dai so 11.c2

Trần Só Tùng Đại số 11 Chươ ương ng IIII Ch TỔ HỢP HỢP XAC XAC SUẤT SUẤT TỔ A TỔ HP I Qui tắc đếm Qui tắc cộng: Một công việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực không trùng với cách phương án A công việc có m + n cách thực Qui tắc nhân: Một công việc bao gồm hai công đoạn A B Nếu công đoạn A có m cách thực ứng với cách có n cách thực công đoạn B công việc có m.n cách thực Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Không có đường nối thành phố B với thành phố C Hỏi có tất đường từ thành phố A đến thành phố D? ĐS: có 12 cách Bài 2: Có số tự nhiên khác nhỏ 2.10 8, chia hết cho 3, viết chữ số 0, 1, 2? ĐS: Có 2.37 – = 4374 – = 4373 (số) Bài 3: Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên thoả: a) gồm chữ số b) gồm chữ số khác c) gồm chữ số khác chia hết cho ĐS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 Bài 4: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp Cứ đội phải đấu với trận (đi về) Hỏi có trận đấu? ĐS: có 25.24 = 600 trận Bài 5: Có số palindrom gồm chữ số (số palindrom số mà ta viết chữ số theo thứ tự ngược lại giá trò không thay đổi) ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba ⇒ có 9.10.10 = 900 (số) Bài 6: a/ Một bó hoa gồm có: hồng trắng, hồng đỏ hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy hoa? b/ Từ chữ số 1, 2, lập số khác có chữ số khác nhau? ĐS: a/ 18 b/ 15 Bài 7: a/ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số? Trang 21 Đại số 11 Trần Só Tùng b/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số? c/ Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số số chẵn? d/ Có số tự nhiên có chữ số, chữ số cách chữ số đứng giống nhau? e/ Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho 5? ĐS: a/ 3125 b/ 168 c/ 20 d/ 900 e/ 180000 Bài 8: Một đội văn nghệ chuẩn bò kòch, điệu múa hát Tại hội diễn, đội trình diễn kòch, điệu múa hát Hỏi đội văn nghệ có cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng kòch, điệu múa, hát nhau? ĐS: 36 Bài 9: Một người có áo có áo trắng cà vạt có hai cà vạt màu vàng Hỏi người có cách chọn áo – cà vạt nếu: a/ Chọn áo cà vạt được? b/ Đã chọn áo trắng không chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a/ 35 b/ 29 Bài 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có cặp thứ tự (x, y) biết rằng: a/ x ∈ A, y ∈ A b/ {x , y} ⊂ A c/ x ∈ A, y ∈ A x + y = ĐS: a/ 25 b/ 20 c/ cặp Bài 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} n số nguyên dương lớn Có cặp thứ tự (x, y), biết rằng: x ∈ A, y ∈ A, x > y n(n − 1) ĐS: Bài 12: Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số: a/ Gồm chữ số? b/ Gồm chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm chữ số? d/ Số chẵn gồm chữ số khác nhau? e/ Gồm chữ số viết không lặp lại? f/ Gồm chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? ĐS: a/ 25 b/ 20 c/ 15 d/ e/ 120 f/ 24 Bài 13: Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số: a/ Khác nhau? b/ Khác nhau, có số lớn 300? c/ Khác nhau, có số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, có số chẵn? e/ Khác nhau, có số lẻ? ĐS: a/ 100 b/ 60 c/ 36 d/ 52 e/ 48 Bài 14: a/ Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số lẻ có chữ số khác nhỏ 400? b/ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác nằm khoảng (300 , 500) ĐS: a/ 35 b/ 24 Bài 15: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin 18 học sinh chuyên toán Thành lập đoàn gồm hai người cho có học sinh chuyên toán học sinh chuyên tin Hỏi có cách lập đoàn trên? Trang 22 Trần Só Tùng Đại số 11 Bài 16: Có cách xếp người đàn ông người đàn bà ngồi ghế dài cho người phái phải ngồi gần Bài 17: Có cách xếp viên bi đỏ viên bi đen xếp thành dãy cho hai viên bi màu không gần II Hoán vò Giai thừa: n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = n! = (n–1)!n n! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) p! n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) (n − p)! Hoán vò (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vò n phần tử Số hoán vò n phần tử là: Pn = n! Hoán vò lặp: Cho k phần tử khác nhau: a 1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử gồm n phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo thứ tự gọi hoán vò lặp cấp n kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử Số hoán vò lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử là: n! Pn(n1, n2, …, nk) = n1 ! n2 ! nk ! Hoán vò vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hoán vò vòng quanh n phần tử Số hoán vò vòng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:  6! (m + 1)! m.(m − 1)!   − A= (m − 2)(m − 3)  (m + 1)(m − 4) (m − 5)!5! 12.(m − 4)!3!  B= 7!4!  8! 9!  −  ÷ 10!  3!5! 2!7!  ĐS: A = – 4(m–1)m; Bài 2: Chứng minh rằng: a) Pn – Pn–1 = (n–1)Pn–1 (với m ≥ 5) 5! (m + 1)! m(m + 1) (m − 1)!3! B= ; C = 20 C= b) Pn = (n − 1)Pn−1 + (n − 2)Pn−2 + + P2 + P1 + 1 1 n2 1 + + + + < d) = + 1! 2! 3! n! n! (n − 1)! (n − 2)! x !− ( x − 1)! = Bài 3: Giải phương trình: ( x + 1)! ĐS: x = 2; x = c) + Trang 23 Đại số 11 Trần Só Tùng Bài 4: Giải bất phương trình: (n − 1)n ≤5 Bài 5: Giải phương trình: ĐS: (1) ⇔ a) P2.x2 – P3.x =   (n + 1)! n.(n − 1)! −  ÷≤ n −  n + (n − 3)!4! 12(n − 3).(n − 4)!2!  (1) ⇒ n = 4, n = 5, n = b) Px − Px −1 Px +1 = ĐS: a) x = –1; x = b) x = 2; x = Bài 6: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có số: a) Bắt đầu chữ số 5? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 23? d) Không bắt đầu 345? ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Bài 7: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1, 3, 5, 7, Hỏi số có số: a/ Bắt đầu chữ số 9? b/ Không bắt đầu chữ số 1? c/ Bắt đầu 19? d/ Không bắt đầu 135? ĐS: a/ 24 b/ 96 c/ d/ 118 Bài 8: Với hoán vò số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta số tự nhiên Tìm tổng tất số tự nhiên có từ hoán vò phần tử trên? ĐS: Với i, j ∈ { 1,2,3,4,5,6,7} , số số mà chữ số j hàng thứ i 6! ⇒ Tổng tất số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).106 = 6! (1+2+…+7).(1+10+…+106) Bài 9: Tìm tổng S tất số tự nhiên, số tạo thành hoán vò chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ĐS: 279999720 Bài 10: Trên kệ sách có sách Toán, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo môn? c) Theo môn sách Toán nằm giữa? ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Bài 11: Có học sinh nam A1, A2, A3, A4, A5 học sinh nữ B1, B2, B3 xếp ngồi xung quanh bàn tròn Hỏi có cách xếp nếu: a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau? ĐS: a) Q8 = 7! b) Q7 = 6! c) Có 4!5.4.3 cách xếp Bài 12: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? 8! − ĐS: 3! 3! Bài 13: Có số tự nhiên có chữ số khác khác biết tổng chữ số ĐS: 18 Bài 14: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số không đứng cạnh nhau? Trang 24 Trần Só Tùng Đại số 11 ĐS: 480 Bài 15: Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho: a/ Bạn C ngồi giữa? b/ Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế? ĐS: a/ 24 b/ 12 Bài 16: Một hội nghò bàn tròn có phái đoàn nước: Mỹ người, Nga người, Anh người, Pháp người, Đức người Hỏi có cách xếp cho thành viên cho người quốc tòch ngồi gần nhau? ĐS: 143327232000 Bài 17: Sắp xếp 10 người vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a/ Có người nhóm muốn ngồi kề nhau? b/ Có người nhóm không muốn ngồi kề nhau? ĐS: a/ 86400 b/ 2903040 Bài 18: Sắp xếp nam sinh nữ sinh vào dãy ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau? ĐS: a/ 34560 b/ 120960 Bài 19: Có cách xếp 12 học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết phải có em đònh trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400 Bài 20: Có đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi phát cho 10 học sinh khối 11 10 học sinh khối 12 Có cách xếp 20 học sinh vào phòng thi có dãy ghế cho hai em ngồi cạnh có đề khác nhau, em ngồi nối đuôi có đề? ĐS: 26336378880000 Bài 21: Có viên bi đen (khác nhau), viên bi đỏ (khác nhau), viên bi vàng (khác nhau), viên bi xanh (khác nhau) Hỏi có cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh nhau? ĐS: 298598400 Bài 22: Trên giá sách có 30 tập sách Có thể xếp theo cách khác để có: a/ Tập tập đứng cạnh nhau? b/ Tập tập không đứng cạnh nhau? ĐS: a/ 2.29! b/ 28.29! Bài 23: Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt lần? ĐS: 3360 Bài 24: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần ĐS: 5880 Bài 25: Xét số gồm chữ số, có chữ số chữ số lại 2, 3, 4, Hỏi có số nếu: a/ chữ số xếp kề nhau? b/ Các chữ số xếp tuỳ ý? ĐS: a/ 120 b/ 3024 Trang 25 Đại số 11 Trần Só Tùng III Chỉnh hợp Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 ≤ k ≤ n) theo thứ tự đóđược gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! Ank = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) = (n − k )! • Công thức cho trường hợp k = k = n • Khi k = n Ann = Pn = n! Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự đònh gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Ank = n k Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: A52 A10 + A= P2 7P5 C= 12 11 A49 + A49 10 A49 B = P1 A21 + P2 A32 + P3 A43 + P4 A54 − P1P2 P3 P4 − 10 A17 + A17 A17  P5 P4 P3 P2  A D =  + + + ÷ ÷ A A A A  5 5 C = 1440; D = 42 ĐS: A = 46; B = 2750; Bài 2: Chứng minh rằng: 1 n −1 a/ + + + = n , với n ∈ N , n ≥ A A A b/ Ank = n Ank−1 + k Ank−−11 c/ Ann++k2 + Ann++k1 = k Ann+ k Bài 3: Giải phương trình sau: a) An3 = 20n ĐS: a) n = Bài 4: Tìm n ∈ N cho: Pn+2 = 210 a) n−4 An −1 P3 ĐS: a) n = Bài 5: Giải phương trình: b) An3 + An2 = 2(n + 15) b) n = b) 2( An3 + An2 ) = Pn+1 b) n = Trang 26 c) An2 − A22n + 42 = c) n = c) Pn + An2 − Pn An2 = 12 c) n = 2; Trần Só Tùng Đại số 11 a/ A10 x + Ax = Ax c/ Ax2 + 50 = b/ Px Ax2 + 72 = 6( Ax2 + Px ) A22x d/ ĐS: a/ x = 11 b/ x = 3; Bài 6: Giải bất phương trình: An4+ 15 a) < (n + 2)! (n − 1)! ĐS: Axy++11.Px − y Px −1 d/ x = 8, y ≤ 7, y ∈ N c/ x = An4+2 b) a) n = 3; 4; = 72 Pn+2 − 143 chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp • Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k ≤ n): Cnk + Không thứ tự, không hoàn lại: + Có thứ tự, không hoàn lại: Ank + Có thứ tự, có hoàn lại: Ank Dạng 1: Tính giá trò biểu thức tổ hợp + C74 + C73 − C84 A32 23 13 + C − C − C Bài 1: Tính: A = 25 B= 15 10 6 P2 + C10 + C10 − C11 ĐS: A = – 165, B=4 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: Trang 30 Trần Só Tùng S= Đại số 11 Cnn C2nn C3nn Q = Cn + Cn2 Cn1 P= + + k (3n)! Cnk Cnk −1 + + n Pn +2 Ank Pn−k + 10 C15 + 2C15 + C15 10 C17 Cnn Cnn−1 n(n + 1) (n !) Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài 1: Chứng minh hệ thức sau: n k p−k p k a) Cn Cn −k = Cn C p (k ≤ p ≤ n) b) Cnr = Cnr −−11 r Bài 2: Chứng minh hệ thức sau: ĐS: S= P = (n+1)(n+2) + a) Cnm +1 + Cnm−1 + 2Cnm = Cnm++21 Q= b) Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk −2 + Cnk −3 = Cnk+3 (3 ≤ k ≤ n) ĐS: Sử dụng tính chất: Cnk −1 + Cnk = Cnk+1 Bài 3: Chứng minh hệ thức sau: a) Cnk + 4Cnk −1 + 6Cnk −2 + 4Cnk −3 + Cnk −4 = Cn+ k n + p−1 C p n Bài 4: Chứng minh hệ thức sau: (4 ≤ k ≤ n) p b) Cn+1 = c) k (k − 1)Cnk = n(n − 1)Cnk−−22 ( < k < n) p p −1 p p a) Cr Cq + Cr Cq + + Cr Cq = Cr + q b) (Cn0 )2 + (C1n )2 + + (Cnn )2 = C2nn 2p p −1 p −1 c) C2 p + C2 p + C2 p + + C2 p = C2 p + C2 p + + C2 p = c d) − Cn1 + Cn2 − Cn3 + + (−1) p Cnp = (−1) p Cnp−1 ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q So sánh hệ số xp vế b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n c) Sử dụng (x+y)2p (x–y)2p d) Sử dụng Cnr = Cnr −−11 + Cnr −1 , với r lẻ nhân vế với –1 Dạng : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp 1 C n < Bài 1: Chứng minh rằng: ( n ∈ N, n ≥ 1) 2n 2n 2n + (2n)! 1.3.5 (2n − 1) C n = = HD: Biến đổi vế trái: 2n 2n 2n 2.4.6 (2n) 2 n! n! 1.3.5 (2n − 1) < Vậy ta phải chứng minh: 2.4.6 (2n) 2n + 2k − ( 2k − 1)2 ( 2k − 1)2 2k − = < = Ta có: 2k 2k + 4k 4k − Cho k từ 1, 2, …, n Rồi nhân BĐT vế theo vế, ta đpcm n n n Bài 2: Chứng minh rằng: C2 n+ k C2 n−k ≤ (C2 n ) HD: • Đặt uk = C2nn +k C2nn −k (k = 0;1;…;n) Ta chứng minh: uk > uk+1 (*) Trang 31 (với k, n ∈ N, ≤ k ≤ n) Đại số 11 Trần Só Tùng Thật vậy, (*) ⇔ C2nn +k C2nn −k > C2nn +k +1.C2nn −k −1 ⇔ n + 2nk > Điều luôn ⇒ đpcm Dạng 4: Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ biểu thức tổ hợp Cnk −1 < Cnk Bài 1: a) Chứng minh: b) Chứng minh: Cnk −1 < Cnk m với n = 2m, k ≤ m Từ suy Cn lớn với n = 2m + 1, k ≤ m Từ suy Cnm ; Cnm +1 lớn HD: a) Theo tính chất: Với k ≤ m ⇒ 2k ≤ n ⇒ Cnk Cnk n +1 n − k + k −1 −1 = Cn ⇒ k −1 = k k Cn n +1 − > ⇒ Cnk > Cnk −1 k Vì Cnk = Cnn −k nên Cnk lớn b) Tương tự p Bài 2: Cho n > 2, p ∈ [1; n] Tìm giá trò lớn giá trò nhỏ Cn HD: Vì Cnp = Cnn − p nên ta chi cần xét ≤ p ≤ Ta có: Vậy Cnp > Cnp −1 ⇔ Cnp Cnp−1 = n n − p +1 n +1 >1 ⇔ p< p Cnp nhỏ p = p = n – 1, ứng với Cn1 = Cnn−1 = n Cnp lớn p = n −1 n (nếu n lẻ) p = (nếu n chẵn) 2 p Bài 3: Với giá trò p Cn lớn HD: Ta có: Cmp Cmp−1 = m − p +1 m +1 = − Tỉ số giảm p tăng p p m − p +1 m +1 ≥ , đó: p ≤ p • Nếu m chẵn: m = 2k ⇒ p ≤ k + Để Cmp > Cmp−1 ta phải có: p ≤ k + , p, k ∈ N nên chọn p = k • Nếu m lẻ: m = 2k + ⇒ p ≤ k + 1, ta có: Cmp (2k + 1)! = p = k + ⇒ Cmp = C2kk++11 = p −1 (k + 1)! k ! Cm • Cmp > Cmp−1 ⇔ * Áp dụng toán ta giải nhiều toán khác Ví dụ: Có 25 học sinh Muốn lập thành nhóm gồm p học sinh Tìm giá trò p để số cách chia nhóm lớn nhất? Tìm số cách chia nhóm p * Vì có 25 học sinh, chọn p em nên số nhóm lập C25 p Theo trên, ta có m = 25 (lẻ) với k = 12 C25 lớn p = k + = 13 Trang 32 Trần Só Tùng Đại số 11 13 Vậy p = 13, đó: số nhóm tối đa lập: C25 = 5200300 Dạng : Giải phương trình, bất phương trình có chứa tổ hợp Bài 1: Giải phương trình sau: 1 An4 24 − = = a) b) c) C xx −1 + C xx −2 + C xx −3 + + C xx −10 = 1023 x x x n −4 23 C4 C5 C6 An +1 − Cn ĐS: a) n = b) x = Bài 2: Giải phương trình sau: c) x = 10 x +4 x −10 a) C10 + x = C10+ x b) x − C4x x + C32 C31 = d) C8x++x3 = Ax3+6 e) C1x + 6C x2 + 6C x3 = x − 14 ĐS: a) x = 14 b) x = Bài 3: Giải bất phương trình: a) Cnn−−13 An4+1 < 14 P3 b) c) x = 10 Pn+5 (n − k )! c) Ax2−2 + C xx −2 = 101 d) x = 17 ≤ 60 Ank++32 e) x = c) Cn4−1 − Cn3−1 − A ⇔ n ≥ k ≤ n b)  (n + 5)(n + 4)(n − k + 1) ≤ • Xét với n ≥ 4: bpt vô nghiệm • Xét n ∈ {0,1,2,3} ta nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3) c) đk: n ≥ 5, n2 – 9n – 22 < ⇒ n = 6; 7; 8; 9; 10 Bài 4: Giải phương trình bất phương trình: a/ C xx+−12 + 2C x3−1 = 7( x − 1) c/ e/ Ax5 C xx−−25 = 336 Cn4−1 − Cn3−1 − b/ Ax3 + C xx −2 = 14 x d/ A < n −2 f/ 2x C28 x −4 C24 Cnn−−13 An4+1 < = 225 52 14 P3 A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10 x ĐS: a/ x = b/ x = c/ x = d/ x = ≤ n ≤ 10, n ∈ N x ≥ 6, n ∈ N e/ f/ g/ x = h/ x = 3, x = Bài 5: Giải hệ phương trình:  Ax C y − C y +1 =  y + C y − x = 126 y y +1 y −1 y a)  Px +1 b) C x +1 : C x : C x = : : c)  x y x y −1  4C x − 5C x =  P = 720  x +1 g/ 2C x2+1 + Ax2 < 30 h/ x = x = ĐS: a)  b)  y = y = Bài 6: Giải phương trình hệ bất phương trình:  x x Cy :Cy +2 = 2 A y + 5C y = 90  x a/  xy b/  y x x A + C = 80 C : A = x  x  y y 24 Trang 33  x = 17 c)  y =  lg(3C ) − lg C1 ≤ x x c/  x − y ≤  Đại số 11 ĐS: Trần Só Tùng a/ x = 5, y = b/ x = 4, y = c/ ≤ x ≤ 6; x , y ∈ Z + k k +1 k +2 Bài 7: Tìm số tự nhiên k cho C14 , C14 , C14 lập thành cấp số cộng ĐS: k = 4; Dạng 6: Tìm số tổ hợp toán số học Bài 1: Cho 10 câu hỏi, có câu lý thuyết tập Người ta cấu tạo thành đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, thiết phải có câu lý thuyết tập Hỏi tạo đề thi? ĐS: • Đề gồm câu lý thuyết tập: C42 C61 = 36 • Đề gồm câu lý thuyết tập: C41 C62 = 60 Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh, gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có cách chọn, nếu: a) Gồm học sinh tuỳ ý b) Có nam nữ c) Có nam nữ d) Có nam e) Có nam nữ ĐS: a) C40 C15 b) C25 2 C15 c) C25 2 C15 + C25 C15 + C25 C15 + C25 d) C25 4 − C25 − C15 e) C40 Bài 3: Cho điểm mặt phẳng điểm thẳng hàng Hỏi có vectơ tạo thành từ điểm ấy? Có đoạn thẳng tạo thành từ điểm ấy? ĐS: 20 ; 10 Bài 4: Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn Một bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm vậy? ĐS: 1200 Bài 5: Một túi chứa viên bi trắng viên bi xanh Lấy viên bi từ túi đó, có cách lấy được: a/ viên bi màu? b/ viên bi trắng, viên bi xanh? ĐS: a/ 20 b/ 150 Bài 6: Từ 20 người, chọn đoàn đại biểu gồm trưởng đoàn, phó đoàn, thư ký ủy viên Hỏi có cách chọn? ĐS: 4651200 Bài 7: Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem đôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hóa gồm bông, hỏi có cách chọn bó hoa đó: a/ Có hồng đỏ? b/ Có hồng vàng hồng đỏ? ĐS: a/ 112 b/ 150 Bài 8: Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần ĐS: 544320 (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999) Bài 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập số: a/ Chẵn gồm chữ số khác đôi chữ số đứng đầu chữ số 2? b/ Gồm chữ số khác đôi cho chữ số có chữ số chẵn chữ số lẻ? Trang 34 Trần Só Tùng Đại số 11 ĐS: a/ 360 b/ 2448 (ĐH Cần Thơ, 2001) Bài 10: a/ Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số phải khác 0), có mặt chữ số chữ số 1) b/ Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt không lần ĐS: a/ 33600 b/ 11340 (ĐH QG, Tp.HCM, 2001) Bài 11: Người ta viết số có chữ số chữ số 1, 2, 3, 4, sau: Trong số viết có chữ số xuất hai lần chữ số lại xuất lần Hỏi có số vậy? ĐS: 1800 (ĐH Sư phạm Vinh, 1998) Bài 12: Từ tập thể 14 người gồm năm nữ có An Bình, người ta muốn chọn tổ công tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau: a/ Trong tổ phải có nam lẫn nữ? b/ Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An Bình không đồng thời có mặt tổ? ĐS: a/ 2974 b/ 15048 (ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001) Bài 13: Một đoàn tàu có toa chở khác Toa I, II, III Trên sân ga có khách chuẩn bò tàu Biết toa có chỗ trống Hỏi: a/ Có cách xếp cho vò khách lên toa b/ Có cách xếp cho vò khách lên tàu có toa có vò khách nói ĐS: a/ 99 b/ 24 (ĐH Luật Hà Nội, 1999) Bài 14: Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành hai tổ, tổ học sinh cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai học sinh ĐS: 3780 (HVKT Quân sự, 2001) Dạng 7: Tìm số tổ hợp toán hình học Bài 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt đôi một, đường đồng quy Hỏi có giao điểm? Có tam giác tạo thành? n(n − 1) Cn2 = ĐS: • Số giao điểm: n(n − 1)(n − 2) • Số tam giác: Cn3 = Bài 2: Cho 10 điểm không gian, điểm thẳng hàng a) Có đường thẳng qua cặp điểm? b) Có vectơ nối cặp điểm? c) Có tam giác có đỉnh 10 điểm trên? d) Nếu 10 điểm điểm đồng phẳng, có tứ diện tạo thành? ĐS: a) C10 b) A10 c) C10 Bài 3: Cho đa giác lồi có n cạnh (n ≥ 4) a) Tìm n để đa giác có số đường chéo số cạnh? Trang 35 d) C10 Đại số 11 Trần Só Tùng b) Giả sử đường chéo qua đỉnh không đồng qui Hãy tính số giao điểm (không phải đỉnh) đường chéo ấy? ĐS: a) Cn2 − n = n ⇔ n = b) Giao điểm đường chéo đa giác lồi (không phải đỉnh) giao điểm đường chéo tứ giác mà đỉnh đỉnh đa giác Vậy số giao điểm phải tìm số tứ giác với đỉnh thuộc n đỉnh đa giác: Cn4 Bài 4: Cho đa giác lồi có n-cạnh (n ∈, b ≥ 3) a/ Tìm số đường chéo đa giác Hãy đa giác có số cạnh số đường chéo? b/ Có tam giác có đỉnh trùng với đỉnh đa giác? c/ Có giao điểm đường chéo? n(n − 3) (n − 2)(n − 1)n n(n − 1)(n − 2)(n − 3) ; n = b/ ĐS: a/ c/ 24 Bài 5: Tìm số giao điểm tối đa của: a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 10 đường tròn phân biệt? c/ 10 đường thẳng 10 đường tròn trên? ĐS: a/ 45 b/ 90 c/ 335 Bài 6: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn (d1) (d2) ĐS: 5950 (ĐH SP Quy Nhơn, 1997) Bài 7: Cho mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có ba đỉnh lấy từ đỉnh H a/ Có tất tam giác vậy? Có tam giác có hai cạnh cạnh H? b/ Có tam giác có cạnh cạnh H? Có tam giác cạnh cạnh H? ĐS: a/ 1140; 20 b/ 320 ; 80 (HVNH, 2000, khối D) Bài 8: Có 10 điểm A, B, C, mặt phẳng điểm thẳng hàng a/ Nối chúng lại ta đường thẳng? Trong có đường không qua A hay B? b/ Có tam giác đỉnh điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB? ĐS: a/ 45; 28 b/ 120 ; 36 ; Bài 9: Có p điểm mặt phẳng có q điểm thẳng hàng, số lại điểm thẳng hàng Nối p điểm lại với Hỏi: a/ Có đường thẳng? b/ Chúng tạo tam giác? 1 p( p − 1) − q(q − 1) + 2; b/ p( p − 1)( p − 2) − q(q − 1)(q − 2) ĐS: a/ Bài 10: Cho p điểm không gian có q điểm đồng phẳng, số lại điểm đồng phẳng Dựng tất mặt phẳng chứa p điểm Hỏi: a/ Có mặt phẳng khác nhau? b/ Chúng tạo tứ diện? 3 ĐS: a/ C p − Cq + 4 b/ C p − Cq Bài 11: Cho p điểm có q điểm nằm đường tròn, điểm đồng phẳng Hỏi có bao nhiêu: a/ Đường tròn, đường qua ba điểm? Trang 36 Trần Só Tùng Đại số 11 b/ Tứ diện với đỉnh thuộc p điểm đó? 3 ĐS: a/ C p − Cq + 4 b/ C p − Cq V Nhò thức Newton Công thức khai triển nhò thức Newton: Với n∈N với cặp số a, b ta có: ( a + b )n = n ∑ Cnk an−k bk k =0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk a n−k b k ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk = Cnn −k 5) Cn0 = Cnn = , Cnk −1 + Cnk = Cnk+1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhò thức Newton, ta gán cho a b giá trò đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + + Cnn ⇒ Cn0 + Cn1 + + Cnn = n (x–1)n = Cn0 x n − Cn1 x n −1 + + (−1)n Cnn ⇒ Cn0 − Cn1 + + (−1)n Cnn = Dạng 1: Xác đònh hệ số khai triển nhò thức Newton Bài 1: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhò thức: 10   a)  x + ÷ x4   ĐS: a) 45 12   b)  x + ÷ x4   b) 495 c) –10   c)  x − ÷ x2   d) 15 Bài 2: a/ Tìm hệ số x12 y13 khai triển (2 x + 3y )25 b/ Tìm số hạng khai triển ( x − xy )15 13 ĐS: a) 313.212.C25 b) T8 = −6435 x 31.y , T9 = 6435 x 29 y Bài 3: Trong khai triển (x + y + z)n, tìm số hạng chứa xk.ym (k,m [...]... a/ c/ 2 6 24 Bài 5: Tìm số giao điểm tối đa của: a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 10 đường tròn phân biệt? c/ 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên? ĐS: a/ 45 b/ 90 c/ 335 Bài 6: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, trên (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên (d1) và (d2) ĐS: 5950 (ĐH SP Quy Nhơn, 1997) Bài... = C2nn 0 2 4 2p 1 3 2 p −1 2 p −1 c) C2 p + C2 p + C2 p + + C2 p = C2 p + C2 p + + C2 p = c d) 1 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + + (−1) p Cnp = (−1) p Cnp−1 ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q So sánh hệ số của xp ở 2 vế b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n c) Sử dụng (x+y)2p và (x–y)2p d) Sử dụng Cnr = Cnr −−11 + Cnr −1 , với r lẻ thì nhân 2 vế với –1 Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp ... biệt? c/ 10 đường thẳng 10 đường tròn trên? ĐS: a/ 45 b/ 90 c/ 335 Bài 6: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác... + Cn2 − Cn3 + + (−1) p Cnp = (−1) p Cnp−1 ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q So sánh hệ số xp vế b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n c) Sử dụng (x+y)2p (x–y)2p d) Sử dụng Cnr