Đang tải... (xem toàn văn)
Nội Dung Chính: Một số ví dụ dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính. Dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính. Phân loại các dạng bài toán quy hoạch tuyến tính. Cách chuyển đổi dạng bài toán trong quy hoạch tuyến tính.
TI U HểA & QUY HOCH TUYN TNH GVHD: Trn i Nguyờn ti: PHN LOI V CHUYN I DNG BI TON TRONG QUY HOCH TUYN TNH Ni Dung Chớnh: Mt s vớ d dn n bi toỏn quy hoch tuyn tớnh Dng tng quỏt ca bi toỏn quy hoch tuyn tớnh Phõn loi cỏc dng bi toỏn quy hoch tuyn tớnh Cỏch chuyn i dng bi toỏn quy hoch tuyn tớnh I Mt s vớ d: Bi toỏn ti: Cú m im sn xut cựng loi sn phm a v n im tiờu th b Cho rng n v thi gian lng cung v cu bng m n ồa i =1 i =ồ b j j =1 xij 0, cij lng sn phm v chi phớ chuyn t im i n j *Tỡm phng ỏn chuyn cho chi phớ chuyờn ch l nh nht xij m n Z =ồ cij xij đ i =1 j =1 Bi toỏn phõn phi k hoch sn xut Cú n xớ nghip sn xut m loi chi tit Gi : ai: s chi tit loi i b j: qu thi gian ginh cho sn xut xớ nghip j xij:s chi tit loi i ca xớ nghip j :chi phớ cho chi tit i xớ nghip j cij : thi gian sn xut chi tit loi i xớ nghip j l ij Tỡm , cho hon thnh lng qu thi (i =1 ávi m, jchi =1 áphớ n) ớt nht, ngha l: ij phộp gian x cho Tỡm xij (i =1 m, j =1 n) cho hon thnh lng qu thi gian cho phộp vi chi phớ ớt nht, ngha l: Hm mc tiờu m n i =1 j =1 Z =ồ cij xij đ Cỏc iu kin rng buc : n ồx i =1 ij m =ai : i =1 áÊ m; l ij j =1 b j ; xij Vớ d thc tin: : Mt xớ nghip sn xut giy hin cú s lng bt g v h keo tng ng l 5580 m3 v tn Cỏc yu t sn xut khỏc cú s lng ln Xớ nghip cú th sn xut loi giy A,B,C Bit mc tiờu hao cỏc loi nguyờn liu sn xut tn giy cho bng sau: Nguyờn liu Bt g (m3) Cht h keo (kg) A 1,5 Sn phm B 1,8 C 1,6 2,4 Ngoi gi s rng sn xut u tiờu th c vi li nhun sn xut tn giy A,B,C tng ng l 2,7; 3,6; ( triu ng) Yờu cu lp k hoch sn xut ti u *Gi x1,x2,x3 tng ng l s tn giy A,B,C cn phi sn xut *Mụ hỡnh: f =2, x1 + 3, x2 + x3 đ max *Vi h rng buục: ỡ 1, x +1,8 x +1, x Ê 5580 ù ù x1 + x2 + 2, x3 Ê 9000 ù ùợ x j 0, j =1, Bi toỏn xỏc nh khu phn thc n Cht dinh dng S lng ti thiu T1 T2 Tn D1 b1 a11 a12 a1n D2 b2 a21 a22 a2n am1 am2 amn c1 c1 cn Dm bm Giỏ mua Thc n Trong ú: * m l s cỏc cht dinh dng, n l s loi thc n * aij l hm lng cht dinh dng D cú n v thc n i i=1,2 , m; j=1,2 ,n * b l s lng cht dinh dng D ti thiu cn thit, i i i=1,2 ,m * l giỏ mua n v thc n Tj, j=1,2,,n cij 10 Tj nh lý c bn ca quy hoch tuyn tớnh nh lý: Phng ỏn ti u ca quy hoch tuyn tớnh cha mt s bin dng ỳng bng s rng buc dng ng thc c lp c tha món, cỏc bin cũn li cú giỏ tr bng khụng Thớ d: x =[ x1 , x2 , , x5 ] Cỏc rng buc: T đ n =5 ỡ a11 x1 + + a15 x5 =b1 ùù ù ùợ a31 x1 + + a 35 x5 =b3 x* =[ *, 0, 0,*,*] Do ú cỏc nghim ti u cú bin khỏc khụng Chỳ ý : QHTT, mc mc tiờu t c phi luụn o c 30 T VI C S PHNG PHP N HèNH (SIMPLEX METHOD) Phng phỏp ny nh toỏn hc M G.B Dantzig a nm 1948 Ni dung : tỡm nh ti u ca a din cỏc nghim cho phộp bng phng phỏp ln lt th cỏc nh ca a din vic th khụng phi mũ mm, ngi ta a thut toỏn i t nghim xu hn ti nghim tt hn tc l i dn ti nghim ti u 31 Ni dung phng phỏp n hỡnh Gi s cú m rng buc c lp c cho dng chớnh tc: A.x =b (1) 1.1 Chn bin c s : u tiờn ta chn mt im tựy ý ca a din cỏc nghim cho phộp ú l n s ( x1 , x,2 , , n ) lý c bn ca quy theo xnh hoch tuyn tớnh thỡ cú m s dng cũn nhng s khỏc bng khụng; gi cỏc bin dng ca im xut phỏt l bin c s : ( x1 , x2 , , xm , 0, , 0) 32 1.2 Tỡm nghim xut phỏt ( nghim th th ) : Thay cỏc bin c s vo cỏc rng buc (1) c m phng trỡnh cha m n : a x + a x + + a x =b ; r1 r2 rm m r ỡ a11 x1 + + a1m xm =b1 ùù ù ùợ am1 x1 + + a mm xm =bm T ú tỡm c nghim xut phỏt (hay nghim th th 1) ( ) (0) (0) (0) x ; x ; ; x Giỏ tr tng ng ca hm mcm tiờu: (0) 1 Z =c x 33 + + cm xm (0) 1.3 Chn nghim th th hai : 1.3.1 Th thờm vo bin xm+1 lỳc ny rng buc cú dng : ỡù ar1 x1 + ar x2 + + arm xm + ar ,m +1 xm +1 =br (3) ùợ r =1, 2, , m H (3) gm m phng trỡnh vi m+1 bin, (3) cú nghim n tr cỏc phng trỡnh to thnh h ph thuc, ú ct cui cựng ph thuc tuyn tớnh vo cỏc ct cũn li vi h s yi ar ,m +1 = y1ar1 + + ym arm H (4) cú nghim nht l: 34 y1(0) , y2(0) , , ym (0) (4) 1.3.2 Ly cỏc s hng tng ng ca phng trỡnh (3) tr i bi s ca (4) kớ hiu bi s ú l : l > ỡù ar1 ( x1 - l y1 ) + ar ( x2 - l y2 ) + + arm ( xm - l ym ) + a r ,m +1 l =br (5) ùợ r =1, 2, , m H (5) l bin th ca h (4) ch cú n l khỏc 35 1.3.3 Chn nghim th th hai cho (5) l : (0) (x (0) (0) (0) (0) (0) - l y ),( x2 - l y2 ), ,( xm - l ym ), l (6) Vỡ cú m+1 bin ú mt cỏc bin phi nhn giỏ tr khụng Ngoi cỏc bin cũn li xm+2, ,xn cng phi bng khụng Mun bit bin no (6) bng khụng, ta phi: Tớnh giỏ tr ca hm mc tiờu vi nghim th nht v nghim th hai: (0) 1 Z =c x (0) + c2 x2 + + cm xm (0) Z1 =c1 ( x1(0) - l y1(0) ) + c2 ( x2(0) - l y2(0) ) + + cm ( xm(0) - l ym(0) ) + cm +1 l 36 S gia : DZ1 =Z1 - Z (0) (0) (0) ự DZ1 =l ộ c ( c y + c y + + c y ) ỷ=l [ cm +1 - gm+1] 1 2 m m m +1 (0) (0) (0) gm+1 =c1 y1 + c2 y2 + + cm ym [ cm +1 - gm +1] c gi l hiu sut Cú ba trng hp xy : * nghim xut phỏt v nghim mi tt nh Suy cú hai Z1 =0xỳc gia a din cho phộp v mt cựng mc tiờu nhDtip * nghim mi xu hn nghim xut phỏt * DZ1 < nghim mi tt hn nghim xut phỏt DZ1 > 37 ** Khi ó chn c nghim mi bng hoc tt hn ta a nú vo c s v cn phi loi b bt mt nghim bin xut phỏt (theo nh lý c bn, ch cú m nghim dng) Gi thit ó a bin mi th (m+1) vo c s, ú cú th vit cỏc bin mi ca phng ỏn theo (6) Mt bin th i no ú phi tha phng trỡnh : (0) x xi (0) - l yi (0) =0; l = i (0) yi Cũn i vi cỏc bin i # j thỡ : x (0) - l y (0) > j j T ú suy phi loi tr bin no ng vi l > v nh nht : xi (0) < l =min (0) yi 38 1.3.4 Thc hin liờn tc cỏc thut toỏn trờn: a vo cỏc bin cha dựng m+2, m+3., tớnh DZ , DZ3 , Cho n th ht cỏc bin c s DZ1 =l [ cm +1 - gm +1] DZ =l [ cm +2 - gm +2 ] DZ i =l [ cm +i - gm +i ] mi bc cn tớnh hiu sut c - g kim tra v rỳt DZ i ( m +i m +i ) kt lun trng ng Sau (n-m) ln lp, ta chn c nghim ti u 39 Mt s bi vớ d: Bt1: a bi toỏn QHTT sau õy v dng chớnh tc: f =2 x1 + x2 + x3 đ max ỡ x1 + x2 + x3 Ê 16 (1) ù ùù x1 + x2 + 3x3 =12 (2) (3) ù x1 + x2 + x3 15 ù ùợ x j 0, j =1, 2,3 40 - Cng thờm bin ph x4 vo v trỏi ca (1) - Tr i bin ph x5 vo v trỏi ca (3) Ta c bi toỏn QHTT dng chớnh tc nh sau: f =2 x1 + x2 + x3 đ max ỡ x1 + x2 + x3 + x4 =16 ù ùù x1 + x2 + x3 =12 ù x1 + x2 + x3 - x5 =15 ù ùợ x j 0, j =1, 2, 41 *Bt2: a bi toỏn QHTT sau v dng chớnh tc: f =8 x1 + x2 + x3 đ ỡ x1 + x2 + x3 =2 ùù x1 + x2 + x3 =5 ù ùợ x1 Ê 0, x2 tựy x3 42 *t x4=-x1, x2= x5-x6 vi x4,x5,x6 *Ta cú dng chớnh tc ca bi toỏn: f =- x4 + 7( x5 - x6 ) + x3 đ ỡ - x4 + 2( x5 - x6 ) + x3 =2 ùù - x4 + ( x5 - x6 ) + x3 =5 ù ùợ x j 0, j =3, 4, 5, 43 ... x4=-x1, x2= x5-x6 vi x4,x5,x6 *Ta cú dng chớnh tc ca bi toỏn: f =- x4 + 7( x5 - x6 ) + x3 đ ỡ - x4 + 2( x5 - x6 ) + x3 =2 ùù - x4 + ( x5 - x6 ) + x3 =5 ù ùợ x j 0, j =3, 4, 5, 43 ... (0) Z1 =c1 ( x1(0) - l y1(0) ) + c2 ( x2(0) - l y2(0) ) + + cm ( xm(0) - l ym(0) ) + cm +1 l 36 S gia : DZ1 =Z1 - Z (0) (0) (0) ự DZ1 =l ộ c ( c y + c y + + c y ) ỷ=l [ cm +1 - gm+1] 1 2 m m m... cỏc bin c s DZ1 =l [ cm +1 - gm +1] DZ =l [ cm +2 - gm +2 ] DZ i =l [ cm +i - gm +i ] mi bc cn tớnh hiu sut c - g kim tra v rỳt DZ i ( m +i m +i ) kt lun trng ng Sau (n-m) ln lp, ta chn c nghim