Lê Trần Kiên – http://violet.vn/kahkamkam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN: TOÁN (Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang) Câu 1 (2,5 điểm): 1. Giải phương trình: 4x = 3x + 4 ⇔ 4x – 3x = 4 ⇔ x = 4 2. Thực hiện phép tính: A 5 12 4 3 48= − + 5 4.3 4 3 16.3= − + 10 3 4 3 4 3= − + 10 3 4 3 4 3= − + 10 3= 3. Giải hệ phương trình sau: 1 1 1 x y 3 4 5 x y − = + = ĐKXĐ: x ≠ 0; y ≠ 0 Đặt: 1 x = m; 1 y = n, khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: m n 1 3m 4n 5 − = + = Giải HPT trên được 9 m 7 2 n 7 = = Từ đó suy ra: 7 x 9 7 y 2 = = (t/m ĐKXĐ) Câu 2 (2,0 điểm): Cho phương trình: 2x 2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1), trong đó m là tham số. 1. Giải phương trình (1) khi m = 2. Khi m = 2, ta được PT: 2x 2 + 3x + 1 = 0 Ta thấy 2 – 3 + 1 = 0 ⇒ Nhẩm nghiệm Vi-ét ta được x 1 = -1; x 2 = 1 2 − 2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: 4 2 1 x + 4 2 2 x + 2x 1 x 2 = 1 Ta có ∆ x = (2m – 1) 2 – 4.2.(m – 1) = 4m 2 – 4m + 1 – 8m + 8 = 4m 2 – 12m + 9 = (2m – 3) 2 ⇒ PT (1) luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 với mọi giá trị của m. Khi đó, áp dụng định lý Vi-ét, ta có: 2(x 1 + x 2 ) = 1 – 2m 2x 1 x 2 = m – 1 Ta có: 4 2 1 x + 4 2 2 x + 2x 1 x 2 = [2(x 1 + x 2 )] 2 – 3.2x 1 x 2 = (1 – 2m) 2 – 3(m – 1) = 4m 2 – 4m + 1 – 3m + 3 = 4m 2 – 7m + 4 Theo ycbt, ta phải có: 4m 2 – 7m + 4 = 1 ⇔ 4m 2 – 7m + 3 = 0 Nhẩm nghiệm Vi-ét cho phương trình ẩn m trên, ta được m 1 = 1; m 2 = 3 4 Vậy m = 1hoặc m = 3 4 thì PT (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 4 2 1 x + 4 2 2 x + 2x 1 x 2 = 1 Câu 3 (1,5 điểm): Lê Trần Kiên – http://violet.vn/kahkamkam Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B. V.tốc T.gian Q.đường Khi đi x (km/h) (x > 0) 36 x (h) 36km Khi về x + 3 36 x 3+ (h) 36km 36 phút = 3 5 h Giải: Gọi vận tốc khi đi của người đi xe đạp là x (km/h; x > 0) Thì vận tốc khi về của người đó là x + 3 (km/h) Thời gian đi hết quãng đường AB của người đi xe đạp Lúc đi là: 36 x (h); Lúc về là: 36 x 3+ (h) Theo bài ra, thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là 36 phút = 3 5 h, nên ta có PT: 36 x = 36 x 3+ + 3 5 ⇔ 36.5(x + 3) = 36.5x + 3x(x + 3) ⇔ 3x 2 + 9x – 540 = 0 ⇔ x 2 + 3x – 180 = 0 Giải PT trên được x 1 = 12 (t/m ĐKBT); x 2 = - 15 < 0 (không t/m ĐKBT – loại) Vậy vận tốc khi đi từ A đến B của người đi xe đạp là 12 km/h. Câu 4 (2,5 điểm): 1. Chứng minh rằng góc ABE bằng góc EAH. · 1 ABE 2 = sđ » AE (t/c góc nội tiếp) · 1 EAH 2 = sđ » AE (t/c góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) Suy ra · · ABE EAH= 2. Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp được đường tròn. Dễ thấy ∆AEC cân tại E (có đường cao AH đồng thời là trung tuyến) Suy ra: · · · ECH EAH ABE= = ⇒ · · · · O ECH KAH ABE KAH 90+ = + = ⇒ · O AKE 90= Từ đó suy ra tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn đường kính AE 3. Xác định vị trí của điểm H trên đường thẳng d sao cho AB = R 3 . AB = R 3 ⇔ sđ ¼ O AEB 120= ⇔ · · O ABE BAO 30= = (OA // BE vì cùng vuông góc với d) ⇔ · O BAH 60= ⇔ O 1 cos60 R 3 2 AH AB 2 R 3 = = = Lê Trần Kiên – http://violet.vn/kahkamkam Câu 5 (1,5 điểm): 1. Cho ba số a,b,c > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + ≤ + + + + + + Ta có: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) Lại có: a 2 + b 2 ≥ 2ab ⇔ a 2 – ab + b 2 ≥ ab (Dùng BĐT Cô-si hoặc HĐT) Suy ra: a 3 + b 3 ≥ ab(a + b) ⇔ a 3 + b 3 + abc ≥ ab(a + b) + abc = ab(a + b + c) ⇔ 3 3 1 1 c a b abc ab(a b c) abc(a b c) ≤ = + + + + + + CM tương tự được: 3 3 1 1 a b c abc bc(a b c) abc(a b c) ≤ = + + + + + + 3 3 1 1 b c a abc ca(a b c) abc(a b c) ≤ = + + + + + + Cộng vế với vế ba BĐT cùng chiều trên, ta được: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 c a b a b abc b c abc c a abc abc(a b c) abc(a b c) abc(a b c) + + ≤ + + + + + + + + + + + + + + Hay 3 3 3 3 3 3 1 1 1 a b c 1 a b abc b c abc c a abc abc(a b c) abc + + + + ≤ = + + + + + + + + (đpcm) 2. Tìm x, y nguyên thoả mãn: x + y + xy + 2 = x 2 + y 2 Ta biến đổi phương trình trên tương đương: 2x 2 + 2y 2 – 2x – 2y – 2xy = 4 ⇔ (x 2 – 2xy + y 2 ) + (x 2 – 2x + 1) + (y 2 – 2y + 1) = 6 ⇔ (x – y) 2 + (x – 1) 2 + (y – 1) 2 = 6 Do x, y là các số nguyên nên ta chỉ có thể tách 6 = 2 2 + 1 2 + 1 2 với để ý rằng vai trò của x, y là như nhau, nên ta có các trường hợp sau: 2.1. x y 2 x 1 1 y 1 1 − = − = − = ⇒ x 2 y 0 = = hoặc x 0 y 2 = = 2.2. x y 1 x 1 2 y 1 1 − = − = − = ⇒ x 3 y 2 = = hoặc x 1 y 0 = − = 2.3. x y 1 x 1 1 y 1 2 − = − = − = ⇒ x 2 y 3 = = hoặc x 0 y 1 = = − HẾT . http://violet.vn/kahkamkam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009 - 2 010 MÔN: TOÁN (Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang) Câu 1 (2,5 điểm): 1 = 4 ⇔ x = 4 2. Thực hiện phép tính: A 5 12 4 3 48= − + 5 4.3 4 3 16.3= − + 10 3 4 3 4 3= − + 10 3 4 3 4 3= − + 10 3= 3. Giải hệ phương trình sau: 1 1 1 x y 3 4 5 x y − = + = ĐKXĐ: