SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2010 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu 01 trang Câu 1: (2,5 điểm) Giải phương trình: 4x = 3x + Thực phép tính: A = 12 - + 48 1 x − y =1 Giải hệ phương trình: 3 + = x y Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình 2x2 + (2m-1)x +m-1=0, m tham số Giải phương trình m=2 Tìm m để phương tình có hai nghiệanx1, x2 thoả mãn: 4x12 + 4x22 + 2x1x2 = Câu 3: (1,5 điểm) Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km từ B trở A người tăng vận tốc thêm 3km/h, thời gian thời gian 36 phút Tính vận tốc người xe đạp từ A đến B Câu 4: (2,5 điểm) Cho đươờngtròn (O;R) Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O;R) A Trên đường thẳng d lấy điểm H cho AH0 Chứng minh rằng: 1 1 + 3 + ≤ 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Tìm x, y nguyên cho x + y + xy + = x2 + y2 GỢI Ý ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2009 - 2010 Câu 1: 4x = 3x + x = A = 12 - + 48 = 10 - + = 10 3 đk : x ≠ 0; y ≠ 1 x − 3 + x 4 7 =1 − =4 =9 y= y x y x ⇔ ⇔ ⇔ 4 + =5 = −1 x = =5 y y x y ( Thoả mãn điều kiện x ≠ 0; y ≠ Kl: … Cau 2: Phương trình: 2x2 + (2m-1)x + m - 1= (1) Thay m = vào phương trình (1) ta có 2x2 + 3x + = Có ( a - b + c = - + = 0) => Phương trình (1) có nghiệm x1 = -1 ; x2 = - 1/2 Phương trình (1) có ∆ = (2m -1)2 - 8(m -1) = 4m2 - 12m + = (2m - 3)2 ≥ với m => Phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 với giá trị m − 2m x1 + x = + Theo hệ thức vi ét ta có: x x = m − 2 2 + Theo điều kiện đề bài: 4x1 + 4x2 + x1 x2 = 4(x1 + x2)2 - x1 x2 = ( - 2m)2 - 3m + = 4m2 - 7m + = + Có a + b + c = => m1 = 1; m2 = 3/4 Vậy với m = m = 3/4 phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: 4x1 + 4x22 + x1 x2 = Câu 3: Gọi vận tốc người xe đạp từ A đến B x (km/h; x > 0) Thì vận tốc người từ B A : x + (km/h) 36 (h) x 36 Thời gian người từ B A là: (h) x+3 Thời gian người từ A đến B là: Vì thời gian thời gian nên ta có phương trình : 36 36 = x x+3 x2 + 3x - 180 = Có ∆ = 729 > Giải được: x1 = 12 (thoả mãn điều kiện ẩn) x2 = -15 (không thoả mãn điều kiện ẩn) Vậy vận tốc người từ A đến B 12 km/h Câu 4: Chứng minh: ∠ ABE = ∠ EAH ∠ ABE góc nội tiếp chắn cung AE ∠ EAH góc tạo tia tiếp tuyến AH dây cung AE => ∠ ABE = ∠ EAH ( Hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) B Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp + BH vuông góc với AC H => ∠ BHC = 900 + H trung điểm AC (gt) O + EH ⊥ AC H (BH ⊥ AC H; E ∈ BH) N => ∆ AEC cân E K => ∠ EAH = ∠ ECH( t/c tam giác cân) E + ∠ ABE = ∠ EAH ( cm câu a) => ∠ ABE = ∠ ECH ( = ∠ EAH) A H => ∠ KBE = ∠ KCH => Tứ giác KBCH nội tiếp => ∠ BKC = ∠ BHC = 900 => ∠ AKE = 900 (1)( Kề bù với ∠ BKC = 900) Mà ∠ EHA = 900 (2) ( EH ⊥ AC H) Từ (1) (2) => ∠ AKE + ∠ EHA = 1800 => Tứ giác AHEK nội tiếp Xác định vị trí điểm H đường thẳng (d) cho AB = R + Kẻ ON vuông góc với AB N => N trung điểm AB( Quan hệ vuông góc đường kính dây cung) => AN = R Ta có tam giác ONA vuông N theo cách dựng điểm N => ∠ NOA = 60 => ∠ OAN = ∠ ONA - ∠ NOA = 300 + ∠ OAH = 900 ( AH tiếp tuyến (O) tiếp điểm A) => ∠ BAH = 600 + chứng minh : ∆ BAC cân B có ∠ BAH = 600 => tam giác ABC => tag ∠ NOA = AN : AO = R R => H giao điểm (A; ) đường thẳng (d) => AH = AC/2 = AC/2 = C Chú ý : Bài toán có hai nghiệm hình: Câu 5: Với a > 0; b > 0; c > 1 1 + + ≤ 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 3 HD: ta có a + b + abc = (a+b)(a2 + b2 - ab) + abc ≥ (a+b)(2ab - ab)+ abc ( (a-b)2 ≥ với a, b => a2 + b2 ≥ 2ab) => a3 + b3 + abc ≥ ab(a+b) + abc = ab( a+b+c) 1 Vì a, b, c > => a + b + abc ≤ (a + b + c)ab (1) 1 Tương tự ta có: b + c + abc ≤ (a + b + c)bc (2) 1 ≤ (3) 3 c + a + abc ( a + b + c )ca Chứng minh rằng: Từ (1) ; (2); (3) 1 a+b+c => a + b + abc + b + c + abc + c + a + abc ≤ abc(a + b + c) = abc Dấu "=" xảy a = b = c Vậy bất đẳng thức chứng minh Tìm x, y nguyên thoả mãn: x + y + xy + = x2 + y2 (*) x2 - x(y + 1) + y2 - y - = (**) Vì x, y nghiệm phương trình (*) => Phương trình (**) có nghiệm theo x => ∆ = (y+1)2 - (y2 - y - 2) ≥ => -3y2 + 6y + ≥ - y2 + 2y + ≥ (- y2 - y) + 3(y + 1) ≥ (y + 1)(3 - y) ≥ Giải -1 ≤ y ≤ y nguyên => y ∈ {-1; 0; 1; 2; 3} + Với y = -1 => (*) x2 = => x = + với y = => (*) x2 - x - = có nghiệm x1 = -1; x2 = thoả mãn x ∈ Z + với y = => (*) x2 - 2x - = có ∆' = không phương +với y = => x2 - 3x = => x = x = thoả mãn x ∈ Z + với y = => (x-2)2 = => x = thoả mãn x ∈ Z Vậy nghiệm nguyên phương trình là: (x,y) ∈ { (−1;0); (0;−1); (2;0); (0;2); (3;2); (2;3)} ...GỢI Ý ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2009 - 2 010 Câu 1: 4x = 3x + x = A = 12 - + 48 = 10 - + = 10 3 đk : x ≠ 0; y ≠ 1 x − 3 +