THI TH I HC MễN TON 2011 Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) I PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) Cõu I (2 im) Cho hm s y = x3 x + ( C) 1.Kho sỏt s bin thiờn v v th ( C ) ca hm s 2.Tỡm m ng thng i qua hai im cc tr ca ( C ) tip xỳc vi ng trũn cú phng trỡnh ( x m) + ( y m 1) = Cõu II (2 im) + = 2(cot x + 3) cos x sin x 1 + = log x + Gii phng trỡnh log x log 2x Gii phng trỡnh Cõu III.(1 im) Cho hỡnh phng D c gii hn bi cỏc ng y = ln ( x + ) x , y = 0, x =1 v x = e Tớnh th tớch ca vt th trũn xoay c to thnh quay hỡnh phng D quanh trc 0x Cõu IV (1 im) Cho lng tr ng ABC A ' B ' C ' cú ỏy ABC l tam giỏc cõn vi AB = AC = a , gúc BAC = 1200 , cnh bờn BB ' = a Gi I l trung im ca CC ' Chng minh tam giỏc AB ' I vuụng ti A v tớnh cosin ca gúc gia hai mt phng ( ABC ) v ( AB ' I ) Cõu V.(1 im) Cho x, y l cỏc s thc tha x + y xy = Tỡm GTLN, GTNN ca F = x + y x y xy II PHN RIấNG CHO CC TH SINH (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt hai phn 1.Phn dnh cho thớ sinh theo chng trỡnh chun Cõu VI.a (2 im) Trong mt phng vi h to Oxy , tỡm to cỏc nh ca tam giỏc ABC vuụng cõn, bit nh C ( 3; 1) v phng trỡnh ca cnh huyn l x y + 10 = x y = 2.Cho mt phng (P): x y + z = v cỏc ng thng: d1 : d2 : x = y = z +5 = z , Tỡm cỏc im A d1 , B d cho AB // (P) v AB cỏch (P) mt khong bng Cõu VII.a (1 im) Tìm hệ số số hạng chứa x2 khai triển nhị thức Niutơn n n số x + ữ biết x Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + L + ( n 1) Cnn + nCnn = 64n 2.Phn dnh cho thớ sinh theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b (2 im) nguyên dơng thỏa mãn: Trong mt phng vi h to Oxy , cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú din tớch bng Bit A(0;0), B(-1;2) v giao im I ca hai ng chộo nm trờn ng thng y = x-1 Tỡm ta nh C v D x y z = = 2.Cho hai ng thng d1 v d2 ln lt cú phng trỡnh: d1 : x y z d2 : = = , Vit phng trỡnh mt phng cỏch u hai ng thng d1 v d2 n Cõu VII.b (1 im) Tỡm h s ca x 20 khai trin ca biu thc ( + x ) bit rng: x Cn 1 n n = C1 Cn n + Cn + + ( 1) n +1 13 Ht - Cỏn b xem thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: S bỏo danh P N VN TT V HNG DN CHM MễN TON PHN CHUNG Cõu I + Tp xỏc nh D = R x = + S bin thiờn y ' = 3x x = x = Hm ng bin trờn cỏc khong ( ;0 ) v ( 2; + ) 0,25 Hm s nghch bin trờn ( 0; ) + Gii hn lim y = ; lim y = +; x 0,25 x + Cc tr: Hm s t cc i ti x = v yc = Hm s t cc tiu ti x = v yct = -2 im un (1;0) Bng bin thiờn (0,25) + x y + 0 + + y -1 -5 0,5 -2 th (0,25) Phng trỡnh ng thng i qua hai im cc tr : x + y = Tõm ca ng trũn I (m, m + 1) , bỏn kớnh R= -2 -4 0,25 0,25 Theo gi thit ta cú 2m + m + iu kin sin x x ( ) k m=2 = 3m = m = 0,5 0,25 + tan x + = cot x sin x 2 2(sin x + cos x ) 2 3tan x + = cotg x 3tan x + tan x = sin x cos x Ta cú tanx = x = Cõu II Gii phng trỡnh tanx = + k log x iu kin x > 2, x + log 2x = log x= 0,5 0,25 + k x +1 0,25 (1) log (x 2) + log (2x 1) log = log (x + 1) x = ( x ) ( x 1) = ( x + 1) x x = 0,5 x = i chiu iu kin ta cú x = u = ln ( x + ) du = dx ln ( x + ) x+2 V = dx Gi V l th tich cn tỡm t 1 x dv = x dx v=11 x e dx 1 1 e = ln + ữln ( e + ) + ln x Suy V= + ữln ( x + ) + 2x 2 x e 0,25 0,5 Cõu III e 0,5 1 = [ ln + + ữln ( e + ) ] 2 e Cõu IV Ta cú BC = a p dng nh lớ Pitago tam giỏc vuụng ACI, ABB, BCI Suy AI = 0.25 13 a, AB ' = 2a, B ' I = a 2 Do ú AI + AB '2 = B ' I Vy tam giỏc ABI vuụng ti A 0,25 10 AI AB ' = a S ABC = a 4 Gi l gúc gia hai mp Tam giỏc ABC l hỡnh chiu vuụng gúc ca tam giỏc ABI suy A' + S A ' BI = S A ' BI cos = S ABC C' B' 10 cos = cos = 10 4 A 0,5 I C B Hc sinh tớnh c din tich tam giỏc (0,25 ) Tớnh cosin oc 0,25 Nu hc sinh gii bng phng phỏp to ỳng cho im tng ng Cho x, y l cỏc s thc tha x + y xy = Tỡm GTLN, GTNN ca F = x + y x y xy ( Ta cú F = x + y ) x y ( x + y ) x y xy = ( xy ) ( xy ) + xy + 3 t xy = t Ta cú f ( t ) = 2t 2t + 2t + x + y xy = ( x + y ) Cõu V 2 0,25 xy = xy x + y xy = ( x y ) + xy = xy suy t ;1 t = 3;1 ;1 f ' t = t t + f ' t = Ta tỡm max, ca f(t) trờn ( ) ( ) t = 37 , f ( 1) = 1, f ữ = Ta cú f ữ = 27 27 0,25 0,25 1 1 37 + ,y= t = suy x = 6 27 Minf (t ) = t = suy x = y = Suy Max f (t ) = 0,25 1.Phn dnh cho thớ sinh theo chng trỡnh chun Cõu Va Ta cú tam giỏc ABC cuụng cõn ti C Goi H l trung im ca AB suy CH : x + y = x + 3y = x = To ca H l nghip ca h x y + 10 = y =1 C A H 0,25 B gi s A(t;3t+10) ta cú t = 2 AH = CH ( t + 3) + ( 3t + ) = 40 t = Vi t = -1 Suy A(1;7), B(5; 5) Vi t = -5 Suy B (1;7), A(5; 5) 0,25 0,25 0,25 A d A(2t1 + 1, t1 + 3, 2t1 ) B d B (3t2 + 5, 4t2 , 2t2 5) uuur AB = (3t2 2t1 + 4, 4t2 t1 3, 2t2 + 2t1 5) uuur uur AB.n p = 2(3t2 2t1 + 4) 4t2 + t1 + + 2(2t2 + 2t1 5) = 6t2 + t1 + = AB / /( P) d( A /( P )) = 0,25 t1 = 4t1 + t1 4t1 t1 + = =1 3 t1 = 0,25 11 A(9; 2;10), B 7; ; ữ 3 17 t1 = t2 = A(3; 4; 2), B 4; ; ữ 3 0,25 Vi t1 = t = 0,25 Xột khai trin ( + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n1 + Cnn x n n ly o hm hai v ta cú n ( + x ) n 0,25 = Cn1 + 2Cn2 x + + ( n 1) Cnn x n + nCnn x n 1 n n n Thay x=1 suy Cn + 2Cn + 3Cn + L + ( n 1) Cn + nCn = n Cõu VIIa Cõu VIb 7 k x + = ữ C7 x k =0 ( ) k x ữ x 7k k k =2k =2 s hng cha x cú h s l C7 k vi k tho 2 21 Suy h s cha x l C7 = 4 7k 0,25 0,25 2.Phn dnh cho thớ sinh theo chng trỡnh nõng Acao phng trỡnh ng thng AB: 2x+y=0 gi h l khong cỏch t I ti AB AB = S ABCD = S ABI S ABI = 0,25 64n = 2n 64 = 2n n = AB.h = h = B 0,25 I D C Gi to dim I l I ( x0 , y0 ) ta cú h x0 + y0 x = 1, y0 = = x0 + y0 = 5 y0 = x0 y = x x0 = , y0 = 0 Do I l trung im AC v BD nờn Vi I(1;0) suy C(2;0) v D(3;-2) 0,25 0,25 Vi I( 14 ; ữ v D ; ; ) suy C ữ 3 3 3 14 ; ữ v D ; Vy cú hai cp C, D tho C(2;0) v D(3;-2) hoc C ữ 3 3 0,25 Do mt phng (P) cỏch u d1 , d nờn (P) song song vi d1 , d uur uuu r ud , ud = ( 7; 2; ) 0,25 u d = ( 2;1;3) , u d = ( 2;1;4) , uur uur uuu r chn n p = ud , ud = ( 7; 2; ) Suy phng trỡnh mt phng (P) cú dng x y z + d = Do (P) cỏch u d1 , d suy khong cỏch t (2;2;3) ( d1 ) v ( 1; 2;1) d bng 0,5 7.2 2.2 4.3 + d 7.1 2.2 4.1 + d = d = d d = Ta cú 69 69 0,25 Ta cú phng trỡnh mt phng (P) 14 x y z + = Ta cú (1 x) n = Cn0 C1n x + Cn2 x + (1) n Cnn x n n Vỡ (1 x) dx = Cõu VIIb 1 n +1 (Cn Cn x + Cn x 2 0,25 1 1 + (1) n Cnn x n )dx = Cn0 C1n + Cn2 + + (1) n Cnn = 0,25 n +1 13 suy n + = 13 n = 12 ( n +x ) =( 12 +x ) = 12 12k k C12 ( ) ( x5 ) k x x x k =0 S hng ng vi tho món: 8k 36 = 20 k = 7 H s ca x 20 l: C12 = 25344 = 12 C12k 212k.x8k 36 0,25 k =0 0,25 ... - Cán xem thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh ĐÁP ÁN VẮN TẮT VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN PHẦN CHUNG Câu I 2đ + Tập xác định D = R x = + Sự biến thi n y ' = 3x... Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = ycđ = Hàm số đạt cực tiểu x = yct = -2 Điểm uốn (1;0) Bảng biến thi n (0,25) +∞ x −∞ y’ + 0 + +∞ y -1 -5 −∞ 0,5 -2 Đồ thị (0,25) Phương trình đường thẳng qua hai... hai điểm cực trị ∆ : x + y − = Tâm đường tròn I (m, m + 1) , bán kính R= -2 -4 0,25 0,25 Theo giả thi t ta có 2m + m + − Điều kiện sin x ≠ ⇔ x ≠ ( ) kπ m=2 = ⇔ 3m − = ⇔ m = −4 0,5 0,25