Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2016 Đề số 4

Lớp toán 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn ĐỀ SỐ 04 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  x  3mx  1 , với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1 m  b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị A , B cho A , B M 1; 2 thẳng hàng Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình sin 3x  cos 2x  sin x b) Tìm số thực x , y thỏa mãn đẳng thức x (3  2i )  y 1  2i    5i  3i Câu (0,5 điểm) Giải phương trình log2 x  log x  1   Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2x  12x  9y  24y   36   12x  9y  2x  12x  90  66 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I   x , y    x 2 dx x Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có mặt phẳng A ' BC  vuông góc với mặt phẳng ABC  Hai tam giác A ' BC  ABC  tam giác có cạnh 2a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCC ' B ' 1  Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 3; 4 , I  ; 1   tâm đường tròn ngoại tiếp J 3; 1 tâm đường tròn nội tiếp tam giác Xác định tọa độ đỉnh B C tam giác ABC , biết B có hoành độ dương Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : x y 2 z   điểm 2 I 3; 3;2 Tính khoảng cách từ I đến d Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I tiếp xúc với d Câu (0,5 điểm) Cho Gọi S tập hợp số tự nhiên có ba chữ số đôi khác lập thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên số thuộc S , tính xác xuất để số chọn chia hết cho Câu 10 (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện a  2b  a  b   b  3c   3c Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P  a  2b  3c … Hết…… Thí sinh không sử dụng tài liệu, cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………; Số báo danh:……………………… Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Lớp toán 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Câu a) Với m  , hàm số trở thành: y  x  3x  ● Tập xác định: D   ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x  6x ; y '   x  x  Hàm số đồng biến khoảng ; 0 2;  ; nghịch biến khoảng 0;2 - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x  , yCD  ; đạt cực tiểu x  , yCT  2 - Giới hạn vô cực: lim y   ; lim y   x  x  - Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số qua điểm đặc biệt 1; 2 , 3;2 y O x -2 b) Ta có y '  3x  6mx  3x x  2m  ; y '   x  x  2m Đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị  y '  có hai nghiệm phân biệt  2m   m    Tọa độ điểm cực trị A 0;2 B 2m;2  4m   Suy MA  1;  , MB  2m  1;  4m     Để A , B M thẳng hàng  1  4m  2m  1  4m  8m   m  m   Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Lớp toán 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn Đối chiếu điều kiện tồn cực trị ta giá trị m cần tìm là: m   Cách Ta có y '  3x  6mx ; y '   x  x  2m Đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị  y '  có hai nghiệm phân biệt  2m   m  1 m Ta có y   x   y ' 2m 2x   3  Suy đường thẳng qua hai điểm cực trị A , B d : y  2m 2x  Yêu cầu toán  M  d  2  2m   m   Đối chiếu điều kiện tồn cực trị ta giá trị m cần tìm là: m   Nhận xét: Cách áp dụng ta tìm cụ thể tọa độ điểm cực trị theo m Cách cho trường hợp ta không tìm cụ thể tọa độ điểm cực trị Câu a) Phương trình cho tương đương với sin 3x  sin x  cos 2x   cos 2x sin x  cos 2x   cos 2x 2 sin x  1      k  x   k k    x     k 2     ● sin x    sin x  sin       x    k    Vậy nghiệm phương trình cho là: ● cos 2x   2x  x b) Ta có x 3  2i  x  3i k      7  k , x    k 2 , x   k 2 6 k    y 1  2i    5i 3  2i 2  3i  13  y 1  4i  4   5i  xi  y 3  4i    5i  3y  x  4y  i   5i 3y  x  13     x  4y  y  2   x  Câu Điều kiện:   x  x    Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với log2 x  log2 x  1   log2 x x  1  log2    x x  1   x  x    x  1 x  Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình là: x  Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Lớp toán 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn 2x  12x  36  9y  24y   Câu Ta có   12x  9y  66  2x  12x  90 1 2  9y  24y   Điều kiện:   2x  12x  90  Theo bất đẳng thức Cauchy , ta có 9y  24y    Do  2x  12x  36    9y  24y         9y  24y    9y  24y        1 '   8x  48x  81y  216  108  Lại theo bất đẳng thức Cauchy , ta có 2x  12x  90   Do  12x  9y  66   2x   12x  90 36   2x  12x  90  36       2x  12x  90  36       2x  60x  54  270  2 '  4x  120x  108  540      Lấy '  '  4x  24x  27y  108y  144    x 3    27 y  2  x   x  0  y 2  y       Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm hệ phương trình là: x ; y  3;2 Câu Ta có I  x 2 dx x  Đặt t  x 2  t   , suy tdt  dx  dx  x 2tdt x x x Từ t   4t , suy x  Do dx  x 2tdt  x 1t  t2  Đổi cận: với x  t  Khi I   2 1  t  2 dt , với x  t  4t  dt   2    1 1      dt t  2 t 1   t  t       Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Lớp toán 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn  1    ln t   ln t     t  t     2  ln x 2 Cách Ta có I   x  2x ● A  x 1 3 7 2 2 9 x 1 dx   x  2x dx   dx x  2x dx x  2x Đặt t  x  2x  t  x  2x , suy tdt  x  1dx Đổi cận: với x  t  2 , với x  t  7  Khi A  dt  t 2 ● B   2 2 dx  x  2x  x x  2 dx   tdx  dx  Đặt t  x  x  , suy dt      x x 2 x x  2 Đổi cận: với x  t   , với x  t   3 Khi B   2 dt  ln t t 3 2 Vậy I  A  B   2  ln        ln   ln     3 2 Câu Gọi H trung điểm BC Do tam giác A ' BC nên suy A ' H  BC Mà A ' BC  vuông góc với ABC  theo giao tuyến BC nên A ' H  ABC  A' C' M B' C A H B Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 K Lớp toán 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai Ta có SABC  a2 ; A ' H  ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn A ' B a Do VABC A ' B ' C '  S ABC A ' H  3a (đvtt) Do AA ' song song với BCC ' B ' Khi     d A, BCC ' B '  d A ', BCC ' B ' Gọi M trung điểm B 'C ' , tam giác A ' B ' C ' nên A ' M  B ' C ' Gọi K hình chiếu A ' HM , suy A ' K  HM Ta có B ' C '  A ' HM  nên B ' C '  A ' K   Do A ' K  BCC ' B ' nên d A ', BCC ' B '  A ' K A ' H A ' M Trong tam giác vuông HA ' M , ta có A ' K  A'H  A'M   Vậy d A, BCC ' B '  A ' K   a a Cách Phương pháp tọa độ hóa Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ: H  O 0; 0; 0 , Ox  HA , Oy  HB , Oz  HA ' Lấy a  , A     3; 0; , B 0;1; 0 , A ' 0; 0;  z  Suy C 0; 1; 0 B '  3;1; A' C' Mặt phẳng BCC ' B ' qua ba điểm: B 0;1;0 , C 0; 1; 0 ,   B '  3;1; nên có phương trình BCC ' B ' : x  z  Khoảng cách từ A đến BCC ' B ' d 0 11   B' x A a  (do ta chọn a  ) 2 C H B a y Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCC ' B ' Câu Phân tích hướng giải: Đề cho tọa độ đỉnh A tọa độ điểm I tâmđường tròn ngoại tiếp tam giác nên ta viết phương trình đường tròn C  ngoại tiếp tam giác ABC Để tìm tọa độ đỉnh B C ta cần tìm phương trình đường thẳng BC phương trình đường cong chứa B C Khi tọa độ điểm B C giao điểm đường vừa tìm với đường tròn C  Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Lớp toán 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai C  Đường tròn  2   C  : x  12  ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn ngoại tiếp tam giác ABC  y  1  1  5 có tâm I  ; 1 , bán kính R  IA    2 nên 125 Phân giác góc A qua A 3; 4 J 3; 1 nên AJ  : x   Gọi D  AJ   C  nên tọa độ D x ; y  thỏa mãn hệ: x    x  x      2  125 x    y  1  y  y  6       Suy D 3; 6 (do D  A ) A    A1  C       Ta có    , suy DJC  A1  C  C  C  DCJ C  C  1 2 Do đó: DJ  DC I J Tương tự, ta có DJ  DB C B Từ 1 2 , ta có DJ  DC  DB Điều chứng tỏ BD C thuộc đường tròn tâm D 3; 6 , bán kính DJ  Vậy tọa độ điểm B C nghiệm hệ :    125 x  x  2  x     y  1        y  2 y  6 2   x  3  y  6  25  Đối chiếu điều kiện toán ta chọn B 6; 2 , C 2; 6    Cách Đường thẳng BC có VTPT ID   ; 5 nên BC  : x  2y  c  2  Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Áp dụng hệ thức Ơle ta có: Ta có IJ   2  5  5     IJ  R  2Rr      r r   2     2   Với r   d J , BC    ● c   c  c  10 Nếu c  , ta có BC  : x  2y  Lúc PA/ BC  5 , PJ / BC  Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97     Lớp toán 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn Suy A J khác phía với BC Điều vô lý tâm đường tròn nội tiếp tam giác phải nằm miền tam giác ● Vậy ta chọn BC  : x  2y  10  Tọa độ B , C nghiệm hệ:    125    x    y  1  x  x  2  2  y  2 y  6   x  2y  10   Đối chiếu điều kiện toán ta chọn B 6; 2 , C 2; 6 Nhận xét: Các em nên chọn Cách Ở trình bày Cách tham khảo thêm hệ thức Ơle SGK  Câu Đường thẳng d qua điểm M 0; 2; 0 có VTCP u  1; 2;2      Suy MI  3; 1;2 u, MI   2; 4; 5   Khi     u, MI  45 d I , d        u   Mặt cầu S  có tâm I 3; 3;2 tiếp xúc với d nên bán kính R  2 Vì S  : x  3  y  3  z  2  Câu Số phần tử S là: A53  60 Từ năm chữ số cho ta có bốn gồm ba chữ số có tổng chia hết cho 1, 2, 3 , 1, 2, 6 , 2, 3, 4 , 2, 4, 6 Mỗi ba chữ số ta lập số thuộc tập hợp S Vậy S có 6.4  24 số chia hết cho 24  60 Câu 10 Gọi D tập giá trị P Khi m  D hệ sau có nghiệm:  a  2b  a  b   b  3c   3c    a  2b  3c  m    b  3c   a  b   a  2b  3c   1  a  2b  3c  m  Xác suất để số chọn chia hết cho là:   x  a  b    Đặt  , ta thu hệ:  y  b  3c    Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97  Lớp toán 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn   x  y  m  x  y   m      m2   x  y  m     xy   m          Từ x , y nghiệm phương trình bậc hai: X2   m m X    m  3     18X  6mX  m  9m  27  2 Hệ 1 có nghiệm a , b , c phương trình 2 có nghiệm không âm    '  9 m  18m  54    m  21  S  0   m   15    P  m  9m  27   18   21  Suy D   ;  15     Do giá trị nhỏ P  21 ; Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97  giá trị lớn P  15 ... 0968 64 65 97 Lớp toán 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn... 0968 64 65 97 Lớp toán 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.noon.vn... 0968 64 65 97     Lớp toán 10 – 11 – 12 - LTĐH 66, Đặng Đức Thuật, Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề