SKKN BD HSG toan 8

SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** Phần mở đầu I Lý chọn đề tài: - Trong trình giảng dạy môn Toán thấy việc nhận thức đẳng thức đáng nhớ học sinh đơn đẳng thức mà cha khai thác cách triệt để ứng dụng đẳng thức dạy Toán học Toán - Trong tiết dạy phân tích đa thức thành nhân tử có toán phân tích đa thức a3 + b3 + c3 3abc thành nhân tử Sau phân tích ta đợc kết a3 + b3 + c3 3abc = (a + b + c)[(a b) + (b c)2 + (a c2)] = a + b + c = (*) a = b = c Từ nhận xét (*) ta áp dụng vào giải dạng Toán học sinh lớp THCS Đặc biệt học sinh giỏi, học sinh khiếu toán Những dạng toán là: Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Dạng 3: Giải phơng trình, hệ phơng trình Dạng 4: Chứng minh đẳng thức II Cơ sở lý luận - Trong trình giải toán việc ứng dụng kết đợc biết, đợc chứng minh vào giải toán cụ thể vô quan trọng - Nhiều việc giải toán khó khăn hơn, phức tạp lời giải toán không vận dụng đợc kiến thức Toán - Việc vận dụng nhận xét vào giải toán giúp ngời dạy ngời học cảm thấy nhẹ nhàng, đơn giản hiệu III Cơ sở khoa học - Để áp dụng đợc nhận xét học sinh cần nhận dạng toán sau biến đổi thông thờng để áp dụng nhận xét (*) sau áp dụng trờng hợp cụ thể IV Cơ sở thực tiễn: - Nhận xét (*) đợc áp dụng chủ yếu dạng toán Dạng 1: phân tích đa thức thành nhân tử GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Dạng 3: Giải phơng trình hệ phơng trình Dạng 4: Chứng minh đẳng thức - áp dụng chuyên đề nhằm mục đích giảng dạy cho đối tợng học sinh THCS đặc biệt bồi dỡng học sinh giỏi học sinh khiếu Toán - Đối với học sinh đại trà đề tài tài liệu giúp cho em học tham khảo thêm, biết thêm ứng dụng đẳng thức để giúp em say mê học tập môn Toán Phần nội dung ứng dụng đẳng thức Bài toán: phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 3abc Lời giải: Ta có: a3 + b3 + c3 3abc = (a + b)3 3ab(a+b) + c3 3abc =[(a+b)3+c3 ] 3ab(a+b+c) =(a+b+c) [(a+b)2c(a+b)+c2 ] 3ab (a+b+c) = (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 ac- bc + c2- 3ab) = (a +b + c) (a2 + b2 + c2 ab bc ac) = (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a2 c)2] Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 3abc = (a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** a + b + c = a + b + c = a = b = c (*) 2 ( a b ) + ( b c ) + ( a c ) = áp dụng nhận xét vào giải số dạng toán: Dạng 1: Phân tích đa thức thành phân tử Bài tập 1: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y z)3 + (z - x)3 thành phân tử Hớng dẫn: Ta thấy x y + y z + z x = => áp dụng nhận xét ta có: (x-y)3 + (y z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x) Bài tập 2: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 x2)3 (y2 + z2)3 thành nhân tử Hớng dẫn: Ta có (x2 + y2)3 + (z2 x2)3 (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 x2)3 + (-y2 - z2)3 Ta thấy x + y2 + z2 x2 y2 z2 = áp dụng nhận xét ta có: (x2+y2)3+ (z2-x2)3+ (-y2-z2)3= 3(x2 + y2) (z2 x2) (-y2 z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2) Bài tập : Phân tích đa thức (x+y+z)3 x3 y3 z3 thành nhân tử Hớng dẫn: (x+y+z)3 - x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 x3 y3 z3 = (x+y)3 + z(x+y) (x+y+z) + z3 x3-y3-z3 =x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) x3-y3-z3 =3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x) Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử (x+y+z)3 (x+y-z)3- (x-y+z)3 - (-x+y+z)3 Hớng dẫn: Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c =>x+y+z = a+b+c =>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) Vậy (x+y+z)3 (x+y-z)3- (x-y+z)3 - (-x+y+z)3 = 24xyz GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Bài tập 1: Cho x+y+z=0 a 0; b 0; c tính giá trị biểu thức A = x3 + y + z xzy Hớng dẫn: x + y + z 3xyz = = x+y+z=0 => x +y +z = 3xyz => A = xyz xyz 3 Bài tập 2: Cho x 0; y 0; z 1 + + = tính B = x y z xy yz zx + + z x2 y Hớng dẫn: Từ 1 1 1 + + = => + + = x y z x y z xyz B= 1 xyz.3 xy yz zx xyz xyz xyz + + = + + = xyz + + ữ = =3 z x y z x y y z xyz x Bài tập 3: Cho a+b+c=0 (a 0; b 0; c 0) tính giá trị biểu thức 2 C= a +b +c ; cb ca ab Hớng dẫn: 3 Ta có C = a + b + c a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc abc Vậy C = 3abc =3 abc Bài tập 4: Cho a3+b3+c3 = 3abc a+b+c tính giá trị biểu thức a + b2 + c2 D= ( a + b + c) Hớng dẫn: ta có a3+b3+c3= 3abc => (a+b+c) (a2+b2+c2 ab-bc-ca) = => ( a + b + c ) [( a b ) + ( b c ) + ( c a ) ] = GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** Mà a+b+c => (a-b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = => a=b=c D= a + a + a 3a = = 9a ( 3a ) a b b c c a Bài tập 5: Cho abc 0, a3+b3+c3 = 3abc tính P = + + + Hớng dẫn: a + b + c = Từ a3 + b3 + c3 = 3abc => a = b = c a + b b + c a + c c a b = Nếu a+b+c = P = = b c c b c Nếu a = b = c P = (1+1) (1+1) (1+1) = => P = -1 a+b+c = P = a = b = c Bài tập 6: Cho xyz thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 x y z Tính Q = + + + y z x Hớng dẫn: Đặt a= xy, b = yz, c =zx a + b + c = Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc => a = b = c Nếu a + b + c = hay xy + yz + xz = (x+z) y = -xz x y z x + y y + z z + x ( x + y ) z ( y + z ) x ( x + z ) y Q = + ữ1 + ữ ữ + ữ = ữ ữ= y z x y z x yz zx xy Q= ( xy )( yz )( zx ) = zx.xy yz Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => Q = Bài tập 7: Cho a+b+c=0 (a 0; b 0; c 0) tính giá trị biểu thức E= a2 b2 c2 + + a b2 c b2 c2 a c a b2 Hớng dẫn: E= a2 b2 c2 + + a b2 c b2 c2 a c a b2 Từ a+b+c= => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 => c2-a2-b2= 2ab GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** Tơng tự: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac 2 3 Nên E = a + b + c = a + b + c 2bc 2ac 2ab 2abc ta có a+b+c=0 => a3+b3+c3 = 3abc =>E = 3abc = 2abc Bài tập 8: Cho a+b+c= tính giá trị biểu thức: a b ab bc c a c + + + + F = a b a b b c c a c Hớng dẫn: Đặt G = ab bc ca + + c a b c c bc ca c b bc + ac a Ta có G =1+ + ữ= + ab a b a b a b ab =1+ c ( a b )( c a b ) 2c 2c = 1+ = 1+ ab ab ab abc Tơng tự : G a = + 2a ; G bc abc b 2b3 = 1+ ; ca abc 3 abc abc abc Vậy F = + 2c + + 2a + + 2b = + ( a + b3 + c ) abc Vì a+b+c = => a3 + b3 + c3 = 3abc => F = + 2.3abc =9 abc Bài tập 9: Cho a + b + c = tính giá trị biểu thức H = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3 Hớng dẫn: Ta biến đổi b- c = b-a+a-c Ta đợc H = (a-b)c3 + (b-a+a-c)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c) Vì a+b+c=0 =>H = Dạng 3: Giải phơng trình hệ phơng trình Bài tập 1: Giải phơng trình (3x 2)3 (x-3)3 = (2x+ 1)3 Hớng dẫn: (3x-2)3 (x-3)3 = (2x+1)3 (3x-2)3 (x-3)3 (2x+1)3 = GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** (3x-2)3 + (-x+3)3 + (-2x-1)3 = Ta có 3x -2 -x +3-2x-1 = áp dụng nhận xét (*) ta có (3x-2)3 + (-x+3)3+(-2x-1)3 =0 3(3x-2)(-x+3)(-2x-1)=0 x = x = x = Vậy phơng trình có nghiệm x=3, x= , x= Bài tập 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên (x + y)3 (x-2)3 = (y+2)3 +6 Hớng dẫn: áp dụng nhận xét (*) ta có (x + y)3 (x-2)3 = (y+2)3 +6 (x+y)(-x+2)(-y-2) =2 Vì x;y Z ta có: 2=1.1.2=(-2)(-1).1=(-1)(-1).2=(-1).2(-1) x + y = xảy trờng hợp x + = y = x = y = Chú ý: x=2; y=-2 =>phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình có nghiệm x= 0, y=-1 Bài tập 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x3 +y3+z3- 3xyz =1 Hớng dẫn: Ta có x3+y3+z3-3xyz=1 (x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1 Ta xét x2+y2+z2- xy- yz- xz = [(x-y)2 +(y-z)2+(z-x)2 ] nên xảy x + y + z = 1(1) 2 x + y + z xy yz zx = 1(2) Từ (1) ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = Từ (2),(3) => xy + yz + zx = Nên x2 +y2 + z2 = (3) GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** giả sử x2 y2 z2 =>z = 0; y = 0; x = x = Nếu y = => không thỏa mãn z = x = Nếu y = => Thỏa mãn phơng trình z = trờng hợp: x = y =1 z = x = , y = thỏa mãn phơng trình z = Vậy phơng trình có nghiệm (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1) Bài tập 4: Giải hệ phơng trình a + b + c = 2 a + b + c = a + b + c = Hớng dẫn: Từ a3+b3+c3 3abc= (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ac) 1-3abc =1 (a2+b2+c2-ab-bc-ac) 1-3abc =1-ab-bc-ac 3abc=ab+bc+ac (1) Ta có a+b+c =1 (a+b+c)2=1 2(ac+bc+ac)+a2+b2+c2 =1 2(ab+bc+ac) = ab+bc+ac = (2) a = từ (1),(2) =>3abc =0 b = c = b + c = Nếu a = => b + c = => b2+c2+2bc=1+bc => (b+c)2 =1+bc b + c = a = a = b = => c = => b = b = => bc = => c = => b = c = c = GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** a = Nếu b = tơng tự ta có b = c = a = b = c = a = b = c = Nếu c = ta có: a = b = c = Bài tập 5: Cho a + b + c = 2 a + b + c = a + b + c = Tính giá trị biểu thức P = a2005 + b2006 + c2007 Hớng dẫn: áp dụng tập ta có P = với trờng hợp Bài tập 6: Cho : x + y + z = a 2 2 x + y + z = b Tính x3 + y3+ z3 theo a, b, c 1 1 + + = x y z c Hớng dẫn: Từ x3 + y3 +z3 3xyz = (x+y+z) (x2+y2+z2-xy-yz-xz) x3+y3+z3 = 3xyz + (x+y+z) (x2+y2+z2-xy-yz-xz) (1) Từ x+y+z= a => (x+y+z)2 =a2 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz = a2 a2 = b2 + 2(xy+yz + zx) xy+yz+zx = a2 b2 (2) 1 1 xy + yz + zx a b2 + + = => = => xyz = c Từ (3) x y z c xyz c Từ (1),(2),(3) =>x +y + z = 3 3c ( a b2 ) a b2 + a b2 ữ 2 2 = 3c( a b ) + a( 3b a ) GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** Dạng 4: Chứng minh đẳng thức Bài tập : Cho a + b + c = Chng minh: a3 + b3 + c3 = 3abc (S1) Hớng dẫn: Cỏch 1: Ta cú a3 + b3 = (a + b)3 3ab(a + b) v a + b = -c; ta c: a3 + b3 + c3 = (a + b)3 3ab(a + b) + c3 = -c3 -3ab(-c) + c3 = 3abc.(pcm) Cỏch 2: Ta cú: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 3ab(a + b) + c3 3abc = (a + b)3 + c3 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 (a + b)c + c2] 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab bc ca) Do a + b + c = nờn (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab bc ca) = Vy: nu a + b + c = thỡ: a3 + b3 + c3 = 3abc Bài tập 2: Cho a+bc+c+d = cmr a3+b3+c3+d3 = (d+c) (ab-cd) Hớng dẫn: Đặt c+d= x ta có a+b+x=0 => a3+b3+x3= 3abx hay a3+b3 +(c+d)3 =3ab(c+d) => a3+b3+c3+d3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b) = 3(c+d)(ab-cd) Cách 2: p dng bi toỏn (S1) ta cú: a + b + (c + d) = 0, suy ra: a3 + b3 + (c + d)3 = 3ab(c + d) a3 + b3 + c3 + d3 + 3cd(c + d) = 3ab(c + d) a3 + b3 + c3 + d3 = 3ab(c + d) - 3cd(c + d) a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab cd) Bài tập 3: CMR x+y+z = 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2) Hớng dẫn: Từ x+y+z = => -x= y+z => (y+z)5= -x5 =>y5+5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5 GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** =>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2y2z +2yz2+z3) = =>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= => 2(x5+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)= => 2(x5+y5+z5)- 5yzx(x2 +y2+z2)= Vậy 2(x5+y5+z5)= 5yzx (x2+y2+z2) => đpcm Bài tập mở rộng, tích hợp hình học: Cho tam giác ABC có cạnh tơng ứng a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc Hỏi tam giác ABC tam giác gì? Hớng dẫn: a + b + c = Ta có a3 +b3+c3 = 3abc a = b = c Vì a,b,c cạnh ABC nên a+b+c nên ta có a=b=c (a,b,c >0) => ABC tam giác Phần kết luận I Đề tài áp dụng cho đối tợng học sinh THCS đặc biệt học sinh lớp 8, GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** Đề tài cung cấp thêm phơng pháp giúp ngời dạy học toán hiểu thêm ứng dụng hẳng đẳng thức cách khai thác từ toán cụ thể, giúp học toán có hiệu II Trong đề tài sử dụng tài liệu Sách nâng cao phát triển toán tập tác giả: Vũ Hữu Bình Các chuyên đề đại số BDHSG THCS tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thuỷ 23 chuyên đề 1001 toán sơ cấp tác giả: Nguyễn Đức Đồng- Nguyễn Văn Vĩnh Toán nâng cao đại số 500 toán chọn lọc tác giả Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Quang Hanh, Ngô Long Hậu 255 toán Đại số chọn lọc tác giả Vũ Dơng Thụy, Trơng Công Thành, Nguyễn Ngọc Đạm Phơng trình toán nghiệm nguyên tác giả: Vũ Hữu Bình tài liệu tham khảo khác III Đề tài không tránh khỏi thiếu sót kính mong thầy cô bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để đề tài đợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Yên Mỹ, ngày 10 tháng năm 2011 Ngời thực Phạm thị Hồng Hạnh Phòng Giáo dục đào tạo huyện Yên Mô Trờng THCS Yên Mỹ Sáng kiến kinh nghiệm GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** ứng dụng đẳng thức bồi dỡng học sinh giỏi toán Giáo viên: Phạm Thị Hồng Hạnh Tổ: Khoa Học Tự Nhiên Năm học 2010-2011 GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ [...]... ABC nên a+b+c 0 nên ta có a=b=c (a,b,c >0) => ABC là tam giác đều Phần kết luận I Đề tài này chỉ áp dụng cho đối tợng học sinh THCS đặc biệt là học sinh lớp 8, 9 GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng của hằng đẳng thức trong BD HSG Toán ********************************************************** Đề tài này cung cấp thêm một phơng pháp giúp ngời dạy và học toán hiểu thêm về những ứng... toán có hiệu quả hơn II Trong đề tài này tôi đã sử dụng những tài liệu 1 Sách nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 tác giả: Vũ Hữu Bình 2 Các chuyên đề đại số BDHSG THCS tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thuỷ 3 23 chuyên đề 1001 bài toán sơ cấp tác giả: Nguyễn Đức Đồng- Nguyễn Văn Vĩnh 4 Toán nâng cao đại số 8 5 500 bài toán chọn lọc tác giả Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Quang Hanh, Ngô Long Hậu 6 255 bài toán Đại số.. .SKKN ứng dụng của hằng đẳng thức trong BD HSG Toán ********************************************************** =>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2y2z +2yz2+z3) = 0 =>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= 0 => 2(x5+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)=... ngày 10 tháng 5 năm 2011 Ngời thực hiện Phạm thị Hồng Hạnh Phòng Giáo dục và đào tạo huyện Yên Mô Trờng THCS Yên Mỹ Sáng kiến kinh nghiệm GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng của hằng đẳng thức trong BD HSG Toán ********************************************************** ứng dụng của hằng đẳng thức trong bồi dỡng học sinh giỏi toán Giáo viên: Phạm Thị Hồng Hạnh Tổ: Khoa Học Tự Nhiên ... tài áp dụng cho đối tợng học sinh THCS đặc biệt học sinh lớp 8, GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán **********************************************************... (a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** a + b + c = a... (x+y-z)3- (x-y+z)3 - (-x+y+z)3 = 24xyz GV: Phạm Thị Hồng Hạnh - Trờng THCS Yên Mỹ SKKN ứng dụng đẳng thức BD HSG Toán ********************************************************** Dạng 2: Tính giá