (P) khụng giao nhau phương trỡnh (#) vụ nghiệm    0

VI.Viết phương trỡnh đường thẳng y = ax + b :

1.Biết quan hệ về hệ số gúc(//hay vuông góc) và đi qua điểm A(x 0 ;y 0 )

Chỳ ý : song song a2=a1 và b1 khỏc b2

Vuụng gúc a2 = - 1/a1 (tỡm hiểu trong sgk)

Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuụng gúc để tỡm hệ số a

Bước 2: Thay a vừa tỡm được và x0;y0 vào cụng thức y = ax + b để tỡm b

2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ;y 2 )

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 1 ;y1) và B(x2;y2) nờn ta cú hệ phương trỡnh:

Giải hệ phương trỡnh tỡm a,b

3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 0 ;y 0 ) và tiếp xỳc với (P): y = a ’ x 2

+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nờn cú phương trỡnh :

y0 = ax0 + b +) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xỳc với (P): y = a’x2 nờn:

Pt: a’x2 = ax + b cú nghiệm kộp +) Giải hệ

0

0 ax b y

để tỡm a,b

VII.Chứng minh đường thẳng luụn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m)

+) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luụn đi qua với mọi m, thay x0;y0vào phương trỡnh đường thẳng chuyển về phương trỡnh ẩn m hệ số x 0 ;y0 nghiệm đỳng với mọi m

+) Đồng nhất hệ số của phương trỡnh trờn với 0 giải hệ tỡm ra x 0 ;y0

VIII.Tìm khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ A; B

Gọi x1; x2 lần l-ợt là hoành độ của A và B; y1,y2 lần l-ợt là tung độ của A và B

Khi đó khoảng cách AB đ-ợc tính bởi định lý Pi Ta Go trong tam giác vuông ABC:

2 1 2 2 1 2 2

2

) (

)

BC AC

1 tìm giá trị của a,b sao cho đ-ờng thẳng y = ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2)

2 tìm ph-ơng trình đ-ờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2)

3 Tìm giao điểm của (p) với đ-ờng thẳng y = 2m +1

1 Xác định a và b để đ-ờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P)

2 Tìm toạ độ tiếp điểm

1 Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

2 Xác định ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)

3 Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3 2

Bài56: Cho điểm A(-2;2) và đ-ờng thẳng (d1) y = -2(x+1)

1 Điểm A có thuộc (d1) không ? Vì sao ?

2 Tìm a để hàm số (P): 2

.x a

y  đi qua A

3 Xác định ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d2) đi qua A và vuông góc với (d1)

4 Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d2) ; C là giao điểm của (d1) với trục tung Tìm toạ độ của B và C Tính chu vi tam giác ABC?

DẠNG 7:

giải ph-ơng trình bằng ph-ơng pháp đặt ẩn số phụ

Bài toán1: Giải ph-ơng trình trùng ph-ơng ax4 + bx 2 + c = 0

2 cặp nghiệm đối nhau

Bài toán 2: Giải ph-ơng trình ( 2 12)  (  1 ) C  0

x x B x x A

TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

Thay vào ph-ơng trình ta có:

A(t2 - 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C - 2A = 0 Giải ph-ơng trình ẩn t sau đó thế vào

x

x  1 = t giải tìm x

Bài toán 3: Giải ph-ơng trình ( 2 12)  (  1) C 0

x x B x x A

Thay vào ph-ơng trình ta có:

A(t2 + 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C + 2A = 0 Giải ph-ơng trình ẩn t sau đó thế vào

x

x  1 = t giải tìm x

Bài toán 4: Giải ph-ơng trình bậc cao

 Dùng các phép biến đổi đ-a ph-ơng trình bậc cao về dạng:

+ Ph-ơng trình tích + Ph-ơng trình bậc hai

c by ax

 Các ph-ơng pháp giải:

+ Ph-ơng pháp đồ thị + Ph-ơng pháp cộng + Ph-ơng pháp thế + Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ

) 2 ( 0

) ( )

( )

x g x f

x g x

g x f

Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp  nghiệm của (1)

Bài toán 2: Giải ph-ơng trình dạng f(x)  h(x) g(x)

 Điều kiện có nghĩa của ph-ơng trình

0 ) (

0 ) (

x g

x h

x f

Với điều kiện trên thoả mãn ta bình ph-ơng hai vế để giải tìm x

DẠNG 10:

giải ph-ơng trình chứa giá trị tuyệt đối

Bài toán: Giải ph-ơng trình dạng f (x)  g(x)

) ( )

(

0 ) (

x g x

f

x g

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)

 Ph-ơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn

- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:

y = M - [g(x)]2n ,n Z  y  M

Do đó ymax = M khi g(x) = 0

- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:

TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

các bài toán liên quan đến hàm số

* Điểm thuộc đ-ờng - đ-ờng đi qua một điểm

Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một

điểm A(x A ;y A ) Hỏi (C) có đi qua A không?

 Đồ thị (C) đi qua A(xA;yA) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng

ph-ơng trình của (C)

A(C)  yA = f(xA)

Dó đó tính f(xA) Nếu f(xA) = yA thì (C) đi qua A

Nếu f(xA)  yA thì (C) không đi qua A

* sự t-ơng giao của hai đồ thị

Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số

y = f(x) và y = g(x) Hãy khảo sát sự t-ơng giao của hai đồ thị

 Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của ph-ơng trình hoành

độ điểm chung:

f(x) = g(x) (*)

- Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung

- Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau

- Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung

- Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung

- Xác định b: (D) đi qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b  b = yA - kxA

- Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có ph-ơng trình của (D)

Bài toán 2: Lập ph-ơng trình của đ-ờng thẳng (D) đi qua điểm

b ax y

B B

A A

Giải hệ ta tìm đ-ợc a và b suy ra ph-ơng trình của (D)

Bài toán 3: Lập ph-ơng trình của đ-ờng thẳng (D) có hệ số góc k và

tiếp xúc với đ-ờng cong (C): y = f(x)

 Ph-ơng trình tổng quát của đ-ờng thẳng (D) là : y = kx + b

Ph-ơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:

f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện này ta tìm

đ-ợc b và suy ra ph-ơng trình của (D)

Bài toán 3: Lập ph-ơng trình của đ-ờng thẳng (D) đi qua điểm

A(x A ;y A ) k và tiếp xúc với đ-ờng cong (C): y = f(x)

 Ph-ơng trình tổng quát của đ-ờng thẳng (D) là : y = kx + b

Ph-ơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:

f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép

Từ điều kiện này ta tìm đ-ợc hệ thức liên hệ giữa a và b (**)

Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) do đó ta có yA = axA + b (***)

Từ (**) và (***)  a và b  Ph-ơng trình đ-ờng thẳng (D)