Đề thi Olympic môn Toán lớp 6 trường Xuân Dương năm 2014 - 2015

phòng GD & ĐT Thanh oai trường thcs xuân dương Đề thi olympic lớp Năm học 2014 - 2015 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề ) Cõu 1( im): 1 Tỡm x bit: x Tỡm cỏc ch s x v y s 1x8 y chia ht cho 36 Tỡm mt s t nhiờn nh nht bit rng chia s ú cho d 2, cho d 3, cho d v cho 10 d Cõu 2: (4 im) Tỡm ch s tn cựng ca cỏc s sau: a) 571999 b) 931999 Chng minh rng: 99 100 99 100 3 16 3 3 Cõu (2im): Vi q, p l s nguyờn t ln hn chng minh rng: p4 q4 240 Cõu (6 im): Cho gúc tự xOy Bờn gúc xOy, v tia Om cho gúc xOm bng 900 v v tia On cho gúc yOn bng 900 a) Chng minh gúc xOn bng gúc yOm b) Gi Ot l tia phõn giỏc ca gúc xOy.Chng minh Ot cng l tia phõn giỏc ca gúc mOn Cõu (2 im): Tỡm cỏc s t nhiờn x, y cho (2x + 1)(y 5) = 12 phòng GD & ĐT Thanh oai trư ờng thcs xuân dư ơng Hớng dẫn chấm thi olympic Năm học 2014 - 2015 Môn thi : Toán - Lớp Cõu 1( im): 1 1- T gi thit ta cú: x (1) 1 1 x hoc x 3 - T ú tỡm kt qu x = ; x 6 (0,5 ) (0,5 ) (1 ) s 1x8 y 36 ( x, y , x, y N ) (1 x y 2) y y y 1;3;5;7;9 (x+y+2) => x+y = hoc x+y = 16 => x = 6;4;2;0;9;7 (0,5) (0,5) (0,5) Vy ta cú cỏc s: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892 (0,5) Gi s t nhiờn cn tỡm l a (a > 0, a N) (0,5) Theo bi ta cú: a chia cho d a chia ht cho (0,25) a chia cho d a chia ht cho (0,25) a chia cho d a chia ht cho (0,25) a chia cho 10 d a chia ht cho 10 (0,25) a = BCNN(3, 4, 5, 10) = 60 (0,5) Cõu (4 im): 1) Tỡm ch s tn cựng ca cỏc s sau: (2 im) tỡm ch s tn cựng ca cỏc s ch cn xột ch s tn cựng ca tng s : a) 571999 ta xột 71999 Ta cú: 71999 = (74)499.73 = 2041499 343 Suy ch s tn cựng bng (1) Vy s 571999 cú ch s tn cựng l : b) 931999 ta xột 31999 Ta cú: 31999 = (34)499 33 = 81499.27 Suy ch s tn cựng bng (1) 99 100 99 100 3 3 3 3 99 100 3A= 1- 98 99 3 3 3 1 1 100 4A = 1- 98 99 100 3 3 3 1 1 4A< 1- 98 99 (1) 3 3 t A= (0,5) (0,5) 1 1 1 1 98 99 3B= 2+ 97 98 3 3 3 3 4B = B+3B= 3- 99 < B < (2) 3 T (1)v (2) 4A < B < A < 16 t B= 1- Cõu 3: (2im) Ta cú: p4 q4 = (p4 ) (q4 1) ; 240 = 2.3.5 Chng minh p4 240 - Do p >5 nờn p l s l + Mt khỏc: p4 = (p 1) (p + 1) (p2 +1) > (p-1 v (p+1) l hai s chn liờn tip => (p 1) (p+1) + Do p l s l nờn p2 l s l -> p2 +1 - p > nờn p cú dng: + p = 3k +1 > p = 3k + = 3k > p4 + p = 3k + > p + = 3k + + = 3k +3 > p4 - Mt khỏc, p cú th l dng: + P = 5k +1 > p = 5k + = 5k > p4 + p = k+ > p2 + = (5k +2)2 +1 = 25k2 + 20k +5 > p4 + p = 5k +3 > p2 +1 = 25k2 + 30k +10 > p4 + p = 5k +4 > p + = 5k +5 > p4 Vy p4 hay p4 240 Tng t ta cng cú q4 240 Vy: (p4 1) (q4 1) = p4 q4 240 m Cõu (6 im): Hỡnh v t y n O x a) Lp lun c: xễm + mễy = xễy hay:900 +mễy = xễy yễn + nễx = xễy hay:900 + nễx = xễy xễn = yễm b) Lp lun c : xễt = tễy xễt = xễn + nễt tễy = yễm + mễt nễt = mễt Ot l tia phõn giỏc ca gúc mOn Cõu (2 im) Ta cú 2x+1: y-5 L c ca 12 M 12= 1.12=2.6=3.4 2x+1 l => 2x+1 =1 hoc 2x+1=3 2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 hoc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 vy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,5) (0,5) (0,25) (0,25) (0,25) (0,25) (0,25) (0,25 ) (0,25) (0,25) (0,5 ) (1 ) (1 ) (0,5 ) (1 ) (0,5 ) (0,5 ) (0,5 ) (0,5 ) (0,25) (0,25) (0,5) (0,5) (0,25) (0,25) ... ¬ng HƯíng dÉn chÊm thi olympic N¨m häc 2014 - 2015 M«n thi : To¸n - Líp Câu 1( điểm): 1  1- Từ giả thi t ta có:  x    (1) 3  1 1 x  x    3 - Từ tìm kết x = ; x   6 (0,5 đ) (0,5 đ)... Để số 1x8 y  36 (  x, y  , x, y  N ) (1  x   y  2) 9   y 2 y   y  1;3;5;7;9 (x+y+2)  => x+y = x+y = 16 => x = 6; 4;2;0;9;7 (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) Vậy ta có số: 168 12; 14832;... 3 3 3 3 4B = B+3B= 3- 99 <  B < (2) 3 Từ (1)và (2)  4A < B <  A < 16 Đặt B= 1-  Câu 3: (2điểm) Ta có: p4 – q4 = (p4 – ) – (q4 – 1) ; 240 = 2.3.5 Chứng minh p4 –  240 - Do p >5 nên p số lẻ