Giải tích tổ hợp

TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG GV: PHẠM HỒNG TIẾN GIẢI TÍCH TỔ HP PHẦN I : KIẾN THỨC CƠ BẢN : A-GIAI THỪA : n ! = 1.2.3………….n 1! = 1 2! = 1.2=2 3! = 1.2.3 = 6 4! = 1.2.3.4 = 24 . Qui ứơc : 0 ! = 1 . T/C : ! ( 1)( 2) .( 1) . ! n k k n n k = + + − B-CÁC QUI TẮC CỦA PHÉP CHỌN : 1- Qui tắc Cộng : - thực hiện công việc H có các trừơng hợp khác nhau : + TH1 : Có m cách chọn . + TH2 : Có n cách chọn . + TH3 : Có p cách chọn . … Vậy : Có tất cả : m+ n +p + … = cách 2- Qui tắc nhân : - thực hiện công việc H có các giai đoạn : + Gđ1 : Có m cách chọn . + Gđ2 : Có n cách chọn . + Gđ3 : Có p cách chọn . … Vậy : Có : mx n x px…= cách . C-HOÁN VỊ –CHỈNH HP – TỔ HP : 1- Công thức hoán Vò : P n = n ! 2- Công thức chỉnh hợp : ! ; ; ( )! k n n A n N k n n k = ∈ ≤ − 3- Công thức tổ hợp : ! ; ; !( )! k n n C n N k n k n k = ∈ ≤ − D- NHỊ THỨC NIUTON : • Nhòthức: 0 1 1 ( ) n n n k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b − − + = + + + + Chú ý :- Vếhai có n+1 số hạng . - Mũ của a và b trong mỡi số hạng có tổng bằng n . - Số hạng tổng quát thứ K+1 có dạng : T K+1 = k n k k n n C a b − - Tổng các hệ số là : 2 n Ta có : 0 1 2 k n n n n n n C C C C + + + + = PHẦN II : BÀI TẬP . 1.Cho X = 1;2;3;4;5 . Hỏi có bao nhiêu tự nhiên có 5 chữ số; 4 chữ số khác nhau được viết từ X . 2. Cho X = 1;2;3;4;5 . Hỏi có bao nhiêu tự nhiên có 3 chữ sốá khác nhau chia hết cho 3 được viết từ X .ĐS : 24 số . 4- Biết tổng các hệ số của : (x 2 +1 ) n là 1024 hãy tìm hệ số của x 12 trong khai triển trên . ĐS : n=10 => hs là 210 . 5-Cho các số: 1;2;3;4;5;6 .Ta có thể viết các số có 5 chữ số khác nhau .Hỏi : a- Có bao nhiêu số có mặt số 2 ? . b- Có bao nhiêu số có mặt 2 số 1 và 6 ? HD : a- Chữ số 2 có có 5 vò trí vậy có 5. 2 5 120A = .5= 600 số . b- Số 1và 6 có 2 5 A , xếp 4 số vào 3 vò trí còn lại là 3 4 A . Vậy có 2 5 A . 3 4 A = 480 cách . 6-Cho X= 1;2;3;4;5;6 .Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên 6 chữ số khác nhau và thoã: Tổng ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số sau một đơn vò . HD : n = 1 2 3 4 5 6 a a a a a a -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ÔN THI ĐH-CĐ 2008 ĐAI SỐ TỔ HP 1 TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG GV: PHẠM HỒNG TIẾN Ta có : a 1 +a 2 +a 3 =a 4 +a 5 a 6 - 1 Mà : 1+2+3+4+5+6 = 21 . => a 1 +a 2 +a 3=10 ; a 4 +a 5+ a 6 =11. Có các trường hợp : 1;3;6 và 2;4;5 : Có 3! . 3! = 36 . 1;4;5 và 2;3;6 : Có 3! . 3! = 36 . 2;3;5 và 1;4;6 : Có 3! . 3! = 36 . Vậy : 36 x 3 = 108 Số . 7- Có 20 hsinh có 10nam và 10 nữ hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 HS sao cho : a- Có đúng 2 nam sinh . ĐS 5400 . b- Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ . ĐS : 5400+5400+2100= 12900 . 8- Có 9 viên bi xanh . đó 5 đỏ 4 vàng . Hỏi có bao nhiêu cách chọn : a- 6 bi có 2 bi đỏ . b- 6 bi trong đó bi xanh bằng bi vàng . HD: a- 2 4 5 13 . 7150C C = b- 3X và 3Đ : 3 3 9 5 .C C 2X va2Đ 2V : 2 2 2 9 5 4 . .C C C 1X ,1Đ; 2V : 1 1 4 9 5 4 . .C C C ĐS : 3045 9--( D-2006) Có 12 HS : trong dó 5 HS lớp A; 4 HS lớp B và 3 HS lớp C . Cần 4 HS đi trực sao cho 4 HS nầy không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có mấy cách chọn . HD : Số cách chọn 4 HS : 4 12 C . * 1A,1b;2C : 1 1 2 5 4 3 . .C C C =60 * 1A,2b;1C : 1 2 1 5 4 3 . . 90C C C = * 2A,1b;2C : 2 1 2 5 4 3 . . 120C C C = ĐS : 4 12 C - ( 60+90+120) = 495-270=225 10- Tìm số hạng không chứa X trong các khai triển : 12 3 18 3 2 15 1 1 ( ) ; ( ) 1 ( ) x x x x x x + + + 11- Cho hsố của số hạng thứ ba trong : ( x-1/3 ) n là 3 . Tìm số hạng đứng giữa . 12-Tìm các số hạng là số nguyên trong khai triển : 9 3 ( 3 2)+ ĐS : k=3 : 4536 K= 9 : 8 13- Cho khai triển : 3 2 . n x x x x   +  ÷  ÷   . Biết : Hệ số của số hạng thou 3 là 36 Tìm số hạng thứ 7 . 14- Cho ( x/3 – 3/x ) 12 . Tìm hệ số số chứa x 4 . 15- Giải bptrình : 3 2 2 9 n n n A C n − + ≤ HD : ĐK n>= 3 Bpt  2 4 3; 4n n n− ≤ ≤ ⇔ = = 16- Trong khai triển: 1 n x x   +  ÷   có hệ số của số hạng thứba lớn hơn hệ số của số hạng thou hai là 35 . Tính số hạng không chứa x trong khai triển trên . ĐS k= 5 ; 5 10 252C = 17- Cho đa thức : P(x) = (1+x) 9 +(1+x) 10 +…….+ ( 1+x) 14 khai triển rút gọn đa thức : P(x) = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 +…….+ a14 x 14 Hãy tìm : a 9 = ? ĐS : 3003 . 18- Tính giá trò : 0 1 2 6 1 6 6 6 6 0 1 2 2 5 5 2 5 5 5 5 * . * 2 2 . 2 S C C C C S C C C C = + + + = + + + ĐS : S 1 = 2 6 = 64. ; S 2 = 3 5 = 243 . 1 2 2 3 3 3 * 1 2 2 2 . ( 1) 2 n n n n n n S C C C C = − + − + + − Khai triển ; (1-x) n Chọn : x = 2 => S 3 = (-1) n . 19-CMR : 1 2 3 1 2 3 . .2 n n n n n n C C C nC n − + + + = HD 0 1 2 2 3 3 (1 ) . n n n n n n n n x C C x C x C x C x + = + + + + + Lấy đhàm hai vế ta có : chọn x = 1 .=> đpcm. 20- CMđ thức : 2 2 3 1 1 0 1 2 2 2 2 3 1 2 3 1 1 n n n n n n n C C C C n n + + − + + + + = + + -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ÔN THI ĐH-CĐ 2008 ĐAI SỐ TỔ HP 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG GV: PHẠM HỒNG TIẾN HD: Xét : 2 0 (1 ) n I x dx= + ∫ = 1 2 0 (1 ) 1 n x n + + + = 1 3 1 1 n n + − + (1 ) Mà 0 1 2 2 3 1 2 0 1 1 1 ( . ) 2 3 1 n n n n n n I C x C x C x C x n + = + + + + + 2 3 1 0 1 2 2 2 2 2 . 2 3 1 n n n n n n I C C C C n + = + + + + + (2) Từ (1) và (2) : đpcm . 21- Tính : 1 0 (1 ) n I x dx= + ∫ và tính Tổng S = 0 1 2 1 1 1 2 3 1 n n n n n C C C C n + + + + + HD : 1 0 (1 ) n I x dx= + ∫ = 1 1 1 0 (1 ) 2 1 1 1 n n x n n + + + − = + + 1 1 2 1 0 1 0 1 0 0 ( . ) . 2 1 n n n n n n n n n x x I C C x C dx C x C C n +   = + + + = + + +   +   ∫ = 0 1 2 1 1 1 2 3 1 n n n n n C C C C n + + + + + => S = 1 2 1 1 n n + − + 22 - CMR 1 2 2 1 1 1 4 4 . 4 4 5 n n n n n n n C C C − − + + + + + = HD : Khai triển : ( 1+x ) n thay x= 4 => đpcm. 23-CMR: 16 0 15 1 14 2 16 16 16 16 16 16 3 3 3 . 2C C C C − + + = HD: Khai triển : ( 3x-1) 16 chọn x = 1 .=>đpcm. 24-- Tìm x ; y thuộc N * : 1 1 1 6 5 2 y y y x x x C C C + − + = = X=8 ; y = 3 25- CmR : 1 2 3 1 2 3 . 2 n n n n n n C C C nC n − + + + = HD: Xét : (1+x) n khai triển - Lấy đạo hàm 2 vế . Chọn x = 1 =>đpcm . 26--Trong khai triển : 28 3 15 n x x x −   +  ÷   Hãy tìm số hạng không chứa x . Biết : 1 2 79 n n n n n n C C C − − + + += HD:K=5 => 5 12 792C = 27-- Tính tích phân : 1 2 3 0 1 0 1 2 (1 ) 1 1 1 1 2 1 : . 3 6 9 3 3 3( 1) n n n n n n n I x x dx CMR C C C C n n + = + − + + + + = + + ∫ Giải : -Đổi biến số : u= 1+x 3 ta có : 1 2 1 3( 1) n I n + − = + - Mặt khác ta có : - 3 0 2 3 3 6 3 (1 ) . n n n n n n n x C C x C x C x + = + + + + Nhân hai vế cho x 2 . Lấy tphân hai vế . Tìm nghuên hàm thế cậ từ 0->1 Ta được vế trái . 28-( A-2002) Cho khai triển : 1 3 2 2 2 n x x− −   +  ÷   . Biết : 1 1 5 n n C C= và số hạng thứ tư bằng 20. Hãy tìm n và x ? ĐS : n = 7 và x= 4 . 29-( D-2002) Tìm n số nguyên dương : 0 1 3 2 4 . 2 243 n n n n n n C C C C + + + + = ĐS : Xét (1+x ) n và chọn x= 2 => n= 5. 30-CMR: 17 0 16 1 2 15 2 17 17 17 17 17 17 17 3 4.3 4 .3 . 4 . 7C C C C + + + + = - Xét : ( 3x+4) n chonï x = 3 .=> đpcm. 31- ( A- 2003 ) Tìm hsố của x 8 trong khai triển 5 3 1 n x x   +  ÷   Biết : 1 4 3 7( 3) n n n n C C n + + + − = + HD : K= 4 => 4 12 495C = . 32- ( B-2003 ) Cho n ng dương tính Tổng : -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ÔN THI ĐH-CĐ 2008 ĐAI SỐ TỔ HP 3 TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG GV: PHẠM HỒNG TIẾN 2 3 1 0 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3 1 n n n n n n S C C C C n + − − − = + + + + + Xét : (1+x) n Khai triển tính tp hai vế ta có : 1 1 3 2 1 N n s n + + − = + 33-(A-2004) Tìm hệ số của x 8 tromg khai triển : [1+x 2 ( 1-x)] 8 Hd : Số hạng chứa x 8 số hạng thou 4 và thứ 5: 3 6 3 4 8 4 8 8 3 4 8 8 (1 ) ; (1 ) : 3 238. C x x C x x DS C C − − + = 25- (D- 2004) Tìm số hạng không chứa x : 7 3 4 1 x x   +  ÷   Với x > 0 . ĐS : k= 4 => 35 . 34- ( B- 2004) Thấy giáo có 30 câu hỏi khác nhau : Có 5 câu khó ; 10 câu tb ; 15 câu dễ . Hỏi từ 30 câu hõi trên lập được bao nhiêu đề kt sao cho mỗi đề có 5 câu hỏi khác nhau trong đó mỗi đề nhất thiết phải có 3 loại câu hỏi : khó ; tb ; dễ và câu dễ không ít hơn hai . Giải : Có ba THợp : - 2dễ + 1TB + 2 khó : 10500. - 2d + 2 TB + 1 kh : 23625 . - 3d + 1TB + 1 kh : 22750 Tổng : 56.875 . 35- ( A- 2005 ) Tìm số nguyên dương n sao cho : 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2 3.2 4.2 . (2 1)2 2005. n n n n n n n C C C C n C + + + + + + − + − + + + = HD : Xét : ( 1-x) 2n+1 Khai triển, lấy đạo hàm hai vế Chọn x = 2 được : ( 2n+1) = 2005  n = 1002 36- ( D.2005) Tính giá trò biểu thức : 4 4 1 3 ( 1)! n n A A M n + + = + . Biết rằng : 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 149 n n n n C C C C + + + + + + + = HD :Giải pt : n= 5 n=-9 L M= ¾ 37- ( CĐ- 05) Cho ( 1-x) n +x(1+x) n-1 =P x Khai triển P x = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +….+ a n x n . Biết : a 0 +a 1 +a 2 +………+a n = 512 . Tìm a 3 =? HD : Từ đề bài : Cho x=1 thì: 2 n-1 = a 0 +a 1 +a 2 +………+a n = 512=2 9 n=10 ( 1-x) 10 +x(1+x) 9 => a 3 = 2 3 9 10 84C C− = − 38- Có18 HS : trong đó có 7 HS k12 ; 6 HS kh11 ; 5 HS k10 . Hỏi có bao nhiêu cách chọn 8 HS dự trại hèsao cho mỗi khối có 1 HS HD : Số cách chọn 8 HS : 8 18 C Vậy : ĐS 8 8 8 8 18 13 12 11 ( ) 41811C C C C Cach− + + = 39-Cho ( x+1) 10 .( x + 2 ) = x 11 +a 1 x 10 +a 2 x 9 +….+a 11 . Hãy tính a 5 ? Hd : Khai triển : (x+10) 10 nhân (x+2) . A 5 = 5 4 10 10 2 672C C+ = // Chúc Các Em thi TNPT- ĐH và CĐ năm 2008 thành công theo nguyện vọng của mình // Phạm Hồng Tiến -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ÔN THI ĐH-CĐ 2008 ĐAI SỐ TỔ HP 4 . VỊ –CHỈNH HP – TỔ HP : 1- Công thức hoán Vò : P n = n ! 2- Công thức chỉnh hợp : ! ; ; ( )! k n n A n N k n n k = ∈ ≤ − 3- Công thức tổ hợp : ! ; ; !(. TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG GV: PHẠM HỒNG TIẾN GIẢI TÍCH TỔ HP PHẦN I : KIẾN THỨC CƠ BẢN : A-GIAI THỪA : n ! = 1.2.3………….n 1! =