TICH PHAN(Tong hop)

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN I-Nguyên hàm hàm hữu tỷ 1/Nguyên hàm hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất công thức nguyên hàm hàm số thường gặp để tính Ví dụ : Tính I = = 2/Nguyên hàm hàm số phân thức :Ta tìm cách tính nguyên hàm dạng Trong h(x) , g(x) đa thức biến số x I= *1.Nếu bậc tử thức cao hay bậc mẫu thức chia đa thức ,tách hàm số thành tổng hai hàm số : hàm số đa thức hàm phân thức có bậc tử thức nhỏ bậc mẫu thức ,hoặc tử thức số : Trong q(x) , r(x) đa thức Bậc r(x) nhỏ bậc g(x) r(x) số.Hàm số = q(x) + y= biến đổi y = = số.Ta có : + = + với bậc p(x) bé bậc r(x) họăc p(x) + = Như ta cần phải nghiên cứu cách tính nguyên hàm I = ,I= Bậc r(x) , bậc p(x) nhỏ bậc g(x) r(x) p(x) số .Bậc r(x) nhỏ bậc g(x) r(x) số *2 Tính nguyên hàm I = + Dạng I: với a (Đổi biến số - đặt U = ax+b) I1 = Ví dụ2 : I = + Dạng II: với a = + Dạng III: với a = ln +C = ln(5x+3) + C ( đặt U = ax+b ) I2 = Ví dụ3 : I = = = = = = +C +C , h(x) nhị thức bậc số I3 = Tùy vào có nghiệm hay vô nghiệm g(x) = ax2+bx+c Ta cần xét với a = Vì a mẫu thức lấy a làm nhân tử ,đưa số dấu tích phân.Có I3 = = Với b1 = , c1 = TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (1) TRẦN ĐỨC NGỌC ĐT 0985128747 * * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN Xét I3 = a -Nếu x2+bx+c = (x- x1)(x- x2) Thì dùng phương pháp “hệ số bất định” tìm số A , B = cho : + Do : I3 = =A Ví dụ 4: I = = Vídụ 5: I = = = + - = Aln(x-x1)+Bln(x-x2) + C = ln +C dx = - ( - )= ln - ln +C b -Nếu x2+bx+c = (x- x0)2 (x0 nghiệm kép mẫu thức ) Hai trường hợp : * Trường hợp h(x) số a,ta có : I3 = = (Dạng I2 = Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ) *Trường hợp h(x) = px+ q nhị thức bậc (Với p Biến đổi: = I3 = Vídụ 6: I = + (q - = = ) -8 = 3.ln Do ta có: + = +( dx = +C 0) = = =- - q) +C -8 +C + c -Nếu x2+bx+c = vô nghiệm Ta biến đổi: = = + TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (2) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN Do đó: = ) + (q - = + C + (q - Nguyên hàm : J = ) dạng I = , với u = x + a = Đặt u = atant ,Thì: du = a(1 + tan2t)dt u2+a2 = a2(1 + tan2t) Ta có: Nguyên hàm I = I= = = Vídụ 7: I= = = +C -8 = -8 Trong h(x) đa thức có bậc nhỏ h(x) số + Dạng IV : I4 = a-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c có nghiệm phân biệt , x3+ax2+bx+c = (x – x1)(x – x2)(x – x3) Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm số A , B , C cho : = I4 = = + + + Do : + = A.ln +B.ln + C.ln +D b-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x- x0)2 với x1 x0 (1 nghiệm kép nghiệm đơn) Thì phương pháp hệ số bất định,tìm số A , B , C cho : Do : I4 = =A = A.ln = + + = = + + dx + + ln + (Bx0-C) + D c-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x2+px + q) , x2+px+q = vô nghiệm TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (3) TRẦN ĐỨC NGỌC ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm số A , B , C cho : = Ta có : = + + Do : I4 = =A + = A.ln + ln Nguyên hàm : J = + = + + + (C - ) +D (Đã nói rõ Dạng III:c-Nếu mẫu thức vô nghiệm) = d-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x – x0)3 Bằng phương pháp hệ số bất định tìm số A B, C cho : = = + + + -Nếu h(x) số A : = - = = + C.ln +D = =A Trƣờng hợp tử thức bậc biến đổi Do đó: I4 = Do ta có : + +C = + Với p1= p- ; q1 = q - nêu rõ Nguyên hàm dạng : j = Bài tập: Tính nguyên hàm I = ; I= ; I= I = ; I= I = ; I= ; ; ; I= ; I= I= ; I= ; ;I= ;I= I= I= ; ;; I= I= TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (4) TRẦN ĐỨC NGỌC ĐT 0985128747 * * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN I= I= a/ ; ; I= ; I= I= ; I= dx x x ; I= I= Chú ý: b/ I= ; I= =(x-1)(x-2)(x-3) Chú ý: c/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4) d/ I = Chú ý: = (3x-2)(x2+2x+3) e/ I = = g/ I= + + = (x-2)(x2+4x+4) Chú ý: a/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4) b/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4) c/ I = Chú ý: d/ I = Chú ý : =(x-1)(x-2)(x-3) = (x+1)(x2-x+1) I = Hướng dẫn : I = Tìm số A,B,C,D,E để = 10.I = 11 I = = + , đặt x = tant ) dx ( (Hd:I = I= + +3 I= -2 ) I= TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (5) TRẦN ĐỨC NGỌC ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 12.I = I= I= = 13 I = (Hd : I= - 14 I = (Hd : I= +2 15 I = (Hd : I= 16 I = -2 ) ) -7 +5 (Hd : I = -4 + +5 +5 (Hd : I = 17 -3 ) -3 + ) - ) II.Nguyên hàm hàm số Lƣợng giác 1.Nguyên hàm hàm hợp 1/ I = = 2/ I = = sin(ax+b) +C = =- 3/ I = = = tan(ax+b) + C 4/ I = = = cot(ax+b) + C cos(ax+b) +C Nguyên hàm hàm số f(x) = cosmx.sinnx Trong m,n số nguyên dƣơng 1/ Nếu số mũ cosx lẻ (m số lẻ) đặt sinx = t Ngược lại số mũ sinx lẻ (n số lẻ) đặt cosx = t.(Nếu m n số lẻ đặt cosx = t sinx = t được) Ví dụ : I = - Đặt sinx = t Ta có I = = = - +C - Chú ý :Có thể hạ bậc biến đổi tích thành tổng đưa nguyên hàm f(x) = cosmx.sinnx nguyên hàm hàm hợp.Chẳng hạn ví dụ ta giải cách 2: I= = I= = TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (6) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN =cos3x - cosx + C = Ví dụ : I= - Đặt sinx = t Ta có I = =I= = = (Mặc dù đặt sinx = t cosx mẫu thức ,đặt cosx = t) Ví dụ : I = -Đặt cosx = t.Ta viết I = =I= = t2 - ln = Ví dụ : I = =I= = = - +C = - ln + C (Đã đặt cosx = t) 2/Nếu số mũ cosx sinx số chẵn (m n chẵn) *Nếu f(x) = cosmx.sinnx Trong m n số tự nhiên chẵn hạ bậc biến đổi tổng thành tích đƣa nguyên hàm hàm hợp Ví dụ 5: I = =I= = dx = = - = x+ sin2x - = x+ sin2x - *Nếu f(x) = Ví dụ : -Ta có : I = = Ví dụ : I = -Ta có : I = sin4x - 2cos2xdx = sin6x - sin4x - dx sin2x + C sin6x + C , đặt tanx = t ;Nếu f(x) = Đặt cotx = t (Với m n sỗ chẵn ) I= - =:I= = tanx – x + C =:I= (Đã đặt tanx = t) - (Vì mẫu thức sin2x,chính mẫu thức cot2x nên ta đặt cotx = t) =I= =- d(cotx) = - cot3x + C TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (7) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN (Thực chất đặt cotx = t viết tắt cho gọn thôi) (Vì mẫu thức cos2x,chính mẫu thức tan2x nên ta đặt tanx = t) Ví dụ : I = -Ta có : I = = =I= = - = + = tanx + sin2x - x + C 3.Nguyên hàm hàm số f(x) = Với h(x) g(x) biểu thức bậc sinx,cosx *Nếu thay cosx (-cosx) mà hàm số đổi dấu đặt sinx = t *Nếu thay sinx (-sinx) mà hàm số đổi dấu đặt cosx = t *Nếu thay cosx (-cosx) sinx (-sinx) mà hàm số không đổi đặt tanx = t cotx = t -Có dùng phương pháp liên kết 1/ Nếu thay cosx (-cosx) mà hàm số đổi dấu đặt sinx = t Ví dụ : I = = = = … (Nguyên hàm Hàm số hữu tỷ) - = = 2/ Nếu thay sinx (-sinx) mà hàm số đổi dấu đặt cosx = t Ví dụ 10 : I = = -2 = -2 =… = -2 3/Nếu thay cosx (-cosx)và sinx bởi(-sinx) mà hàm số không đổi đặt tanx = t cotx = t (Đặt tanx = t dx = Ví dụ11: I = -Ta có I = , sinx = cosx = ) = = = (Dạng Với u = + tanx) 4/Nếu không thỏa mãn dấu hiệu đặt t = tan Ta có dt = (1+ tan2 ).dx Nên dx = , có sinx = , cosx = TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (8) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN Ví dụ 12 : Tính nguyên hàm I = Đặt t = tan Ta có : dt = (1+ tan2 ).dx Nên dx = , có sinx = ,cosx = Do : I= =I= =- = +C 5/Tính nguyên hàm : I = -Tách tử thức thành tổng: có số hạng đạo hàm mẫu thức Ta viết : I= = = dx + = ln = + + dx dx dx xét dấu hiệu trình bày Nếu không thỏa mãn Tính : J = dấu hiệu nào(trong 1/ , 2/ , 3/) đặt t = tan Ví dụ 13 : I = J= k= 6/ Nguyên hàm f(x) = cosax.cosbx , f(x) = cosax.sinbx , f(x) = sinax.sinbx : -Biến đổi tích thành tổng , đưa nguyên hàm hàm hợp Ví dụ 14 : Tính I = = sin8x + sin2x) +C Ví dụ 15 : Tính I = = = =- = cos9x + cos7x - cos3x + cosx + C TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (9) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN ****************************************************************************** III.Nguyên hàm hàm số Vô tỷ (Hàm số có chứa thức) Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm hàm số vô tỷ nguyên hàm hàm số hữu tỷ hàm số lượng giác.Ta tiến hành với số dạng sau 1.Nguyên hàm hàm số chứa x thức : - Thông thường: Đặt t biểu thức t Ví dụ : I = dx = t Ta có x + = t2 nên dx = 2t.dt - Đặt Do : I = dx = I = =2 Cách : Đặt (x+2) = t dx = dt , (x + 1) – Do : I = = (t2 – 1).t = (t – 1) = = - +C Ví dụ : I = = t , x + = t2 nên dx = 2t.dt -Đặt -Do : I = = …(Đây nguyên hàm hàm hữu tỷ) = Đặt Ví dụ : I = = =t 2.Nguyên hàm hàm số phân thức chứa nhiều căn,bậc khác :bậc m, n …mà biểu thức giống : Đặt bậc r t với r BSCNN m,n … Ví dụ : = t , ta có x + = t nên dx = t5dt, Đặt I= Do : I = =6 = t3, = t2 (đây nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ) 3.Nguyên hàm hàm số phân thức chứa x với a,b,c R , a 0: -Đổi biến số đƣa nguyên hàm hàm số Lƣợng giác (Đã nói trên) -Ta có = Gọi (x + ) = u = = TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (10) TRẦN ĐỨC NGỌC ĐT 0985128747 * * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN Hai trường hợp : 1/Nếu 0: Thì = = (a > , < nên a > thức có nghĩa ) Như , đưa trường hợp sau : *1 Hàm số chứa u , đặt u = tant 2/Nếu 0,Nếu z TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (12) TRẦN ĐỨC NGỌC ĐT 0985128747 * * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 3/ I = dx 4/ I= I= dx , ; 5/ dx = ; dx , 7/*(Tp phần) 10/ ; ; dx ; (Với a,b dương) ; Chứng minh Có nghiệm đoạn 12/ = 1(Với tana>0) >0 Chứng minh phương trình f(x) = sinx dx ; cos22x.dx ; 14/ ; 15/ -sinxcosx-co x).dx ; < dx cos2x.dx + , có f(0)>0 dx ; cos22x.dx ; ; ; cotx.dx ; ; 16/Chứng minh : ; sinxcos3x.dx ; ; 11/Cho y=f(x) xác định ,liên tục 13/ , dx , ; 8/* (Tp phần) 9/ dx ; ; , 6/ I= dx; ; Tìm nguyên hàm f(x) = dx < ; ;Tính: ; dx ; ; cos4x.dx dx ; , TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (13) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN BÀI TẬP VỀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ 1/Chứng minh : Nếu y = f(x) hàm số chẵn , a > =2 Bài giải : Xét I = Đặt t = -x : dx = -dt Do f(x) hàm chẵn nên f(-x) = f(x) tức f(t) = f(x) Vậy f(x)dx = - f(t)dt Khi x = - a t = a , Khi x = t = Suy : Vì = = = = + = + (đpcm) =2 2/Chứng minh : Nếu y = f(x) hàm số lẻ , a > thì: Bài giải : =0 Đặt t = -x : dx = -dt Do f(x) hàm lẻ nên f(-x) = -f(x) tức f(x) = -f(t) Xét I1 = Vậy f(x)dx = f(t)dt Khi x = - a t = a , Khi x = t = Suy : Vì = = =- =- + Áp dụng : Tính I1 = =- (Hàm chẵn) Tính I2 = dx dx Đặt t = -x : dx = -dt Vì g(x) hàm chẵn nên g(-x) = g(x) Tức g(t)=g(x) Vậy g(x)dx = - g(t)dt Ta có : dx = Suy : I1 = Do (Hàm lẻ) dx = 3/Chứng minh : Nếu y = g(x) hàm số chẵn ,a > : Bài giải : Xét I1 = = (đpcm) + dx = = = = dt = dx + Khi x = -a , t = a Khi x = , t = = dx = dx dx + dx = dx (đpcm) Áp dụng : Cho g(x) = sinx.sin2x.cos5x Tìm họ nguyên hàm y = g(x) Tính I = TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƢƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (14)