Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu: Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, h là chi phí lưu kho cho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí c
Trang 1MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG KINH TẾ
1.1 Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu:
Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, h là chi phí lưu kho cho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng, còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt hàng ( kích thước của mỗi lô hàng ) Ta xem n, h, p là những hằng số, còn Q là biến số, lúc này tổng chi phí trong một năm của cửa hàng đối với loại hàng hóa trên là hàm số C( )Q bao gồm 2 loại chi phí: chi phí lưu kho và chi phí cho các chuyến hàng
■ Chi phí lưu kho: Q.h
2
■ Chi phí cho các chuyến hàng: n.p
Q
Ví dụ: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm Chi phí gởi trong
kho là $ 10 một cái trong một năm Để đặt hàng, chi phí cố định là $20, cộng thêm $9 mỗi cái Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ?
Giải
Ta có: n = 2500, h = 10
Gọi Q là số tivi mà cửa hàng đặt hàng mỗi lần Khi đó: Q∈[1;2500 ]
Khi đó, số lượng tivi trung bình gởi trong kho là Q
2 Do đó, chi phí lưu kho mỗi năm là 10 Q
Số lần đặt hàng mỗi năm là: 2500
Q Do đó, chi phí đặt hàng mỗi năm là: (20 + 9Q) 2500
Q =
50000
Q + 22500 (2)
Từ (1) và (2) suy ra chi phí của cửa hàng là:
C(Q) = 5Q + 50000
Q + 22500
Ta có : C Q′( ) = −5 500002
Q
Trang 2( )
C Q 0 5Q 50000 ⇔ 2 = ⇔ = −Q 100=
Q 10000
Vì Q∈[1;2500 nên ta loại Q = - 100]
( )
′′ =1000003 >
Q với Q>0 nên ∈[ ] ( ) = ( ) =
Q 1;2500min C Q C 100 23500 Khi đó, số lần đặt hàng mỗi năm là 2500 25=
Vậy, để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi năm và mỗi lần đặt 100 cái tivi
Ví dụ: Số hàng hóa của một cửa hàng bán ra trong một năm là n = 400000
sản phẩm, chi phí lưu kho của mỗi đơn vị hàng hóa là $2, chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng là $10 Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí của cửa hàng là nhỏ nhất
1.2 Ý nghĩa của đạo hàm:
Giả sử hai biến x và y có mối quan hệ hàm y = f(x) ( chẳng hạn x là
giá của một loại hàng hóa và y là số lượng hàng đó bán ra ) Trong
thực tế người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến y tại x0 khi
x thay đổi một lượng nhỏ ∆x
Lượng thay đổi của y khi x thay đổi một lượng ∆x là:
( 0 ) ( )0
Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x trong khoảng từ x0 đến x0 +∆x là:
y
x
∆
∆
Tốc độ thay đổi tức thời của y theo x tại điểm x0 là:
0 0 ( )
0
x 0 x 0
f (x x) f (x ) y
+ ∆ −
Khi x∆ khá nhỏ thì ( )0
y
f x x
∆ hay ∆ ≈y f x′( )0 ∆x Vậy x thay đổi một lượng ∆xthì y thay đổi một lượng xấp xỉ bằng ( )0
f x′ ∆x ( chẳng hạn giá thay đổi một lượng x∆ thì số hàng bán ra thay đổi một lượng là f x′( )0 ∆x )
Ví dụ: Hàm cầu của một loại sản phẩm là P 50 Q= − 2 Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu Q thay đổi Giá thay đổi như thế nào khi Q = 1 ?
Trang 3Tốc độ thay đổi của giá P theo Q là: P′ = −2Q Do đó: P (1)′ = −2.1= −2 Điều này có nghĩa là khi lượng cầu tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm thì giá giảm trên một đơn vị sản phẩm là 2 đơn vị tiền
Ý nghĩa của vấn đề: Khi giá sản phẩm cao thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ giảm, ngược lại khi giá sản phẩm xuống thấp hơn thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ tăng lên.
Lãi suất ngân hàng cuối năm 2007 là 1,25% / tháng thì có nhiều người mua đất cất nhà hơn Đến tháng 5 năm 2008 lãi suất ngân hàng là 1,75% / tháng thì số người mua đất cất nhà sẽ giảm đi
1.3 Giá trị cận biên:
Trong kinh tế, đại lượng đo tốc độ thay đổi của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x thay đổi một lượng nhỏ gọi là giá trị cận biên của y đối với x, ký hiệu: My(x)
Từ định nghĩa của đạo hàm ta có: My x( ) y x( ) dy
dx
′
Ta thường chọn xấp xỉ My x( ) ≈ ∆y tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi y
∆ của y khi x tăng lên một đơn vị (∆ =x 1)
1.3.1 Giá trị cận biên của chi phí:
Cho hàm chi phí C = C(Q) Khi đó ta gọi MC(Q) là giá trị cận biên của chi phí Giá trị này có thể coi là lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên một đơn vị
Ví dụ: Cho chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là:
C 0,0001Q 0,02Q 5
Q
Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với Q sản phẩm Áp dụng Q = 50
Giải
Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là:
C Q.C 0,0001Q= = −0,02Q +5Q 500+
Giá trị cận biên của chi phí là: MC(Q) dC 0,0003Q2 0,04Q 5
dQ
Trang 4Khi Q = 50 thì:
2 dC
MC(50) 0,0003(50) 0,04(50) 5 0,75 2 5 3,75
dQ
Như vậy nếu Q tăng lên một đơn vị từ 50 lên 51 thì chi phí tăng lên 3,75 đơn vị
1.3.2 Giá trị cận biên của doanh thu:
Cho hàm doanh thu R = R(Q) Khi đó ta gọi MR(Q) là giá trị cận biên của doanh thu
Ví dụ: Số vé bán được Q và giá vé P của một hãng xe bus có quan hệ
Q = 10000−125P Tìm doanh thu cận biên khi P = 30, P = 42.
Giải
Theo giả thiết: Q = 10000 −125P (1)
125P 10000 Q P 10000 Q
125
−
125
Nên MR(Q) 1 (10000 2Q)
125
■ Khi P = 30 Từ (1) ⇒ Q 10000 125.30 10000 3750 6250= − = − =
Từ (4) ⇒ MR(6250) 1 (10000 2.6250) 2500 20
■ Khi P = 42 Từ (1) ⇒ Q 10000 125.42 10000 5250 4750= − = − =
Từ (4) ⇒ MR(4750) 1 (10000 2.4750) 500 4
1.4 Hàm cầu và tính co giãn của cầu:
Ta gọi P là giá bán một sản phẩm và Q là số lượng sản phẩm bán được ( hay nhu cầu về loại sản phẩm đó ) Khi đó ta có thể coi Q là hàm số với biến
số là P, và nhìn chung đây là hàm số nghịch biến vì giá bán càng cao thì nhu cầu càng thấp và ngược lại
Khi ta có hàm cầu: Q = f(P) ⇒ P g(Q)=
Hàm tổng doanh thu: R PQ g(Q).Q= =
Trang 5Ta lấy đạo hàm của R theo biến Q và gọi nó là hàm doanh thu biên tế, ký hiệu: MR
Hệ số co giãn của đại lượng Q theo đại lượng P được A Marshall đặt là:
.Q (P)
cầu
Ví dụ: Cho hàm cầu Q 30 4P P= − − 2 Tìm hệ số co giãn của cầu tại P = 3
Giải
Hệ số co giãn của cầu là:
Q (P) 4 2P
+
′
Tại P = 3, 30 3,3
9
1.5 Lựa chọn tối ưu trong kinh tế:
Nhiều bài toán về kinh tế được đưa về tìm cực trị của một hàm y = f(x)
Ta gọi P là đơn giá, hàm sản lượng Q = Q(P), hàm doanh thu R = PQ, hàm chi phí
C = C(Q), hàm lợi nhuận N = R – C
Trong kinh tế ta thường gặp các bài toán sau:
■ Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa (cực đại)
■ Tìm P hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa
■ Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu)
Ví dụ: Lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa
Giả sử hàm cầu theo giá bán trong một đơn vị thời gian Q Q= d =Q(P) và hàm tổng chi phí là: C = C(Q) Tìm sản lượng Q trong một đơn vị thời gian
để lợi nhuận tối đa
Phương pháp giải: Để hàng bán hết xí nghiệp chỉ có thể bán với giá P sao
cho Q Q(P)= ⇔ =P P(Q) Từ đó doanh thu của xí nghiệp là
R(Q) P(Q).Q= và lợi nhuận của xí nghiệp là: N = R – C Sản lượng Q
muốn tìm chính là Q > 0 để N đạt giá trị lớn nhất
Ví dụ: Cho hàm cầu Q 300 P= − và hàm chi phí
C Q= −19Q +333Q 10+ Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất
Trang 6Ta có: P 300 Q= −
Doanh thu: R PQ (300 Q)Q 300Q Q= = − = − 2
Lợi nhuận:N R C 300Q Q= − = − 2 −(Q3 −19Q2 +333Q 10+ )
⇔N= −Q3 +18Q2 −33Q 10−
Q 11
=
Vậy lợi nhuận lớn nhất khi Q = 11
1.6 Định mức đánh thuế doanh thu:
Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu trong một đơn vị thời gian Q Q(P)= và hàm chi phí sản xuất trong một đơn
vị thời gian là C = C(Q) Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm của xí nghiệp để thu được nhiều thuế nhất
Phương pháp giải: Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t > 0 Ta
có: Q = Q(P) ⇔ =P P(Q)
Lợi nhuận của xí nghiệp là:
N P(Q).Q C(Q) Qt= − −
Xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức Q = Q(t) để N đạt max Do đó thuế thu được sẽ
là T = Q(t).t Ta cần xác định t để Tm a x
Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 300 – P, hàm chi phí: C Q= 2 +100Q 10+
a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổng thuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại
b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất là 40 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn vị sản phẩm là bao nhiêu?
Giải
a) Ta có: Q = 300 – P ⇔P = 300 – Q
Doanh thu của xí nghiệp là: R = P Q = (300 – Q)Q = 300 Q – Q2
Q N’
N
−
-26
474
− ∞
0
-10
−
Trang 7Thuế của xí nghiệp là: Q.t
Lợi nhuận của xí nghiệp là:
N = 300 Q – Q2 – (Q2 +100Q 10+ )– Q.t = −2Q2 +(200 t)Q 10− −
N 4Q 200 t 0 Q 200 t
4
−
Vậy để có lợi nhuận lớn nhất xí nghiệp phải sản xuất ở mức:
Q 200 t
4
−
=
Do đó thuế thu được là:
2
−
T t 50 0 t 100
2
Vậy để T ta chọn mức thuế là t = 100.max
Với mức thuế t = 100 thì xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức:
Q = 200 100 25
4
− = sản phẩm trong một đơn vị thời gian
b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất 40 sản phẩm thì:
200 t
4
−
= ≥ ⇔ ≤ Nghĩa là cần chọn mức thuế tối đa là 40 cho một đơn vị sản phẩm
Ví dụ: Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm biết hàm tổng
chi phí C Q= 2 +1000Q 100+ và hàm cầu Q = 4100 P
2
a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổng thuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại
b) Muốn công ty sản xuất ít nhất là 200 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn vị sản phẩm là bao nhiêu?
Bài tập:
1 Tìm các giá trị cận biên:
a) C 0,1Q= 2 +3Q 2+ tại Q = 3
b) C 0,04Q= 3 −0,5Q2 +4,4Q 7500+ tại Q = 5
c) R 250Q 45Q= + 2 −Q3 tại Q = 5
2 Cho hàm cầu 60 ( 3)
P
Trang 8a) Xác định hệ số co dãn khi P = 4.
b) Nếu giá giảm 2% ( từ 4 giảm còn 3,92) thì lượng bán ra thay đổi bao nhiêu phần trăm?
4 Doanh thu của một loại sản phẩm cho bởi R 240Q 57Q= + 2 −Q3 Tìm Q
để doanh thu đạt tối đa
5 Cho hàm cầu của một loại sản phẩm là: P = -5Q + 30 Tìm mức giá để doanh thu đạt tối đa
6 Một loại sản phẩm có hàm cầu là: P = 42 - 4Q và hàm chi phí trung bình
Q
a) Tìm mức sản xuất Q, 2 Q 10≤ ≤ để có chi phí tối thiểu
b) Tìm mức sản xuất Q, 5 Q 10≤ ≤ để có chi phí tối thiểu
7 Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là P = 600 - 2Q và tổng chi phí
là: C 0,2Q= 2 +28Q 200+
a) Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa Tìm mức giá P
và lợi nhuận lúc đó
b) Chính quyền thành phố đặt thuế là 22 đơn vị tiền cho một đơn vị sản phẩm Tìm mức sản xuất để lợi nhuận đạt tối đa, tìm mức giá và lợi nhuận trong trường hợp này
8 Xác định lợi nhuận tối đa, khi biết các hàm tổng doanh thu R và tổng chi
phí C
a) R 1400 6Q , C 1500 60Q= − 2 = −
b) R 4000 33Q , C 2Q= − 2 = 3 −3Q2 +400Q 500+
c) R 4350 13Q , C Q= − 2 = 3 −5,5Q2 +150Q 675+
9 Xác định chi phí trung bình nhỏ nhất, nếu biết các hàm tổng chi phí là:
a) C = Q3 −5Q2 +60Q b) C = Q3 −21Q2 +500Q