ĐỀ Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 2x2 + 3x – = b) x4 – 3x2 – = 2x + y = c) 3x + 4y = −1 Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –x2 đường thẳng (d): y = x – một hệ trục toạ độ b) Tìm tọa độ giao điểm (P) (D) câu phép tính Câu 3: Thu gọn biểu thức sau: a) A = − − + x +1 x − x x + 2x − x − − (x > 0; x ≠ 4) ÷ ÷ x x−4 x+4 x +4 b) B = Câu 4: Cho phương trình x2 – 2mx – = (m tham số) a) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x12 + x22 − x1x = Câu 5: Từ điểm M đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), A, B tiếp điểm C nằm M, D a) Chứng minh MA2 = MC.MD b) Gọi I trung điểm CD Chứng minh điểm M, A, O, I , B nằm đường tròn c) Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn Suy AB phân giác góc CHD d) Gọi K giao điểm tiếp tuyến C D đường tròn (O) Chứng minh A, B, K thẳng hàng Hướng dẫn: Câu 1: a) 2x2 + 3x – = (1) Cách 1: Phương trình có dạng a + b + c = nên phương trình (1) có hai nghiệm là: x1 = hay x2 = c =− a Cách 2: Ta có ∆ = b2 – 4ac = 32 – 4.2.(–5) = 49 > nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = −3 − −3 + = − x2 = =1 4 b) x4 – 3x2 – = (2) Đặt t = x2, t ≥ t = −1 Phương trình (2) trở thành t2 – 3t – = ⇔ (a – b + c = 0) t = So sánh điều kiện ta t = ⇔ x2 = ⇔ x = ± Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x = x = –2 2x + y = 3x + 4y = −1 (a) (3) (b) c) Cách 1: Từ (a) ⇒ y = – 2x (c) Thế (c) vào (b) ta được: 3x + 4(1 – 2x) = –1 ⇔ –5x = –5 ⇔ x = Thế x = vào (c) ta y = –1 Vậy hệ phương trình (3) có nghiệm x = y = –1 8x + 4y = 5x = x = x = ⇔ ⇔ ⇔ 3x + 4y = −1 3x + 4y = −1 3.1 + 4y = −1 y = −1 Cách 2: (3) ⇔ Vậy hệ phương trình (3) có nghiệm x = y = –1 Câu 2: a) * Bảng giá trị đặc biệt hàm số y = –x2: x –2 –1 2 y = –x –4 –1 –1 –4 * Bảng giá trị đặc biệt hàm số y = x – 2: x y=x–2 –2 y O -3 -2 -1 Đồ thị (P) (D) vẽ sau: -1 -2 -3 -4 b) Phương trình hoành độ giao điểm (P) (D) là: –x2 = x – ⇔ x2 + x – = ⇔ x = hay x = –2 (a + b + c = 0) Khi x = y = –1; Khi x = –2 y = –4 Vậy (P) cắt (D) hai điểm (1; –1) (–2; –4) Câu 3: a) A = − − + = (2 − 3)2 − (2 + 3)2 = − − + Mà – > + > nên A = – – – = −2 x +1 x −1 x x + 2x − x − x − b) B = ÷ ÷ x − x + x + x x +1 x − (x − 4)( x + 2) − 2 ÷ ÷ ( x) − ( x + 2) x ( x + 1)( x + 2) − ( x − 1)( x − 2) ÷ (x − 4)( x + 2) = ÷ ( x)2 − 22 ( x + 2) x = = x + x + − (x − x + 2) x = = x x Câu 4: x2 – 2mx – = (m tham số) a) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt Cách 1: Ta có: ∆' = m2 + > với m nên phương trình có hai nghiệm phân biệt Cách 2: Ta thấy với m, a c trái dấu nên phương trình có hai phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x12 + x22 − x1x = Theo a) ta có với m phương trình có hai nghiệm phân biệt Khi ta có S = x1 + x2 = 2m P = x1x2 = –1 Do x12 + x22 − x1x = ⇔ S2 – 3P = ⇔ (2m)2 + = ⇔ m2 = ⇔ m = ± Vậy m thoả yêu cầu toán ⇔ m = ± Câu 5: a) Xét hai tam giác MAC MDA có: µ chung K *M » · · * MAC (= sđAC ) = MDA Suy ∆MAC ∽ ∆MDA (g – g) MA MC = ⇒ ⇒ MA2 = MC.MD MD MA A D I C O H b) * MA, MB tiếp tuyến (O) nên M ·MAO = MBO · = 90 · * I trung điểm dây CD nên MIO = 900 B · · · Do đó: MAO = MBO = MIO = 900 ⇒ điểm M, A, O, I, B thuộc đường tròn đường kính MO c) Ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB = R(O) Do MO trung trực AB ⇒ MO ⊥ AB Trong ∆MAO vuông A có AH đường cao ⇒ MA2 = MH.MO Mà MA2 = MC.MD (do a)) ⇒ MC.MD = MH.MO ⇒ MH MC = (1) MD MO Xét ∆ MHC ∆MDO có: ¶ chung, kết hợp với (1) ta suy ∆MHC ∽ ∆MDO (c–g –c) M · · ⇒ MHC ⇒ Tứ giác OHCD nội tiếp = MDO Ta có: · · + ∆OCD cân O ⇒ OCD = MDO · · + OCD (do OHCD nội tiếp) = OHD · · · · · · Do MDO mà MDO (cmt) ⇒ MHC = OHD = MHC = OHD · · · · · ⇒ 900 − MHC ⇒ CHA ⇒ HA phân giác CHD hay AB phân = 900 − OHD = DHA · giác CHD · · d) Tứ giác OCKD nội tiếp (vì OCK = ODK = 900 ) · · · · · ⇒ OKC mà MDO (cmt) = ODC = MDO = MHC · · ⇒ OKC = MHC ⇒ OKCH nội tiếp · · ⇒ KHO = KCO = 900 ⇒ KH ⊥ MO H mà AB ⊥ MO H ⇒ HK trùng AB ⇒ K, A, B thẳng hàng oOo ... nghiệm x = y = –1 8x + 4y = 5x = x = x = ⇔ ⇔ ⇔ 3x + 4y = −1 3x + 4y = −1 3. 1 + 4y = −1 y = −1 Cách 2: (3) ⇔ Vậy hệ phương trình (3) có nghiệm x = y = –1 Câu 2: a) * Bảng giá trị đặc... 2x + y = 3x + 4y = −1 (a) (3) (b) c) Cách 1: Từ (a) ⇒ y = – 2x (c) Thế (c) vào (b) ta được: 3x + 4(1 – 2x) = –1 ⇔ –5x = –5 ⇔ x = Thế x = vào (c) ta y = –1 Vậy hệ phương trình (3) có nghiệm... phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = 3 − 3 + = − x2 = =1 4 b) x4 – 3x2 – = (2) Đặt t = x2, t ≥ t = −1 Phương trình (2) trở thành t2 – 3t – = ⇔ (a – b + c = 0) t = So sánh điều kiện