ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn : Toán, khối D (Thời gian 180 không kể phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ Câu II (2 điểm) Giải phương trình cos2x + 2sin x − − 2sin x cos 2x = Giải bất phương trình ( 4x − 3) x − 3x + ≥ 8x − π cotx dx π π s inx.sin x + ÷ 4 Câu III ( 1điểm)Tính tích phân I = ∫ Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy (ABC) tam giác cạnh a Chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) điểm thuộc BC Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SA biết SA=a SA tạo với mặt phẳng đáy góc 300 Câu V (1 điểm) Cho a,b, c dương a2+b2+c2=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= a3 b2 + + b3 c2 + + c3 a2 + PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x + y + 2x − 8y − = Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 cắt đường tròn theo dây cung có độ dài Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ Câu VII.a (1 điểm) Tìm số phức z thoả mãn : z − + i = Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 100 + 8C100 + 12C100 + + 200C100 Tính giá trị biểu thức: A = 4C100 Cho hai đường thẳng có phương trình: x−2 z +3 d1 : = y +1 = x = + t d : y = − 2t z = 1− t Viết phương trình đường thẳng cắt d1 d2 đồng thời qua điểm M(3;10;1) Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình sau tập phức: z2+3(1+i)z-6-13i=0 -Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II, n¨m 2010 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu Nội dung Tập xác định: D=R lim ( x − x + ) = −∞ x →−∞ Điểm lim ( x3 − x + ) = +∞ x →+∞ x = x = y’=3x2-6x=0 ⇔ Bảng biến thiên: x -∞ y’ + 0,25 đ 0 - + y I -∞ Hàm số đồng biến khoảng: (-∞;0) (2; + ∞) Hàm số nghịch biến khoảng (0;2) fCĐ=f(0)=2; fCT=f(2)=-2 y’’=6x-6=0x=1 x=1=>y=0 x=3=>y=2 x=-1=>y=-2 +∞ +∞ -2 0,5 đ Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;0) tâm đối xứng Gọi tọa độ điểm cực đại A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2) Xét biểu thức P=3x-y-2 Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4P=6>0 Vậy điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng y=3x-2, để MA+MB nhỏ => điểm A, M, B thẳng hàng Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ: x= y = 3x − 4 2 ⇔ => M ; ÷ 5 5 y = −2 x + y = Giải phương trình: cos2x + 2sin x − − 2sin x cos 2x = (1) ( 1) ⇔ cos2 x ( − 2sin x ) − ( − 2sin x ) = II ⇔ ( cos2 x − 1) ( − 2sin x ) = Khi cos2x=1 x = kπ , k ∈ Z π 5π + k 2π , k ∈ Z Khi s inx = ⇔ x = + k 2π x = 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ Giải bất phương trình: ( 4x − 3) x − 3x + ≥ 8x − (1) (1) ⇔ ( x − 3) ) ( 0,25 đ x − 3x + − ≥ Ta có: 4x-3=0x=3/4 x − 3x + − =0x=0;x=3 Bảng xét dấu: x -∞ 4x-3 + x − 3x + − Vế trái - + 0,25 đ ¾ +∞ + - 0 + + + 0,25 đ 3 Vậy bất phương trình có nghiệm: x ∈ 0; ∪ [ 3; +∞ ) 4 0,25 đ Tính π π cot x cot x dx = ∫ dx π π π s inx ( s inx + cos x ) sin x sin x + ÷ 6 4 I=∫ π III = 2∫ π 0,25 đ cot x dx s in x ( + cot x ) dx = −dt sin x π π +1 Khi x = ⇔ t = + 3; x = ⇔ t = 3 0,25 đ Đặt 1+cotx=t ⇒ Vậy I= +1 t −1 ∫ t dt = ( t − ln t ) +1 +1 +1 0,25 đ = 2 − ln ÷ 0,25 đ IV Gọi chân đường vuông góc hạ từ S xuống BC H Xét ∆SHA(vuông H) AH = SA cos 300 = 0,25 đ S a Mà ∆ABC cạnh a, mà cạnh AH = a => H trung điểm cạnh BC => AH ⊥ BC, mà SH ⊥ BC => BC⊥(SAH) Từ H hạ đường vuông góc xuống SA K => HK khoảng cách BC SA K A C 0,25 đ H B 0,25 đ AH a => HK = AH sin 300 = = a Vậy khoảng cách hai đường thẳng BC SA 0,25 đ Ta có: a3 b2 + b3 c +3 + c3 V + a2 + a3 b2 + b3 c +3 + + + c3 a2 + b2 + a 3a ≥ 33 = (1) 16 64 c2 + c 3c ≥ 33 = (2) 16 64 + 0,5 đ a2 + c 3c ≥ 33 = (3) 16 64 Lấy (1)+(2)+(3) ta được: a + b2 + c2 + P+ ≥ ( a + b + c ) (4) 16 0,25 đ Vì a2+b2+c2=3 Từ (4) ⇔ P ≥ 3 giá trị nhỏ P = a=b=c=1 2 0,25 đ PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Đường tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5 Gọi phương trình đường thẳng cần tìm ∆, => ∆ : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // với đường thẳng 3x+y-2=0) Vì đường thẳng cắt đường tròn theo dây cung có độ dài 6=> khoảng cách từ tâm I đến ∆ 52 − 32 = c = 10 − =4⇔ (thỏa mãn c≠2) 32 + c = −4 10 − Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x + y + 10 − = ⇒ d ( I , ∆) = 0,25 đ 0,25 đ x = 1− t Phương trình đường thẳng AB: y = − 4t z = − 3t 0,25 đ Để độ dài đoạn CD ngắn nhất=> D hình chiếu vuông góc C uuur cạnh AB, gọi tọa độ điểm D(1-a;5-4a;4-3a) ⇒ DC = (a; 4a − 3;3a − 3) 0,25 đ uuur uuur Vì AB ⊥ DC =>-a-16a+12-9a+9=0 a = 21 26 0,25 đ 49 41 VII.a 0,25 đ −3 + + c x + y − 10 − = uuur Ta có AB = ( −1; −4; −3) VI.a 0,25 đ 0,25 đ Tọa độ điểm D ; ; ÷ 26 26 26 Gọi số phức z=a+bi a − + ( b + 1) i = Theo ta có: b = a − 0,25 đ ( a − ) + ( b + 1) = ⇔ b = a − 2 0,25 đ a = − b = −1 − ⇔ a = + b = −1 + 2 0,25 đ 2 Vậy số phức cần tìm là: z= − +( −1 − )i; z= z= + +( −1 + )i A Theo chương trình nâng cao 100 100 100 + C100 x + C100 x + + C100 x Ta có: ( + x ) = C100 ( 1− x) 100 (1) 100 100 = C100 − C100 x + C100 x − C100 x + + C100 x (2) 0,25 đ 0,25 đ Lấy (1)+(2) ta được: ( 1+ x) 100 + ( 1− x) 100 100 100 = 2C100 + 2C100 x + 2C100 x + + 2C100 x Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta 100 ( + x ) − 100 ( − x ) 99 99 100 99 = 4C100 x + 8C100 x3 + + 200C100 x Thay x=1 vào 100 + 8C100 + + 200C100 => A = 100.299 = 4C100 Gọi đường thẳng cần tìm d đường thẳng d cắt hai đường thẳng d d2 điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a)uuu vàr B(3+b;7-2b;1-b) uuur Do đường thẳng d qua M(3;10;1)=> MA = k MB VI.b uuur uuur MA = ( 3a − 1; a − 11; −4 + 2a ) , MB = ( b; −2b − 3; −b ) VII.b 3a − = kb 3a − kb = a = ⇒ a − 11 = −2kb − 3k ⇔ a + 3k + 2kb = 11 ⇔ k = −4 + 2a = − kb 2a + kb = b = uuur => MA = ( 2; −10; −2 ) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ x = + 2t Phương trình đường thẳng AB là: y = 10 − 10t z = − 2t 0,25 đ ∆=24+70i, 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ ∆ = + 5i z = + i => z = −5 − 4i ∆ = −7 − 5i Bài làm điểm thí sinh làm theo cách khác!