TÍCH PHÂN VÔ HƯỚNG F EYNMAN MỘT VÒNG BỐN CHÂN VỚI KHỐI LƯỢNG PHỨC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————— PHAN HỒNG KHIÊM TÍCH PHÂN VÔ HƯỚNG FEYNMAN MỘT VÒNG BỐN CHÂN VỚI KHỐI LƯỢNG PHỨC Chuyên ngành: Vật Lý Lý Thuyết Vật Lý Toán Mã số: 60 44 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐỖ HOÀNG SƠN TP HỒ CHÍ MINH - 2010 Lời cảm ơn Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Đỗ Hoàng Sơn Thầy người truyền đạt kiến thức, phương pháp làm khoa học mà người truyền cho niềm đam mê nghiên cứu khoa học Thầy dành nhiều thời gian tâm huyết để dẫn dắt đường Vật Lý, hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn hỗ trợ nhiệt tình Giáo Sư Patrick Aurenche, trao đổi chuyên môn hiệu TS Lê Đức Ninh Xin chân thành cảm ơn hỗ trợ Giáo Sư Trần Thanh Vân quỹ học bổng Rencontres du Vietnam/Odon Vallet Tôi xin gửi lời cảm ơn đóng góp quý báu GS TS Phạm Quang Hưng TS Võ Thành Văn Tôi xin chân thành cảm ơn PGS TS Hoàng Dũng tạo điều kiện thuận lợi cho việc sử dụng hệ thống máy tính phòng Vật Lý Tính Toán, Khoa Lý, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh trình thực luận văn Tôi xin cảm ơn lời động viên PGS TS Nguyễn Quốc Khánh trình học Cao Học Tôi xin gửi lời biết ơn đến quý thầy cô Khoa Vật Lý, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, đặc biệt quý thầy cô môn Vật Lý Lý Thuyết truyền thụ kiến thức kinh nghiệm quý báu cho suốt thời gian học Đại Học học Cao Học Xin gửi lời biết ơn đến quý thầy cô phổ thông, người mong mỏi có thành công đường học tập điều động lực cho phấn đấu đễ ngày hôm Xin cảm ơn TS Võ Văn Ớn trường ĐH Thủ Dầu Một động viên giúp đở nhiều sống Cảm ơn người bạn làm việc phòng Vật Lý Tính Toán, Khoa Lý, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh Những người có trao đổi chuyên môn thú vị bổ ích cho trình hoàn thành luận văn Cảm ơn người bạn thân tôi: Phan Toại Tuyn, Nguyễn Trường Cơ, Lê Văn Hưng, Nguyễn Tấn Lộc người luôn giúp đỡ động viên sống suốt thời gian thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cha mẹ anh em gia đình tôi, gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho học tập, gia đình chỗ dựa tinh thần lớn Xin chân thành cảm ơn! Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2010 Phan Hồng Khiêm Mục lục Danh sách hình vẽ i Danh sách bảng ii Giới thiệu Tổng quan phương pháp tính tích phân tensor Feynmam vòng 2.1 Phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman 2.2 Phương pháp On-Shell 10 2.3 Phương pháp bán giải tích 11 2.4 Tích phân Feynman vòng không gian trực giao song song 12 Nghiệm giải tích tích phân vô hướng vòng bốn chân với khối lượng phức 3.1 Phân tích hàm dấu tích phân 15 15 3.2 Tích phân theo biến x 17 3.2.1 Tích phân D0+ 18 3.2.2 Tích phân D0− 20 3.3 Tích phân theo y 21 3.3.1 Phép quay Wick mặt phẳng phức t 21 3.3.2 Tích phân theo biến y 24 3.4 Tích phân theo biến t 27 3.5 Tích phân theo biến z 34 MỤC LỤC i Xây dựng chương trình tính tích phân vô hướng vòng bốn chân 40 4.1 Cấu trúc XLOOPS-GiNaC 40 4.2 Cấu trúc chương trình tính tích phân vô hướng vòng bốn chân 41 Kết thảo luận 43 5.1 Tham số nhập XLOOPS-GiNaC LoopTools 43 5.2 Kết thảo luận 45 5.2.1 Trường hợp khối lượng thực 45 5.2.2 Trường hợp khối lượng phức 46 Kết luận hướng phát triển 52 A Các hàm toán học 53 A.1 Hàm ln(x) 53 A.2 Hàm Li2 (x) 54 B Các công thức tích phân 55 B.1 Công thức tích phân 55 B.2 Công thức tích phân 56 C Điều kiện cho q21 q32 thực 57 C.1 Điều kiện cho q21 thực 57 C.2 Điều kiện để q32 thực D Hàm Im E S(σ,z) P z+Q 58 không phụ thuộc vào σ Dấu biểu thức Dmlk 59 61 F Cấu trúc hàm chương trình tính tích phân vô hướng vòng bốn chân 62 F.1 Hàm R1 (x, y, a) 62 F.2 Hàm R2 (a, b, x, y) 64 F.3 Hàm Θ(A0 , B0 , C0 , x, y) 64 MỤC LỤC Tài liệu tham khảo 68 Danh mục từ viết tắt • Lý thuyết EW(Electroweak theory): lý thuyết điện yếu • Xung lượng time-like : p2 > • Xung lượng space-like : p2 < • Xung lượng light-like : p2 = • Lý thuyết QCD (Quantum chromodynamic theory): lý thuyết sắc động học lượng tử • MPI (massage passing interface) : giao thức truyền thông tin không phụ thuộc vào ngôn ngữ sử dụng tính toán song song • Phân kỳ IR (Infrared) : Phân kỳ hồng ngoại • Phân kỳ UV (Ultraviolet ) : Phân kỳ tử ngoại Danh sách hình vẽ 2.1 Giản đồ Feynman vòng N chân 4.1 Cấu trúc XLOOPS-GiNaC 41 4.2 Cấu trúc chương trình D0 XLOOPS-GiNaC 42 5.1 Giá trị thực D0 XLOOPS-GiNaC 47 5.2 Giá trị thực D0 LoopTools 48 5.3 Giá trị ảo D0 XLOOPS-GiNaC 49 5.4 Giá trị ảo D0 LoopTools 50 5.5 Giản đồ Feynman trình gg −→ b¯bH 50 5.6 Giá trị thực D0 XLOOPS-GiNaC 51 5.7 Giá trị ảo D0 XLOOPS-GiNaC 51 F.1 Cấu trúc hàm R1 (x, y, a) 63 F.2 Cấu trúc hàm R2 (a, b, x, y) 65 F.3 Cấu trúc hàm Θ(A0 , B0 , C0 , x, y) 67 i Danh sách bảng 3.1 Vị trí cực x0 mặt phức x 18 3.2 Vị trí cực t1,2 D0+ mặt phẳng phức t 22 3.3 Vị trí cực t1,2 D0− mặt phẳng phức t 22 3.4 Vị trí y0 mặt phẳng phức y tích phân D0± 5.1 Tham số nhập XLOOPS-GiNaC LoopTools 24 43 5.2 Trường hợp tất khối lượng m2i = 0, ρ = 10−30 45 5.3 Trường hợp m2i = (6561, 8281, 6561, 8281), ρ = 10−30 46 5.4 Trường hợp khối lượng phức 46 E.1 Biểu thức Dmlk 61 ii Chương Giới thiệu Tính toán đại lượng vật lý tiết diện tán xạ (σ) bề rộng phân rã (Γ) nhiệm vụ vật lý lượng cao Trong khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn, để nhận giá trị đại lượng với độ xác cao, cần phải tính đóng góp bổ bậc cao, hay phải tính tích phân Feynman giản đồ vòng (gọi tắt tích phân Feynman vòng) Việc tính bổ bậc cao có chứa hạt không bền (như W, Z, top quark ) nhiệm vụ khó tích phân Feynman vòng thường chứa dị thường, số dị thường Landau Từ góc độ toán học, dị thường Landau giải thích sau: trường hợp khối lượng thực, tích phân Feynman vòng tích phân Improper (Improper integral), xác định thông qua giới hạn đường lấy tích phân trục thực Chúng ta thấy vị trí cực hàm dấu tích phân phụ thuộc vào giá trị khối lượng hạt xung lượng ngoài, có khả cực kẹp (pinch) đường lấy tích phân, kết lấy giới hạn đường lấy tích phân trục thực Khi tích phân Feynman vòng có dị thường Landau Về mặt vật lý, xuất dị thường Landau sử dụng hàm truyền Feynman hạt bền cho hạt không bền Điều nghĩa không tính đến thời gian sống hữu hạn hạt không bền xuất trình tán xạ Một cách đề nghị khử dị thường Landau bổ sung vào hàm truyền Feynman bề rộng phân rã hạt, giúp kéo cực xa trục thực dị thường Landau không xảy Phụ lục B Các công thức tích phân B.1 Công thức tích phân Chứng minh: a ∞ f (z)dz = + Res{f (z) ln(z − a); zk } = k −∞ f (−z)dz (B.1) −a f (z) hàm giải tích thoả điều kiện lim f (z) = f (z) cực z→∞ điểm nằm trục âm z Thực tích phân theo đường cong hình vẽ, có Res{f (z) ln(z); zk } f (z) ln(z) = 2iπ k =   −∞ +  −∞ + + Γk Ck =  f (z) ln(z)dz −∞ f (xe−2iπ )(ln(x) − 2iπ)dx f (x) ln(x)dx + −∞   0 = 2iπ f (z)dz −∞ 55 B.2 Công thức tích phân 56 Im(x) Ck Re(x) Γk B.2 Công thức tích phân Kết tích phân tính từ phụ lục B [3] ∞ 1 ln(1 + rz)dz = Li2 (1 − rx) + η(x, r) ln(1 − rx) − (z + x) (z + y) −Li2 (1 − ry) − η(y, r) ln(1 − ry) hay ∞ ln(1 + rz) Li2 (1 − rx) + η(x, r) ln(1 − rx) dz = − (z + x)(z + y) x−y − η(x, r)Li2 (1 − rx) − η(y, r) ln(1 − ry) (B.2) x−y với r, x, y rx, ry không nằm trục thực âm Phụ lục C Điều kiện cho q21 q32 thực C.1 Điều kiện cho q21 thực Điều kiện cho q21 thực p1 p2 p21 + p21 − (p1 + p2 )2 ≥ (C.1) Đặt s = (p1 + p2 )2 , có s2 − p21 + p22 s + (p21 − p22 )2 ≥ ∆′ bất phương trình cho công thức sau ∆′ = p21 + p22 − (p21 − p22 )2 = 4p21 p22 (C.2) Chúng ta xét trường hợp sau Nếu p21 p22 < q21 số thực Nếu p21 p22 > s ∈ [s1 , s2 ] q21 số phức với s1,2 = p21 + p22 ∓ p21 p22 57 (C.3) C.2 Điều kiện để q32 thực 58 Vậy: trường hợp p21 , p22 > 0, điều kiện cho q21 thực s s1 s s2 Chú ý: Khai triển biểu thức (C.1), nhận (p1 p2 )2 − p21 p22 = λ (p1 + p2 )2 , p21 , p22 ≥ (C.4) λ(x, y, z) = x2 + y + z − 2xz − 2yz − 2xy (C.5) với Điều kiện cho q21 thực tương đương với điều kiện tham số quay α thực [4] C.2 Điều kiện để q32 thực Điều kiện để q32 thực 2 q30 − q31 − p24 ≥ Thay giá trị q30 , q31 (5.1) vào công thức trên, nhận − G(p21 , p22 , p33 , p44 , (p1 + p2 )2 , (p2 + p3 )2 ) ≥ 0, q21 (C.6) hàm G định nghĩa sau G(x, y, z, u, v, w) = x2 y + xy + z z u + zu2 + v w + vw +xzw + xuv + yuw + yzv −xy(z + u + v + w) − zu(x + y + v + w) −vw(x + y + z + u) (C.7) Trong vùng vật lý, có G(p21 , p22 , p33 , p44 , (p1 + p2 )2 , (p2 + p3 )2 ) ≤ 0, q32 số thực (C.8) Phụ lục D S(σ,z) Hàm Im P z+Q vào σ Chúng ta có S(σ, z) Im Pz + Q không phụ thuộc = Im [S(σ, z)(P z + Q∗ )] = Im (P σz + (E + Qσ)z − m2k + iρ)(P z + Q∗ ) = Im P Ez + EQ∗ − m2k P + iρP z − m2k Q∗ + iρQ∗ = Im (P z + Q∗ ) Ez − m2k + iρ Áp dụng suy S(σ, z) Im Pz + Q Re P z + Q∗ = P z + Re(Q∗ ) = P z + Re(Q) Im P z + Q∗ = Im(Q∗ ) = −Im(Q) Re Ez − m2k + iρ = Re(E)z − Re(m2k ) Im Ez − m2k + iρ = Im(E)z + Γk + ρ = (D.1) P z + Re(Q) Im(E)z + Γk + ρ − Im(Q) Re(E)z − Re(m2k ) = P Im(E) z + P Γk + ρ P + Re(Q)Im(E) − Im(Q)Re(E) z +Im(Q)Re(m2k ) + Re(Q)(Γk + ρ) = A0 z + B0 z + C0 59 D Hàm Im S(σ,z) P z+Q không phụ thuộc vào σ 60 với A0 = P Im(E) B0 = P Γk + ρ P + Re(Q)Im(E) − Im(Q)Re(E) C0 = Im(Q)Re(m2k ) + Re(Q)(Γk + ρ) Vì θ Im độc lập với σ ±S(σ, z) = θ ± A0 z ± B0 z ± C0 Pz + Q (D.2) Phụ lục E Dấu biểu thức Dmlk Chúng ta có Dmlk = − (ql − qk )2 AClk with k = m = l and k, m, l = 1, 2, 3, Mối liên hệ pk qk sau p1 = q1 p2 = q2 − q1 p3 = q3 − q2 (E.1) p4 = −q3 Trong trường hợp tất xung lượng time-like Dmlk < l = 1, k = q1 − q2 = −p2 l = 1, k = q1 − q3 = −p2 − p3 l = 1, k = q1 − q4 = p1 l = 2, k = q2 − q3 = p3 l = 2, k = q2 − q4 = p2 + p1 l = 3, k = q3 − q4 = p4 p2 Dm12 = − AC22 lk lk p2 Dm14 = − AC12 lk p2 Dm12 = − AC32 lk (p2 +p1 )2 Dm24 = − AC lk p24 Dm24 = − AC lk Bảng E.1: Biểu thức Dmlk 61 2 +p3 ) Dm13 = − (pAC Phụ lục F Cấu trúc hàm chương trình tính tích phân vô hướng vòng bốn chân F.1 Hàm R1(x, y, a) Các tham số nhập x, y ∈ C, a ∈ R Hàm R1 (x, y, a) định nghĩa sau R1 (x, y, a) = ln(x − a) − ln(y − a) x−y (F.1) Với định nghĩa hàm R1 , Các tích phân loại I gọi chương trình sau +∞ +∞ 0 G(z)dz = − P G(z)dz = − P −∞ −∞ = ln(−T1 ) − ln(−T2 ) dz = = R1 (−T1 , −T2 , 0) (z − T1 )(z − T2 ) P (T1 − T2 ) P 1 dz = − (z − T1 )(z − T2 ) P +∞ ln(T1 ) − ln(T2 ) = − R1 (T1 , T2 , 0) −P (T1 − T2 ) P Cấu trúc hàm R1 biểu thị hình (F.1) 62 dz (z + T1 )(z + T2 ) (F.2) F.1 Hàm R1 (x, y, a) Hình F.1: Cấu trúc hàm R1 (x, y, a) 63 F.2 Hàm R2 (a, b, x, y) F.2 64 Hàm R2(a, b, x, y) Các tham số nhập a ∈ R, r = định nghĩa sau +∞ R2 (a, b, x, y) = a ∈ C b, x, y ∈ C Hàm R2 (a, b, x, y) b ln(az + b) dz (z + x)(z + y) ln(x) − ln(y) Li2 (1 − rx) − Li2 (1 − ry) − x−y x−y η(x, r) ln(1 − rx) − η(y, r) ln(1 − ry) − x−y = ln(b) Với định nghĩa hàm R2 , có +∞ ln(az + b)G(z)dz = − R2 (a, b, −T1 , −T2 ) P (F.3) ∞ ln(az + b)G(z)dz = −∞ ln(−az + b)G(−z)dz = − R2 (−a, b, T1 , T2 ) P Cấu trúc hàm R2 (a, b, x, y) biểu thị hình (F.2) F.3 Hàm Θ(A0 , B0, C0, x, y) Các tham số nhập A0 , B0 , C0 ∈ R x, y ∈ C.Hàm Θ(A0 , B0 , C0 , x, y) định nghĩa sau ∞ dz G(z)θ A0 z + B0 z + C0 Θ(A0 , B0 , C0 , x, y) = −∞ Cấu trúc hàm Θ(A0 , B0 , C0 , x, y) biểu thị hình (F.3) Hàm Θ(A0 , B0 , C0 , x, y) rút gọn hàm R1 sau Định nghĩa ∆ = B02 − 4A0 C0 , xét trường hợp xảy • Với A0 = B0 = C0 =⇒ R1 (x, y, 0) • Với A0 = B0 = 0và C0 < =⇒ F.3 Hàm Θ(A0 , B0 , C0 , x, y) 65 Hình F.2: Cấu trúc hàm R2 (a, b, x, y) F.3 Hàm Θ(A0 , B0 , C0 , x, y) 66 • Với A0 = B0 > =⇒ R1 x, y, Max 0, −C B0 • Với A0 = B0 < =⇒ R1 (x, y, 0) − R1 x, y, Max 0, −C B0 • Với A0 > ∆ =⇒ R1 (x, y, 0) • Với A0 > ∆ > root1,2 root1 − root2 = √ ∆ A0 √ −B0 ± ∆ = 2A0 (F.4) >0 R1 x, y, Max 0, root1 + R1 (x, y, 0) − R1 x, y, Max 0, root2 (F.5) • Với A0 < ∆ < =⇒ • Với A0 < ∆ > =⇒ root1 − root2 = R1 x, y, Max 0, root1 √ ∆ A0 [...]... như sau: • Tính toán các tích phân tensor một vòng một, hai, ba chân với khối lượng thực • Tính toán các tích phân tensor hai vòng hai chân với khối lượng thực Trong luận văn này, chúng tôi bổ sung vào XLOOPS-GiNaC một chương trình con tính tích phân vô hướng một vòng 4 chân với khối lượng thực và phức Nghiệm giải tích của tích phân vô hướng một vòng bốn chân với khối lượng phức trong không gian trực... tính tích phân vô hướng một vòng bốn chân với khối lượng thực và phức được trình bày trong các chương tiếp theo Chương 3 Nghiệm giải tích của tích phân vô hướng một vòng bốn chân với khối lượng phức Trong chương này, chúng tôi trình bày nghiệm giải tích của tích phân vô hướng một vòng bốn chân với khối lượng phức trong không gian trực giao và song song Tính toán trong chương này có tham khảo một phần... pháp tích phân Feynman vòng trong không gian trực giao và song song để tính tích phân vô hướng một vòng bốn chân với khối lượng phức Trong luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày nghiệm giải tích của tích phân vô hướng một vòng bốn chân với khối lượng phức trong trường hợp tất cả các xung lượng chân ngoài là time-like Kết quả tính toán này cũng được thêm vào chương trình tính toán tự động tích phân Feynman... tính tích biên độ Feynman vòng: • Biểu diễn biên độ giản đồ Feynman một vòng về tích phân tensor một vòng và số hạng hữu tỷ Thực hiện rút gọn tích phân tensor một vòng về tập các tích phân cơ sở: tích phân một vòng 4 chân trong không gian 6 − 2ε chiều, tích phân một vòng 1, 2, 3− chân trong không gian 4 − 2ε chiều • Thực hiện tham số hoá Feynman các tích phân cơ sở Nếu tích phân cơ sở có chứa phân. .. tính tích phân tensor Feynman một vòng 2.1 Phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman Đây là phương pháp truyền thống tính toán các tích phân Feynman vòng, phương pháp này được giới thiệu bởi ’Hooft, Veltman và Passarino [1, 2] Quá trình tính toán tích phân tensor Feynman một vòng được chia làm hai bước chính Bước 1: Thực hiện rút gọn tích phân tensor Feynman một vòng về tập các tính phân vô hướng một vòng. ..1 Giới thiệu 2 trong vùng vật lý Với việc đưa vào hàm truyền Feynman bề rộng phân rã của hạt không bền, tích phân Feynman vòng bây giờ là tích phân với khối lượng phức Vì thế việc tính các tích phân Feynman vòng với khối lượng phức là nhiệm vụ cần thiết để khử dị thường Landau Phương pháp truyền thống tính tích phân Feynman vòng là phương pháp của ’Hooft-Veltman-Passarino (được gọi tắt là phương... là xung lượng ngoài P là bậc của tensor và N là số n=1 chân ngoài, D = 4 − 2ε là số chiều tính tích phân Khi tử số hàm dưới dấu tích phân (2.1) là 1 thì được gọi là tích phân vô hướng một vòng N chân Ví dụ như tích phân vô hướng Feynman một vòng bốn chân có dạng như sau D0 = 1 dD l D (2π) i P0 P1 P2 P3 5 (2.2) 2.1 Phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman 6 Hình 2.1: Giản đồ Feynman một vòng N chân Trong... khảo một phần bài tính tích phân vô hướng một vòng bốn chân với khối lượng thực của tác giả J Franzkowski [22] 3.1 Phân tích hàm dưới dấu tích phân Tương tự như công thức (2.2), tích phân vô hướng một vòng bốn chân trong không gian trực giao và song song trong trường hợp D = 4 có dạng như sau ∞ D0 = 2 −∞ ∞ dl0 dl1 dl2 dl⊥ 0 15 1 , P1 P2 P3 P4 (3.1) 3.1 Phân tích hàm dưới dấu tích phân 16 ở đây, 2 P1 =... gọi tắt là phương pháp HPV) Trong phương pháp này, các tích phân tensor Feynman một vòng được rút gọn về tập các tích phân vô hướng một vòng- 1, 2, 3, 4 -chân bởi Passarino,Veltman (hay còn gọi là phương pháp rút gọn tích phân tensor PV) [1] Kết quả tính các tích phân vô hướng một vòng1 , 2, 3, 4 -chân với khối lượng thực và phức được trình bày bởi ’Hooft, Veltman [2], cùng các tác giả khác [3, 4] Điểm bất... vòng có số chân N ≥ 5 có thể biểu diễn qua tập các tích phân A0 , B0 , C0 và D0 , do đó trong phương pháp này chỉ cần tích tập các tính phân vô hướng một vòng −1, 2, 3 và 4− chân là đủ Các bước tính tích phân vô hướng gồm • thực hiện tham số hoá Feynman tích phân vô hướng Feynman một vòng như sau: T0N = 1 dD l = (2π)D i P0 P1 PN −1 1 D d l dx1 dx2 dxN 0 Ở đây x1 , x2 xN là các tham số Feynman δ( xi ... chương trình tính tích phân vô hướng vòng bốn chân với khối lượng thực phức 4.2 Cấu trúc chương trình tính tích phân vô hướng vòng bốn chân Chương trình tính tích phân vô hướng vòng bốn XLOOPS-GiNaC... tập tích phân A0 , B0 , C0 D0 , phương pháp cần tích tập tính phân vô hướng vòng −1, 2, 4− chân đủ Các bước tính tích phân vô hướng gồm • thực tham số hoá Feynman tích phân vô hướng Feynman vòng. .. độ giản đồ Feynman vòng tích phân tensor vòng số hạng hữu tỷ Thực rút gọn tích phân tensor vòng tập tích phân sở: tích phân vòng chân không gian − 2ε chiều, tích phân vòng 1, 2, 3− chân không