hàm số liên tục 11

Nhận xétKhi định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm: •Không giả thuyết hàm số xác định tại điểm đó.. BT1.1 •Nếu hàm số xác định tại điểm được xét thì giới hạn nếu có không nhất thiế

Bài toán1: Tìm các giới hạn sau:

2 2

2 1

2 1.lim

4 1

2 lim

x

x

x x x x

→

→−

−

−

−

−

Bài toán 2: cho hàm số

Tìm

( )

x khi x

f x

khi x

= 

= −



1

→−

Nhận xét

Khi định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm:

•Không giả thuyết hàm số xác định tại điểm đó

(BT1.1)

•Nếu hàm số xác định tại điểm được xét thì giới hạn

(nếu có) không nhất thiết bằng giá trị của hàm số tại điểm đó (BT2).

•Tuy nhiên với các hàm số thường gặp như hàm đa

thức, hàm phân thức, hàm hữu tỉ, các hàm lượng giác,

…thì giới hạn và giá trị của hàm số tại mỗi điểm mà nó xác định là bằng nhau (BT1.2)

1 Hàm số liên tục

Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x 0∈(a; b) Hàm số f được gọi là liên tục tại x 0 nếu

Hàm số không liên tục tại điểm x 0 được gọi là gián đoạn tại điểm x 0

VÍ DỤ: SGK

0 0

lim ( ) ( )

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8 10

x

y

Hàm số

1

0 ( )

khi x

khi x



= 



Hoạt động

1.Xét tính liên tục của hàm số f(x)= |x| tại x=0.

2.Xét tính liên tục của hàm số

tại điểm x=-1

( )

x khi x

f x

x khi x

 + ≤

=  − >



2 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

a) Định nghĩa: (sgk)

• Hàm số f xác định trên tập hợp J, ta nói rằng

hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại

mỗi điểm trên J.

• Hàm số f xác định trên [a; b] được gọi là liên

tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoản (a; b) và

lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

x a f x f a x b f x f b

Ví dụ

Xét tính liên tục của hàm số trên đoạn [-1; 1] Giải

Hàm số f(x) xác định trên [-1; 1].

Vậy f(x) liên tục trên (-1; 1)

Ngoài ra:

Do đó hàm số liên tục trên [-1;1]

2 ( ) 1

f x = − x

( )

2

2

→ − → −

f(x)=sqrt(1-x^2)

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-1 -0.5

0.5 1 1.5 2

x y

đồ thị hàm sốf x( )= 1−x2trên [- ; ]

Hoạt động

Hãy phát biểu định nghĩa hàm số liên tục trên:

1 [a; b) tổ 1.

2 (a; b] tô 2

3 (-∞; b] tổ 3

4 [a; + ∞) tổ 4

Chứng minh rằng hàm số liên tục trên nữa khoảng [-1;+∞)

Nhận xét và định lí

1 Hàm số liên tục trên một khoảng (hoặc

đoạn) có đồ thị là một đường liền nét.

2 Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số

liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó

3 Hàm đa thức, hàm phân thức, hàm hữu tỉ

liên tục trên tập xác định của chúng.

4 (Định lí) các hàm lượng giác f(x)=sinx,

(cosx, tanx, cotx) liên tục trên tập xác định.

3 Tính chất của hàm số liên tục

1 Định lí: (định lí về giá trị trung bình của hàm số liên

tục)

(sgk)

o

a

f(a)

b

y

x Y=M M

Hệ quả

o

y

a

f(b)

f(a)

Ví dụ

1 cho hàm số p(x)=x 3 +x-1, chứng

minh rằng phương trình p(x) = 0 có

ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.

2 Cho hàm số Chứng minh

rằng tồn tại ít nhất một điểm c∈(0; 2) sao cho f(c)=-0,8

2 5 2 ( )

2 2

f x

x

=

+