Tính tổng trạng thái của một số hệ vật lý

Trong phần áp dụng phân bố chính tắc vào việc nghiên cứu tính chất của các hệ thực có đề cập đến một khái niệm đặc biệt quan trọng đó là tích phân trạng thái hay tích phân thống kê nhờ đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

LẠI THỊ DƯƠNG

TÍNH TỔNG TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ HỆ VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết

Người hướng dẫn khoa học PGS TS Lưu Thị Kim Thanh

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, bằng tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn cô

giáo, PGS TS Lưu Thị Kim Thanh, người đã hướng dẫn và tận tình chỉ bảo

cho em trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trường đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt bốn năm học vừa qua

Cuối cùng em xin cảm ơn đến tất cả bạn bè, những người đã giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thiện khóa luận này

Hà Nội, 05 năm 2015

Sinh viên

Lại Thị Dương

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó, em nhận được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô

giáo trong khoa Vật lý Đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của cô giáo, PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em có nghiên cứu một số tài liệu ghi trong mục tài liệu tham khảo

Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong đề tài “Tính tổng trạng thái của một số hệ vật lý” của mình không có sự sao chép, trùng lặp với bất cứ

đề tài nào khác

Sinh viên

Lại Thị Dương

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

CHƯƠNG 1 : CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA THỐNG KÊ 3

1.1 Xác suất nhiệt động 3

1.2 Phương pháp Gibbs 4

1.3 Không gian pha 6

1.4 Xác suất trạng thái 7

1.5 Định lí về sự bảo toàn thể tích pha 9

Kết luận chương 1 13

CHƯƠNG 2 : TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI TRONG THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN 14

2.1 Tích phân trạng thái của hệ đẳng nhiệt 14

2.2 Tích phân trạng thái của hệ có số hạt thay đổi 17

2.3 Biểu thức của các hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái 18

2.4 Áp dụng tích phân trạng thái để khảo sát khí lí tưởng 20

2.5 Áp dụng tích phân trạng thái để khảo sát khí thực 24

Kết luận chương 2 28

CHƯƠNG 3: TỔNG TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ HỆ VẬT LÍ LƯỢNG TỬ 29

3.1.Tổng trạng thái của hệ các hạt lượng tử 29

3.2 Tổng trạng thái của các hệ dao động tử và rôtato lượng tử 33

3.2.1.Tổng trạng thái của hệ dao động tử 33

3.2.2 Tổng trạng thái của rôtato lượng tử 35

Kết luận chương 3 36

KẾT LUẬN 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

Trong phần áp dụng phân bố chính tắc vào việc nghiên cứu tính chất của các hệ thực có đề cập đến một khái niệm đặc biệt quan trọng đó là tích phân trạng thái (hay tích phân thống kê) nhờ đó ta có thể tìm được một loạt các đại lượng đặc trưng cho một hệ vật lý bất kì Tích phân trạng thái phản ánh trạng thái nội tại của hệ bởi vì phép tích phân được thực hiện theo tất cả các trạng thái vi mô của hệ

Với vốn kiến thức của mình tích lũy được trong 4 năm đại học tôi muốn tìm hiểu sâu sắc hơn về tích phân trạng thái

Vì vậy tôi chọn đề tài làm luận văn tốt nghiệp là “ Tính tổng trạng thái của một số hệ vật lý”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu sâu sắc hơn về tổng trạng thái

3 Đối tượng nghiên cứu

Tổng trạng thái trong vật lý thống kê

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp vật lý lí thuyết và phương pháp toán học

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Xây dựng được các công thức tính tích phân trạng thái và tổng trạng thái của một hệ vật lý

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA THỐNG KÊ

Vật lý thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa đặc tính vĩ mô của hệ mà ta khảo sát với các đặc tính và quy luật chuyển động của các hạt mà đối với hệ nhiều hạt xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luật thống kê, do đó phương pháp của vật lý thống kê là phương pháp dựa trên lý thuyết xác suất.[1][3]

Đối với hệ ít hạt và hệ nhiều hạt nó tuân theo các quy luật khác nhau đó là quy luật động lực và quy luật thống kê

Quy luật động lực: là quy luật dựa vào giá trị đã cho một cách chính xác một

số đại lượng đặc trưng cho một quá trình hay một hiện tượng nhất định Ta sẽ tính được giá trị của một số đại lượng khác nhau nhờ việc giải hệ phương trình Hamintơn và quy luật chỉ có giá trị với hệ ít hạt

Quy luật thống kê: là quy luật khách quan của hệ nhiều hạt, tính cách của hệ nhiều hạt tại thời điểm xét hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái lúc trước

Quy luật tính thống kê không thể quy về quy luật tính động lực vì tính chất thống kê mất hết mọi nội dung khi ta xét một hạt riêng lẻ hay một số ít hạt chuyển động hay tương tác theo định luật cơ học, chỉ trong các hệ nhiều hạt mới có biểu hiện các quy luật hiện tượng mới về tính chất Nhưng nếu các định luật chuyển động của các hạt riêng lẻ thay đổi hoặc nếu ta chuyển từ loại hạt này sang loại hạt khác thì tính chất của toàn bộ hệ vĩ mô sẽ thay đổi Từ các phân tích trên ta thấy rằng hai quy luật này độc lập nhau nhưng vẫn phụ thuộc qua lại lẫn nhau

1.1 Xác suất nhiệt động

Ngoài cách mô tả vi mô các trạng thái của hệ vật lý là cách mô tả trong đó thực tế là ta cần phải biết một số rất lớn các thông số là các tọa độ và vận tốc của các hạt cấu thành hệ còn có cách mô tả khác là cách mô tả vĩ mô

Tùy thuộc ta xét theo quan điểm vĩ mô hay quan điểm vi mô mà ta phân biệt trạng thái vĩ mô và trạng thái vi mô của hệ

Trạng thái vĩ mô là trạng thái được xác định bởi các thông số vĩ mô như nhiệt độ, áp suất, tức là các thông số đo được trong các thí nghiệm vĩ mô thông thường và nó chỉ có ý nghĩa nhất định đối với thế giới vĩ mô

Trạng thái vi mô là trạng thái xác định bằng các thông số vi mô tức là các tọa độ và xung lượng của các hạt cấu thành hệ và chúng chỉ có ý nghĩa đối với thế giới vi mô

Xác suất nhiệt động mỗi một trạng thái vĩ mô của hệ đều tương ứng với một

số rất lớn các trạng thái vi mô, đồng thời các trạng thái vi mô đó của hệ biến đổi một cách liên tục Điều đó có nghĩa là mọi thông số vĩ mô bất kì F đều là hàm của các thông số vi mô

F = F(q1 q3N,p1 p3N,t)

Các trạng thái vĩ mô khác nhau tương ứng với các số lượng khác nhau các trạng thái vi mô Và một trạng thái vĩ mô sẽ là càng bền, nếu như số trạng thái

vi mô tương ứng với nó mà hệ có thể thực hiện được là càng lớn

Dựa vào quan niệm đó người ta đưa vào xác suất nhiệt động của trạng thái vĩ

mô Xác suất nhiệt động WT của một trạng thái vĩ mô nhất định của hệ là số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô đó, tức là số trạng thái vi mô

mà hệ có thể thực hiện được, tương thích với điều kiện bên ngoài đã cho Từ định nghĩa trên xác suất nhiệt động không giống như xác suất toán học mà được biểu thị bằng một số luôn luôn lớn hơn đơn vị rất nhiều

WT>>1

1.2 Phương pháp Gibbs

[2]Ta biết rằng mọi thông số vĩ mô bất kì F đều là hàm của các thông số vi

mô vì vậy trong trường hợp tổng quát nó biến thiên liên tục với thời gian Tuy nhiên trong bất kì một thí nghiệm vật lí nào, ta cũng đều đo không phải là giá trị tức thời của các đại lượng vật lý mà là đo các trị trung bình theo thời gian Thực vậy để tiến hành đo đạc một đại lượng nào đó như áp suất chẳng hạn ta

cần một khoảng thời gian t nào đó và trị số đo được là trị trung bình của F theo thời gian t

dt t p p q q F t

Tức là trị trung bình của F được lấy theo các trạng thái vi mô khả hữu của

hệ Nhưng việc tìm trị trung bình theo thời gian trong trường hợp tổng quá không thể tiến hành được bởi vì ta không biết được sự phụ thuộc của 6N thông số vi mô vào thời gian tức là ta không thể theo dõi tất cả những biến đổi của trạng thái vi mô với thời gian

Để giải quyết khó khăn đó Gipxơ đã đề xuất ra phương pháp nổi tiếng gọi là phương pháp Gipxơ

Cơ sở của phương pháp Gipxơ: là thay việc khảo sát sự biến đổi của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự với hệ đã cho gọi là tập hợp thống kê

Tập hợp thống kê: là một tập hợp các hệ, tương tự với nhau có số lượng và loại hạt như nhau và ở trong những điều kiện vĩ mô giống nhau và ở trong các trạng thái vi mô khả hữu khác nhau Đồng thời phải đảm bảo rằng mỗi một hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi dành cho các hệ tương tự khác, tức là sẽ lần lượt ở trong các trạng thái vi mô dành cho mọi hệ tương tự trong tập hợp, đó là nội dung của cái gọi là giả thuyết écgôđíc Tuy nhiên có thể thừa nhận một cách gần đúng rằng mọi hệ trong tập hợp thống kê sẽ lần lượt ở trong những trạng thái vi mô rất gần giống với những trạng thái vi mô của các hệ khác, đó là giả thiết chuẩn écgôđíc và các

hệ đó được gọi là các hệ chuẩn écgôđíc

Giả thiết chuẩn écgôđíc: trị trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê Như vậy trong phương pháp cơ bản của vật lí thống kê một vấn đề được đặt ra là làm sao tính được trị trung bình theo tập hợp, muốn vậy ta phải tìm được tập hợp xác suất hay hàm phân bố thống

kê của hệ Để giải quyết vấn đề này Gipxơ đã dựa vào cách biểu diễn hệ trong không gian pha để đưa vào mật độ xác suất

1.3 Không gian pha

[4] Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều hạt với thời gian người ta đưa vào một không gian quy ước gọi là không gian pha, đồng thời các tọa độ của không gian đó chính là các thông số độc lập xác định trạng thái

vi mô của hệ (tức là các tọa độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấu thành hệ) Phương pháp đó phải coi là rất thuận tiện về mặt nguyên tắc vì rằng, việc mô tả tính chất của hệ nhiều hạt trong không gian thực ba chiều gặp phải những khó khăn rất lớn

Mặt khác, đối với tất cả các hệ vật lí thực,không gian pha là không gian nhiều chiều Chẳng hạn như, không gian pha của một phân tử khí lí tưởng đơn giản nhất là không gian 6 chiều; đối với phân tử hai nguyên tử có 5 bậc tự do không gian pha là mười chiều; còn đối với một hệ phức tạp nói chung là 2fN chiều với f là số hạt tự do của một hạt trong hệ, N là số hạt trong hệ

Trong vật lí thống kê người ta thường xét hai loại không gian pha:

Không gian là không gian của hệ 1 hạt

Không gian K là không gian của hệ nhiều hạt

Các yếu tố cơ bản của không gian pha

Điểm pha

Trạng thái của hệ được xác định bởi tất cả các giá trị của tất cả các tọa

độ và xung lượng suy rộng của các hạt cấu thành hệ được biểu diễn trong không gian pha bằng một điểm gọi là điểm pha

Quỹ đạo pha

Khi trạng thái của hệ biến đổi với thời gian, điểm pha sẽ chuyển động

và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha

Bởi vì các phương trình Hamintơn luôn luôn xác định một các đơn trị tính chất của hệ, nên từ đó suy ra rằng, các quỹ đạo pha của hệ không thể cắt nhau trong không gian pha

Siêu diện năng lượng

Nếu xét một hệ cô lập thì đối với hệ đó năng lượng toàn phần là không đổi nghĩa là

E = E(q1,q2, p1,p2, ) = const

Điều kiện đó có thể xem như một phương trình liên hệ tất cả các thông số

vi mô của trạng thái, và trong không gian pha nó là phương trình của một mặt nào đó gọi là siêu diện năng lượng hay mặt năng lượng trong không gian pha Thể tích pha

Sau này ta sẽ xét không phải là 1 hệ mà là một tập hợp hệ và sự phân bố của các điểm pha của chúng trong không gian pha vì vậy người ta đưa vào quan niệm thể tích pha

dV = dx.dy.dz

Để thuận tiện cho việc nghiên cứu sự phân bố của các hệ ta chia không gian pha ra thành các thể tích nguyên tố đồng thời tương tự như thể tích của hình hộp 3 chiều độ lớn của mỗi thể tích đó được biểu thị như sau

Xét một thể tích nguyên tố dX của một không gian pha bao quanh một điểm pha nào đó Ở thời điểm t đang xét, có một số hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong thể tích nguyên tố dX đó, đó là các điểm biểu diễn pha mà quỹ đạo của chúng gặp dX ở thời điểm t

Một cách tổng quát ta có thể coi rằng số lượng dn của các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong thể tích nguyên tố dX của không gian pha sẽ tỉ lệ với độ lớn dX của thể tích đó

dn = dX

trong đó f q1,q2 p1,p2 t f X,t được gọi là mật độ phân bố các hệ, nó chỉ rõ số lượng các hệ có điểm biểu diễn pha ở trong một đơn vị thể tích pha Bởi vì các hệ trong tập hợp thống kê đều bình đẳng như nhau cho nên nếu gọi

n là số hệ trong tập hợp thống kê thì theo lí thuyết xác suất để một hệ nào đó trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha rơi vào trong thể tích nguyên tố

dX sẽ là

n n dX X t dX

dn

dW ( , )

Trong đó hàm (X,t)được gọi là mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống

kê và nó thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa

( )

1 ) , (

X

dX t X

Xác suất để hệ thực hiện mà ta xét ở trong một trạng thái vi mô nào đó, đặc trưng bằng một tập hợp các giá trị của các biến số X nằm trong khoảng dX sẽ bằng

dW (X,t)dX

trong đó (X,t)là hàm phân bố thống kê thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa Như vậy mỗi trạng thái vi mô của hệ mà ta khảo sát được đặc trưng bằng một xác suất dW Điều đó là hoàn toàn dĩ nhiên Thực vậy khi hệ nằm trong một trạng thái vĩ mô nào đó ta chỉ có thể biết được một số ít biến số thôi, đó là các thông

số vĩ mô đo được trong thí nghiệm chúng là hàm của các biến số vi mô X:

Fk = Fk(X)

Với k = 1,2, ,m mà m <<N

Do đó dù biết tất cả các thông số vĩ mô ta cũng không thể xác định tất cả các biến số X có nghĩa là từ các phép đo vĩ mô ta chỉ có thể dự đoán một cách thống kê về các giá trị của các biến số vi mô X tức là về các trạng thái vi mô

mà thôi

Biết hàm phân bố (X,t)ta có thể tìm được trung bình thống kê của một đại lượng vật lí bất kì F(X) theo công thức

( ) ( )

) , ( ) ( )

(

X X

dX t X X F dW X F

Trong đó tích phân lấy theo toàn bộ khoảng biến thiên của các biến số X Ở đây và sau này ta luôn luôn nhớ rằng các tích phân thuộc loại (1.1) và (1.2) là các tích phân nhiều lớp bởi vì

dX = dq1,dq2, dp1,dp2, ,

đó là các tích phân 2fN lớp với fN là số bậc tự do của hệ

1.5 Định lí về sự bảo toàn thể tích pha

Định lí Liouville [3]

Trong không gian pha, với thời gian, tập hợp các điểm biểu diễn pha chuyển từ thể tích này sang thể tích khác Giả sử ở một điểm nào đó ta tách ra một thể tích dX1 trong đó chứa dn 1dX1điểm biểu diễn pha của các hệ trong tập hợp thống kê Sau một khoảng thời gian nào đó số các điểm biểu diễn pha đó sẽ chuyển sang thể tích dX2 ở đó mật độ phân bố

là 2 Khi đó hiển nhiên là

dn 1dX1 2dX2 (1.3)

Đẳng thức (1.3) đưa ta đến ý nghĩ rằng, sự chuyển động của các điểm biểu diễn pha của hệ trong không gian pha cũng có thể coi tương tự như chuyển động của chất lỏng Vì vậy, ta hãy tạm thời quên không gian pha và xét phương trình liên tục của chất lỏng thông thường

Ta hãy tưởng tượng tách ra trong chất lỏng chuyển động một nguyên

tố thể tích cố định có dạng hình hộp, với các cạnh là dx, dy và dz (hình 1) Giả sử chất lỏng chảy vào thể tích này qua bề mặt gần gốc tọa độ và sau đó chảy qua bề mặt khác Khi đó khối lượng chất lỏng chảy vào nguyên tố thể tích theo hướng của trục y trong thời gian dt là bằng

dtdxdz

v y trong đó là khối lượng riêng của chất lỏng và là hàm của tọa độ và thời gian; vy là hình chiếu của vận tốc trên trục Oy Cũng

trong thời gian trên khối lượng chất lỏng chảy ra qua bề mặt song song với bề mặt trước và theo hướng trục y là dy dtdzdx

v y

v x

v x y z

Nhưng khối lượng chất lỏng dư ra đó đúng bằng độ biến thiên của khối lượng chất lỏng trong nguyên tố thể tích trong khoảng thời gian dt nghĩa là bằng

t dtdxdydz

So sánh 2 biểu thức đó ta rút ra phương trình liên tục đối với chất lỏng

v y

v x

v t

z y

Trở lại không gian pha, ta có thể viết được một phương trình tương tự bởi

vì có một sự tương tự hình thức giữa chuyển động của các điểm biểu diễn pha với chuyển động của chất lỏng thực Có nghĩa là đối với không gian pha K ta

có thể lặp lại những lập luận giống như trên Muốn vậy trong không gian pha

ta đưa vào khái niệm vận tốc pha, đó là một vectơ có các thành phần là

q1,q2 p1,p2 và nó chính là vận tốc của các điểm biểu diễn pha Đối với hệ thực có fN bậc tự do, ta được phương trình tổng quát sau đây

k

p

p q

q t

Trong đó là mật độ phân bố của các điểm biểu diễn pha Thực hiện phép tính vi phân của tích trong dấu ngoặc ta được

0

k k

k

k k k

p

p q

q p

p q

q t

Tổng của hai số hạng đầu là đạo hàm toàn phần của hàm theo thời gian (coi như là hàm của qk,pkvà t ) nghĩa là

k k k

p

p q

q t

dt d

k p

p q

q dt

d

Nếu hệ thực mà ta xét là hệ bảo toàn áp dụng phương trình Hamintơn

k

k k k

p

H q q

H p

k k

k p

p q

q

và do đó ta tìm được phương trình sau đây

Kết quả cuối cùng này có thể phát biểu như là nguyên lí của sự bảo toàn thể tích nguyên tố pha, cụ thể là: khi các hệ (tức là các điểm biểu diễn pha của các hệ) chuyển động trong không gian pha các thể tích nguyên tố giữ không đổi

về độ lớn và chỉ có thể thay đổi về dạng Đó chính là định lí Liouville

Suy rộng các kết quả thu được, ta có thể nói rằng tập hợp pha chuyển động trong không gian pha với mật độ phân bố không đổi nhưng có thể bị biến dạng Giá trị căn bản của định lí Liouville là: nhờ nó ta đã chứng minh được giả thiết nói rằng số lượng dn của các hệ có điểm biểu diễn pha nằm trong thể tích nguyên tố dX là tỉ lệ với dX

0 ,

H t

p q

H q

p

H t

p

p q

q t

Hay H,

t (1.5) Với H, là dấu ngoặc Poátxông Phương trình (1.5) thường được gọi là phương trình chuyển động của tập hợp pha thống kê, nó đóng vai trò chủ đạo

trong việc giải quyết các vấn đề của lí thuyết thống kê vè các quá trình không cân bằng Người ta gọi phương trình (1.5) là phương trình Liouville

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI TRONG THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN

2.1 Tích phân trạng thái của hệ đẳng nhiệt

[3] Ta xét hệ đẳng nhiệt tức là hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt Giả sử hệ

mà ta muốn khảo sát C1 và hệ điều nhiệt C2 có các số hạt tương ứng là N1, N2

và được diễn tả bằng biến số chính tắc X1 và X2, đồng thời

Để tìm X1 trong trường hợp tổng quát người ta dựa vào 3 giả thiết sau:

1 Một là ta sẽ coi rằng năng lượng của hệ C1 và C2 luôn luôn lớn hơn năng lượng tương tác U12 rất nhiều Tức là

tức là ta chỉ xét những trạng thái mà ở đó năng lượng của hệ là rất nhỏ

so với năng lượng toàn phần của hệ điều nhiệt Nói khác đi biểu thức

mà ta tìm được cho X1 sẽ chỉ đúng khi (2.6) được thỏa mãn

Để tìm được X1 ta tiến hành như sau Ta chia hệ mà ta muốn khảo sát C1

ra làm 2 phần C1’ và C1’’ Các hàm phân bố X1' và X2' đối với 2 hệ con đó sẽ phụ thuộc vào năng lượng toàn phần của từng hệ con

[lnf(H1’ + H1’’)] = [lnf(H1’)]’ = [lnf(H1’’)]’’ = -

trong đó là một hằng số nào đó, bởi vì các đạo hàm của các hàm số với các đối số khác nhau chỉ có thể bằng nhau khi chúng là hằng số

được gọi là tích phân trạng thái( hay tích phân thống kê)

Nếu hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau thì các phép chuyển vị khác nhau của các hạt đó sẽ không đưa đến một trạng thái vi mô nào đó, mặc dù chúng sẽ được biểu diễn bằng các điểm khác nhau của không gian pha Vì vậy đối với các hệ gồm các hạt đồng nhất như nhau ta phải loại trừ tất cả các điểm của không gian pha tương ứng với các phép chuyển vị khác nhau của các hạt Bởi

vì với N hạt có thể thực hiện N! phép chuyển vị cho nên không gian pha của

hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau phải giảm N! lần Khi đó phân bố chính tắc được viết dưới dạng